ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Travail dans une transformation polytropique

Calcul du Travail dans une Transformation Polytropique

Calcul du travail dans une transformation polytropique

Comprendre les Transformations Polytropiques

Une transformation polytropique est un processus thermodynamique qui obéit à la relation \(PV^k = \text{constante}\), où \(k\) est l'index polytropique. Ce modèle est très utile car il permet de décrire une large gamme de transformations réelles dans les moteurs et les compresseurs, qui ne sont ni parfaitement isothermes (échange de chaleur parfait), ni parfaitement adiabatiques (aucun échange de chaleur). La valeur de l'index \(k\) se situe typiquement entre 1 (isotherme) et \(\gamma\) (adiabatique). Cet exercice a pour but de calculer le travail, la chaleur et la variation d'énergie interne pour une telle transformation.

Données de l'étude

On comprime de l'air, assimilé à un gaz parfait diatomique, dans un cylindre à piston de manière polytropique.

Schéma d'une Compression Polytropique
P₁, V₁, T₁ P₂, V₂, T₂ Compression

Conditions et constantes :

  • Gaz : Air, gaz parfait diatomique (\(\gamma = 1.4\)).
  • Quantité de matière : \(n = 100 \, \text{mol}\)
  • État initial : \(T_1 = 300 \, \text{K}\), \(V_1 = 2.0 \, \text{m}^3\)
  • État final : \(V_2 = 0.5 \, \text{m}^3\)
  • Index polytropique : \(k = 1.3\)
  • Capacités thermiques : \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\), \(C_{p,m} = \frac{7}{2}R\)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pression initiale \(P_1\) du gaz.
  2. Calculer la température finale \(T_2\) et la pression finale \(P_2\) du gaz.
  3. Calculer le travail (\(W\)) reçu par le gaz durant la compression.
  4. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.
  5. En déduire la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz. Est-elle reçue ou cédée ?

Correction : Calcul du travail dans une transformation polytropique

Question 1 : Pression initiale \(P_1\)

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits pour l'état initial.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 V_1 = n R T_1 \Rightarrow P_1 = \frac{n R T_1}{V_1} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{100 \, \text{mol} \cdot 8.314 \, \text{J/mol·K} \cdot 300 \, \text{K}}{2.0 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{249420}{2} \\ &= 124710 \, \text{Pa} \approx 124.7 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression initiale est \(P_1 \approx 124.7 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Température finale \(T_2\) et Pression finale \(P_2\)

Principe :

Pour une transformation polytropique d'un gaz parfait, on a les relations \(T V^{k-1} = \text{constante}\) et \(P V^k = \text{constante}\).

Calcul :

Calcul de \(T_2\) :

\[ T_1 V_1^{k-1} = T_2 V_2^{k-1} \Rightarrow T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{k-1} \]
\[ \begin{aligned} T_2 &= 300 \cdot \left(\frac{2.0}{0.5}\right)^{1.3-1} = 300 \cdot (4)^{0.3} \\ &\approx 300 \cdot 1.5157 \\ &\approx 454.7 \, \text{K} \end{aligned} \]

Calcul de \(P_2\) :

\[ P_1 V_1^k = P_2 V_2^k \Rightarrow P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^k \]
\[ \begin{aligned} P_2 &= 124710 \cdot \left(\frac{2.0}{0.5}\right)^{1.3} = 124710 \cdot (4)^{1.3} \\ &\approx 124710 \cdot 6.063 \\ &\approx 756150 \, \text{Pa} \approx 756.2 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(T_2 \approx 454.7 \, \text{K}\) et \(P_2 \approx 756.2 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Travail reçu par le gaz (\(W\))

Principe :

Le travail reçu par le gaz lors d'une transformation polytropique (avec \(k \neq 1\)) peut se calculer directement à partir des températures et du nombre de moles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} P dV = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{k-1} = \frac{nR(T_2 - T_1)}{k-1} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= \frac{100 \cdot 8.314 \cdot (454.7 - 300)}{1.3 - 1} \\ &= \frac{831.4 \cdot 154.7}{0.3} \\ &= \frac{128455}{0.3} \\ &\approx +428183 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le signe positif confirme que le gaz reçoit du travail, ce qui est cohérent avec une compression.

Résultat Question 3 : Le travail reçu par le gaz est \(W \approx +428.2 \, \text{kJ}\).

Question 4 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température et de la capacité thermique molaire à volume constant, \(C_{v,m}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T = n \cdot \left(\frac{5}{2}R\right) \cdot (T_2 - T_1) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 100 \cdot \left(\frac{5}{2} \cdot 8.314\right) \cdot (454.7 - 300) \\ &= 100 \cdot (20.785) \cdot 154.7 \\ &\approx +321544 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx +321.5 \, \text{kJ}\).

Question 5 : Chaleur échangée (\(Q\))

Principe :

On applique le premier principe de la thermodynamique pour trouver la chaleur échangée à partir des valeurs calculées de \(\Delta U\) et \(W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = Q + W \Rightarrow Q = \Delta U - W \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 321544 - 428183 \\ &= -106639 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que de la chaleur est cédée par le gaz à l'environnement. C'est normal pour une compression polytropique non adiabatique.

Résultat Question 5 : La chaleur échangée est \(Q \approx -106.6 \, \text{kJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une transformation adiabatique réversible est un cas particulier de transformation polytropique avec...

2. Pour une compression polytropique avec \(1 < k < \gamma\), la température finale...

3. Dans cet exercice, de la chaleur est cédée par le gaz (\(Q < 0\)) car...

Glossaire

Transformation Polytropique
Processus thermodynamique qui suit la loi \(PV^k = \text{constante}\), où \(k\) est l'index polytropique. C'est une généralisation des transformations isobares, isothermes, adiabatiques et isochores.
Index Polytropique (k)
Exposant dans la loi polytropique qui caractérise la nature de la transformation, notamment les échanges de chaleur associés.
Travail des Forces de Pression (W)
Énergie transférée entre un système et son environnement due à un changement de volume contre une pression extérieure. Par convention, le travail reçu par le système est positif.
Énergie Interne (U)
Fonction d'état qui représente l'énergie totale contenue dans un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Premier Principe de la Thermodynamique
Loi de conservation de l'énergie pour un système thermodynamique : la variation de son énergie interne est égale à la somme de la chaleur et du travail échangés (\(\Delta U = Q + W\)).
Transformation Polytropique - Exercice d'Application

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