ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Transformation adiabatique irréversible

Thermodynamique : Transformation Adiabatique Irréversible d'un Gaz Parfait

Transformation adiabatique irréversible d'un gaz parfait

Contexte : La Création d'Entropie

Une transformation adiabatiqueTransformation thermodynamique qui se produit sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (Q = 0). est un processus sans échange de chaleur avec l'extérieur. Si elle est de plus réversibleTransformation idéale, infiniment lente, qui peut être inversée en ramenant le système et l'extérieur à leur état initial. Elle se produit à entropie constante pour un système isolé., elle est isentropique (\(\Delta S = 0\)). Cependant, toutes les transformations réelles sont irréversiblesTransformation réelle qui ne peut être inversée. Elle implique des phénomènes dissipatifs (frottements, gradients finis) et crée de l'entropie.. Une transformation adiabatique irréversible (comme une détente brutale ou une compression rapide avec frottements) est donc un processus où \(Q = 0\) mais où de l'entropie est créée à l'intérieur du système à cause des irréversibilités. Cet exercice a pour but de calculer le travail, la variation de température et surtout l'entropie créée lors d'une telle transformation.

Remarque Pédagogique : Ce sujet est fondamental pour comprendre le second principe de la thermodynamique. Il montre que même en l'absence d'échange de chaleur, le désordre d'un système isolé peut augmenter. C'est la "flèche du temps" en thermodynamique : l'entropie de l'univers (ou d'un système isolé) ne peut qu'augmenter.

Objectifs Pédagogiques

  • Différencier une transformation adiabatique réversible et irréversible.
  • Appliquer le premier principe à une transformation irréversible.
  • Calculer le travail des forces de pression extérieures.
  • Déterminer l'état final (température) d'un gaz après une transformation irréversible.
  • Calculer la variation d'entropie et prouver qu'elle est positive (entropie créée).

Données de l'étude

On considère \(n = 1 \, \text{mol}\) d'un gaz parfait monoatomique, initialement à \(T_i = 300 \, \text{K}\) et \(P_i = 10 \, \text{bar}\). Ce gaz subit une détente adiabatique brutale contre une pression extérieure constante \(P_{ext} = 1 \, \text{bar}\), jusqu'à ce que la pression du gaz devienne égale à cette pression extérieure (\(P_f = 1 \, \text{bar}\)).

Schéma de la Détente Irréversible
Piston Pext Gaz (Pi, Ti)

Données :

  • Gaz parfait monoatomique : \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\), \(C_{P,m} = \frac{5}{2}R\), \(\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}\)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le volume initial \(V_i\) du gaz.
  2. Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz lors de cette transformation.
  3. Calculer la température finale \(T_f\) du gaz.
  4. Calculer la variation d'entropie \(\Delta S\) du gaz et conclure.

Correction : Transformation adiabatique irréversible

Question 1 : Calcul du Volume Initial (Vi)

Principe :
État Initial Pi Vi = n R Ti

L'état initial du gaz est un état d'équilibre. On peut donc appliquer la loi des gaz parfaits pour relier la pression, le volume, la température et la quantité de matière afin de déterminer le volume initial.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La loi des gaz parfaits ne s'applique qu'à des états d'équilibre. On peut l'utiliser pour l'état initial et l'état final (une fois que le gaz s'est stabilisé), mais pas pendant la transformation irréversible elle-même, car le système n'est pas à l'équilibre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_i V_i = n R T_i \Rightarrow V_i = \frac{n R T_i}{P_i} \]
Donnée(s) :
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(T_i = 300 \, \text{K}\)
  • \(P_i = 10 \, \text{bar} = 10 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V_i &= \frac{1 \times 8.314 \times 300}{10 \times 10^5} \\ &= \frac{2494.2}{10^6} \\ &\approx 2.49 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \quad (\text{ou } 2.49 \, \text{L}) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de Pression : La pression doit être convertie en Pascals (Pa), l'unité SI, pour être cohérente avec la constante R donnée en J·mol⁻¹·K⁻¹ (car 1 J = 1 Pa·m³).

Le saviez-vous ?

Dans les conditions standard de température et de pression (0°C et 1 atm), une mole de gaz parfait occupe un volume de 22.4 L. Notre résultat est cohérent : à plus haute température et pression, le volume est plus petit.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi un gaz monoatomique ?

Le fait de préciser "monoatomique" permet de fixer sans ambiguïté les capacités calorifiques (\(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\) et \(C_{P,m} = \frac{5}{2}R\)). Pour un gaz diatomique, il faudrait ajouter les degrés de liberté de rotation, ce qui donnerait \(C_{V,m} = \frac{5}{2}R\).

Résultat : Le volume initial du gaz est \(V_i \approx 2.49 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\).

Question 2 : Travail Reçu par le Gaz (W)

Principe :
Pext W = -Pext ΔV

Pour une transformation monobare (pression extérieure constante), le travail des forces de pression extérieures reçu par le gaz est donné par \(W = -P_{\text{ext}} \Delta V\). Comme il s'agit d'une détente (\(\Delta V > 0\)), le gaz fournit du travail au milieu extérieur, donc le travail reçu par le gaz sera négatif.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la différence fondamentale avec une transformation réversible. Dans le cas réversible, on aurait \(P_{\text{ext}} = P_{\text{gaz}}\) à chaque instant, et on devrait intégrer \(-\int P_{\text{gaz}} dV\). Ici, la transformation est brutale, la pression extérieure est constante et différente de la pression du gaz pendant tout le processus.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W = -P_{\text{ext}} (V_f - V_i) \]
Donnée(s) :
  • \(P_{\text{ext}} = 1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_i = 2.49 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)
  • Le volume final \(V_f\) est inconnu pour l'instant. Nous devons d'abord trouver la température finale. Cette question est donc liée à la suivante.
Calcul(s) :

Nous devons d'abord résoudre la question 3 pour trouver \(T_f\), puis \(V_f\), avant de pouvoir calculer W.

Points de vigilance :

Pression extérieure vs. Pression du gaz : Ne pas confondre la pression extérieure constante \(P_{\text{ext}}\) qui détermine le travail, avec la pression du gaz \(P\) qui, elle, varie durant la transformation.

Le saviez-vous ?

Le travail fourni par le gaz lors d'une détente irréversible est toujours inférieur au travail qu'il aurait fourni lors d'une détente réversible entre les mêmes états initial et final. C'est une manifestation de la "perte" d'opportunité de travail due à l'irréversibilité.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si la détente était une détente de Joule-Gay-Lussac (dans le vide) ?

Dans une détente dans le vide, la pression extérieure est nulle (\(P_{\text{ext}} = 0\)). Le travail serait donc nul (\(W=0\)). Comme la transformation est aussi adiabatique (\(Q=0\)), la variation d'énergie interne serait nulle (\(\Delta U = 0\)). Pour un gaz parfait, cela impliquerait que la température finale serait égale à la température initiale (\(\Delta T = 0\)).

Résultat : Le calcul du travail nécessite de connaître l'état final.

Question 3 : Calcul de la Température Finale (Tf)

Principe :
ΔU = W (car Q = 0)

On applique le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U = W + Q\). La transformation étant adiabatique, \(Q=0\), donc \(\Delta U = W\). Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_{V,m} \Delta T\). En combinant ces équations avec l'expression du travail, on peut isoler et calculer la température finale \(T_f\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici qu'on relie la mécanique (le travail des forces de pression) à la thermique (la variation de température). Le travail fourni par le gaz pour repousser le milieu extérieur se fait "aux dépens" de sa propre énergie interne, ce qui se manifeste par une baisse de sa température.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = W \Rightarrow n C_{V,m} (T_f - T_i) = -P_{\text{ext}} (V_f - V_i) \]

On utilise la loi des gaz parfaits pour exprimer les volumes en fonction des températures : \(V_f = nRT_f/P_f\) et \(V_i = nRT_i/P_i\).

\[ n C_{V,m} (T_f - T_i) = -P_{\text{ext}} \left( \frac{nRT_f}{P_f} - \frac{nRT_i}{P_i} \right) \]
Donnée(s) :
  • Toutes les données précédentes
  • \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\)
  • \(P_f = P_{ext} = 10^5 \, \text{Pa}\)
Calcul(s) :

En simplifiant par n et en réarrangeant pour isoler Tf :

\[ C_{V,m} T_f - C_{V,m} T_i = - \frac{P_{\text{ext}} R T_f}{P_f} + \frac{P_{\text{ext}} R T_i}{P_i} \]
\[ T_f \left( C_{V,m} + \frac{P_{\text{ext}} R}{P_f} \right) = T_i \left( C_{V,m} + \frac{P_{\text{ext}} R}{P_i} \right) \]

Comme \(P_f = P_{ext}\) :

\[ \begin{aligned} T_f (C_{V,m} + R) &= T_i \left( C_{V,m} + R \frac{P_{ext}}{P_i} \right) \\ T_f C_{P,m} &= T_i \left( C_{V,m} + R \frac{P_{ext}}{P_i} \right) \\ T_f &= T_i \frac{C_{V,m} + R (P_{ext}/P_i)}{C_{P,m}} \\ &= 300 \times \frac{(\frac{3}{2} \times 8.314) + 8.314 \times (1/10)}{(\frac{5}{2} \times 8.314)} \\ &= 300 \times \frac{12.471 + 0.8314}{20.785} \\ &= 300 \times \frac{13.3024}{20.785} \\ &\approx 192 \, \text{K} \end{aligned} \]

Maintenant, nous pouvons calculer le travail avec \(V_f = nRT_f/P_f = 1 \times 8.314 \times 192 / 10^5 \approx 0.01596 \, \text{m}^3\).

\[ \begin{aligned} W &= -10^5 \times (0.01596 - 0.00249) \\ &= -10^5 \times 0.01347 \\ &= -1347 \, \text{J} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas utiliser les lois de Laplace : Les lois de Laplace (comme \(PV^\gamma = \text{constante}\)) ne sont valables QUE pour les transformations adiabatiques ET réversibles. Les appliquer ici serait une erreur majeure.

Le saviez-vous ?

Une détente irréversible refroidit moins le gaz qu'une détente réversible partant du même point initial et allant à la même pression finale. C'est parce que moins de travail est fourni par le gaz, donc son énergie interne diminue moins. Pour une détente réversible, la température finale aurait été \(T_f = T_i (P_f/P_i)^{(\gamma-1)/\gamma} \approx 119.5 \, \text{K}\), soit un refroidissement bien plus important !

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser CV,m pour ΔU ?

La variation d'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa variation de température. Par définition, \(\Delta U = n C_{V,m} \Delta T\). Ceci est toujours vrai pour un gaz parfait, que la transformation se fasse à volume constant ou non. Le \(V\) dans \(C_V\) se réfère à la définition de cette grandeur, pas aux conditions de la transformation.

Résultat : La température finale est \(T_f \approx 192 \, \text{K}\) et le travail reçu est \(W \approx -1347 \, \text{J}\).

Question 4 : Calcul de la Variation d'Entropie (ΔS)

Principe :
État i État f Chemin réversible imaginaire

L'entropie est une fonction d'état. Sa variation \(\Delta S\) ne dépend que de l'état initial et de l'état final, pas du chemin suivi. Pour la calculer, on imagine un chemin réversible quelconque reliant l'état initial (Ti, Pi) à l'état final (Tf, Pf) et on calcule \(\Delta S\) sur ce chemin fictif. Le résultat sera le même que pour notre chemin irréversible réel.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une méthode très puissante. On ne peut pas calculer l'entropie directement sur le chemin irréversible car la formule \(dS = \delta Q/T\) n'est valable que pour des transformations réversibles. L'astuce consiste à remplacer le chemin réel par un chemin imaginaire plus simple (par exemple, une isochore suivie d'une isobare, ou une isotherme suivie d'une isobare).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta S = n C_{P,m} \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) - n R \ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) \]
Donnée(s) :
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(C_{P,m} = \frac{5}{2}R \approx 20.785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(T_i = 300 \, \text{K}\), \(T_f = 192 \, \text{K}\)
  • \(P_i = 10 \, \text{bar}\), \(P_f = 1 \, \text{bar}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta S &= 1 \times 20.785 \times \ln\left(\frac{192}{300}\right) - 1 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{1}{10}\right) \\ &= 20.785 \times \ln(0.64) - 8.314 \times \ln(0.1) \\ &= 20.785 \times (-0.446) - 8.314 \times (-2.302) \\ &= -9.27 + 19.14 \\ &= +9.87 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Entropie échangée vs. Entropie créée : Pour une transformation adiabatique, la chaleur échangée est nulle, donc l'entropie échangée \(S_e = Q/T_{ext}\) est nulle. La variation d'entropie calculée \(\Delta S\) est donc entièrement due à l'entropie créée par les irréversibilités : \(\Delta S = S_e + S_c = 0 + S_c\). Le fait que \(\Delta S > 0\) est une illustration directe du second principe.

Le saviez-vous ?

L'entropie est parfois décrite comme une "mesure du désordre", mais une vision plus précise est de la voir comme une mesure de l'information manquante sur un système. Un état de haute entropie est un état pour lequel il existe un très grand nombre de configurations microscopiques (positions et vitesses des molécules) qui correspondent au même état macroscopique (même P, V, T).

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi l'entropie augmente-t-elle alors que le système refroidit ?

C'est une excellente question qui montre la subtilité de l'entropie. L'entropie dépend à la fois de la température et du volume (ou de la pression). Ici, la baisse de température tend à diminuer l'entropie, mais l'augmentation très importante du volume (le gaz se détend d'un facteur \(V_f/V_i \approx 6.4\)) tend à l'augmenter. L'effet de la détente est largement prépondérant, conduisant à une augmentation nette de l'entropie.

Résultat : La variation d'entropie est \(\Delta S \approx +9.87 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\). Elle est positive, ce qui est cohérent avec une transformation irréversible.

Simulation : Irréversibilité et Création d'Entropie

Faites varier la pression extérieure contre laquelle se fait la détente. Observez comment la température finale et l'entropie créée changent. Plus la détente est "brutale" (Pext faible), plus l'irréversibilité est grande.

Paramètres de la Détente
Température Finale
Entropie Créée
Entropie Créée vs Pression Extérieure

Pour Aller Plus Loin : Le Chemin Réversible Équivalent

Comparer Réel et Idéal : Pour mieux saisir l'impact de l'irréversibilité, on peut comparer notre résultat à une détente adiabatique et réversible (isentropique) entre la même pression initiale (10 bar) et la même pression finale (1 bar). On trouverait une température finale de \(T_{f,rev} \approx 119.5 \, \text{K}\) (bien plus froide) et un travail fourni par le gaz de \(|W_{rev}| \approx 2250 \, \text{J}\) (bien plus grand). L'irréversibilité a donc "gâché" du travail potentiel et a abouti à un état final moins froid mais plus désordonné.

Le Saviez-Vous ?

La détente de gaz est utilisée dans les aérosols. Lorsque vous appuyez sur le bouton, le gaz propulseur se détend brutalement. C'est une détente adiabatique très irréversible. C'est pourquoi la bombe devient froide au toucher : le gaz qui se détend puise de l'énergie (chaleur) dans la paroi métallique de la bombe pour fournir le travail d'expansion.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on avoir une transformation adiabatique et isotherme ?

Pour un gaz parfait, non. Si la transformation est adiabatique (\(Q=0\)) et isotherme (\(\Delta T=0\)), alors la variation d'énergie interne est nulle (\(\Delta U=0\)). Le premier principe impose alors que le travail soit nul (\(W=0\)), ce qui signifie qu'il n'y a pas de changement de volume. La seule transformation adiabatique et isotherme pour un gaz parfait est... de ne rien faire !

Toutes les transformations réelles créent-elles de l'entropie ?

Oui. Toute transformation réelle se produit en un temps fini, avec des gradients de pression, de température, et souvent des frottements. Tous ces phénomènes sont des sources d'irréversibilité et conduisent à une création d'entropie dans l'univers (système + extérieur). Le concept de transformation réversible est une idéalisation qui nous sert de référence pour les calculs.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une transformation adiabatique irréversible d'un gaz parfait se caractérise par :

2. Pour une détente adiabatique entre un état initial et une pression finale donnés, la température finale sera :

Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique se déroulant sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
Transformation Irréversible
Processus réel qui, en raison de phénomènes dissipatifs (frottements, etc.), ne peut être inversé pour ramener le système et l'univers à leur état initial. Il y a toujours création d'entropie.
Entropie Créée (Sc)
Augmentation d'entropie due aux irréversibilités internes d'un système. Le second principe stipule que \(S_c \ge 0\).
Lois de Laplace
Relations entre P, V et T (ex: \(PV^\gamma = \text{constante}\)) qui ne sont valables que pour les transformations adiabatiques ET réversibles d'un gaz parfait.
Transformation adiabatique irréversible d'un gaz parfait

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