Thermodynamique de la tension de surface

Contexte : La Tension SuperficielleForce qui s'exerce à la surface d'un liquide et qui tend à minimiser sa surface (comme une peau élastique). et la Loi de Laplace.

Dans cet exercice, nous allons explorer le concept fondamental de la tension superficielle en thermodynamique classique. Vous allez calculer la différence de pression (surpression) existant entre l'intérieur et l'extérieur d'une gouttelette sphérique liquide en équilibre avec sa vapeur. Ce phénomène est régi par la loi de Laplace, essentielle pour comprendre la formation des nuages, la respiration (rôle du surfactant pulmonaire dans les alvéoles) ou encore les procédés industriels d'émulsion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice fait le pont entre la thermodynamique des interfaces (énergie de surface) et la mécanique des fluides (pression). Il illustre comment des forces microscopiques (cohésion moléculaire) engendrent des effets macroscopiques mesurables (surpression).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre l'origine physique de la surpression capillaire.
Maîtriser la loi de Laplace pour une interface sphérique (goutte vs bulle).
Calculer des ordres de grandeur de pression pour des objets microscopiques.
Lier l'énergie de surface au travail mécanique de formation.

Données de l'étude

On considère une fine gouttelette d'eau pure en suspension dans l'air à \(20^\circ\text{C}\). On suppose la gouttelette parfaitement sphérique et immobile.

Fiche Technique

Caractéristique	Détail
Fluide interne	Eau liquide pure (incompressible)
Milieu externe	Air atmosphérique sec
Hypothèse géométrique	Sphère parfaite (gravité négligée à cette échelle)

Modèle de la Gouttelette Sphérique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Superficielle (Eau/Air)	\(\gamma\)	72.8	\(\text{mN} \cdot \text{m}^{-1}\)
Rayon de la gouttelette	\(R\)	2.0	\(\mu\text{m}\)
Pression extérieure	\(P_{\text{ext}}\)	101325	\(\text{Pa}\)

Questions à traiter

Convertir les unités données dans le système international (S.I.) pour préparer les calculs.
Établir l'expression littérale de la loi de Laplace adaptée au cas d'une goutte sphérique (attention à la géométrie).
Calculer numériquement la surpression capillaire \(\Delta P\) générée par l'interface.
En déduire la pression absolue totale \(P_{\text{int}}\) régnant au cœur de la gouttelette.
Calculer le travail thermodynamique \(W\) requis pour créer cette surface à partir d'un volume initial sans surface (nucléation idéale).

Les bases sur la Tension de Surface

La tension de surface est une propriété physique résultant des forces de cohésion entre les molécules d'un liquide. À la surface, les molécules sont moins bien entourées qu'au centre, ce qui crée une énergie excédentaire.

1. Loi de Laplace (Générale)
La loi de Young-Laplace décrit le saut de pression à travers une interface courbe. Elle s'écrit : \[ \Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \] Où \(R_1\) et \(R_2\) sont les deux rayons de courbure principaux de la surface. Cette équation montre que la pression est toujours plus élevée du côté concave (intérieur de la courbure).

2. Application à la sphère
Pour une géométrie sphérique parfaite, la symétrie impose que \(R_1 = R_2 = R\). L'équation se simplifie alors considérablement, ce qui rend les calculs accessibles pour des objets comme des gouttes, des bulles ou des alvéoles pulmonaires.

Correction : Thermodynamique de la Tension de Surface

Question 1 : Conversion des unités

Principe

En physique, la cohérence dimensionnelle est primordiale. Le Système International d'unités (S.I.) est le standard pour les calculs thermodynamiques afin d'obtenir des énergies en Joules ou des pressions en Pascals directement. Nous devons convertir les sous-unités (milli, micro) en unités de base.

Mini-Cours

Les préfixes du Système International :
- Milli (m) : Facteur \(10^{-3}\). Utilisé souvent pour les tensions de surface (mN/m).
- Micro (\(\mu\)) : Facteur \(10^{-6}\). Typique des tailles de cellules ou de gouttelettes de brouillard.

Remarque Pédagogique

Une erreur de conversion à cette étape se propage linéairement ou quadratiquement dans tout le reste de l'exercice. Prenez le temps d'écrire les puissances de 10.

Normes

Conformément à la norme ISO 80000-1, les calculs doivent être effectués avec les unités de base : le Mètre (m) pour la longueur et le Newton (N) pour la force.

Formule(s)

Règles de conversion

1 \text{ mN} = 1 \times 10^{-3} \text{ N}

1 \mu\text{m} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}

Hypothèses

On considère les valeurs données comme exactes (chiffres significatifs suffisants) et constantes à \(20^\circ\text{C}\).

Pas de variation de \(\gamma\) avec la courbure (hypothèse de Gibbs-Tolman négligée pour \(R > 10 \text{ nm}\)).

Donnée(s)

Valeurs brutes issues de l'énoncé.

Grandeur	Symbole	Valeur Brute
Tension superficielle	\(\gamma\)	72.8 mN/m
Rayon	R	2.0 \(\mu\)m

Astuces

Pour éviter les erreurs de calculatrice, remplacez mentalement le préfixe par sa puissance de 10 correspondante. "m" devient "\(10^{-3}\)" et "\(\mu\)" devient "\(10^{-6}\)".

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des échelles de grandeur pour comprendre la nécessité de la conversion.

Comparaison d'Échelles

Calcul(s)

1. Conversion de la tension \(\gamma\)

On commence par la tension superficielle. Le préfixe 'milli' (m) correspond à un facteur \(10^{-3}\). Nous remplaçons donc l'unité brute pour obtenir des Newtons par mètre.

\begin{aligned} \gamma &= 72.8 \text{ mN/m} \\ &= 72.8 \times 10^{-3} \text{ N/m} \\ &= 0.0728 \text{ N/m} \end{aligned}

Nous avons maintenant une valeur standard en N/m, prête à l'emploi.

2. Conversion du rayon \(R\)

Ensuite pour le rayon, le préfixe 'micro' (\(\mu\)) correspond à un facteur \(10^{-6}\). C'est une grandeur microscopique que nous ramenons à l'échelle du mètre.

\begin{aligned} R &= 2.0 \mu\text{m} \\ &= 2.0 \times 10^{-6} \text{ m} \\ &= 0.000002 \text{ m} \end{aligned}

Le rayon est désormais exprimé en mètres, l'unité de base de longueur.

Réflexions

Nous obtenons une tension superficielle faible dans l'absolu (0.0728 N) et un rayon extrêmement petit. C'est la petitesse de \(R\) (au dénominateur dans les formules futures) qui va engendrer des résultats spectaculaires.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(mN\) (milliNewton) avec \(Mn\) (MegaNewton, qui n'existe pas vraiment mais le préfixe Mega est \(10^6\)) ou \(Nm\) (Newton-mètre, qui est un moment de force). L'ordre des lettres compte !

Points à retenir

L'unité SI de la tension de surface est le N/m (Newton par mètre) ou J/m² (Joule par mètre carré).
1 mN/m = 1 dyn/cm (ancienne unité CGS encore utilisée en chimie).

Le saviez-vous ?

L'eau a une tension superficielle exceptionnellement élevée (72.8 mN/m) comparée à l'éthanol (22 mN/m) à cause de ses liaisons hydrogène fortes. Seul le mercure est largement au-dessus (~480 mN/m).

FAQ

Pourquoi utiliser le mètre alors que la goutte est microscopique ?

Résultat Final

Valeurs converties : \(\gamma = 0.0728 \text{ N/m}\) et \(R = 2.0 \times 10^{-6} \text{ m}\).

A vous de jouer

Convertir une tension de 50 dyn/cm en N/m (Sachant que 1 dyn = \(10^{-5}\) N et 1 cm = \(10^{-2}\) m).

Mini Fiche Mémo

Mémo Q1 : Toujours viser les unités de base (m, kg, s, A, K, mol, cd) avant de calculer.

Question 2 : Loi de Laplace pour une sphère

Principe

Nous cherchons à particulariser la loi générale de Laplace à notre géométrie spécifique (sphère pleine) pour obtenir une formule utilisable.

Mini-Cours

La force de tension superficielle agit tangentiellement à la surface. Sur une surface courbée, la résultante de ces forces est dirigée vers le centre de courbure, créant une compression. C'est cette compression qui augmente la pression interne.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de distinguer une goutte (liquide plein dans un gaz, 1 interface) d'une bulle (film de gaz dans un liquide ou film de liquide dans l'air, 2 interfaces). Pour une bulle de savon, il faudrait compter l'interface intérieure ET extérieure.

Normes

La notation \(\Delta P\) désigne la différence de pression \(P_{\text{concave}} - P_{\text{convexe}}\).

Formule(s)

Loi générale

\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)

Simplification sphérique

\text{Comme } R_1 = R_2 = R \implies \Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2\gamma}{R}

Hypothèses

On suppose la goutte sphérique (minimisation de l'énergie de surface) et qu'il n'y a qu'une seule interface liquide/gaz.

Géométrie sphérique : \(R_1 = R_2\).
Interface unique : Coefficient 2 (et non 4).

Donnée(s)

Variables symboliques : \(\gamma\) (tension), \(R\) (rayon).

Objet	Nombre d'interfaces	Formule
Goutte d'eau	1 (Liquide/Air)	\(2\gamma/R\)
Bulle de savon	2 (Air/Eau/Air)	\(4\gamma/R\)

Astuces

Retenez que la pression est toujours plus forte du côté où la surface "rentre" (côté concave). Pour une goutte, c'est l'intérieur.

Schéma (Avant les calculs)

Comprendre la résultante des forces.

Vecteurs Tensions et Pression

Calcul(s)

À cette étape, nous formulons simplement l'expression littérale finale. Nous partons de la géométrie sphérique pour déduire le facteur géométrique.

Nous partons de l'équation générale de Laplace qui somme les deux courbures principales \(1/R_1\) et \(1/R_2\). Pour une sphère parfaite, la courbure est la même dans toutes les directions, donc \(R_1 = R_2 = R\).

\Delta P = \frac{2\gamma}{R}

En additionnant \(1/R + 1/R\), nous obtenons \(2/R\). La formule finale montre que la surpression est le double de la tension divisée par le rayon.

Réflexions

Cette relation montre une proportionnalité inverse : si \(R\) tend vers 0, la pression tend vers l'infini. C'est ce qui rend la nucléation (création de la toute première micro-goutte) énergétiquement difficile.

Points de vigilance

Attention au facteur 2 vs 4. Si l'énoncé parlait d'une bulle de savon, tout serait faux avec un facteur 2.

Points à retenir

Loi de Laplace sphère : \(\Delta P = 2\gamma/R\).
Loi de Laplace cylindre : \(\Delta P = \gamma/R\) (car un rayon est infini).

Le saviez-vous ?

Pierre-Simon de Laplace a formulé cette loi en 1805, complétant les travaux de Thomas Young. C'est un pilier de la physique capillaire.

FAQ

La pression dépend-elle de la quantité de liquide ?

Résultat Final

Formule retenue : \(\Delta P = 2\gamma / R\)

A vous de jouer

Quelle est la formule pour une surface plane (\(R \to \infty\)) ?

Mini Fiche Mémo

Mémo Q2 : Goutte = 1 surface = \(2\gamma/R\).

Question 3 : Calcul de la surpression capillaire

Principe

Nous allons maintenant injecter les valeurs numériques SI (Question 1) dans la formule littérale (Question 2) pour obtenir la valeur concrète de la surpression.

Mini-Cours

Le calcul numérique est l'étape où la physique théorique rencontre la réalité tangible. C'est ici que l'on se rend compte de l'ordre de grandeur des phénomènes.

Remarque Pédagogique

Utilisez votre calculatrice avec les exposants (touche E ou Exp) pour éviter les erreurs de zéros.

Normes

Le résultat doit être donné en Pascals (Pa), l'unité légale, mais il est souvent utile de le convertir en bar ou atm pour se représenter la grandeur.

Formule(s)

\Delta P = \frac{2\gamma}{R}

Hypothèses

Les valeurs de \(\gamma\) et \(R\) sont constantes.

Pas d'évaporation significative modifiant R durant l'instant considéré.

Donnée(s)

Rappel des valeurs prêtes au calcul.

Variable	Valeur SI
\(\gamma\) (Gamma)	0.0728 N/m
\(R\) (Rayon)	\(2.0 \times 10^{-6}\) m

Astuces

Calcul mental rapide : \(2 \times 0.07 \approx 0.14\). Divisé par \(2 \times 10^{-6}\) revient à diviser par 2 (donne 0.07) et multiplier par \(10^6\). On s'attend à environ \(70\,000\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'opération mathématique.

La Mécanique du Calcul

Calcul(s)

1. Calcul du numérateur

Passons à l'application numérique. Nous remplaçons les symboles par les valeurs SI trouvées à la Question 1. On effectue d'abord le produit au numérateur.

2 \times \gamma = 2 \times 0.0728 = 0.1456 \text{ N/m}

Le numérateur \(2\gamma\) représente la force de compression linéique doublée. C'est une valeur petite (0.1456).

2. Division par le rayon

Ensuite, on divise ce résultat intermédiaire par la valeur du rayon en mètres. C'est la division par un très petit nombre (\(10^{-6}\)) qui va gonfler le résultat final.

\begin{aligned} \Delta P &= \frac{0.1456}{2.0 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{0.1456}{2.0} \times 10^6 \\ &= 0.0728 \times 1\,000\,000 \\ &= 72\,800 \text{ Pa} \end{aligned}

En divisant 0.1456 par un nombre très petit (\(2.0 \times 10^{-6}\)), le résultat devient très grand. Nous obtenons une valeur en Pascals.

Réflexions

Le résultat est de 72 800 Pa. Sachant que la pression atmosphérique normale est d'environ 101 300 Pa, cette surpression représente environ 70% d'atmosphère supplémentaire ! C'est énorme pour une simple goutte d'eau.

Points de vigilance

Vérifiez bien l'ordre de grandeur. Une pression de \(10^{-5}\) Pa ou \(10^{12}\) Pa serait suspecte ici.

Points à retenir

La surpression capillaire est significative à l'échelle microscopique.

Le saviez-vous ?

Dans les très petites gouttes (nanométriques), cette pression peut devenir si colossale qu'elle modifie les propriétés chimiques du liquide !

FAQ

Est-ce que cette pression comprime l'eau ?

Résultat Final

\(\Delta P = 72\,800 \text{ Pa}\) (soit environ 0.72 bar)

A vous de jouer

Que vaudrait la surpression pour une goutte 10 fois plus petite (\(R = 0.2 \mu\text{m}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Mémo Q3 : Petit rayon = Grande pression.

Question 4 : Pression interne totale

Principe

Nous devons déterminer la pression absolue à l'intérieur de la goutte. Pour cela, nous appliquons le principe de superposition des pressions : la pression interne doit équilibrer la pression externe PLUS la surpression de l'interface.

Mini-Cours

Pression Relative vs Absolue :
- La surpression \(\Delta P\) est une pression relative (différence).
- La pression interne \(P_{int}\) est une pression absolue (par rapport au vide).

Remarque Pédagogique

C'est comme gonfler un pneu : la pression du pneu doit vaincre la pression atmosphérique ET la tension du caoutchouc pour rester gonflé.

Normes

Pression atmosphérique de référence : \(P_{atm} \approx 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\).

Formule(s)

P_{\text{int}} = P_{\text{ext}} + \Delta P

Hypothèses

L'air autour de la goutte est à l'équilibre statique à la pression standard.

\(P_{ext} = 101\,325 \text{ Pa}\).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question 3.

Terme	Valeur
\(P_{\text{ext}}\)	101 325 Pa
\(\Delta P\)	72 800 Pa

Astuces

Pour convertir des Pa en bar, divisez par 100 000. C'est plus parlant pour l'intuition.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des pressions.

Graphique Empilé des Pressions

Calcul(s)

Addition simple

La surpression calculée n'est que la différence avec l'extérieur. Pour connaître la pression réelle ressentie par le liquide, nous devons ajouter la pression de l'air ambiant qui appuie déjà sur la goutte.

\begin{aligned} P_{\text{int}} &= 101\,325 \text{ Pa} + 72\,800 \text{ Pa} \\ &= 174\,125 \text{ Pa} \end{aligned}

La somme nous donne 174 125 Pa. C'est une valeur absolue, utilisable dans les équations d'état thermodynamiques.

Conversion en bar

Pour mieux se rendre compte, convertissons ce grand nombre de Pascals en bars (1 bar = 100 000 Pa). Cela permet de comparer avec des pressions usuelles (pneu, plongée).

\begin{aligned} P_{\text{int}} (\text{bar}) &= \frac{174\,125}{100\,000} \\ &= 1.74125 \text{ bar} \\ &\approx 1.74 \text{ bar} \end{aligned}

Le résultat final est une pression facilement comparable à notre quotidien.

Réflexions

La pression absolue à l'intérieur de cette gouttelette microscopique est de 1.74 bar. C'est presque le double de la pression atmosphérique. Cela a des conséquences thermodynamiques, comme l'augmentation de la pression de vapeur saturante (effet Kelvin), ce qui signifie que les petites gouttes s'évaporent plus vite que les surfaces planes.

Points de vigilance

Ne pas confondre la surpression (0.72 bar) avec la pression totale (1.74 bar). La question portait bien sur la pression totale.

Points à retenir

La pression interne est toujours supérieure à la pression externe pour une goutte.
\(P_{int} > P_{ext}\).

Le saviez-vous ?

Dans le poumon, les alvéoles sont tapissées de liquide. Sans surfactant pour baisser \(\gamma\), la loi de Laplace créerait une pression telle que les petites alvéoles se videraient dans les grandes, entraînant un collapsus pulmonaire !

FAQ

Peut-on négliger P_ext ?

Résultat Final

\(P_{\text{int}} = 174\,125 \text{ Pa}\) (\(\approx 1.74 \text{ bar}\))

A vous de jouer

Si la surpression est de 200 000 Pa, quelle est la pression absolue totale en bars ?

Mini Fiche Mémo

Mémo Q4 : Additionnez toujours la pression ambiante.

Question 5 : Travail de création de surface

Principe

Nous calculons l'énergie qu'il a fallu fournir au système pour créer l'interface liquide-air. En thermodynamique, l'énergie libre de surface est équivalente au travail mécanique de formation.

Mini-Cours

Le travail \(dW\) fourni réversiblement pour augmenter une surface d'une aire \(dA\) est : \[ dW = \gamma \cdot dA \] Comme nous créons la goutte à partir de "rien" (surface nulle) jusqu'à une surface \(A\), et que \(\gamma\) est constant, on intègre directement : \(W = \gamma \cdot A\).

Remarque Pédagogique

C'est cette énergie qu'il faut vaincre pour atomiser un liquide (spray). C'est pourquoi les brumisateurs consomment de l'énergie.

Normes

L'énergie s'exprime en Joules (J). La surface en mètres carrés (m²).

Formule(s)

Surface d'une sphère

A = 4\pi R^2

Travail thermodynamique

W = \gamma \times A = \gamma \times 4\pi R^2

Hypothèses

Transformation isotherme (T constante), réversible (pas de perte par frottement visqueux), volume constant global (on ne compte pas le travail de pression volumique, juste le travail de surface).

Création ex nihilo (Surface initiale = 0).

Donnée(s)

Reprise des valeurs.

Paramètre	Valeur SI
Rayon R	\(2.0 \times 10^{-6}\) m
Tension \(\gamma\)	0.0728 J/m²

Astuces

N'oubliez pas le carré du rayon ! \(R^2 = (2 \times 10^{-6})^2 = 4 \times 10^{-12}\). Ne faites pas \(2^2 \times 10^{-6}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le processus de création.

Cycle de Nucléation (Création)

Calcul(s)

1. Calcul de l'aire \(A\)

D'abord, calculons l'aire de la surface sphérique créée. La géométrie de la sphère impose le facteur \(4\pi\). Nous remplaçons R par sa valeur en mètres.

\begin{aligned} A &= 4 \pi R^2 \\ &= 4 \times 3.14159 \times (2.0 \times 10^{-6})^2 \\ &= 12.566 \times (4.0 \times 10^{-12}) \\ &\approx 5.027 \times 10^{-11} \text{ m}^2 \end{aligned}

La surface est de l'ordre de \(50 \times 10^{-12} \text{ m}^2\). C'est une aire infime, invisible à l'œil nu, ce qui est logique pour une goutte microscopique.

2. Calcul du travail \(W\)

Maintenant, on multiplie cette surface par le coût énergétique unitaire (\(\gamma\)). Cela nous donne l'énergie totale stockée dans l'interface.

\begin{aligned} W &= \gamma \times A \\ &= 0.0728 \times 5.027 \times 10^{-11} \\ &\approx 3.659 \times 10^{-12} \text{ J} \end{aligned}

Le résultat est de l'ordre du picoJoule (\(10^{-12}\) J). Bien que minuscule pour une seule goutte, c'est cette énergie qui s'accumule pour former des nuages entiers.

Réflexions

L'énergie requise pour former une seule gouttelette est infime. Cependant, pour former un brouillard contenant des milliards de gouttelettes, l'énergie totale devient conséquente.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice gère bien les très petits nombres sans arrondir trop vite à zéro.

Points à retenir

L'énergie est proportionnelle à la surface créée.
Augmenter la surface (faire de la mousse, du spray) consomme de l'énergie.

Le saviez-vous ?

C'est pour minimiser ce terme \(W\) que les gouttes dans l'espace sont parfaitement sphériques : la sphère est la forme qui a la plus petite surface pour un volume donné.

FAQ

Si la goutte fusionne avec une autre, l'énergie change-t-elle ?

Résultat Final

\(W \approx 3.66 \times 10^{-12} \text{ J}\) (ou \(3.66 \text{ pJ}\))

A vous de jouer

Quelle serait l'énergie pour une goutte deux fois plus grosse (\(R = 4.0 \mu\text{m}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Mémo Q5 : \(W = \gamma \times 4\pi R^2\).

Simulateur Interactif : La Physique de la Goutte

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la taille de la goutte et la nature du liquide. Observez comment la pression "explose" quand le rayon devient minuscule.

Paramètres de contrôle

Rayon de la goutte \(R\) (\(\mu\text{m}\)) 2 \(\mu\text{m}\)

Tension superficielle \(\gamma\) (\(\text{mN/m}\)) 72.8 \(\text{mN/m}\)

Résultats calculés en direct

Surpression \(\Delta P\) (Pa) -

Pression Interne \(P_{\text{int}}\) (bar) -

Glossaire Technique

Tension Superficielle (\(\gamma\)): Quantité d'énergie nécessaire pour augmenter la surface d'une interface liquide-gaz d'une unité d'aire. Elle résulte de l'attraction asymétrique des molécules en surface vers l'intérieur du liquide.
Loi de Laplace (Young-Laplace): Équation fondamentale décrivant la différence de pression capillaire maintenue à travers une interface courbe entre deux fluides statiques.
Surpression Capillaire (\(\Delta P\)): Différence de pression positive existant du côté concave d'une surface courbe par rapport au côté convexe. Elle est inversement proportionnelle au rayon de courbure.
Interface: Zone de contact physique entre deux phases de matière distinctes (ici, l'eau liquide et l'air gazeux).
Nucléation: Première étape de la formation d'une nouvelle phase thermodynamique (comme une goutte liquide apparaissant dans de la vapeur). Elle nécessite de vaincre une barrière énergétique de surface.