Thermodynamique de la distillation fractionnée

Contexte : Séparation du mélange binaireUn mélange liquide composé de exactement deux constituants chimiques distincts. Benzène-Toluène.

La distillation fractionnée est un procédé fondamental en génie chimique pour séparer les constituants d'un mélange liquide miscible selon leurs différences de volatilité. Dans cet exercice, nous allons analyser l'équilibre liquide-vapeur d'un mélange idéal de Benzène (1) et de Toluène (2) à une température donnée. Vous apprendrez à calculer les pressions partielles, la pression de bulle et la composition de la vapeur en équilibre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'application directe de la loi de Raoult et de la loi de Dalton, pierres angulaires de la conception des colonnes à distiller.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la loi de Raoult pour les solutions idéales.
Calculer la pression totale (Pression de Bulle) d'un mélange.
Déterminer la composition de la phase vapeur en équilibre.
Calculer la volatilité relative pour évaluer la facilité de séparation.

Données de l'étude

On considère un mélange liquide de Benzène (1) et de Toluène (2) maintenu à une température constante de 80°C (353.15 K).

Propriétés Physiques à 80°C

Constituant	Formule	Pression de Vapeur Saturante (\(P^{sat}\))
Benzène (1)	\(C_6H_6\)	101.3 kPa
Toluène (2)	\(C_7H_8\)	38.7 kPa

Schéma de l'Équilibre Liquide-Vapeur

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(x_1\)	Fraction molaire de Benzène dans le liquide	0.40	-
\(x_2\)	Fraction molaire de Toluène dans le liquide	0.60	-

Questions à traiter

Calculer les pressions partielles de chaque constituant en supposant le mélange idéal.
Calculer la Pression Totale (Pression de Bulle) au-dessus du mélange.
Déterminer la composition molaire de la phase vapeur (\(y_1\) et \(y_2\)).
Calculer la volatilité relative (\(\alpha_{1/2}\)) du Benzène par rapport au Toluène.
Interpréter la facilité de séparation basée sur la volatilité relative.

Les bases Thermodynamiques

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons deux lois fondamentales de la thermodynamique des solutions idéales.

1. La Loi de Raoult
Pour une solution idéale, la pression partielle d'un constituant \(i\) est proportionnelle à sa fraction molaire dans le liquide. \[ p_i = x_i \cdot P_i^{sat} \]

2. La Loi de Dalton
La pression totale d'un mélange gazeux est égale à la somme des pressions partielles de ses constituants. \[ P_{tot} = \sum p_i \]

3. Composition Vapeur
La fraction molaire dans la vapeur se déduit du rapport de la pression partielle sur la pression totale. \[ y_i = \frac{p_i}{P_{tot}} \]

Correction : Thermodynamique de la Distillation Fractionnée

Question 1 : Calcul des pressions partielles

Principe

Nous appliquons le principe fondamental de l'équilibre liquide-vapeur pour une solution idéale. Chaque constituant s'évapore proportionnellement à sa quantité en surface (fraction molaire) et à sa "volonté" intrinsèque de passer en phase gaz (pression saturante).

Mini-Cours

La loi de Raoult est le modèle le plus simple pour décrire les mélanges liquides. Elle suppose que les interactions entre les molécules de nature différente (Benzène-Toluène) sont identiques aux interactions entre molécules de même nature. C'est souvent le cas pour des isomères ou des composés chimiquement proches.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas Pression de Vapeur Saturante (\(P^{sat}\), une propriété pure à une T donnée) et Pression Partielle (\(p_i\), la contribution effective du constituant dans le mélange).

Normes

Les pressions sont ici exprimées en kilopascals (kPa), l'unité standard en thermodynamique industrielle, bien que l'on trouve encore des bars ou des mmHg dans la littérature ancienne.

Formule(s)

Loi de Raoult

p_i = x_i \cdot P_i^{sat}

Hypothèses

Nous supposons que :

Le mélange liquide se comporte comme une solution idéale.
La phase vapeur se comporte comme un gaz parfait.
Le système est à l'équilibre thermodynamique à 80°C.

Donnée(s)

Pour cette étape, nous avons besoin des fractions molaires et des pressions saturantes.

Constituant	\(x_i\)	\(P^{sat}\) (kPa)
Benzène (1)	0.40	101.3
Toluène (2)	0.60	38.7

Astuces

Vérifiez toujours que la somme de vos fractions molaires liquides (\(\sum x_i\)) est égale à 1. Ici, \(0.40 + 0.60 = 1\). C'est un bon réflexe pour éviter les erreurs de saisie.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la contribution potentielle de chaque espèce.

Contributions Potentielles (Volatilité)

Calcul(s)

Pression partielle du Benzène (1)

Nous commençons par calculer la contribution du Benzène. On multiplie sa fraction molaire (0.40) par sa pression de vapeur saturante (101.3 kPa).

\begin{aligned} p_1 &= x_1 \cdot P_1^{sat} \\ &= 0.40 \times 101.3 \text{ kPa} \\ &= 40.52 \text{ kPa} \end{aligned}

Le Benzène exerce donc une pression partielle de 40.52 kPa.

Pression partielle du Toluène (2)

De la même manière, on calcule la contribution du Toluène en multipliant sa fraction molaire (0.60) par sa pression de vapeur saturante (38.7 kPa).

\begin{aligned} p_2 &= x_2 \cdot P_2^{sat} \\ &= 0.60 \times 38.7 \text{ kPa} \\ &= 23.22 \text{ kPa} \end{aligned}

Le Toluène contribue à hauteur de 23.22 kPa à la pression totale.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des pressions partielles obtenues.

Pressions Partielles Calculées (kPa)

Réflexions

Bien que le Benzène soit minoritaire en phase liquide (40%), il contribue majoritairement à la pression (40.52 kPa contre 23.22 kPa) car il est beaucoup plus volatil.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Assurez-vous que les pressions saturantes sont toutes dans la même unité (ici kPa) avant de faire le calcul.

Points à retenir

La pression partielle dépend de deux facteurs : la quantité en solution (\(x\)) et la volatilité intrinsèque (\(P^{sat}\)).

Le saviez-vous ?

François-Marie Raoult était un chimiste français du 19ème siècle. Ses travaux sur la cryoscopie (baisse du point de congélation) et la tonométrie (baisse de la pression de vapeur) ont été cruciaux pour la détermination des masses molaires.

FAQ

Résultat Final

\(p_1 = 40.52 \text{ kPa}\) et \(p_2 = 23.22 \text{ kPa}\)

A vous de jouer

Si la fraction molaire de Benzène doublait (\(x_1 = 0.80\)), quelle serait sa pression partielle ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Loi : Raoult.
Formule : \(p_i = x_i P_i^{sat}\).
Clé : Le plus volatil "pousse" plus fort.

Question 2 : Calcul de la Pression Totale

Principe

La pression totale exercée par un mélange de gaz est simplement l'addition des pressions que chaque gaz exercerait s'il était seul dans le même volume.

Mini-Cours

C'est la Loi de Dalton des pressions partielles. Dans une colonne à distiller, cette pression totale correspond à la pression de fonctionnement à un étage donné (ici, la pression de bulle du liquide).

Remarque Pédagogique

Cette pression totale est celle que vous liriez sur un manomètre branché sur le ballon de distillation à l'équilibre.

Normes

Pas de norme spécifique, si ce n'est la cohérence des unités (additivité).

Formule(s)

Loi de Dalton

P_{tot} = \sum p_i = p_1 + p_2

Hypothèses

Gaz parfaits (pas d'interaction entre les molécules de gaz Benzène et Toluène dans la vapeur).

Donnée(s)

On reprend les résultats de la question précédente.

\(p_1 = 40.52 \text{ kPa}\)
\(p_2 = 23.22 \text{ kPa}\)

Astuces

La pression totale doit toujours être comprise entre les deux pressions de vapeur saturante des corps purs (\(38.7 < P_{tot} < 101.3\)). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'additivité des pressions sous forme d'empilement.

Additivité des Pressions (Loi de Dalton)

Calcul(s)

Pour obtenir la pression totale (pression de bulle), on additionne simplement les deux pressions partielles calculées précédemment :

\begin{aligned} P_{tot} &= p_1 + p_2 \\ &= 40.52 \text{ kPa} + 23.22 \text{ kPa} \\ &= 63.74 \text{ kPa} \end{aligned}

La pression totale est donc de 63.74 kPa. C'est la pression d'équilibre du système.

Schéma (Après les calculs)

Positionnement par rapport aux corps purs.

Position de la Pression Totale

Réflexions

Le mélange bout à 80°C sous une pression de 63.74 kPa. Si on voulait le faire bouillir à pression atmosphérique (101.3 kPa), il faudrait chauffer plus fort.

Points de vigilance

Ne pas additionner les fractions molaires avec les pressions !

Points à retenir

La pression de bulle est une moyenne pondérée des pressions de vapeur saturante.

Le saviez-vous ?

John Dalton, en plus de sa loi sur les pressions, est célèbre pour être le père de la théorie atomique moderne et pour avoir décrit le daltonisme (dont il souffrait).

FAQ

Résultat Final

\(P_{tot} = 63.74 \text{ kPa}\)

A vous de jouer

Si \(p_1 = 50\) et \(p_2 = 50\), quelle est la pression totale ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Loi : Dalton.
Formule : \(P = \sum p_i\).
Vérif : \(P_{min}^{sat} < P_{tot} < P_{max}^{sat}\).

Question 3 : Composition de la phase vapeur

Principe

On cherche à savoir "combien" de chaque molécule se trouve dans le gaz par rapport au nombre total de molécules de gaz. C'est la définition de la fraction molaire gazeuse \(y_i\).

Mini-Cours

Dans un équilibre liquide-vapeur idéal, la phase vapeur est toujours plus riche en composé le plus volatil que la phase liquide. C'est le principe d'enrichissement qui permet la distillation.

Remarque Pédagogique

Notez la notation : \(x\) pour le liquide, \(y\) pour la vapeur (vapeur contient 'y' phonétiquement en anglais 'vapor', moyen mnémotechnique).

Normes

Les fractions molaires sont sans dimension et comprises entre 0 et 1.

Formule(s)

Définition de la fraction molaire vapeur

y_i = \frac{p_i}{P_{tot}}

Hypothèses

Mêmes hypothèses que précédemment.

Donnée(s)

On utilise les résultats des Q1 et Q2.

Astuces

Comme pour le liquide, vérifiez que \(y_1 + y_2 = 1\) à la fin du calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On s'attend à voir plus de rouge (Benzène) dans la vapeur que dans le liquide.

Calcul(s)

Fraction vapeur Benzène

On divise la pression partielle du Benzène par la pression totale calculée précédemment :

\begin{aligned} y_1 &= \frac{p_1}{P_{tot}} \\ &= \frac{40.52}{63.74} \\ &\approx 0.6357 \end{aligned}

La vapeur contient donc 63.57% de Benzène.

Fraction vapeur Toluène

De même pour le Toluène, on divise sa pression partielle par la pression totale :

\begin{aligned} y_2 &= \frac{p_2}{P_{tot}} \\ &= \frac{23.22}{63.74} \\ &\approx 0.3643 \end{aligned}

La vapeur contient 36.43% de Toluène.

Vérification : \(0.6357 + 0.3643 = 1.000\). Le compte est bon !

Schéma (Après les calculs)

Comparaison visuelle des compositions Liquide vs Vapeur.

Enrichissement en Benzène

Réflexions

On passe de 40% de Benzène dans le liquide à 64% dans la vapeur. Une simple évaporation a permis de purifier le produit !

Points de vigilance

Ne confondez pas \(x_i\) et \(y_i\). L'erreur est fréquente dans les formules de distillation.

Points à retenir

Le constituant le plus volatil se concentre toujours dans la phase vapeur.

Le saviez-vous ?

C'est grâce à ce phénomène répété plusieurs fois sur des "plateaux" qu'une raffinerie transforme le pétrole brut en essence, kérosène et gazole.

FAQ

Résultat Final

\(y_1 = 0.636\) (63.6%) et \(y_2 = 0.364\) (36.4%)

A vous de jouer

Si \(P_{tot}=100\) et \(p_1=20\), que vaut \(y_1\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Formule : \(y_i = p_i / P_{tot}\).
Concept : Enrichissement.
Vérif : \(\sum y_i = 1\).

Question 4 : Volatilité Relative (\(\alpha\))

Principe

La volatilité relative est un indicateur de performance. Elle compare le rapport des concentrations dans la vapeur au rapport des concentrations dans le liquide. Plus elle est grande, plus la séparation est "puissante".

Mini-Cours

Pour un mélange idéal, \(\alpha\) se simplifie remarquablement au rapport des pressions de vapeur saturante. Elle dépend donc peu de la composition, mais beaucoup de la température.

Remarque Pédagogique

C'est le "chiffre magique" de la distillation. \(\alpha=1\) est le pire cas (pas de séparation). \(\alpha > 1.05\) est généralement requis pour que le procédé soit viable.

Normes

\(\alpha\) est sans dimension et généralement \(\ge 1\) (on met le plus volatil au numérateur).

Formule(s)

Définition générale

\alpha_{1/2} = \frac{y_1 / x_1}{y_2 / x_2}

Pour mélange idéal (Simplification)

\alpha_{1/2} = \frac{P_1^{sat}}{P_2^{sat}}

Hypothèses

Solution idéale (loi de Raoult applicable).

Donnée(s)

\(P_1^{sat} = 101.3\) kPa, \(P_2^{sat} = 38.7\) kPa.

Astuces

Utilisez la formule simplifiée des pressions saturantes, c'est plus rapide et plus précis que de réutiliser les \(x\) et \(y\) arrondis.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire, c'est un ratio de propriétés pures.

Calcul(s)

On utilise le rapport des pressions de vapeur saturante :

\begin{aligned} \alpha_{1/2} &= \frac{P_1^{sat}}{P_2^{sat}} \\ &= \frac{101.3}{38.7} \\ &\approx 2.6176 \end{aligned}

On obtient une volatilité relative de 2.62.

On aurait aussi pu calculer avec les compositions :

\begin{aligned} \alpha_{1/2} &= \frac{y_1 / x_1}{y_2 / x_2} \\ &= \frac{0.6357 / 0.40}{0.3643 / 0.60} \\ &= \frac{1.589}{0.607} \approx 2.62 \end{aligned}

Les résultats sont cohérents.

Schéma (Après les calculs)

...

Réflexions

La valeur est bien supérieure à 1.

Points de vigilance

Toujours placer la pression du plus volatil (la plus grande) au numérateur pour avoir \(\alpha > 1\).

Points à retenir

Pour un mélange idéal, la volatilité relative est indépendante de la composition (\(x\)), elle ne dépend que de T.

Le saviez-vous ?

Pour la séparation des isotopes de l'Uranium, \(\alpha\) est de l'ordre de 1.004. Il faut donc des milliers d'étages de séparation (centrifugeuses ou diffusion) !

FAQ

Résultat Final

\(\alpha_{1/2} \approx 2.62\)

A vous de jouer

Si \(P_1^{sat} = 200\) et \(P_2^{sat} = 100\), que vaut \(\alpha\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Formule : \(\alpha = P_1^{sat}/P_2^{sat}\).
Sens : Facilité de séparation.
Critère : Plus grand que 1 = Mieux.

Question 5 : Interprétation

Principe

Un ingénieur ne se contente pas de calculer, il doit conclure. La valeur de \(\alpha\) nous dit si le procédé sera coûteux (colonne immense) ou bon marché.

Mini-Cours

Classification empirique :
- \(\alpha > 2\) : Séparation facile (peu de plateaux).
- \(1.2 < \alpha < 2\) : Séparation standard.
- \(\alpha < 1.1\) : Séparation difficile (colonne très haute, fort taux de reflux).

Remarque Pédagogique

C'est cette étape qui relie la thermodynamique pure au génie des procédés (dimensionnement).

Normes

Critères industriels standards.

Formule(s)

Comparaison directe de la valeur obtenue.

Hypothèses

On suppose que l'objectif est d'obtenir des produits relativement purs.

Donnée(s)

\(\alpha \approx 2.62\).

Astuces

Si on vous demande de conclure, utilisez des mots comme "Aisé", "Difficile", "Impossible".

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable.

Calcul(s)

On compare notre résultat aux critères standards de facilité :

\[ 2.62 > 2.0 \]

La valeur est nettement supérieure à 2, ce qui classe cette séparation dans la catégorie "Facile".

Schéma (Après les calculs)

Echelle de Facilité de Séparation

Réflexions

La séparation Benzène/Toluène est un cas d'école car elle est idéale et facile. Elle ne requiert pas d'équipement complexe.

Points de vigilance

Ne pas conclure que "c'est facile" signifie "c'est gratuit". Il faut toujours chauffer !

Points à retenir

Une forte volatilité relative permet d'utiliser une colonne plus petite et de consommer moins d'énergie.

Le saviez-vous ?

Le Benzène est cancérigène. Bien que la séparation soit facile, les précautions de sécurité, elles, sont maximales !

FAQ

Résultat Final

Séparation jugée : FACILE.

A vous de jouer

Si \(\alpha = 1.05\), la séparation est-elle facile (1) ou difficile (0) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Analyse de \(\alpha\).
Impact direct sur le coût.

Outil Interactif : Diagramme Pression-Composition (Isotherme)

Explorez comment la pression totale et la composition vapeur varient en fonction de la composition du liquide initial.

Paramètres d'Entrée

Fraction molaire Benzène \(x_1\) 0.40

Température du système (Fixe pour démo) 80 °C

Résultats Clés en Direct

Pression Totale (Bulle) -

Fraction Vapeur \(y_1\) -

Glossaire

Azéotrope: Mélange liquide qui bout à température constante en gardant la même composition dans la vapeur que dans le liquide (\(\alpha=1\)).
Volatilité: Tendance d'une substance à se vaporiser. Plus la pression de vapeur saturante est élevée, plus la substance est volatile.
Pression de Bulle: Pression à laquelle, pour une température donnée, la première bulle de gaz se forme dans le liquide.
Loi de Raoult: Loi thermodynamique stipulant que la pression partielle d'un solvant au-dessus d'une solution est égale à la pression de vapeur du solvant pur multipliée par sa fraction molaire.