ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Temps de Relaxation pour la Diffusion

Temps de Relaxation pour la Diffusion en Thermodynamique

Temps de Relaxation pour la Diffusion en Thermodynamique

Contexte : Le retour à l'équilibre, un principe fondamental.

La thermodynamique des processus irréversiblesBranche de la physique qui étudie les systèmes hors d'équilibre thermodynamique et les processus (comme la diffusion ou la conduction thermique) qui les ramènent à l'équilibre. s'intéresse à la manière dont les systèmes évoluent dans le temps pour atteindre un état d'équilibre. Un exemple classique est la diffusionMouvement net de particules d'une région de haute concentration vers une région de basse concentration, résultant de leur mouvement aléatoire (agitation thermique). : une goutte d'encre dans l'eau se disperse jusqu'à ce que la couleur soit uniforme. Le temps de relaxationÉchelle de temps caractéristique nécessaire à un système perturbé pour revenir à une fraction significative (environ 63%) de son état d'équilibre. (\(\tau\)) quantifie la "lenteur" de ce processus. Comprendre et calculer ce temps est vital en science des matériaux (traitements thermiques), en génie chimique (mélange) et en biologie (transport membranaire).

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment les lois fondamentales de la diffusion (lois de Fick) permettent de quantifier la dynamique d'un retour à l'équilibre. Nous partirons d'une mesure expérimentale de concentration pour en déduire le coefficient de diffusion, une propriété intrinsèque du couple soluté/solvant, puis nous calculerons le temps caractéristique d'homogénéisation du système.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer une solution de l'équation de la diffusionAussi appelée seconde loi de Fick, c'est une équation aux dérivées partielles qui décrit comment la concentration évolue dans le temps et l'espace sous l'effet de la diffusion. pour déterminer un coefficient de diffusion.
  • Calculer le temps de relaxation caractéristique d'un système diffusif.
  • Relier les propriétés microscopiques (coefficient de diffusion) aux dimensions macroscopiques (longueur du système).
  • Calculer un flux de matièreQuantité de matière qui traverse une surface donnée par unité de temps. Il est régi par la première loi de Fick. Unité : mol·m⁻²·s⁻¹. à partir d'un gradient de concentration.
  • Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en transport de matière (\(\text{m}^2/\text{s}\), \(\text{mol}/\text{m}^3\)).

Données de l'étude

On étudie la diffusion d'un soluté (par exemple, du sel) dans un tube capillaire rempli d'eau, de longueur \(L\). À l'instant initial \(t=0\), une masse \(m\) de soluté est déposée très rapidement en une couche mince au centre du tube (\(x=L/2\)). Après un certain temps \(t_1\), on mesure la concentration du soluté en un point \(x_1\).

Schéma de l'expérience de diffusion 1D
x=0 x=L t = 0 t = t₁ x₁
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur du tube \(L\) 0.1 \(\text{m}\)
Masse molaire du soluté \(\mathcal{M}\) 58.44 \(\text{g/mol}\)
Masse initiale de soluté \(m\) 0.01 \(\text{g}\)
Section du tube \(A\) 1.0 x 10⁻⁵ \(\text{m}^2\)
Temps de mesure \(t_1\) 3600 \(\text{s}\)
Position de mesure \(x_1\) 0.06 \(\text{m}\)
Concentration mesurée \(C(x_1, t_1)\) 95 \(\text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de diffusion \(D\) du soluté dans l'eau.
  2. Estimer le temps de relaxation \(\tau\) pour que le soluté se répartisse dans tout le tube.
  3. Calculer le flux de matière \(J\) au point \(x_1\) à l'instant \(t_1\).

Les bases de la Diffusion

Avant la correction, rappelons les lois qui gouvernent ce phénomène.

1. Première Loi de Fick (Régime stationnaire) :
Elle stipule que le flux de matière \(J\) (la quantité de matière traversant une surface par unité de temps) est proportionnel au gradient de concentration \(\nabla C\). La constante de proportionnalité est le coefficient de diffusion \(D\). Le signe "moins" indique que la diffusion se fait des hautes vers les basses concentrations. \[ J = -D \frac{\partial C}{\partial x} \]

2. Seconde Loi de Fick (Régime non-stationnaire) :
Elle décrit comment la concentration change au cours du temps en un point donné. Elle s'obtient à partir d'un bilan de matière et de la première loi de Fick. C'est l'équation de la diffusion. \[ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \]

3. Solution pour une source ponctuelle (Gaussienne) :
Pour le cas d'une masse \(m\) de soluté (soit \(n = m/\mathcal{M}\) moles) déposée en un point dans un milieu 1D de section \(A\), la solution de la seconde loi de Fick est une gaussienne qui s'élargit et s'aplatit avec le temps : \[ C(x, t) = \frac{n/A}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp\left(-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}\right) \] où \(x_0\) est la position initiale de la source.

Correction : Temps de Relaxation pour la Diffusion en Thermodynamique

Question 1 : Calculer le coefficient de diffusion (D)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de diffusion \(D\) est une mesure de la mobilité des particules de soluté dans le solvant. Il dépend de la taille du soluté, de la viscosité du solvant et de la température. Une valeur de \(D\) élevée signifie une diffusion rapide. Notre objectif est d'utiliser une mesure de concentration à un temps et une position donnés pour "remonter" à cette propriété fondamentale du système.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La diffusion est la conséquence macroscopique du mouvement brownien, le déplacement aléatoire des particules dû à l'agitation thermique. Le coefficient de diffusion \(D\) est lié à ce mouvement microscopique par la relation d'Einstein-Smoluchowski : \(D = \frac{k_B T}{6\pi\eta r}\), où \(k_B\) est la constante de Boltzmann, \(T\) la température, \(\eta\) la viscosité du fluide et \(r\) le rayon de la particule. Cette équation montre que \(D\) n'est pas juste un paramètre d'ajustement, mais une grandeur physique profonde.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez la formule de la concentration comme une recette. Nous connaissons le résultat final (la concentration mesurée) et presque tous les ingrédients (x, t, m, etc.). Le seul ingrédient manquant est \(D\). Le calcul consiste donc à "inverser" la recette pour trouver la quantité de cet ingrédient manquant. La difficulté est que \(D\) apparaît à deux endroits, ce qui rend l'inversion non triviale.

Normes (la référence réglementaire)

La mesure des coefficients de diffusion est une procédure standardisée dans de nombreux domaines. Par exemple, en pharmacologie, la norme USP <1051> décrit les méthodes pour mesurer la diffusion de principes actifs à travers des membranes. En science des matériaux, les normes ASTM E1142 et ISO 17293 définissent des protocoles pour les polymères et les solides.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nous partons de la solution de l'équation de la diffusion pour une source ponctuelle. La source est à \(x_0 = L/2\). La quantité de matière totale est \(n = m/\mathcal{M}\).

\[ C(x, t) = \frac{m / (\mathcal{M} \cdot A)}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp\left(-\frac{(x-L/2)^2}{4Dt}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le système est isotherme (température constante), qu'il n'y a pas de convection (le fluide est immobile), que le coefficient de diffusion \(D\) ne dépend pas de la concentration, et que la source initiale est parfaitement ponctuelle et instantanée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(L = 0.1 \, \text{m} \Rightarrow x_0 = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(m = 0.01 \, \text{g}\)
  • \(\mathcal{M} = 58.44 \, \text{g/mol}\)
  • \(A = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{m}^2\)
  • \(t_1 = 3600 \, \text{s}\)
  • \(x_1 = 0.06 \, \text{m}\)
  • \(C(x_1, t_1) = 95 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de se lancer dans une résolution numérique complexe, on peut estimer l'ordre de grandeur de D. Pour les petits ions dans l'eau, D est typiquement de l'ordre de \(10^{-9}\) m²/s. Si vos calculs vous mènent à \(10^{-3}\) ou \(10^{-20}\), il y a probablement une erreur d'unité quelque part (souvent entre g et mol, ou m et cm).

Schéma (Avant les calculs)
Inversion de la Formule
Entrées : C, x, t, m...D = ?Formule de Diffusion
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la quantité de matière initiale \(n\):

\[ \begin{aligned} n &= \frac{m}{\mathcal{M}} \\ &= \frac{0.01 \, \text{g}}{58.44 \, \text{g/mol}} \\ &\approx 1.711 \times 10^{-4} \, \text{mol} \end{aligned} \]

2. Réarranger l'équation sous la forme \(f(D)=0\):

\[ C(x_1, t_1) \cdot \sqrt{D} - \frac{n/A}{\sqrt{4\pi t_1}} \exp\left(-\frac{(x_1-L/2)^2}{4t_1} \cdot \frac{1}{D}\right) = 0 \]

Calculons les termes constants :

\[ \begin{aligned} \frac{n/A}{\sqrt{4\pi t_1}} &= \frac{1.711 \times 10^{-4} / 10^{-5}}{\sqrt{4\pi \cdot 3600}} \\ &\approx \frac{17.11}{212.13} \\ &\approx 0.08066 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{(x_1-L/2)^2}{4t_1} &= \frac{(0.06 - 0.05)^2}{4 \cdot 3600} \\ &= \frac{10^{-4}}{14400} \\ &\approx 6.944 \times 10^{-9} \end{aligned} \]

L'équation devient : \( 95\sqrt{D} - 0.08066 \exp(-6.944 \times 10^{-9} / D) = 0 \). La résolution numérique (par ex. méthode de Newton ou solveur) donne :

\[ D \approx 1.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2/\text{s} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de Concentration Calculé
C(x₁,t₁) = 95D ≈ 1.5e-9 m²/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de \(1.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2/\text{s}\) est un ordre de grandeur typique pour la diffusion d'ions comme Na⁺ et Cl⁻ dans l'eau à température ambiante. Le résultat est donc physiquement cohérent. Il confirme que la mesure expérimentale est plausible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal gérer les unités. Assurez-vous que tout est en unités SI de base (m, s, mol, kg) avant de commencer le calcul. Une autre erreur est de tenter de résoudre l'équation pour D algébriquement ; c'est une équation transcendante qui nécessite une méthode numérique ou un solveur graphique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coefficient de diffusion \(D\) est une propriété intrinsèque du système.
  • On peut le déterminer en ajustant la solution de l'équation de Fick à une donnée expérimentale.
  • La forme de la solution (ici, une gaussienne) dépend crucialement des conditions initiales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La diffusion n'a pas lieu que dans les liquides. Dans l'industrie des semi-conducteurs, le "dopage" des puces de silicium se fait en faisant diffuser des atomes (comme le phosphore ou le bore) dans le cristal de silicium à très haute température. C'est un processus de diffusion à l'état solide, beaucoup plus lent, mais essentiel à la fabrication de tous les composants électroniques.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la source n'était pas au centre ?

La formule resterait la même, mais le terme \(x_0\) serait différent de \(L/2\). La gaussienne serait simplement centrée sur la nouvelle position de la source. Cependant, l'interaction avec les bords du tube se produirait plus rapidement d'un côté que de l'autre, et la solution simple deviendrait invalide plus vite.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de diffusion du soluté est d'environ \(1.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2/\text{s}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la concentration mesurée au même point et au même instant avait été plus faible, disons 50 mol/m³, le coefficient de diffusion D serait-il plus grand ou plus petit ?

Question 2 : Estimer le temps de relaxation (\(\tau\))

Principe (le concept physique)

Le temps de relaxation est l'échelle de temps caractéristique pour que le système atteigne l'équilibre. Pour la diffusion, il représente le temps nécessaire pour qu'un gradient de concentration sur une distance \(L\) s'estompe de manière significative. Il n'est pas instantané. Ce temps est dominé par le "mode" de diffusion le plus lent, qui correspond à la plus grande longueur d'onde possible dans le système, c'est-à-dire la taille \(L\) du système lui-même.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Toute distribution de concentration initiale peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales (série de Fourier). L'équation de la diffusion montre que chaque mode sinusoïdal décroît exponentiellement avec le temps, avec une constante de temps qui dépend de sa longueur d'onde \(\lambda\): \(\tau_\lambda = \lambda^2 / (4\pi^2 D)\). Le mode qui survit le plus longtemps est celui avec la plus grande longueur d'onde, \(\lambda = 2L\), ce qui donne \(\tau = (2L)^2 / (4\pi^2 D) = L^2 / (\pi^2 D)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez d'effacer un dessin sur un tableau. Les petits détails (hautes fréquences) s'effacent vite, mais les grands traits de fond (basses fréquences) prennent beaucoup plus de temps à disparaître complètement. Le temps de relaxation correspond au temps nécessaire pour effacer le plus grand trait possible, celui qui traverse tout le tableau.

Normes (la référence réglementaire)

Le temps de relaxation n'est pas une grandeur normalisée en soi, mais c'est un concept dérivé crucial dans de nombreuses normes. Par exemple, dans les normes de stérilisation (ISO 17665), on calcule les temps de diffusion de la chaleur ou des agents stérilisants pour s'assurer que l'équilibre thermique ou chimique est atteint dans tout le volume, ce qui est directement lié à \(\tau\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Une estimation courante est \(\tau \sim L^2/D\). Une formule plus précise, issue de l'analyse de Fourier de l'équation de la diffusion, pour le mode le plus lent est :

\[ \tau = \frac{L^2}{\pi^2 D} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les bords du tube sont imperméables (flux nul), ce qui correspond à des conditions de Neumann. C'est cette condition qui impose que la plus grande longueur d'onde est \(2L\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(L = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(D \approx 1.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2/\text{s}\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, retenez l'approximation \(\tau \approx L^2/D\). Le facteur \(\pi^2 \approx 9.87\) est proche de 10. Donc, une estimation rapide est \(L^2/(10D)\). Cela vous donne immédiatement le bon ordre de grandeur sans calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Échelles de la Diffusion
Distance LTemps τ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{(0.1 \, \text{m})^2}{\pi^2 \cdot (1.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2/\text{s})} \\ &= \frac{0.01}{9.87 \cdot 1.5 \times 10^{-9}} \, \text{s} \\ &\approx 675,000 \, \text{s} \end{aligned} \]

Convertissons ce temps en unités plus parlantes :

\[ \begin{aligned} \tau &\approx \frac{675000 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \\ &\approx 187.5 \, \text{heures} \\ &\approx 7.8 \, \text{jours} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Échelles de Temps
t₁ (1h)τ (7.8 jours)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le temps de relaxation est de près de 8 jours. Cela montre que la diffusion est un processus extrêmement lent à l'échelle macroscopique (10 cm). Notre mesure à \(t_1 = 3600\) s (1 heure) a donc été faite très tôt dans le processus, alors que le système était encore très loin de l'équilibre, ce qui est cohérent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas le temps de relaxation \(\tau\) avec le temps nécessaire pour atteindre un équilibre *parfait*. \(\tau\) est le temps pour que l'écart à l'équilibre soit divisé par \(e \approx 2.718\). Pour atteindre 99% de l'équilibre, il faut plusieurs \(\tau\) (typiquement \(t \approx 5\tau\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le temps de relaxation \(\tau\) caractérise la vitesse de retour à l'équilibre.
  • Il est proportionnel au carré de la taille du système (\(L^2\)).
  • Il est inversement proportionnel au coefficient de diffusion (\(D\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le même concept de temps de relaxation existe pour la chaleur. Le temps de relaxation thermique, \(\tau_{\text{th}} = L^2/(\pi^2 \alpha)\), où \(\alpha\) est la diffusivité thermique, détermine le temps qu'il faut à un objet pour se refroidir ou se réchauffer. C'est pourquoi une grosse dinde de Noël met des heures à cuire, alors qu'une petite pomme de terre cuit en quelques minutes.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle valable en 3D ?

Oui, le principe reste le même. Le temps de relaxation dépendra toujours de \(L^2/D\), où \(L\) est la plus grande dimension de l'objet. La géométrie exacte (sphère, cube...) n'introduit qu'un facteur numérique différent de \(\pi^2\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le temps de relaxation caractéristique du système est d'environ 675 000 secondes, soit près de 8 jours.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tube était 10 fois plus court (L=1 cm), quel serait le nouveau temps de relaxation en secondes ?

Question 3 : Calculer le flux de matière \(J\)

Principe (le concept physique)

Le flux de matière est la conséquence directe du gradient de concentration, comme le stipule la première loi de Fick. Là où la concentration varie rapidement, le flux est important. Nous allons calculer ce flux au point de mesure \(x_1\) et à l'instant \(t_1\) pour quantifier la vitesse à laquelle la matière se déplace à cet endroit et à ce moment précis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En thermodynamique des processus irréversibles, chaque flux (flux de matière, de chaleur...) est associé à une "force" thermodynamique (gradient de potentiel chimique, de température...). La relation entre flux et force est souvent linéaire pour les systèmes proches de l'équilibre (relations d'Onsager). La première loi de Fick est un exemple d'une telle relation linéaire. Le produit du flux et de la force donne la production locale d'entropie, qui est toujours positive, conformément au second principe de la thermodynamique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez le profil de concentration comme une colline. Le gradient est la pente de la colline, et le flux est comme une bille qui dévale la pente. Plus la pente est raide, plus la bille va vite. La loi de Fick dit simplement que la "vitesse de la bille" (le flux) est proportionnelle à la "pente de la colline" (le gradient).

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de flux est fondamental et n'est pas "normalisé" en soi, mais il est la base de nombreuses normes. Par exemple, les normes sur la qualité de l'air intérieur (ISO 16000) ou sur les émissions de polluants se basent sur des modèles de transport qui calculent les flux de contaminants à travers les parois ou dans les volumes d'air.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nous devons d'abord calculer le gradient \(\frac{\partial C}{\partial x}\) en dérivant la solution gaussienne par rapport à x :

\[ \begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial x} &= C(x,t) \cdot \left( -\frac{2(x-x_0)}{4Dt} \right) \\ &= -C(x,t) \frac{x-x_0}{2Dt} \end{aligned} \]

Puis on applique la première loi de Fick :

\[ \begin{aligned} J(x,t) &= -D \frac{\partial C}{\partial x} \\ &= -D \left( -C(x,t) \frac{x-x_0}{2Dt} \right) \\ &= C(x,t) \frac{x-x_0}{2t} \end{aligned} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la première loi de Fick est valide, ce qui est une excellente approximation pour la plupart des systèmes de diffusion simples. On continue de supposer que D est constant dans l'espace.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(C(x_1, t_1) = 95 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • \(x_1 = 0.06 \, \text{m}\)
  • \(x_0 = L/2 = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(t_1 = 3600 \, \text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Notez que le coefficient de diffusion \(D\) s'est simplifié et n'apparaît pas dans la formule finale pour le flux ! C'est une particularité de la solution gaussienne. Cela signifie que pour calculer le flux en un point, il suffit de connaître la concentration locale, la position et le temps, sans même avoir besoin de connaître \(D\). C'est très pratique.

Schéma (Avant les calculs)
Flux et Gradient de Concentration
C(x₁,t₁)J = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} J(x_1, t_1) &= 95 \, \frac{\text{mol}}{\text{m}^3} \cdot \frac{0.06 \, \text{m} - 0.05 \, \text{m}}{2 \cdot 3600 \, \text{s}} \\ &= 95 \cdot \frac{0.01}{7200} \, \frac{\text{mol}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}} \\ &\approx 1.32 \times 10^{-4} \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Flux Calculé
J ≈ 1.32e-4
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le flux est positif, ce qui signifie qu'il est dirigé dans le sens des x croissants. C'est logique, car au point de mesure \(x_1 > x_0\), nous sommes sur le flanc droit de la gaussienne, où la concentration diminue avec x. Le flux pousse donc la matière plus loin vers la droite, loin du centre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe du flux. Le flux est un vecteur (même si en 1D on le traite comme un scalaire). Un flux positif signifie un mouvement dans la direction de l'axe +x, un flux négatif dans la direction -x. Il est crucial de bien définir son axe et de vérifier la cohérence du signe du résultat avec le sens physique de la diffusion.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le flux de matière \(J\) est la vitesse de transport de la matière.
  • Il est causé par un gradient de concentration (\(J = -D \nabla C\)).
  • Le flux est nul lorsque le gradient est nul (au pic de concentration, ou à l'équilibre).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe des phénomènes de transport "couplés". Par exemple, un gradient de température peut induire un flux de matière (effet Soret ou thermodiffusion), et un gradient de concentration peut induire un flux de chaleur (effet Dufour). Ces effets sont généralement faibles mais peuvent être importants dans des situations extrêmes, comme dans le manteau terrestre ou les étoiles.

FAQ (pour lever les doutes)
Le flux est-il constant dans le temps ?

Non, absolument pas. Au fur et à mesure que la diffusion progresse, la gaussienne s'aplatit, donc les gradients de concentration diminuent partout. Par conséquent, le flux diminue avec le temps et tend vers zéro lorsque le système s'approche de l'équilibre (concentration uniforme).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le flux de matière au point de mesure est d'environ \(1.32 \times 10^{-4} \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^{-1}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le flux de matière exactement au centre du tube (\(x=L/2\)) ?

Outil Interactif : Profil de Diffusion

Modifiez les paramètres pour voir l'évolution du profil de concentration dans le temps.

Paramètres d'Entrée
1.0 h
1.5 x 10⁻⁹ m²/s
0.010 g
Résultats Clés
Concentration Max C(L/2) (mol/m³) -
Temps de Relaxation (jours) -
Écart-type du profil \(\sqrt{2Dt}\) (cm) -

Le Saviez-Vous ?

Les lois de la diffusion ont été formulées en 1855 par le physiologiste allemand Adolf Fick. Il s'est inspiré des travaux de Joseph Fourier sur la conduction de la chaleur, réalisant que le transport de matière par diffusion suivait une loi mathématique analogue au transport de chaleur par conduction. C'est un exemple magnifique de l'unité des lois physiques dans des domaines apparemment distincts.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le temps de relaxation dépend-il du carré de la longueur (\(L^2\)) ?

C'est une propriété fondamentale des processus de diffusion. Pour diffuser sur une distance deux fois plus grande, une particule doit effectuer un nombre de "pas" aléatoires quatre fois plus grand (mouvement brownien). Le temps nécessaire augmente donc avec le carré de la distance à parcourir. C'est pourquoi la diffusion est efficace sur de courtes distances (dans une cellule biologique) mais très inefficace sur de longues distances.

La formule de la gaussienne est-elle toujours valide ?

Non, c'est une solution pour un cas idéal : une source instantanée et ponctuelle dans un milieu infini. Dans notre cas, le tube est fini. La solution gaussienne est une excellente approximation pour des temps courts, tant que la concentration n'a pas atteint les bords du tube. Pour des temps plus longs, la solution complète est une série de cosinus (une série de Fourier) qui prend en compte les réflexions sur les parois.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le coefficient de diffusion \(D\) (par ex. en augmentant la température), le temps de relaxation \(\tau\) sera...

2. Le flux de matière \(J\) est maximal...

Coefficient de Diffusion (D)
Propriété d'un couple soluté/solvant qui quantifie la vitesse du transport de matière par diffusion. Il dépend de la température et de la viscosité. Unité : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Lois de Fick
Ensemble de deux lois qui décrivent mathématiquement la diffusion. La première relie le flux au gradient de concentration, la seconde décrit l'évolution de la concentration dans le temps.
Temps de Relaxation (\(\tau\))
Échelle de temps caractéristique pour qu'un système hors équilibre revienne à l'équilibre. En diffusion, il est proportionnel au carré de la taille du système (\(L^2\)) et inversement proportionnel à \(D\).
Temps de Relaxation pour la Diffusion en Thermodynamique

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