Rendement d’un Moteur suivant le Cycle de Carnot
Contexte : La Thermodynamique ClassiqueBranche de la physique qui étudie les transformations de l'énergie, et notamment la conversion de la chaleur en travail..
Le cycle de Carnot, conçu par Sadi Carnot en 1824, représente le cycle thermodynamique le plus efficace possible pour un moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures constantes. Bien qu'il s'agisse d'un cycle idéal et théorique, il sert de référence fondamentale pour évaluer et comparer les performances de tous les moteurs thermiques réels. Cet exercice vise à calculer le rendement de ce cycle idéal et à comprendre les facteurs qui l'influencent.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un cycle thermodynamique, à appliquer les principes de la thermodynamique pour chaque transformation, et à calculer le rendement, une notion clé en ingénierie énergétique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre les quatre transformations réversibles du cycle de Carnot.
- Calculer les quantités de chaleur et le travail échangés au cours du cycle.
- Appliquer la formule du rendement de Carnot à partir des températures des sources.
- Analyser l'influence des températures sur l'efficacité du moteur.
Données de l'étude
Diagramme de Clapeyron (P-V) du Cycle de Carnot
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température de la source chaude | \(T_c\) | 800 | K |
| Température de la source froide | \(T_f\) | 300 | K |
| Quantité de matière | \(n\) | 1 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Rapport des volumes (détente) | \(V_B / V_A\) | 2 | - |
Questions à traiter
- Calculer la quantité de chaleur \(Q_c\) reçue par le gaz de la part de la source chaude.
- Calculer la quantité de chaleur \(Q_f\) cédée par le gaz à la source froide.
- En déduire le travail total \(W_{\text{cycle}}\) fourni par le gaz au cours d'un cycle.
- Calculer le rendement \(\eta\) de ce moteur de deux manières différentes.
Les bases sur le Cycle de Carnot
Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique théorique composé de quatre transformations réversibles :
1. Détente Isotherme (A → B)
Le gaz est en contact avec la source chaude à température \(T_c\). Il se détend en absorbant une quantité de chaleur \(Q_c\). Pour un gaz parfait, le travail fourni est :
\[ W_{AB} = -nRT_c \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \quad \text{et} \quad Q_c = -W_{AB} \]
2. Détente Adiabatique (B → C)
Le gaz est isolé thermiquement. Il continue de se détendre, sa température chute de \(T_c\) à \(T_f\). Il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q_{BC}=0\)).
3. Compression Isotherme (C → D)
Le gaz est en contact avec la source froide à \(T_f\). Il est comprimé en cédant une quantité de chaleur \(Q_f\).
4. Compression Adiabatique (D → A)
Le gaz est à nouveau isolé. Il continue d'être comprimé, sa température remonte de \(T_f\) à \(T_c\), revenant à son état initial (\(Q_{DA}=0\)).
Correction : Rendement d’un Moteur suivant le Cycle de Carnot
Question 1 : Calculer la quantité de chaleur \(Q_c\) reçue par le gaz.
Principe
La chaleur \(Q_c\) est l'énergie thermique que le gaz absorbe de la source chaude. Cette absorption se produit durant la première phase du cycle (A → B), une détente isotherme. Pour que le gaz se détende et produise du travail tout en maintenant sa température constante, il doit puiser de l'énergie sous forme de chaleur.
Mini-Cours
Pour un gaz parfait subissant une transformation isotherme réversible, sa variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est nulle car l'énergie interne ne dépend que de la température. Le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = W + Q\), se simplifie alors en \(Q = -W\). La chaleur absorbée est donc exactement égale à l'opposé du travail effectué par le gaz.
Remarque Pédagogique
Identifiez toujours la nature de la transformation avant d'appliquer une formule. Ici, le mot clé est "isotherme" (température constante), ce qui nous oriente directement vers la bonne approche et la bonne formule, en simplifiant le premier principe.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul fondamental. Il s'agit de l'application directe des lois de la thermodynamique classique, qui sont les fondations sur lesquelles reposent toutes les normes d'ingénierie thermique.
Formule(s)
Hypothèses
- Le fluide est un gaz parfait.
- La transformation est réversible (quasi-statique).
- La température de la source chaude \(T_c\) est constante.
Donnée(s)
- \(n = 1 \text{ mol}\)
- \(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
- \(T_c = 800 \text{ K}\)
- \(V_B / V_A = 2\)
Astuces
Pour un calcul rapide, retenez que \(\ln(2) \approx 0.693\). Cela permet d'estimer rapidement le résultat sans calculatrice. Ici : \(8.314 \times 800 \times 0.7 \approx 4655\) J, ce qui est très proche du résultat exact.
Schéma (Avant les calculs)
Phase d'Absorption de Chaleur (A → B)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'Énergie Absorbée
Réflexions
Le résultat est positif (\(Q_c > 0\)), ce qui est cohérent avec la convention thermodynamique : le système (le gaz) reçoit de l'énergie de l'extérieur (la source chaude). C'est cette énergie qui sera partiellement convertie en travail.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier que la température doit être en Kelvin. Si la donnée était en Celsius, une conversion serait indispensable. De plus, assurez-vous que le rapport des volumes est correct (\(V_{\text{final}}/V_{\text{initial}}\)). Pour une détente, ce rapport est supérieur à 1, donc son logarithme est positif.
Points à retenir
- Transformation isotherme réversible d'un gaz parfait : \(\Delta U = 0\) et \(Q = -W\).
- La chaleur est absorbée pendant la détente isotherme (\(Q_c > 0\)).
- La formule \(nRT \ln(V_f/V_i)\) est fondamentale.
Le saviez-vous ?
Le concept de transformation isotherme a été étudié par Robert Boyle au 17ème siècle. Sa loi (loi de Boyle-Mariotte) stipule qu'à température constante, le produit de la pression et du volume d'un gaz est constant (\(PV = \text{Cste}\)), ce qui est une conséquence directe de l'équation d'état du gaz parfait.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le rapport de détente \(V_B/V_A\) était de 3 au lieu de 2, quelle serait la nouvelle valeur de \(Q_c\) ?
Question 2 : Calculer la quantité de chaleur \(Q_f\) cédée par le gaz.
Principe
\(Q_f\) est l'énergie thermique que le gaz doit rejeter vers la source froide pour que sa température reste constante pendant la phase de compression isotherme (C → D). C'est une étape nécessaire pour ramener le gaz vers son état initial et ainsi fermer le cycle.
Mini-Cours
Pour un cycle de Carnot, les deux transformations adiabatiques (B→C et D→A) créent une relation de proportionnalité entre les rapports de volume des deux isothermes. Cette relation, appelée relation de Clausius-Carnot, est \(\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}\). Elle est cruciale car elle nous permet de calculer \(Q_f\) même sans connaître les volumes \(V_C\) et \(V_D\).
Remarque Pédagogique
Ne vous laissez pas bloquer par le manque de données apparent (les volumes C et D). Dans les problèmes de cycles thermodynamiques, il y a souvent des relations cachées entre les étapes. Pensez au cycle dans son ensemble pour trouver ces liens.
Formule(s)
Avec la relation \(\frac{V_C}{V_D} = \frac{V_B}{V_A}\), la formule devient :
Donnée(s)
- \(n = 1 \text{ mol}\)
- \(R = 8.314 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)
- \(T_f = 300 \text{ K}\)
- \(V_B / V_A = 2\)
Schéma (Avant les calculs)
Phase de Rejet de Chaleur (C → D)
Calcul(s)
Réflexions
Le résultat est négatif (\(Q_f < 0\)), ce qui est cohérent : le système (le gaz) cède de l'énergie à l'extérieur (la source froide). C'est la chaleur "perdue" ou "rejetée", inévitable dans tout moteur thermique.
Points de vigilance
Le piège principal ici est le signe. La formule de la chaleur pour une compression (\(V_D < V_C\)) donne un logarithme négatif, menant à un \(Q_f\) négatif. L'utilisation de la relation de Clausius-Carnot introduit un signe "moins" qui aboutit au même résultat. Soyez cohérent dans votre approche.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la température de la source froide était de 250 K au lieu de 300 K, quelle serait la nouvelle valeur de \(Q_f\) ?
Question 3 : En déduire le travail total \(W_{\text{cycle}}\) fourni.
Principe
Le travail total fourni par le moteur au cours d'un cycle correspond à l'énergie nette qu'il a convertie. Le premier principe de la thermodynamique, appliqué à un cycle, nous dit que cette énergie mécanique nette est égale à l'énergie thermique nette absorbée. Comme le système revient à son état initial, son énergie interne ne varie pas sur le cycle complet.
Mini-Cours
Le premier principe pour un cycle est \(\Delta U_{\text{cycle}} = W_{\text{cycle}} + Q_{\text{cycle}} = 0\). La chaleur totale échangée, \(Q_{\text{cycle}}\), est la somme de la chaleur reçue de la source chaude (\(Q_c > 0\)) et de la chaleur cédée à la source froide (\(Q_f < 0\)). Le travail \(W_{\text{cycle}}\) est donc simplement l'opposé de cette somme.
Formule(s)
Donnée(s)
- \(Q_c \approx 4609.4 \text{ J}\) (calculé à la question 1)
- \(Q_f \approx -1728.5 \text{ J}\) (calculé à la question 2)
Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique du Moteur Thermique
Calcul(s)
Réflexions
Le signe du travail est négatif, ce qui signifie, par convention, que le travail est fourni par le système au milieu extérieur. C'est bien le comportement attendu d'un moteur : il produit du travail. La valeur absolue, 2880.9 J, représente l'énergie mécanique utile générée à chaque cycle.
Points à retenir
- Pour n'importe quel cycle thermodynamique, \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\).
- Le travail d'un cycle moteur est \(W_{\text{cycle}} = -(Q_c + |Q_f|)\).
- Un travail négatif signifie que le système fournit du travail.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les nouvelles valeurs de la question 2 (\(Q_c = 4609.4\) J, \(Q_f \approx -1440.4\) J), quel serait le nouveau travail du cycle ?
Question 4 : Calculer le rendement \(\eta\) de deux manières.
Principe
Le rendement (ou efficacité) d'un moteur est la mesure de sa performance. Il compare ce que l'on obtient (le travail utile) à ce que l'on dépense (l'énergie thermique de la source chaude). Sadi Carnot a démontré que ce rendement pour un cycle idéal ne dépend que des températures des sources, établissant ainsi une limite théorique absolue pour tous les moteurs.
Mini-Cours
1. Définition générale : Le rendement \(\eta\) est toujours \(\frac{\text{ce qui est utile}}{\text{ce qui est coûteux}}\). Pour un moteur, c'est \(\frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_c}\).
2. Théorème de Carnot : Pour un cycle réversible fonctionnant entre deux sources, le rendement est maximal et vaut \(\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_f}{T_c}\). C'est une des plus importantes conclusions du second principe de la thermodynamique.
Formule(s)
Méthode 1 :
Méthode 2 :
Donnée(s)
- \(W_{\text{cycle}} \approx -2880.9 \text{ J}\)
- \(Q_c \approx 4609.4 \text{ J}\)
- \(T_c = 800 \text{ K}\)
- \(T_f = 300 \text{ K}\)
Calcul(s)
Méthode 1 (avec les énergies) :
Méthode 2 (avec les températures) :
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Rendement (Diagramme de Sankey)
Réflexions
Le rendement est de 62.5%. Cela signifie que pour 100 J d'énergie thermique puisée à la source chaude, le moteur idéal de Carnot peut en convertir 62.5 J en travail mécanique. Les 37.5 J restants sont obligatoirement rejetés à la source froide. Le second principe de la thermodynamique nous dit qu'il est impossible de convertir 100% de la chaleur en travail.
Points de vigilance
Le rendement est un nombre sans dimension, toujours compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%). Une valeur négative ou supérieure à 1 indique une erreur de calcul, souvent un problème de signe dans la formule ou l'oubli de convertir les températures en Kelvin.
Le saviez-vous ?
Le moteur d'une voiture thermique moderne a un rendement réel d'environ 30-40%. Il est très loin du rendement de Carnot, car il subit de nombreuses pertes par frottement, des transferts de chaleur imparfaits et des combustions incomplètes (irréversibilités).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Une centrale géothermique fonctionne entre une source chaude à 150°C et une source froide (rivière) à 15°C. Quel est son rendement de Carnot maximal théorique ? (Attention aux unités !)
Outil Interactif : Simulateur de Rendement
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier les températures des sources chaude et froide et observer en temps réel l'impact sur le rendement maximal théorique du moteur de Carnot.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Comment peut-on augmenter le rendement d'un moteur de Carnot ?
2. Durant quelles transformations du cycle de Carnot y a-t-il un échange de chaleur avec l'extérieur ?
3. Un moteur de Carnot fonctionnant entre une source froide à 100 K et une source chaude à 500 K a un rendement de :
4. Le cycle de Carnot est un cycle...
5. La variation totale de l'énergie interne du gaz sur un cycle de Carnot complet est :
- Cycle de Carnot
- Cycle thermodynamique idéal et réversible composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques, représentant le rendement maximal possible pour un moteur ditherme.
- Transformation Isotherme
- Processus thermodynamique durant lequel la température du système reste constante.
- Transformation Adiabatique
- Processus thermodynamique durant lequel il n'y a aucun échange de chaleur entre le système et son environnement (\(Q=0\)).
- Rendement (\(\eta\))
- Mesure de l'efficacité d'un moteur thermique, définie comme le rapport du travail mécanique fourni à l'énergie thermique absorbée à la source chaude.
D’autres exercices de Thermodynamique Classique:
0 commentaires