ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Rayonnement du corps noir (gaz de photons)

Thermodynamique du Rayonnement du Corps Noir (Gaz de Photons)

Thermodynamique du rayonnement du corps noir (gaz de photons)

Comprendre le Rayonnement du Corps Noir

Un corps noir est un objet idéal qui absorbe tout rayonnement électromagnétique qu'il reçoit, sans le réfléchir ni le transmettre. À l'équilibre thermique, il émet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de sa température. Ce rayonnement peut être modélisé comme un "gaz de photons" en équilibre thermique avec les parois de la cavité. L'étude de ce gaz de photons, qui sont des bosons, à l'aide de la thermodynamique statistique permet de dériver des lois fondamentales comme la loi de Stefan-Boltzmann, qui relie l'énergie totale rayonnée à la puissance quatrième de la température.

Données de l'étude

On s'intéresse au rayonnement électromagnétique contenu dans une cavité cubique (un four) en équilibre thermique, modélisé comme un gaz de photons.

Schéma d'une Cavité de Corps Noir
Gaz de photons à T

Une cavité à température T est remplie d'un gaz de photons en équilibre thermique.

Conditions et constantes :

  • Température de la cavité : \(T = 1500 \, \text{K}\)
  • Volume de la cavité : \(V = 1.0 \, \text{m}^3\)
  • Constante de Stefan-Boltzmann : \(\sigma_{SB} = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\)
  • Vitesse de la lumière : \(c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la densité d'énergie volumique (\(u\)) du gaz de photons dans la cavité.
  2. Calculer l'énergie interne totale (\(U\)) du rayonnement contenu dans la cavité.
  3. Calculer la pression de radiation (\(P\)) exercée par le gaz de photons sur les parois de la cavité.
  4. Calculer l'entropie totale (\(S\)) du gaz de photons dans la cavité.

Correction : Thermodynamique du rayonnement du corps noir (gaz de photons)

Question 1 : Densité d'énergie volumique (\(u\))

Principe :

La loi de Stefan-Boltzmann relie l'émittance (puissance rayonnée par unité de surface) d'un corps noir à sa température. La thermodynamique statistique montre que la densité d'énergie volumique (\(u\)) à l'intérieur de la cavité est proportionnelle à cette émittance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u = \frac{4\sigma_{SB}}{c} T^4 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} u &= \frac{4 \cdot (5.67 \times 10^{-8})}{(3.0 \times 10^8)} \cdot (1500)^4 \\ &= (7.56 \times 10^{-16}) \cdot (5.0625 \times 10^{12}) \\ &\approx 0.003827 \, \text{J} \cdot \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité d'énergie volumique est d'environ \(3.83 \times 10^{-3} \, \text{J/m}^3\).

Question 2 : Énergie interne totale (\(U\))

Principe :

L'énergie interne totale du gaz de photons est simplement la densité d'énergie volumique multipliée par le volume de la cavité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ U = u \cdot V \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} U &= (0.003827 \, \text{J/m}^3) \times (1.0 \, \text{m}^3) \\ &= 0.003827 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie interne totale du rayonnement est d'environ \(3.83 \, \text{mJ}\).

Question 3 : Pression de radiation (\(P\))

Principe :

Pour un gaz de photons (un gaz de particules ultra-relativistes), la pression exercée est directement proportionnelle à la densité d'énergie volumique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = \frac{1}{3} u \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= \frac{1}{3} \times 0.003827 \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 0.001276 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

La pression de radiation est très faible comparée à la pression atmosphérique, mais elle devient significative à des températures extrêmes (comme à l'intérieur des étoiles).

Résultat Question 3 : La pression de radiation est d'environ \(1.28 \times 10^{-3} \, \text{Pa}\).

Question 4 : Entropie totale (\(S\))

Principe :

L'entropie d'un gaz de photons peut être dérivée des relations thermodynamiques fondamentales. Pour un gaz de photons, on a la relation \(U = \frac{1}{3}aVT^4\) et \(S = \frac{4}{3}aVT^3\), où \(a = \frac{4\sigma_{SB}}{c}\). On peut donc relier directement l'entropie à l'énergie interne et à la température.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S = \frac{4U}{3T} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} S &= \frac{4 \times (0.003827 \, \text{J})}{3 \times (1500 \, \text{K})} \\ &= \frac{0.015308}{4500} \\ &\approx 3.40 \times 10^{-6} \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'entropie totale du gaz de photons est d'environ \(3.40 \, \mu\text{J/K}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Selon la loi de Stefan-Boltzmann, si la température d'un corps noir double, son énergie rayonnée est multipliée par...

2. La pression exercée par un gaz de photons est...

3. Le "gaz de photons" est un gaz de...

Glossaire

Corps Noir
Objet physique théorique qui absorbe tout rayonnement électromagnétique incident, indépendamment de la fréquence ou de l'angle d'incidence. À l'équilibre thermique, il émet un rayonnement dit "rayonnement du corps noir" dont le spectre ne dépend que de sa température.
Loi de Stefan-Boltzmann
Loi qui stipule que la puissance totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir (son émittance) est directement proportionnelle à la quatrième puissance de sa température thermodynamique.
Gaz de Photons
Modèle de la mécanique statistique où le rayonnement électromagnétique en équilibre thermique dans une cavité est traité comme un gaz de photons, qui sont les quanta du champ électromagnétique. Les photons étant des bosons, ils obéissent à la statistique de Bose-Einstein.
Densité d'Énergie Volumique (u)
Quantité d'énergie du rayonnement par unité de volume dans une cavité. Unité : J/m³.
Pression de Radiation
Pression exercée par le rayonnement électromagnétique sur une surface. Elle est due au transfert de quantité de mouvement par les photons.
Rayonnement du Corps Noir - Exercice d'Application

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