ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Production d’entropie lors de l’expansion libre d’un gaz

Production d'Entropie lors de l'Expansion Libre d'un Gaz

Production d'entropie lors de l'expansion libre d'un gaz

Comprendre l'Expansion Libre (Détente de Joule-Gay-Lussac)

L'expansion libre est un processus thermodynamique fondamentalement irréversible. Elle se produit lorsqu'un gaz se détend dans une chambre vide sans échanger de travail ou de chaleur avec l'extérieur. Bien qu'il n'y ait aucun échange de chaleur, l'entropie du gaz augmente car il occupe un volume plus grand, ce qui correspond à un plus grand nombre de micro-états accessibles. Cet exercice vise à calculer cette augmentation d'entropie, qui, pour un système isolé, est entièrement due à la production d'entropie interne, une manifestation directe du second principe de la thermodynamique.

Données de l'étude

Un récipient rigide et thermiquement isolé est divisé en deux compartiments de volumes égaux par une paroi amovible. Un compartiment contient un gaz parfait, l'autre est vide. On retire la paroi, permettant au gaz de se détendre librement dans tout le volume.

Schéma de l'Expansion Libre
Gaz (V_i, T_i) Vide État Initial Gaz (V_f, T_f) État Final

Le gaz se détend pour occuper l'intégralité du volume disponible.

Conditions et constantes :

  • Gaz : 1 mole de gaz parfait (\(n = 1.0 \, \text{mol}\))
  • Température initiale : \(T_i = 300 \, \text{K}\)
  • Volume initial : \(V_i\). Volume final : \(V_f = 2V_i\).
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Analyser la transformation : que valent le travail (\(W\)) échangé et la chaleur (\(Q\)) échangée ?
  2. En déduire la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) et la variation de température (\(\Delta T\)) pour ce gaz parfait.
  3. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer directement la variation d'entropie de cette transformation et quelle méthode alternative doit être utilisée.
  4. Calculer la variation d'entropie du gaz (\(\Delta S_{\text{gaz}}\)).
  5. Calculer la production d'entropie totale (\(\sigma\)) pour ce processus.

Correction : Production d'entropie lors de l'expansion libre d'un gaz

Question 1 : Travail et chaleur échangés

Principe :

L'expansion se fait dans le vide, il n'y a donc aucune force de pression extérieure contre laquelle le gaz doit pousser. De plus, le système est thermiquement isolé.

Analyse :
  • Travail (\(W\)) : Le gaz se détend contre une pression extérieure nulle. Le travail des forces de pression est donc nul : \(W = -\int P_{\text{ext}} dV = 0\).
  • Chaleur (\(Q\)) : Le récipient est adiabatique (thermiquement isolé). Il n'y a donc aucun échange de chaleur avec l'extérieur : \(Q = 0\).
Résultat Question 1 : Le travail et la chaleur échangés sont nuls : \(W = 0\) et \(Q = 0\).

Question 2 : Variation d'énergie interne et de température

Principe :

Le premier principe de la thermodynamique relie la variation d'énergie interne aux échanges de travail et de chaleur. Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = Q + W \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 0 + 0 \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Puisque le gaz est parfait, son énergie interne ne dépend que de sa température (\(U=f(T)\)). Si \(\Delta U = 0\), alors la température du gaz ne varie pas.

\[ \Delta T = T_f - T_i = 0 \Rightarrow T_f = T_i = 300 \, \text{K} \]
Résultat Question 2 : La variation d'énergie interne est nulle (\(\Delta U = 0\)) et la température finale est égale à la température initiale (\(T_f = 300 \, \text{K}\)).

Question 3 : Méthode de calcul de l'entropie

Principe :

La formule \(dS = \delta Q/T\) n'est valable que pour l'entropie échangée lors d'un processus réversible. L'expansion libre est un processus spontané et brusque, donc fondamentalement irréversible. On ne peut donc pas l'utiliser directement avec \(Q=0\).

Cependant, l'entropie est une fonction d'état, sa variation ne dépend que des états initial et final. Pour la calculer, on imagine un chemin réversible fictif qui relie le même état initial (\(T_i, V_i\)) au même état final (\(T_f, V_f\)). Le chemin réversible le plus simple ici est une détente isotherme réversible, puisque \(T_f=T_i\).

Résultat Question 3 : On calcule \(\Delta S\) en imaginant un chemin réversible (détente isotherme) entre l'état initial et l'état final.

Question 4 : Variation d'entropie du gaz (\(\Delta S_{\text{gaz}}\))

Principe :

Pour une détente isotherme réversible d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne est nulle, donc la chaleur échangée est égale à l'opposé du travail : \(Q_{\text{rév}} = -W_{\text{rév}}\). La variation d'entropie est alors \(Q_{\text{rév}}/T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta S_{\text{gaz}} = nR \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{gaz}} &= (1.0 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times \ln\left(\frac{2V_i}{V_i}\right) \\ &= 8.314 \times \ln(2) \\ &= 8.314 \times 0.693 \\ &\approx +5.76 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La variation d'entropie du gaz est d'environ \(+5.76 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 5 : Production d'entropie totale (\(\sigma\))

Principe :

La production d'entropie totale (ou variation d'entropie de l'univers) est la somme de la variation d'entropie du système (le gaz) et de celle de l'environnement (le reste de l'univers). Comme le système est thermiquement isolé, il n'échange pas de chaleur avec l'environnement, donc la variation d'entropie de l'environnement est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \Delta S_{\text{univers}} = \Delta S_{\text{système}} + \Delta S_{\text{environnement}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{environnement}} &= 0 \\ \sigma &= \Delta S_{\text{gaz}} + 0 \\ &= +5.76 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]

La production d'entropie est positive, ce qui est la signature d'un processus irréversible, en accord avec le second principe de la thermodynamique.

Résultat Question 5 : La production totale d'entropie est \(\sigma \approx +5.76 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'expansion libre d'un gaz parfait est un processus...

2. Pour un système isolé, la variation d'entropie de l'univers est...

3. Le calcul de \(\Delta S\) pour un processus irréversible se base sur...

Glossaire

Expansion Libre (ou Détente de Joule-Gay-Lussac)
Processus irréversible au cours duquel un gaz se détend dans une enceinte vide, sans échange de chaleur ni de travail avec l'extérieur.
Processus Irréversible
Transformation thermodynamique qui ne peut pas revenir spontanément à son état initial en inversant le chemin. Tous les processus naturels sont irréversibles et créent de l'entropie.
Processus Réversible
Transformation quasi-statique, idéale, qui peut être inversée à tout moment par une modification infinitésimale des conditions, ramenant à la fois le système et l'environnement à leur état initial. La production d'entropie y est nulle.
Entropie (S)
Fonction d'état qui mesure le désordre ou le nombre de micro-états accessibles d'un système. Sa variation ne dépend que des états initial et final.
Production d'Entropie (\(\sigma\))
Augmentation de l'entropie totale de l'univers (système + environnement) due à l'irréversibilité d'un processus. \(\sigma > 0\) pour un processus irréversible, \(\sigma = 0\) pour un processus réversible.
Expansion Libre - Exercice d'Application

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