ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Production d’entropie due à la viscosité

Production d'entropie due à la viscosité dans un écoulement de Poiseuille

Production d'entropie due à la viscosité dans un écoulement de Poiseuille

Comprendre la Dissipation Visqueuse

Lorsqu'un fluide visqueux s'écoule, les frottements internes entre les couches de fluide qui se déplacent à des vitesses différentes dissipent de l'énergie mécanique en chaleur. Ce phénomène, appelé dissipation visqueuse, est une source majeure d'irréversibilité et donc de production d'entropie. Dans le cas d'un écoulement de Poiseuille (écoulement laminaire dans un conduit cylindrique), le profil de vitesse est parabolique, ce qui induit un gradient de vitesse (un cisaillement) non nul. Cet exercice vise à quantifier la production d'entropie locale et totale due à cette dissipation visqueuse.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement laminaire et stationnaire d'huile dans une conduite cylindrique horizontale. L'écoulement est induit par un gradient de pression constant.

Schéma d'un Écoulement de Poiseuille
R v_max

Profil de vitesse parabolique caractéristique de l'écoulement de Poiseuille.

Conditions et constantes :

  • Fluide : Huile, considérée comme un fluide newtonien.
  • Rayon du conduit : \(R = 1 \, \text{cm}\)
  • Gradient de pression : \(G = -\frac{dP}{dz} = 8000 \, \text{Pa/m}\)
  • Viscosité dynamique de l'huile : \(\eta = 0.5 \, \text{Pa}\cdot\text{s}\)
  • Température (supposée constante) : \(T = 300 \, \text{K}\)

Questions à traiter

  1. Écrire l'expression du profil de vitesse \(v(r)\) dans un écoulement de Poiseuille, où \(r\) est la distance radiale à l'axe du conduit.
  2. Calculer le gradient de vitesse \(\frac{dv}{dr}\) en fonction de \(r\). Où ce gradient est-il maximal ?
  3. Calculer le taux de production d'entropie volumique dû à la viscosité (\(\sigma_{\text{visc}}\)) en fonction de \(r\).
  4. Calculer \(\sigma_{\text{visc}}\) en deux points : au centre du conduit (\(r=0\)) et près de la paroi (\(r=R\)).
  5. Calculer la production d'entropie totale par unité de longueur du conduit (\(\dot{S}_{\text{créée}}\)).

Correction : Production d'entropie due à la viscosité

Question 1 : Profil de vitesse de Poiseuille

Principe :

Pour un écoulement laminaire, stationnaire, d'un fluide newtonien dans un conduit cylindrique, la résolution des équations de Navier-Stokes donne un profil de vitesse parabolique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v(r) = \frac{G}{4\eta}(R^2 - r^2) \]

où \(G = -\frac{dP}{dz}\) est le gradient de pression moteur.

Résultat Question 1 : Le profil de vitesse est \(v(r) = \frac{G}{4\eta}(R^2 - r^2)\).

Question 2 : Gradient de vitesse

Principe :

On dérive l'expression de \(v(r)\) par rapport à la coordonnée radiale \(r\) pour obtenir le taux de cisaillement.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{dv}{dr} &= \frac{d}{dr} \left[ \frac{G}{4\eta}(R^2 - r^2) \right] \\ &= \frac{G}{4\eta}(0 - 2r) \\ &= -\frac{Gr}{2\eta} \end{aligned} \]

La valeur absolue du gradient, \(|\frac{dv}{dr}|\), est nulle au centre (\(r=0\)) et est maximale à la paroi (\(r=R\)), là où le fluide "frotte" contre la paroi immobile.

Résultat Question 2 : Le gradient de vitesse est \(\frac{dv}{dr} = -\frac{Gr}{2\eta}\). Il est maximal en valeur absolue à la paroi (\(r=R\)).

Question 3 : Taux de production d'entropie volumique (\(\sigma_{\text{visc}}\))

Principe :

La production d'entropie locale due à la dissipation visqueuse est proportionnelle à la viscosité et au carré du gradient de vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{\text{visc}} = \frac{\eta}{T} \left(\frac{dv}{dr}\right)^2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{visc}}(r) &= \frac{\eta}{T} \left(-\frac{Gr}{2\eta}\right)^2 \\ &= \frac{\eta}{T} \frac{G^2r^2}{4\eta^2} \\ &= \frac{G^2 r^2}{4 \eta T} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(\sigma_{\text{visc}}(r) = \frac{G^2 r^2}{4 \eta T}\).

Question 4 : Calcul de \(\sigma_{\text{visc}}\) en deux points

Principe :

On utilise l'expression de \(\sigma_{\text{visc}}(r)\) et on l'évalue pour \(r=0\) et \(r=R\), en utilisant les unités SI.

Calcul :

Conversion du rayon : \(R = 1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\).

Au centre (\(r=0\)) :

\[ \sigma_{\text{visc}}(0) = \frac{G^2 (0)^2}{4 \eta T} = 0 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1} \]

Il n'y a pas de production d'entropie par viscosité au centre, car le gradient de vitesse y est nul.

Près de la paroi (\(r=R\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{visc}}(R) &= \frac{(8000)^2 (0.01)^2}{4 \cdot 0.5 \cdot 300} \\ &= \frac{(6.4 \times 10^7) \cdot (1 \times 10^{-4})}{600} \\ &= \frac{6400}{600} \\ &\approx 10.67 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\sigma_{\text{visc}}(0) = 0\) et \(\sigma_{\text{visc}}(R) \approx 10.67 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 5 : Production d'entropie totale par unité de longueur (\(\dot{S}_{\text{créée}}\))

Principe :

Pour obtenir la production d'entropie totale sur une section du conduit, il faut intégrer la production d'entropie volumique sur toute la surface de la section. On intègre en coordonnées cylindriques sur un élément de surface \(dA = 2\pi r dr\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \dot{S}_{\text{créée}} = \int_{A} \sigma_{\text{visc}} dA = \int_0^R \sigma_{\text{visc}}(r) \cdot 2\pi r dr \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \dot{S}_{\text{créée}} &= \int_0^R \frac{G^2 r^2}{4 \eta T} \cdot 2\pi r dr \\ &= \frac{2\pi G^2}{4 \eta T} \int_0^R r^3 dr \\ &= \frac{\pi G^2}{2 \eta T} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R \\ &= \frac{\pi G^2 R^4}{8 \eta T} \end{aligned} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} \dot{S}_{\text{créée}} &= \frac{\pi (8000)^2 (0.01)^4}{8 \cdot 0.5 \cdot 300} \\ &= \frac{\pi (6.4 \times 10^7) (10^{-8})}{1200} \\ &= \frac{0.64\pi}{1200} \\ &\approx 0.00167 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La production totale d'entropie par unité de longueur du conduit est d'environ \(1.67 \times 10^{-3} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La dissipation visqueuse dans un écoulement est maximale...

2. Pour un écoulement de Poiseuille, le profil de vitesse est de forme...

3. La production d'entropie due à la viscosité est toujours positive parce que...

Glossaire

Écoulement de Poiseuille
Écoulement laminaire, stationnaire et incompressible d'un fluide newtonien visqueux dans un conduit cylindrique de section constante. Il est gouverné par un équilibre entre les forces de pression et les forces de viscosité.
Viscosité Dynamique (\(\eta\))
Propriété d'un fluide qui mesure sa résistance à l'écoulement cisaillé. C'est la constante de proportionnalité entre la contrainte de cisaillement et le gradient de vitesse. Unité : Pa·s.
Dissipation Visqueuse
Conversion irréversible d'énergie cinétique d'écoulement en énergie thermique (chaleur) en raison des frottements internes du fluide. C'est une source de production d'entropie.
Gradient de Vitesse (Taux de Cisaillement)
Mesure de la variation de la vitesse du fluide entre deux couches adjacentes. Un gradient non nul indique que le fluide est cisaillé.
Bilan d'Entropie Local
Équation décrivant comment la densité d'entropie en un point de l'espace évolue en raison des flux d'entropie entrant et sortant, et de la production d'entropie locale due aux irréversibilités.
Écoulement de Poiseuille - Exercice d'Application

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