ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Production d’Entropie dans un Transfert Thermique

Production d'Entropie dans un Transfert Thermique

Production d'Entropie dans un Transfert Thermique

Comprendre la Production d'Entropie

Le second principe de la thermodynamique stipule que pour tout processus réel (irréversible), l'entropie de l'univers (système + environnement) augmente. Cette augmentation est appelée "production d'entropie" (\(\sigma\)) et elle est toujours positive. Le transfert de chaleur à travers une différence de température finie est un exemple classique de processus irréversible. Dans cet exercice, nous allons quantifier cette production d'entropie pour un transfert thermique simple en régime permanent.

Données de l'étude

Une barre de cuivre cylindrique est utilisée pour relier deux grands réservoirs thermiques (thermostats). Le système est considéré comme étant en régime permanent.

Schéma du Transfert Thermique
T-chaud T-froid Φ

Le flux de chaleur \(\Phi\) se propage de la source chaude vers la source froide à travers la barre conductrice.

Conditions et constantes :

  • Température du réservoir chaud : \(T_{\text{chaud}} = 100 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température du réservoir froid : \(T_{\text{froid}} = 20 \, ^\circ\text{C}\)
  • Longueur de la barre : \(L = 50 \, \text{cm}\)
  • Section (aire) de la barre : \(S = 4 \, \text{cm}^2\)
  • Conductivité thermique du cuivre : \(\lambda = 400 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le flux de chaleur (\(\Phi\)) à travers la barre de cuivre, en Watts.
  2. Calculer le taux de variation d'entropie du réservoir chaud (\(dS_{\text{chaud}}/dt\)). Est-il positif ou négatif ?
  3. Calculer le taux de variation d'entropie du réservoir froid (\(dS_{\text{froid}}/dt\)). Est-il positif ou négatif ?
  4. Calculer le taux de production d'entropie de l'univers (\(\sigma = dS_{\text{univers}}/dt\)). On considérera que la barre est en régime permanent.
  5. Vérifier que le résultat est conforme au second principe de la thermodynamique pour un processus irréversible.

Correction : Calcul de la Production d'Entropie

Question 1 : Calcul du flux de chaleur (\(\Phi\))

Principe :

En régime permanent, le flux de chaleur par conduction à travers une barre de section constante est donné par la loi de Fourier. Il faut d'abord convertir toutes les unités dans le Système International (mètres, Kelvin).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Phi = \lambda \cdot S \cdot \frac{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}}{L} \]
Calcul :

Conversion des unités :

  • \(T_{\text{chaud}} = 100 + 273.15 = 373.15 \, \text{K}\)
  • \(T_{\text{froid}} = 20 + 273.15 = 293.15 \, \text{K}\)
  • \(L = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}\)
  • \(S = 4 \, \text{cm}^2 = 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^2\)

Application numérique :

\[ \begin{aligned} \Phi &= 400 \times (4 \times 10^{-4}) \times \frac{373.15 - 293.15}{0.5} \\ &= 0.16 \times \frac{80}{0.5} \\ &= 0.16 \times 160 \\ &= 25.6 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le flux de chaleur à travers la barre est de \(25.6 \, \text{W}\) (ou J/s).

Question 2 : Taux de variation d'entropie de la source chaude

Principe :

La variation d'entropie d'un thermostat qui échange une quantité de chaleur \(Q\) à une température constante \(T\) est \(dS = \delta Q / T\). Le réservoir chaud cède de la chaleur (\(\delta Q < 0\)), donc sa variation d'entropie sera négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{dS_{\text{chaud}}}{dt} = \frac{-\Phi}{T_{\text{chaud}}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{dS_{\text{chaud}}}{dt} &= \frac{-25.6 \, \text{W}}{373.15 \, \text{K}} \\ &\approx -0.0686 \, \text{W} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le taux de variation d'entropie de la source chaude est d'environ \(-0.0686 \, \text{J} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\). Il est négatif.

Question 3 : Taux de variation d'entropie de la source froide

Principe :

De même, le réservoir froid reçoit de la chaleur (\(\delta Q > 0\)), sa variation d'entropie sera donc positive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{dS_{\text{froid}}}{dt} = \frac{+\Phi}{T_{\text{froid}}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{dS_{\text{froid}}}{dt} &= \frac{+25.6 \, \text{W}}{293.15 \, \text{K}} \\ &\approx +0.0873 \, \text{W} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le taux de variation d'entropie de la source froide est d'environ \(+0.0873 \, \text{J} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\). Il est positif.

Question 4 : Taux de production d'entropie de l'univers

Principe :

L'univers est constitué des deux réservoirs et de la barre de cuivre. En régime permanent, l'état de la barre ne change pas, donc sa variation d'entropie est nulle (\(dS_{\text{barre}}/dt = 0\)). La production d'entropie est la somme des variations d'entropie de toutes les parties de l'univers.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{dS_{\text{univers}}}{dt} = \frac{dS_{\text{chaud}}}{dt} + \frac{dS_{\text{froid}}}{dt} + \frac{dS_{\text{barre}}}{dt} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= (-0.0686) + (+0.0873) + 0 \\ &= 0.0187 \, \text{W} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le taux de production d'entropie de l'univers est \(\sigma \approx +0.0187 \, \text{J} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 5 : Conformité avec le second principe

Principe :

Le second principe de la thermodynamique stipule que pour tout processus irréversible, la production d'entropie de l'univers doit être strictement positive (\(\sigma > 0\)). Pour un processus réversible (hypothétique), elle serait nulle. Comme le transfert de chaleur à travers une différence de température finie est un processus irréversible, on doit s'attendre à \(\sigma > 0\).

Vérification :

La valeur calculée à la question 4 est \(\sigma \approx +0.0187 \, \text{W} \cdot \text{K}^{-1}\).

Puisque \(\sigma > 0\), le résultat est bien conforme au second principe de la thermodynamique pour les processus irréversibles.

Résultat Question 5 : La production d'entropie est positive, ce qui est en accord avec le second principe.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La production d'entropie dans un système isolé est...

2. Un transfert thermique est un processus...

3. Dans l'exercice, si on avait utilisé une barre en verre (\(\lambda\) beaucoup plus faible), le taux de production d'entropie aurait été...

Glossaire

Entropie (S)
Fonction d'état thermodynamique qui est une mesure du désordre d'un système. Sa variation est souvent liée à la chaleur échangée de manière réversible (\(dS = \delta Q_{\text{rév}}/T\)).
Processus Irréversible
Transformation thermodynamique qui ne peut pas revenir spontanément à son état initial en inversant le chemin. Tous les processus naturels sont irréversibles et créent de l'entropie.
Production d'Entropie (\(\sigma\))
Taux de création d'entropie au sein d'un système dû à des processus irréversibles. Selon le second principe de la thermodynamique, la production d'entropie de l'univers est toujours positive ou nulle (\(\sigma \geq 0\)).
Régime Permanent
État d'un système où les variables d'état (comme la température en un point donné) ne changent pas au cours du temps, même si de l'énergie traverse le système.
Thermostat (ou Réservoir Thermique)
Système si grand que sa température reste constante malgré l'échange de quantités finies de chaleur avec l'extérieur.
Production d'Entropie - Exercice d'Application
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