Probabilité d'Occupation d'un État Énergétique
Comprendre : La Distribution de Boltzmann
Au cœur de la thermodynamique statistique se trouve une question fondamentale : si un système peut exister dans plusieurs états d'énergie différents, quelle est la probabilité de le trouver dans un état particulier à une température \(T\) ? La réponse est donnée par la distribution de BoltzmannLoi de probabilité qui donne la probabilité qu'un système soit dans un état donné en fonction de l'énergie de cet état et de la température. Les états de basse énergie sont exponentiellement plus probables.. Elle stipule que la probabilité d'occuper un état d'énergie \(E_i\) est proportionnelle au "facteur de Boltzmann" \(e^{-E_i / (k_B T)}\). L'agitation thermique (représentée par \(T\)) tend à peupler tous les états, tandis que le coût énergétique (\(E_i\)) favorise les états de basse énergie. La fonction de partitionUne somme sur tous les états d'énergie possibles d'un système, pondérée par le facteur de Boltzmann. Elle sert de facteur de normalisation et contient toute l'information thermodynamique. \(Z\) agit comme un facteur de normalisation pour s'assurer que la somme des probabilités est égale à 1.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est la pierre angulaire de la discipline. Comprendre comment calculer la fonction de partition et les probabilités d'occupation pour un système simple permet ensuite de calculer n'importe quelle grandeur thermodynamique moyenne (énergie, chaleur spécifique, etc.).
Données de l'étude
Schéma : Système à Trois Niveaux d'Énergie
- Niveau fondamental : \(E_0 = 0\), dégénérescence \(g_0 = 1\).
- Premier état excité : \(E_1 = \epsilon\), dégénérescence \(g_1 = 2\).
- Second état excité : \(E_2 = 2\epsilon\), dégénérescence \(g_2 = 1\).
Questions à traiter
- Calculer la fonction de partition canonique \(Z\) de ce système.
- Donner l'expression de la probabilité \(P_0\) de trouver la molécule dans son état fondamental.
- Donner l'expression de la probabilité \(P_1\) de trouver la molécule dans le premier niveau excité (d'énergie \(\epsilon\)).
- Analyser le comportement des populations à très basse température (\(T \to 0\)) et à très haute température (\(T \to \infty\)).
Correction : Calcul des Probabilités d'Occupation
Question 1 : Calcul de la Fonction de Partition \(Z\)
Principe :
La fonction de partition \(Z\) est la somme des facteurs de Boltzmann sur tous les micro-états possibles. Comme certains niveaux d'énergie sont dégénérés (ils correspondent à plusieurs micro-états), on doit multiplier chaque facteur de Boltzmann par la dégénérescence \(g_i\) du niveau correspondant.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La fonction de partition est en quelque sorte un "dénombrement pondéré" des états accessibles. Les états de basse énergie contribuent fortement, tandis que ceux de très haute énergie (\(E \gg k_B T\)) contribuent très peu. \(Z\) représente la "taille" effective de l'espace des états thermiquement accessibles.
Calcul(s) :
Question 2 : Probabilité de l'État Fondamental (\(P_0\))
Principe :
La probabilité de trouver le système dans un état (ou un niveau) spécifique est le poids de Boltzmann de cet état divisé par la somme de tous les poids de Boltzmann, c'est-à-dire la fonction de partition \(Z\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Notez que la probabilité dépend à la fois de l'énergie de l'état en question ET de l'énergie de tous les autres états (via Z). Si on ajoutait un grand nombre de nouveaux états excités, la probabilité de trouver la molécule dans l'état fondamental diminuerait, même si son énergie n'a pas changé.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul(s) :
Question 3 : Probabilité du Premier Niveau Excité (\(P_1\))
Principe :
Le calcul est similaire à celui de \(P_0\), mais il faut être attentif à la dégénérescenceLe nombre de micro-états différents qui correspondent à un même niveau d'énergie macroscopique. Un niveau d'énergie avec une dégénérescence g > 1 est g fois plus susceptible d'être occupé qu'un niveau non-dégénéré de même énergie.. Le niveau d'énergie \(E_1\) est dégénéré \(g_1=2\), ce qui signifie que deux états distincts ont cette même énergie. Sa contribution au poids statistique est donc doublée.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le facteur de dégénérescence \(g_1=2\) joue un rôle crucial. Il agit comme un 'bonus' entropique. Même si l'état 1 est énergétiquement moins favorable que l'état 0, le fait qu'il y ait deux façons d'atteindre cette énergie le rend statistiquement plus attractif, surtout à haute température où le coût énergétique devient moins important.
Calcul(s) :
Question 4 : Limites à Basse et Haute Température
Principe :
Analyser les limites extrêmes de température nous donne une intuition physique sur le comportement du système. À très basse température, l'agitation thermique est faible et le système doit se trouver dans son état de plus basse énergie. À très haute température, l'énergie thermique est énorme par rapport aux écarts d'énergie, et tous les états deviennent "également probables", ou plus précisément, leur probabilité devient proportionnelle à leur dégénérescence.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Ces deux limites illustrent un principe fondamental : à T=0, le système minimise son énergie et occupe l'état fondamental (entropie nulle). À T→∞, l'énergie n'est plus un facteur limitant, et le système maximise son entropie en se répartissant sur tous les états accessibles proportionnellement à leur 'taille' (dégénérescence).
Calcul(s) :
Limite à basse température (\(T \to 0 \Rightarrow \beta \to \infty\)) :
Limite à haute température (\(T \to \infty \Rightarrow \beta \to 0\)) :
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Grandeur | Expression |
|---|---|
| Fonction de partition \(Z\) | Cliquez pour révéler |
| Probabilité Fondamentale \(P_0\) | Cliquez pour révéler |
| Probabilité Excitée \(P_1\) | Cliquez pour révéler |
| Limite à T → ∞ | Cliquez pour révéler |
Simulation : Distribution de Boltzmann
Variez la température et l'écart d'énergie \(\epsilon\) pour observer comment les probabilités d'occupation des différents niveaux évoluent.
Paramètres de Simulation
À vous de jouer ! (Défi)
Défi : Trouvez une expression pour la température \(T\) à laquelle la probabilité de trouver la molécule dans le premier état excité (\(P_1\)) est maximale. Indice : il faut dériver \(P_1(T)\) par rapport à T et chercher quand cette dérivée s'annule.
Le Saviez-Vous ? Les Lasers et l'Inversion de Population
Normalement, à l'équilibre thermique, les niveaux d'énergie supérieurs sont toujours moins peuplés que les niveaux inférieurs. Le fonctionnement d'un laser repose sur la création d'une situation "hors-équilibre" appelée inversion de population, où un état excité devient temporairement plus peuplé que l'état fondamental. Cela est généralement réalisé par un "pompage" énergétique intense. Lorsque les particules de cet état surpeuplé retournent à l'état fondamental, elles émettent des photons de manière stimulée, créant un faisceau de lumière cohérent et intense.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que représente physiquement le terme \(k_B T\) ?
Le produit \(k_B T\) a les dimensions d'une énergie. Il représente l'échelle de l'énergie thermique disponible dans le système à la température T. Si l'écart d'énergie entre deux niveaux \(\Delta E\) est beaucoup plus grand que \(k_B T\), le système n'aura que très rarement assez d'énergie thermique pour atteindre le niveau supérieur. Si \(\Delta E \ll k_B T\), l'énergie thermique est plus que suffisante, et les deux niveaux seront peuplés de manière quasi-égale (en tenant compte de la dégénérescence).
Comment la fonction de partition est-elle reliée aux autres grandeurs thermodynamiques ?
La fonction de partition \(Z\) est la clé de tout. Une fois \(Z\) connue en fonction de la température et d'autres variables, on peut calculer toutes les grandeurs thermodynamiques. Par exemple, l'énergie interne moyenne est \(U = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}\), l'entropie est \(S = \frac{U}{T} + k_B \ln Z\), et la chaleur spécifique est \(C_V = \frac{\partial U}{\partial T}\).
Cette approche fonctionne-t-elle pour un continuum d'états d'énergie ?
Oui. Si les niveaux d'énergie ne sont pas discrets mais continus (comme pour l'énergie cinétique d'une particule libre), la somme \(\sum\) dans la définition de la fonction de partition est remplacée par une intégrale sur tous les états possibles dans l'espace des phases.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. À très haute température (\(T \to \infty\)), la probabilité d'occuper un niveau d'énergie devient principalement proportionnelle à :
2. Le facteur de Boltzmann \(e^{-E_i / (k_B T)}\) diminue lorsque :
Glossaire
- Distribution de Boltzmann
- Une loi de probabilité qui donne la probabilité qu'un système soit dans un état donné en fonction de l'énergie de cet état et de la température. Les états de basse énergie sont exponentiellement plus probables.
- Fonction de Partition (Z)
- En physique statistique, c'est une somme sur tous les états d'énergie microscopiques possibles d'un système, pondérée par le facteur de Boltzmann. Z est une quantité fondamentale qui sert de facteur de normalisation et contient toute l'information thermodynamique sur le système.
- Dégénérescence (g)
- Le nombre de micro-états différents qui correspondent à un même niveau d'énergie macroscopique. Un niveau d'énergie avec une dégénérescence g > 1 est g fois plus susceptible d'être occupé qu'un niveau non-dégénéré de même énergie.
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