ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Potentiel Chimique et la Fonction de Partition

Calcul du Potentiel Chimique à partir de la Fonction de Partition

Calcul du potentiel chimique à partir de la fonction de partition

Comprendre le Potentiel Chimique et la Fonction de Partition

En thermodynamique statistique, la fonction de partition (\(Q\)) est une quantité centrale qui contient toute l'information thermodynamique sur un système à l'équilibre. Toutes les grandeurs macroscopiques (énergie, entropie, pression...) peuvent être dérivées de \(Q\). Le potentiel chimique (\(\mu\)), qui mesure la variation d'énergie libre lorsqu'on ajoute une particule au système, est particulièrement important car il gouverne l'équilibre de phase et l'équilibre chimique. Cet exercice a pour but de calculer le potentiel chimique d'un gaz parfait monoatomique à partir de sa fonction de partition.

Données de l'étude

On considère un gaz parfait d'Argon (\(\text{Ar}\)) enfermé dans un conteneur rigide.

Schéma : Gaz Parfait dans un Conteneur
N atomes, Volume V, Température T

Conditions et constantes :

  • Gaz : Argon (\(\text{Ar}\)), gaz parfait monoatomique.
  • Nombre de moles : \(n = 1.0 \, \text{mol}\)
  • Volume du conteneur : \(V = 24.5 \, \text{L}\)
  • Température : \(T = 298 \, \text{K}\) (25 °C)
  • Masse molaire de l'Argon : \(M = 39.95 \, \text{g/mol}\)
  • Constante de Planck : \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
  • Constante de Boltzmann : \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
  • Constante d'Avogadro : \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la fonction de partition de translation pour une seule particule (\(q_{\text{trans}}\)).
  2. Donner l'expression du potentiel chimique (\(\mu\)) en fonction de la fonction de partition d'une particule \(q\) et du nombre de particules \(N\).
  3. Calculer le nombre de particules \(N\) dans le système.
  4. Calculer la valeur du potentiel chimique \(\mu\) du gaz, en J/mol.

Correction : Calcul du potentiel chimique à partir de la fonction de partition

Question 1 : Fonction de partition de translation (\(q_{\text{trans}}\))

Principe :

Pour un gaz parfait monoatomique, l'énergie est purement cinétique. La fonction de partition de translation pour une seule particule dans un volume V représente la somme sur tous les états de translation accessibles. Il faut utiliser les unités du Système International.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{\text{trans}} = V \left( \frac{2\pi m k_B T}{h^2} \right)^{3/2} \]
Calcul :

Conversion des unités :

  • \(V = 24.5 \, \text{L} = 24.5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)
  • \(m = M/N_A = (0.03995 \, \text{kg/mol}) / (6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}) \approx 6.63 \times 10^{-26} \, \text{kg}\)

Calcul du terme sous la puissance :

\[ \begin{aligned} \frac{2\pi m k_B T}{h^2} &= \frac{2\pi \cdot (6.63 \times 10^{-26}) \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 298}{(6.626 \times 10^{-34})^2} \\ &= \frac{1.71 \times 10^{-45}}{4.39 \times 10^{-67}} \approx 3.9 \times 10^{21} \, \text{m}^{-2} \end{aligned} \]

Calcul final de \(q_{\text{trans}}\) :

\[ \begin{aligned} q_{\text{trans}} &= (24.5 \times 10^{-3}) \cdot (3.9 \times 10^{21})^{3/2} \\ &= (24.5 \times 10^{-3}) \cdot (2.43 \times 10^{32}) \\ &\approx 5.95 \times 10^{30} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La fonction de partition d'une particule est \(q_{\text{trans}} \approx 5.95 \times 10^{30}\) (sans dimension).

Question 2 : Expression du potentiel chimique (\(\mu\))

Principe :

Le potentiel chimique est relié à la dérivée partielle du logarithme de la fonction de partition totale \(Q\) par rapport au nombre de particules \(N\). Pour des particules indiscernables, \(Q = q^N/N!\). En utilisant l'approximation de Stirling (\(\ln(N!) \approx N\ln(N) - N\)), on obtient une relation simple entre \(\mu\) et le rapport \(q/N\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \mu = -k_B T \ln\left(\frac{q}{N}\right) \]
Résultat Question 2 : L'expression est \(\mu = -k_B T \ln(q/N)\).

Question 3 : Nombre de particules (\(N\))

Principe :

Le nombre total de particules est le nombre de moles multiplié par le nombre d'Avogadro.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N = n \cdot N_A \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} N &= (1.0 \, \text{mol}) \times (6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}) \\ &= 6.022 \times 10^{23} \, \text{atomes} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Il y a \(N = 6.022 \times 10^{23}\) atomes d'argon dans le conteneur.

Question 4 : Calcul du potentiel chimique (\(\mu\))

Principe :

On applique la formule de la question 2 avec les valeurs de \(q\) et \(N\) précédemment calculées. Le résultat sera le potentiel chimique par particule. Pour l'obtenir en J/mol, on le multipliera par le nombre d'Avogadro.

Calcul :

Calcul du rapport \(q/N\) :

\[ \frac{q}{N} = \frac{5.95 \times 10^{30}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 9.88 \times 10^6 \]

Calcul de \(\mu\) par particule :

\[ \begin{aligned} \mu &= -(1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}) \cdot (298 \, \text{K}) \cdot \ln(9.88 \times 10^6) \\ &= -(4.112 \times 10^{-21}) \cdot (16.106) \\ &\approx -6.62 \times 10^{-20} \, \text{J/particule} \end{aligned} \]

Conversion en J/mol :

\[ \begin{aligned} \mu_{\text{molaire}} &= \mu \cdot N_A \\ &= (-6.62 \times 10^{-20} \, \text{J/particule}) \cdot (6.022 \times 10^{23} \, \text{particules/mol}) \\ &= -39865 \, \text{J/mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le potentiel chimique de l'argon dans ces conditions est d'environ \(-39.9 \, \text{kJ/mol}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fonction de partition \(Q\) d'un système...

2. Le potentiel chimique d'un gaz parfait dépend...

3. Si on augmente le volume à T et N constants, le potentiel chimique du gaz...

Glossaire

Potentiel Chimique (\(\mu\))
Grandeur thermodynamique intensive qui mesure la variation de l'énergie libre d'un système lorsqu'on y ajoute une particule, à température et volume constants. Il gouverne l'équilibre de phase et chimique.
Fonction de Partition (\(Q\))
En mécanique statistique, c'est une fonction qui décrit les propriétés statistiques d'un système en équilibre thermodynamique. Elle est une somme pondérée sur tous les micro-états possibles du système et permet de calculer toutes les grandeurs thermodynamiques macroscopiques.
Fonction de Partition d'une Particule (\(q\))
Fonction de partition pour une seule particule du système. Pour un système de particules indiscernables et sans interaction, la fonction de partition totale \(Q\) est reliée à \(q\) par \(Q = q^N/N!\).
Approximation de Stirling
Formule mathématique qui donne une approximation de la factorielle d'un grand nombre. La forme \(\ln(N!) \approx N\ln(N) - N\) est particulièrement utile en thermodynamique statistique.
Potentiel Chimique - Exercice d'Application

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