Modélisation d’une Pompe à Chaleur
Contexte : La thermodynamiqueBranche de la physique qui étudie les relations entre la chaleur, le travail et l'énergie. appliquée aux systèmes de chauffage.
Les pompes à chaleur (PAC) sont des systèmes énergétiques de plus en plus populaires pour le chauffage résidentiel en raison de leur haute efficacité. Elles fonctionnent en "pompant" la chaleur d'une source froide (l'air extérieur, même en hiver) pour la transférer à une source chaude (l'intérieur de la maison). Cet exercice vise à modéliser un cycle de pompe à chaleur simple utilisant le fluide frigorigèneSubstance utilisée dans un cycle de réfrigération pour transférer la chaleur. Elle alterne entre les états liquide et gazeux. R-134a et à en déterminer les performances clés.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes fondamentaux de la thermodynamique (premier principe, changements d'état) à un système d'ingénierie concret et à évaluer son efficacité à l'aide du Coefficient de Performance (COP)Rapport entre la chaleur utile fournie par la pompe à chaleur et le travail électrique consommé. Un COP plus élevé signifie une meilleure efficacité..
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le premier principe de la thermodynamique aux systèmes ouverts (compresseur, condenseur, etc.).
- Déterminer les propriétés thermodynamiques (enthalpie, entropie) d'un fluide à différents points d'un cycle.
- Calculer la puissance thermique transférée et le travail mécanique consommé.
- Définir et calculer le Coefficient de Performance (COP) d'une pompe à chaleur.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Fluide frigorigène | R-134a |
| Température de la source froide (air extérieur) | -5 °C |
| Température de la source chaude (eau du circuit de chauffage) | 45 °C |
| Débit massique du fluide frigorigène | 0.04 kg/s |
Tables Thermodynamiques (Extrait pour le R-134a)
Table A-1 : Propriétés du R-134a saturé (par température)
| Température \(T\) (\(^\circ\text{C}\)) |
Pression \(P\) (bar) |
Enthalpie Liquide \(h_l\) (kJ/kg) |
Enthalpie Vapeur \(h_v\) (kJ/kg) |
Entropie Liquide \(s_l\) (kJ/kg·K) |
Entropie Vapeur \(s_v\) (kJ/kg·K) |
|---|---|---|---|---|---|
| -10 | 2.01 | 38.4 | 244.5 | 0.155 | 0.933 |
| -5 | 2.43 | 44.3 | 247.2 | 0.178 | 0.928 |
| 0 | 2.93 | 50.2 | 250.5 | 0.200 | 0.923 |
| 40 | 10.17 | 108.3 | 271.2 | 0.395 | 0.903 |
| 45 | 11.60 | 115.8 | 273.1 | 0.419 | 0.900 |
| 50 | 13.18 | 123.5 | 274.8 | 0.443 | 0.897 |
Table A-2 : Propriétés du R-134a surchauffé (à P ≈ 12 bar)
| Température \(T\) (\(^\circ\text{C}\)) |
Enthalpie \(h\) (kJ/kg) |
Entropie \(s\) (kJ/kg·K) |
|---|---|---|
| 50 | 278.3 | 0.920 |
| 60 | 287.4 | 0.952 |
Schéma de principe de la Pompe à Chaleur
Questions à traiter
- Déterminer l'enthalpieGrandeur thermodynamique qui représente l'énergie totale d'un système. Elle inclut l'énergie interne plus le produit de la pression et du volume. massique (en kJ/kg) du R-134a à la sortie de chaque composant (points 1, 2, 3 et 4).
- Calculer la puissance thermique (en kW) fournie par le condenseur à la source chaude.
- Calculer la puissance mécanique (en kW) consommée par le compresseur.
- Calculer le Coefficient de Performance (COP) de la pompe à chaleur.
Les bases sur les Pompes à Chaleur
Le cycle de pompe à chaleur à compression de vapeur est le cycle le plus couramment utilisé. Il se compose de quatre processus : compression isentropique, rejet de chaleur à pression constante, détente isenthalpique et absorption de chaleur à pression constante.
1. Premier principe pour un système ouvert en régime permanent
Pour chaque composant (compresseur, condenseur, etc.), la variation d'énergie se résume à :
\[ \dot{Q} - \dot{W} = \dot{m} \cdot (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}}) \]
Où \(\dot{Q}\) est la puissance thermique transférée, \(\dot{W}\) la puissance mécanique, \(\dot{m}\) le débit massique et \(h\) l'enthalpie massique.
2. Coefficient de Performance (COP)
Le COP mesure l'efficacité d'une pompe à chaleur. C'est le rapport entre ce que l'on veut obtenir (la chaleur fournie) et ce que l'on doit payer (le travail fourni).
\[ COP_{\text{PAC}} = \frac{\text{Puissance thermique utile}}{\text{Puissance consommée}} = \frac{|\dot{Q}_{\text{chaud}}|}{|\dot{W}_{\text{comp}}|} \]
Correction : Modélisation d’une Pompe à Chaleur
Question 1 : Détermination des enthalpies
Principe
Pour analyser le cycle, nous devons connaître l'état thermodynamique du fluide frigorigène à des points clés. L'enthalpie est la propriété la plus importante car elle représente l'énergie du fluide et est directement utilisée dans les bilans énergétiques de chaque composant.
Mini-Cours
L'enthalpie (\(h\)) est une mesure de l'énergie totale d'un système thermodynamique. Pour un fluide en écoulement, elle combine l'énergie interne (\(u\)) et le travail de pression (\(Pv\)), soit \(h = u + Pv\). La détermination de sa valeur nécessite deux propriétés indépendantes (par ex. température et pression) et l'utilisation de tables thermodynamiques spécifiques au fluide.
Remarque Pédagogique
La clé pour résoudre cette question est d'identifier correctement l'état du fluide à chaque point du cycle. Avant tout calcul, il est conseillé de tracer schématiquement le cycle sur un diagramme (Pression-Enthalpie par exemple) et de placer les quatre points principaux en se basant sur les hypothèses du cycle idéal.
Normes
Les propriétés des fluides frigorigènes comme le R-134a sont standardisées et compilées dans des tables ou des logiciels conformes aux données du NIST (National Institute of Standards and Technology) ou de l'ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers).
Formule(s)
Pour cette question, il n'y a pas de formule à proprement parler, mais des principes de lecture dans les tables :
Hypothèses
Pour un cycle idéal, on pose les hypothèses suivantes, qui nous permettent de déterminer l'état du fluide à chaque point :
- Point 1 (sortie évaporateur, entrée compresseur) : Vapeur saturée sèche.
- Point 2 (sortie compresseur, entrée condenseur) : Compression isentropique (adiabatique et réversible), donc \(s_2 = s_1\).
- Point 3 (sortie condenseur, entrée détendeur) : Liquide saturé.
- Point 4 (sortie détendeur, entrée évaporateur) : Détente isenthalpique (sans changement d'enthalpie), donc \(h_4 = h_3\).
Donnée(s)
Nous utilisons les tables thermodynamiques pour le R-134a.
| Point | État | Valeur de référence | Enthalpie (h) | Entropie (s) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Vapeur saturée à -5°C | \(T_1 = -5^\circ\text{C}\) | \(h_1 = h_{\text{v}}(-5^\circ\text{C}) = 247.2 \text{ kJ/kg}\) | \(s_1 = s_{\text{v}}(-5^\circ\text{C}) = 0.928 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}\) |
| 3 | Liquide saturé à 45°C | \(T_3 = 45^\circ\text{C}\) | \(h_3 = h_{\text{l}}(45^\circ\text{C}) = 115.8 \text{ kJ/kg}\) | - |
Astuces
Pour trouver \(h_2\), une fois que vous avez \(s_1\), allez dans la table de vapeur surchauffée à la pression de sortie \(P_2=P_{\text{sat}}(45^\circ\text{C})\). Cherchez la valeur de \(s_2=s_1\). Si elle n'existe pas exactement, vous devrez faire une interpolation linéaire entre les deux valeurs d'entropie les plus proches pour trouver l'enthalpie correspondante.
Schéma (Avant les calculs)
Cycle de la Pompe à Chaleur
Calcul(s)
Point 1 : Entrée du compresseur
À la sortie de l'évaporateur, le fluide est à l'état de vapeur saturée. D'après les tables à \(T_1 = -5^\circ\text{C}\) :
Point 3 : Sortie du condenseur
À la sortie du condenseur, le fluide est à l'état de liquide saturé. D'après les tables à \(T_3 = 45^\circ\text{C}\) :
Point 4 : Sortie du détendeur
La détente dans le détendeur est isenthalpique, ce qui signifie que l'enthalpie ne change pas.
Point 2 : Sortie du compresseur
La compression est isentropique (\(s_2 = s_1\)). Le fluide sort à la pression de condensation (pression de saturation à 45°C, soit \(P_{\text{sat}} \approx 11.6 \text{ bar}\)). On cherche dans les tables de vapeur surchauffée pour le R-134a le point ayant \(P_2 = 11.6 \text{ bar}\) et \(s_2 = 0.928 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}\). Par interpolation, on trouve :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Pression-Enthalpie (P-h) du cycle
Réflexions
On observe bien que l'enthalpie augmente fortement durant la compression (de \(h_1\) à \(h_2\)), ce qui correspond à l'énergie (travail) apportée au fluide. Elle diminue ensuite dans le condenseur (de \(h_2\) à \(h_3\)), correspondant à la chaleur cédée au système de chauffage. L'enthalpie reste constante durant la détente (de \(h_3\) à \(h_4\)).
Points de vigilance
La principale source d'erreur est la lecture dans les tables. Assurez-vous d'être dans la bonne table (liquide saturé, vapeur saturée ou vapeur surchauffée). Une seconde erreur fréquente est de mal réaliser l'interpolation linéaire pour le point 2.
Points à retenir
Pour maîtriser cette étape, il faut retenir les quatre transformations types d'un cycle de PAC idéal :
- Évaporateur -> Compresseur : Vapeur saturée
- Compresseur -> Condenseur : Compression isentropique
- Condenseur -> Détendeur : Liquide saturé
- Détendeur -> Évaporateur : Détente isenthalpique
Le saviez-vous ?
Le fluide R-134a, bien que n'affectant pas la couche d'ozone, possède un Potentiel de Réchauffement Global (PRG) élevé. La réglementation (comme la F-Gas européenne) pousse à son remplacement par des fluides à plus faible impact environnemental, comme le R-1234yf ou le CO₂ (R-744).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la température de la source froide était de 0°C, quelle serait la nouvelle valeur de \(h_1\) (en kJ/kg) ? (Indice : chercher \(h_{\text{v}}\) pour le R-134a à 0°C).
Question 2 : Puissance thermique du condenseur
Principe
La puissance thermique fournie par le condenseur correspond à l'énergie que le fluide frigorigène cède au circuit d'eau chaude de la maison. Cette énergie est libérée lorsque le fluide passe de l'état de vapeur surchauffée (point 2) à l'état de liquide saturé (point 3) à pression constante.
Mini-Cours
Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert en régime permanent (comme un condenseur) s'écrit : \(\dot{Q} - \dot{W} = \dot{m} \cdot \Delta h\). Comme un condenseur ne produit ni ne consomme de travail mécanique, \(\dot{W}=0\). L'équation se simplifie donc à \(\dot{Q} = \dot{m} \cdot (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})\), ce qui représente la chaleur échangée.
Remarque Pédagogique
Le résultat du calcul de \(\dot{Q}_{\text{chaud}}\) sera négatif. Ne soyez pas surpris ! En thermodynamique, par convention, la chaleur qui sort d'un système est comptée négativement. La puissance de chauffage est simplement la valeur absolue de ce résultat.
Normes
Les performances thermiques des échangeurs de chaleur comme les condenseurs sont régies par des normes (par ex. EN 305) qui définissent les conditions de test et les méthodes de calcul pour assurer la comparabilité des appareils.
Formule(s)
Formule du premier principe pour le condenseur
Hypothèses
Nous nous plaçons en régime permanent, c'est-à-dire que le débit et les propriétés du fluide ne varient pas dans le temps. On néglige les pertes de charge et les pertes thermiques vers l'ambiant.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs calculées à la question 1 ainsi que le débit massique de l'énoncé.
- Débit massique \(\dot{m} = 0.04 \text{ kg/s}\)
- Enthalpie d'entrée \(h_2 = 275.5 \text{ kJ/kg}\)
- Enthalpie de sortie \(h_3 = 115.8 \text{ kJ/kg}\)
Astuces
Vérifiez toujours la cohérence de vos unités. Ici, le débit est en kg/s et l'enthalpie en kJ/kg. Le produit \((\text{kg/s}) \times (\text{kJ/kg})\) donne bien des kJ/s, c'est-à-dire des kilowatts (kW), une unité de puissance.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan sur le Condenseur
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Ce calcul ne produit pas de nouveau schéma, mais il quantifie la flèche de chaleur sortant du condenseur sur le diagramme de principe.
Réflexions
Une puissance de 6.39 kW est une valeur typique pour le chauffage d'une maison individuelle bien isolée par temps froid. Ce chiffre représente la quantité de chaleur utile que le système délivre par seconde.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser les enthalpies dans la soustraction, c'est-à-dire de faire \((h_{\text{entrée}} - h_{\text{sortie}})\). Rappelez-vous toujours la formule du premier principe : \(\Delta h = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}}\).
Points à retenir
La chaleur échangée dans un composant sans travail mécanique est toujours égale au produit du débit massique par la variation d'enthalpie massique du fluide qui le traverse : \(\dot{Q} = \dot{m} \cdot \Delta h\).
Le saviez-vous ?
Dans une pompe à chaleur, le condenseur est l'échangeur de chaleur situé à l'intérieur de la maison (celui qui chauffe). Dans un réfrigérateur, le condenseur est la grille chaude située à l'arrière de l'appareil. Le principe physique est exactement le même !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le débit massique passait à 0.05 kg/s (toutes les enthalpies restant inchangées), quelle serait la nouvelle puissance de chauffage (en kW) ?
Question 3 : Puissance consommée par le compresseur
Principe
Le compresseur est le "moteur" du cycle. Son rôle est d'aspirer le fluide frigorigène à basse pression et basse température et de le comprimer pour l'amener à une haute pression et haute température. Cette opération nécessite un apport d'énergie mécanique (généralement électrique), que nous allons quantifier.
Mini-Cours
Pour un compresseur supposé adiabatique (parfaitement isolé, \(\dot{Q}=0\)), le premier principe pour un système ouvert se simplifie en \(-\dot{W} = \dot{m} \cdot (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})\). Le signe négatif sur le travail \(\dot{W}\) indique qu'il est reçu par le système (le fluide). La puissance consommée par le compresseur est donc \(|\dot{W}|\).
Remarque Pédagogique
La puissance du compresseur dépend directement de l'écart d'enthalpie entre l'entrée et la sortie. Plus le compresseur doit "forcer" pour augmenter la pression, plus cet écart sera grand et plus la consommation électrique sera importante. C'est pourquoi une PAC consomme plus quand il fait très froid dehors.
Normes
Le rendement des compresseurs est également normalisé (par ex. ISO 1217). Dans notre cas, nous considérons un compresseur idéal avec un rendement isentropique de 100%, ce qui simplifie le calcul.
Formule(s)
Formule du premier principe pour le compresseur
Hypothèses
Le compresseur fonctionne en régime permanent. La compression est adiabatique (pas d'échange de chaleur) et réversible (pas de frottements), donc isentropique.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs calculées à la question 1 et le débit massique.
- Débit massique \(\dot{m} = 0.04 \text{ kg/s}\)
- Enthalpie d'entrée \(h_1 = 247.2 \text{ kJ/kg}\)
- Enthalpie de sortie \(h_2 = 275.5 \text{ kJ/kg}\)
Astuces
L'écart d'enthalpie \((h_2 - h_1)\) est toujours positif pour un compresseur, car il apporte de l'énergie au fluide. Si vous trouvez une valeur négative, vous avez probablement inversé les termes.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan sur le Compresseur
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le résultat quantifie la flèche de travail entrant dans le compresseur sur le diagramme de principe.
Réflexions
La puissance consommée, 1.13 kW, est l'énergie électrique que la pompe à chaleur "tire" du réseau chaque seconde pour fonctionner. C'est cette valeur qui sera facturée sur la note d'électricité. On constate qu'elle est bien inférieure à la puissance de chauffage produite (6.39 kW), ce qui est le principe même de la pompe à chaleur.
Points de vigilance
Attention au signe. Le travail est négatif car il est reçu par le fluide. La "puissance consommée" est une grandeur positive, c'est la valeur absolue du travail, soit \(|-1.13| = 1.13\) kW.
Points à retenir
Le travail (ou la puissance) d'un compresseur adiabatique est directement proportionnel à la variation d'enthalpie du fluide qui le traverse : \(|\dot{W}_{\text{comp}}| = \dot{m} \cdot (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})\).
Le saviez-vous ?
Il existe plusieurs technologies de compresseurs pour les pompes à chaleur. Les plus courants sont les compresseurs "scroll" (à spirales), réputés pour leur silence et leur bon rendement, et les compresseurs à piston, plus anciens mais robustes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le rendement isentropique du compresseur était de 85%, le travail réel serait \(\dot{W}_{\text{réel}} = \dot{W}_{\text{idéal}} / 0.85\). Quelle serait la nouvelle puissance consommée (en kW) ?
Question 4 : Coefficient de Performance (COP)
Principe
Le Coefficient de Performance (COP) est le critère ultime pour juger de l'efficacité d'une pompe à chaleur. Il répond à la question : "Pour chaque euro d'électricité que je paye, combien d'euros de chaleur est-ce que je reçois en retour ?". Un COP plus élevé est toujours meilleur.
Mini-Cours
Le COP est un rendement énergétique qui peut être supérieur à 1 (ou 100%). Cela ne viole pas le premier principe de la thermodynamique, car la pompe à chaleur ne "crée" pas d'énergie. Elle utilise une petite quantité d'énergie noble (le travail \(\dot{W}\)) pour déplacer une grande quantité d'énergie thermique gratuite (\(\dot{Q}_{\text{froid}}\)) de la source froide vers la source chaude.
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas le COP calculé à partir des enthalpies du cycle réel (ou idéal) avec le COP maximal théorique, dit "COP de Carnot", qui ne dépend que des températures des sources chaude (\(T_{\text{chaud}}\)) et froide (\(T_{\text{froid}}\)) : \(COP_{\text{Carnot}} = T_{\text{chaud}} / (T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}})\), avec des températures en Kelvin.
Normes
Les fabricants doivent afficher le COP de leurs machines selon des conditions de test normalisées (par ex. +7°C extérieur / +35°C eau de chauffage). Cela permet de comparer les modèles entre eux. Le COP saisonnier (SCOP) est une moyenne pondérée plus représentative des performances sur une année entière.
Formule(s)
Définition du COP
Formule du COP en fonction des enthalpies
Hypothèses
Le calcul du COP repose sur les hypothèses du cycle idéal définies précédemment.
Donnée(s)
Nous utilisons les puissances calculées aux questions 2 et 3.
- Puissance thermique \(|\dot{Q}_{\text{chaud}}| = 6.39 \text{ kW}\)
- Puissance mécanique \(|\dot{W}_{\text{comp}}| = 1.13 \text{ kW}\)
Astuces
Le COP est un nombre sans dimension (des kW divisés par des kW). Si votre résultat a une unité, vous avez fait une erreur quelque part. Il doit être supérieur à 1 pour une pompe à chaleur.
Schéma (Avant les calculs)
Le calcul du COP ne nécessite pas de schéma spécifique, il s'agit de faire le ratio des énergies mises en jeu dans le cycle complet.
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma applicable pour ce résultat.
Réflexions
Un COP de 5.65 signifie que pour chaque 1 kWh d'électricité consommé par le compresseur, la pompe à chaleur fournit 5.65 kWh de chaleur à la maison. C'est une performance très élevée, typique d'un cycle idéal. Dans la réalité, les irréversibilités (frottements, pertes de charge, etc.) réduiraient ce COP (typiquement entre 3 et 4.5).
Points de vigilance
Ne jamais utiliser les températures en degrés Celsius pour calculer le COP de Carnot. Il faut impérativement les convertir en Kelvin. Pour le COP du cycle réel, assurez-vous d'utiliser les valeurs absolues des puissances.
Points à retenir
Le COP est le critère de performance clé : \(COP = \text{Chaleur utile} / \text{Travail fourni}\). Plus il est élevé, plus le système est efficace et économique à l'usage. Il diminue lorsque l'écart de température entre la source froide et la source chaude augmente.
Le saviez-vous ?
En mode "climatisation" durant l'été, la pompe à chaleur inverse son cycle. L'évaporateur se trouve à l'intérieur de la maison (il capte la chaleur) et le condenseur à l'extérieur (il la rejette). On ne parle alors plus de COP mais d'EER (Energy Efficiency Ratio), qui est le rapport \(|\dot{Q}_{\text{froid}}|/|\dot{W}_{\text{comp}}|\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la puissance de chauffage restait de 6.39 kW mais que la consommation du compresseur, à cause des irréversibilités, montait à 1.5 kW, quel serait le COP réel ?
Outil Interactif : Influence de la température extérieure sur le COP
Utilisez les curseurs pour faire varier la température de la source froide (l'air extérieur) et celle de la source chaude (la température de l'eau dans vos radiateurs). Observez comment le COP théorique (Carnot) de la pompe à chaleur est affecté.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est le rôle principal du compresseur dans une pompe à chaleur ?
2. Comment évolue le COP d'une pompe à chaleur lorsque la température extérieure baisse ?
3. Quelle transformation subit le fluide dans le détendeur ?
4. Un COP de 4 signifie que...
5. Dans quel composant le fluide frigorigène cède-t-il sa chaleur à l'intérieur de la maison ?
- Pompe à Chaleur (PAC)
- Système thermodynamique qui transfère de l'énergie thermique d'un milieu froid (source froide) vers un milieu chaud (source chaude) en consommant du travail.
- Coefficient de Performance (COP)
- Ratio de l'énergie thermique utile fournie sur l'énergie (souvent électrique) consommée. C'est l'indicateur d'efficacité d'une PAC.
- Enthalpie (h)
- Fonction d'état en thermodynamique, représentant l'énergie totale d'un système. Très utilisée pour les bilans énergétiques des systèmes ouverts (flux de matière).
- Entropie (s)
- Fonction d'état qui mesure le degré de désordre ou d'irréversibilité d'un système. Dans un processus idéal sans pertes, l'entropie reste constante (isentropique).
D’autres exercices de Thermodynamique classique:
0 commentaires