Modélisation d'un cycle de réfrigération

Contexte : Le Cycle de Réfrigération à Compression de VapeurLe cycle thermodynamique le plus couramment utilisé pour la réfrigération et les pompes à chaleur. Il se compose de quatre processus : compression, condensation, détente et évaporation..

Cet exercice explore le cycle de réfrigération idéal simple, qui est le fondement de la plupart des réfrigérateurs domestiques, des climatiseurs et des pompes à chaleur. Nous allons modéliser le cycle en utilisant le R-134aUn fluide frigorigène couramment utilisé, un hydrofluorocarbure (HFC) qui n'appauvrit pas la couche d'ozone. comme fluide de travail. L'objectif est de déterminer les propriétés thermodynamiques à chaque état du cycle et de calculer sa performance globale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les tables thermodynamiques et le diagramme Pression-Enthalpie (P-h) pour analyser un cycle complet. Comprendre ce cycle est essentiel pour concevoir et optimiser des systèmes de refroidissement et de chauffage.

Objectifs Pédagogiques

Tracer le cycle de réfrigération idéal sur un diagramme Pression-Enthalpie (P-h).
Déterminer les propriétés thermodynamiques (enthalpie, entropie) à chaque point du cycle à l'aide des tables.
Calculer le travail du compresseur et l'effet frigorifique (chaleur absorbée).
Évaluer l'efficacité du cycle en calculant son Coefficient de Performance (COP)Rapport de l'effet frigorifique souhaité au travail requis. Plus le COP est élevé, plus le réfrigérateur est efficace..

Données de l'étude

On étudie un cycle de réfrigération idéal simple à compression de vapeur qui utilise le réfrigérant R-134a. Le cycle fonctionne entre deux niveaux de pression : l'évaporateur et le condenseur.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide de travail	R-134a
Modèle de cycle	Cycle idéal à compression de vapeur
Composants	Compresseur, Condenseur, Vanne de détente, Évaporateur

Schéma de Principe du Cycle de Réfrigération

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Pression évaporateur	\( P_{\text{evap}} = P_1 = P_4 \)	200	kPa
Pression condenseur	\( P_{\text{cond}} = P_2 = P_3 \)	1400	kPa
État Point 1	Entrée Compresseur	Vapeur saturée
État Point 3	Sortie Condenseur	Liquide saturé

Questions à traiter

Déterminer l'enthalpie (\(h_1\)) et l'entropie (\(s_1\)) à l'entrée du compresseur (Point 1).
Déterminer l'enthalpie (\(h_2\)) à la sortie du compresseur (Point 2), en supposant une compression isentropique.
Déterminer l'enthalpie (\(h_3\)) à la sortie du condenseur (Point 3).
Déterminer l'enthalpie (\(h_4\)) à l'entrée de l'évaporateur (Point 4), en supposant une détente isenthalpique.
Calculer le travail spécifique du compresseur (\(w_c\)), l'effet frigorifique spécifique (\(q_f\)) et le Coefficient de Performance (COP) du cycle.

Les bases sur la Thermodynamique des Cycles Frigorifiques

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons le Premier Principe de la Thermodynamique pour les systèmes ouverts (volumes de contrôle) et les propriétés des fluides (tables thermodynamiques ou diagrammes).

1. Le Diagramme Pression-Enthalpie (P-h)
C'est l'outil le plus pratique pour visualiser les cycles de réfrigération. Il trace le logarithme de la pression (P) en ordonnée et l'enthalpie (h) en abscisse. Il contient la "cloche" de saturation qui sépare les états liquide, mélange diphasique et vapeur.

À gauche de la cloche : Liquide sous-refroidi
Sous la cloche : Mélange Liquide-Vapeur
À droite de la cloche : Vapeur surchauffée

2. Le Coefficient de Performance (COP)
Le COP mesure l'efficacité d'un réfrigérateur. Il est défini comme le rapport entre l'effet utile (le froid produit à l'évaporateur) et l'énergie dépensée (le travail fourni au compresseur). \[ \text{COP}_f = \frac{\text{Effet frigorifique}}{\text{Travail fourni}} = \frac{q_f}{w_c} \] Un COP > 1 est non seulement possible, mais attendu (on "déplace" plus de chaleur qu'on ne consomme de travail).

Correction : Modélisation d’un Cycle de Réfrigération Simple

Question 1 : Point 1 : Entrée Compresseur (\(h_1\) et \(s_1\))

Principe

Le point 1 est défini par l'énoncé comme étant à l'état de "vapeur saturée" et à la pression de l'évaporateur (\(P_{\text{evap}}\)). Nous devons donc trouver les propriétés de la vapeur saturée (indice \(g\) pour *gas*) à cette pression.

Mini-Cours

Les tables thermodynamiques pour un fluide donné (ici, R-134a) listent les propriétés (volume spécifique, enthalpie, entropie) pour les états de liquide saturé (indice \(f\)) et de vapeur saturée (indice \(g\)) à une température ou une pression donnée. Pour trouver \(h_1\) et \(s_1\), nous allons lire les valeurs \(h_g\) et \(s_g\) à la pression \(P_1\).

Remarque Pédagogique

Le point 1 est crucial car il fixe l'énergie entrant dans le compresseur et l'entropie de référence pour le calcul de la compression idéale (isentropique). On choisit la vapeur saturée pour maximiser l'effet frigorifique sans envoyer de liquide dans le compresseur, ce qui l'endommagerait.

Normes

Nous utilisons les tables thermodynamiques standards pour le R-134a, basées sur des données expérimentales et des équations d'état (EoS) reconnues internationalement (par ex., par le NIST ou l'IIR).

Formule(s)

Il ne s'agit pas de formules de calcul, mais de lecture de tables :

Enthalpie au Point 1

h_1 = h_g \text{ à } P_1

Entropie au Point 1

s_1 = s_g \text{ à } P_1

Hypothèses

Le cycle est idéal : le point 1 est *exactement* sur la courbe de vapeur saturée, sans aucune surchauffe à l'aspiration.

État 1 : Vapeur saturée

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour cette étape est la pression de l'évaporateur.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression évaporateur	\(P_1\)	200	kPa

Astuces

Dans un diagramme P-h, le point 1 se trouve à l'intersection de la ligne de pression horizontale \(P = 200 \text{ kPa}\) et de la courbe de vapeur saturée (le côté droit de la cloche).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du Point 1 sur un diagramme Pression-Enthalpie (P-h) simplifié.

Localisation du Point 1 (Diagramme P-h)

Calcul(s)

L'état 1 est défini par deux propriétés : Pression \(P_1 = 200 \text{ kPa}\) et État = Vapeur Saturée. La manipulation consiste à ouvrir la table thermodynamique du R-134a et à trouver la section "Propriétés de saturation - Par Pression".

1. On localise la ligne correspondant à \(P = 200 \text{ kPa}\).

2. Sur cette même ligne, on se déplace vers les colonnes correspondant à la "Vapeur Saturée" (souvent notées avec un indice \(g\)).

3. On lit directement les valeurs d'enthalpie (\(h_g\)) et d'entropie (\(s_g\)).

Extrait de la Table R-134a (Saturé, par Pression)

P (kPa)	T (\(^\circ\)C)	\(h_f\) (kJ/kg)	\(h_g\) (kJ/kg)	\(s_f\) (kJ/kg·K)	\(s_g\) (kJ/kg·K)
200	-10.09	38.46	244.50	0.1547	0.9377

Lecture des tables (Vapeur Saturée)

En se basant sur la table ci-dessus, on lit les valeurs pour la vapeur saturée (colonnes \(h_g\) et \(s_g\)) :

\text{Table R-134a @ } P_1 = 200 \text{ kPa :} \] \[ h_1 = h_g = 244.50 \text{ kJ/kg} \] \[ s_1 = s_g = 0.9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}

Ces deux valeurs sont nos points de départ pour le reste du cycle. \(h_1\) est l'énergie entrant dans le compresseur, et \(s_1\) est l'entropie de référence pour la compression idéale.

(Note: La température de saturation correspondante est \(T_1 = -10.09\ ^\circ\text{C}\). C'est la température à l'intérieur de l'évaporateur.)

Schéma (Après les calculs)

Le point 1 est maintenant fixé. Nous allons utiliser ses propriétés (notamment \(s_1\)) pour déterminer le point 2.

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

L'enthalpie \(h_1 = 244.50 \text{ kJ/kg}\) représente l'énergie totale (interne + flux) du fluide frigorigène par unité de masse entrant dans le compresseur. L'entropie \(s_1\) est la valeur de base pour notre calcul de compression idéale.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien lire les tables de "Vapeur Saturée" (et non "Liquide Saturé"). Vérifiez que vous êtes à la bonne pression (200 kPa = 0.2 MPa = 2 bar). Une erreur de lecture ici faussera tous les calculs suivants.

Points à retenir

Pour un cycle idéal simple, le point 1 (entrée compresseur) est toujours à l'état de vapeur saturée à la pression de l'évaporateur.

\(h_1 = h_g(P_{\text{evap}})\)
\(s_1 = s_g(P_{\text{evap}})\)

Le saviez-vous ?

Le R-134a (Tétrafluoroéthane) a été largement adopté dans les années 1990 pour remplacer le R-12 (Fréon), car il n'a pas d'impact sur la couche d'ozone (Potentiel d'Appauvrissement Ozonique = 0). Cependant, il a un Potentiel de Réchauffement Global (PRG) élevé, et est lui-même en cours de remplacement par des fluides de nouvelle génération (HFO).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

L'enthalpie au point 1 est \(h_1 = 244.50 \text{ kJ/kg}\) et l'entropie est \(s_1 = 0.9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}\).

A vous de jouer

Quelle serait la valeur de l'enthalpie \(h_1\) si la pression de l'évaporateur était de \(300 \text{ kPa}\) (en supposant toujours une vapeur saturée) ? (Utilisez les tables si vous les avez, la réponse est \(\approx 250.6\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Objectif : Trouver \(h_1\) et \(s_1\).
Méthode : Lecture des tables de vapeur saturée (\(h_g, s_g\)) à \(P_1 = P_{\text{evap}}\).
Résultat : \(h_1 = 244.50 \text{ kJ/kg}\), \(s_1 = 0.9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}\).

Question 2 : Point 2 : Sortie Compresseur (\(h_2\))

Principe

La compression dans un cycle idéal est supposée isentropiqueUn processus thermodynamique qui se produit sans changement d'entropie (s = constante). Il est à la fois adiabatique (pas d'échange de chaleur) et réversible (pas de frictions).. Cela signifie que l'entropie reste constante pendant la compression : \(s_2 = s_1\). Le point 2 est donc défini par deux propriétés : sa pression \(P_2 = P_{\text{cond}}\) et son entropie \(s_2\).

Mini-Cours

Un processus isentropique est un processus idéal qui sert de référence de performance. En pratique, la compression réelle est non-réversible (à cause des frictions, etc.), ce qui provoque une augmentation de l'entropie (\(s_{2, \text{réel}} > s_1\)). Pour trouver l'état 2, nous avons besoin de deux propriétés indépendantes. Nous avons \(P_2\) (donnée) et nous fixons \(s_2 = s_1\) (hypothèse du cycle idéal).

Remarque Pédagogique

Ceci est une modélisation. En réalité, un compresseur n'est pas parfaitement isentropique. On définit une "efficacité isentropique" (\(\eta_s\)) pour comparer le travail réel au travail idéal (isentropique). Pour cet exercice, nous supposons \(\eta_s = 100\%\).

Normes

Nous utilisons les tables thermodynamiques pour la "Vapeur Surchauffée" du R-134a, car la compression de vapeur saturée mène toujours à un état de vapeur surchauffée (très chaude et à haute pression).

Formule(s)

Propriétés au Point 2

P_2 = P_{\text{cond}} = 1400 \text{ kPa} \] \[ s_2 = s_1 = 0.9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}

Objectif

\[ h_2 = h(P_2, s_2) \]

Hypothèses

La transformation 1 \(\rightarrow\) 2 est isentropique (adiabatique et réversible).

\(s_2 = s_1\)

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression condenseur	\(P_2\)	1400	kPa
Entropie (de Q1)	\(s_1 = s_2\)	0.9377	kJ/kg·K

Astuces

Avant de chercher dans la table "vapeur surchauffée", vérifiez la table "saturée" à \(P_2 = 1400 \text{ kPa}\). Vous y trouverez \(s_g \approx 0.9041 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}\). Puisque notre entropie \(s_2 = 0.9377\) est *supérieure* à \(s_g\), cela confirme que le point 2 est bien en zone de surchauffe. S'il avait été inférieur, le compresseur aurait produit un mélange, ce qui est physiquement problématique.

Schéma (Avant les calculs)

Sur le diagramme P-h, nous allons suivre la ligne de pression \(P_1\) jusqu'à la courbe de vapeur saturée (Point 1), puis "monter" en suivant une ligne de "s-constant" (une courbe ascendante vers la droite) jusqu'à croiser la ligne de pression \(P_2\).

Processus de Compression 1 \(\rightarrow\) 2

Calcul(s)

L'état 2 est défini par \(P_2 = 1400 \text{ kPa}\) et \(s_2 = s_1 = 0.9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}\). Comme expliqué dans "Astuces", \(s_2 > s_g(1400\text{kPa})\), donc c'est de la vapeur surchauffée.

1. On ouvre la table "Vapeur Surchauffée" pour le R-134a.

2. On trouve le bloc de données pour \(P = 1400 \text{ kPa}\) (ou 1.4 MPa).

3. On cherche notre valeur \(s_2 = 0.9377\) dans la colonne d'entropie. On constate qu'elle n'existe pas :

À \(T = 50\ ^\circ\text{C}\) : \(s = 0.9123\) et \(h = 279.74\)
À \(T = 60\ ^\circ\text{C}\) : \(s = 0.9433\) et \(h = 289.43\)

Extrait de la Table R-134a (Vapeur Surchauffée @ 1400 kPa)

T (\(^\circ\)C)	\(h\) (kJ/kg)	\(s\) (kJ/kg·K)
...	...	...
50	279.74	0.9123
?	\(h_2\) ?	0.9377
60	289.43	0.9433
...	...	...

4. Notre valeur \(s_2\) est *entre* ces two points. Nous devons faire une interpolation linéaire pour trouver le \(h_2\) correspondant.

Interpolation Linéaire

La formule générale est : \( \frac{Y_{\text{notre}} - Y_1}{Y_2 - Y_1} = \frac{X_{\text{notre}} - X_1}{X_2 - X_1} \)

Ici, \(X\) est l'entropie (ce que nous avons) et \(Y\) est l'enthalpie (ce que nous cherchons).

Le bloc suivant détaille les 4 étapes du calcul d'interpolation :

\frac{h_2 - h(50^\circ\text{C})}{h(60^\circ\text{C}) - h(50^\circ\text{C})} = \frac{s_2 - s(50^\circ\text{C})}{s(60^\circ\text{C}) - s(50^\circ\text{C})} \] Étape A : Remplir les valeurs connues \[ \frac{h_2 - 279.74}{289.43 - 279.74} = \frac{0.9377 - 0.9123}{0.9433 - 0.9123} \] Étape B : Calculer les différences (les "écarts") \[ \frac{h_2 - 279.74}{9.69} = \frac{0.0254}{0.0310} \] Étape C : Calculer le ratio (la "proportion") \[ \frac{h_2 - 279.74}{9.69} \approx 0.81935 \] Étape D : Isoler \(h_2\) \[ h_2 = 279.74 + (0.81935 \times 9.69) \] \[ h_2 \approx 279.74 + 7.94 \] \[ h_2 \approx 287.68 \text{ kJ/kg}

Le calcul d'interpolation nous donne donc la valeur de l'enthalpie au point 2. Cette valeur représente l'énergie du fluide après qu'il ait été comprimé, et elle inclut l'énergie initiale (\(h_1\)) plus tout le travail fourni par le compresseur (\(w_c\)).

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

L'enthalpie a considérablement augmenté, passant de 244.50 à 287.68 kJ/kg. La différence, \(h_2 - h_1\), correspond exactement au travail (énergie) qu'il a fallu fournir au compresseur pour élever la pression et la température du fluide. La température au point 2 (par interpolation) est d'environ \(58.2\ ^\circ\text{C}\), bien plus élevée que la température de condensation de \(52.4\ ^\circ\text{C}\), confirmant l'état de surchauffe.

Points de vigilance

L'interpolation linéaire est une source d'erreur fréquente. Assurez-vous de bien aligner les bonnes valeurs (les \(h\) ensemble, les \(s\) ensemble) et de ne pas inverser la fraction. Double-vérifiez votre calcul.

Points à retenir

La compression idéale est isentropique (\(s_2=s_1\)). On utilise \(P_2\) et \(s_2\) pour trouver \(h_2\) dans les tables de vapeur surchauffée.

Compression 1 \(\rightarrow\) 2 : \(s_2 = s_1\)
Point 2 : Vapeur surchauffée

Le saviez-vous ?

La température en sortie de compresseur (appelée température de refoulement) est un paramètre de fonctionnement critique. Si elle est trop élevée (par exemple, si le rapport de pression est trop grand), elle peut "craquer" l'huile de lubrification du compresseur, créant des boues et entraînant une panne.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'enthalpie à la sortie du compresseur est \(h_2 \approx 287.68 \text{ kJ/kg}\).

A vous de jouer

Le travail spécifique du compresseur est la différence d'enthalpie \(w_c = h_2 - h_1\). Calculez cette valeur en utilisant \(h_1\) de la Q1.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Objectif : Trouver \(h_2\).
Méthode : Compression isentropique (\(s_2 = s_1\)). Lecture dans les tables de vapeur surchauffée à \(P_2\) et \(s_2\), avec interpolation.
Résultat : \(h_2 \approx 287.68 \text{ kJ/kg}\).

Question 3 : Point 3 : Sortie Condenseur (\(h_3\))

Principe

Le point 3 est défini par l'énoncé comme étant à l'état de "liquide saturé" et à la pression du condenseur (\(P_{\text{cond}}\)). Le condenseur a pour rôle de rejeter la chaleur (absorbée à l'évaporateur + travail du compresseur) vers l'extérieur. Ce rejet de chaleur se fait à pression constante (\(P_3 = P_2\)).

Mini-Cours

La transformation 2 \(\rightarrow\) 3 est un processus isobare (pression constante). Le fluide entre en vapeur surchauffée (Point 2), se refroidit jusqu'à devenir vapeur saturée, puis se condense entièrement pour devenir liquide saturé (Point 3) à la température \(T_{\text{sat}}(P_3)\). Nous avons juste besoin de trouver la propriété du liquide saturé (indice \(f\)) à cette pression.

Remarque Pédagogique

Dans un cycle réel, on cherche souvent à "sous-refroidir" le liquide à la sortie du condenseur (le refroidir en dessous de sa température de saturation). Cela augmente l'effet frigorifique (\(q_f\)) pour le même travail de compresseur, améliorant ainsi le COP. Pour ce cycle idéal, nous nous arrêtons exactement sur la courbe de saturation.

Normes

Nous utilisons les tables thermodynamiques standards pour le "Liquide Saturé" du R-134a.

Formule(s)

Propriétés au Point 3

P_3 = P_{\text{cond}} = 1400 \text{ kPa} \] \[ \text{État : Liquide Saturé}

Objectif

h_3 = h_f \text{ à } P_3

Hypothèses

L'énoncé stipule l'état de liquide saturé. On suppose aussi qu'il n'y a pas de perte de charge (perte de pression) dans le condenseur, donc \(P_3 = P_2\).

État 3 : Liquide saturé
Processus 2 \(\rightarrow\) 3 : Isobare

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est la pression du condenseur.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression condenseur	\(P_3\)	1400	kPa

Astuces

Sur un diagramme P-h, le point 3 se trouve à l'intersection de la ligne de pression horizontale \(P = 1400 \text{ kPa}\) et de la courbe de liquide saturé (le côté *gauche* de la cloche).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du Point 3 sur le diagramme P-h. Il s'agit du point le plus à gauche du cycle à la pression haute.

Processus de Condensation 2 \(\rightarrow\) 3

Calcul(s)

L'état 3 est défini par \(P_3 = 1400 \text{ kPa}\) et État = Liquide Saturé. La manipulation est similaire à celle de la Q1.

1. On ouvre la table "Propriétés de saturation - Par Pression".

2. On localise la ligne \(P = 1400 \text{ kPa}\).

3. Sur cette ligne, on cherche la colonne "Enthalpie" pour le "Liquide Saturé" (indice \(f\)).

Extrait de la Table R-134a (Saturé, par Pression)

P (kPa)	T (\(^\circ\)C)	\(h_f\) (kJ/kg)	\(h_g\) (kJ/kg)	\(s_f\) (kJ/kg·K)	\(s_g\) (kJ/kg·K)
1400	52.40	127.23	276.24	0.4570	0.9041

Lecture des tables (Liquide Saturé)

En se basant sur la table ci-dessus, on lit la valeur pour le liquide saturé (colonne \(h_f\)) :

\text{Table R-134a @ } P_3 = 1400 \text{ kPa :} \] \[ h_3 = h_f = 127.23 \text{ kJ/kg}

Cette valeur \(h_3\) est l'énergie du fluide après qu'il ait rejeté toute sa chaleur dans le condenseur. Il est maintenant prêt pour la détente.

(Note: La température de saturation correspondante est \(T_3 = 52.40\ ^\circ\text{C}\). C'est la température à laquelle le fluide se condense.)

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

L'enthalpie \(h_3 = 127.23 \text{ kJ/kg}\) représente l'énergie du fluide frigorigène à l'état liquide haute pression, juste avant la détente. La différence \(q_c = h_2 - h_3 = 287.68 - 127.23 = 160.45 \text{ kJ/kg}\) est la chaleur totale rejetée par le condenseur à l'extérieur. (Note : \(q_c\) doit être égal à \(q_f + w_c\). Vérifions : \(117.27 + 43.18 = 160.45\). C'est parfait, le bilan énergétique est bouclé !)

Points de vigilance

La principale erreur est de confondre \(h_f\) (enthalpie du liquide saturé) et \(h_g\) (enthalpie de la vapeur saturée). Au point 3, le fluide est liquide, on prend donc \(h_f\).

Points à retenir

La condensation se fait à pression constante. Dans un cycle idéal, le point 3 (sortie condenseur) est toujours à l'état de liquide saturé à la pression du condenseur.

Processus 2 \(\rightarrow\) 3 : Isobare (\(P_3=P_2\))
Point 3 : Liquide Saturé
\(h_3 = h_f(P_{\text{cond}})\)

Le saviez-vous ?

Si vous touchez l'arrière de votre réfrigérateur (la grille noire, le condenseur), elle est chaude. C'est la chaleur \(q_c = h_2 - h_3\) que vous sentez ! Elle est égale à la chaleur prise dans le frigo (\(q_f\)) *plus* l'énergie consommée par le compresseur (\(w_c\)).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'enthalpie à la sortie du condenseur est \(h_3 = 127.23 \text{ kJ/kg}\).

A vous de jouer

Quelle serait la valeur de l'enthalpie \(h_3\) si la pression du condenseur était de \(1200 \text{ kPa}\) ? (La réponse est \(\approx 117.79\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Trouver \(h_3\).
Méthode : Lecture des tables de liquide saturé (\(h_f\)) à \(P_3 = P_{\text{cond}}\).
Résultat : \(h_3 = 127.23 \text{ kJ/kg}\).

Question 4 : Point 4 : Entrée Évaporateur (\(h_4\))

Principe

Le passage du point 3 au point 4 se fait à travers une vanne de détente (ou un tube capillaire). Ce processus est supposé isenthalpiqueUn processus thermodynamique qui se produit sans changement d'enthalpie (h = constante). C'est une bonne approximation pour une détente rapide dans une vanne (processus de "étranglement" ou "throttling").. L'enthalpie ne change donc pas entre l'entrée et la sortie de la vanne.

Mini-Cours

Un processus de détente (ou "throttling") est un processus où un fluide passe d'une haute pression à une basse pression à travers une restriction (comme une vanne à moitié fermée ou un long tube fin). Ce processus est si rapide que l'échange de chaleur est négligeable (\(q \approx 0\)) et aucun travail n'est produit (\(w = 0\)). Le premier principe pour un système ouvert (\(\Delta h = q - w\)) se simplifie donc en \(\Delta h = 0\), soit \(h_4 = h_3\).

Remarque Pédagogique

C'est le processus le plus "magique" du cycle ! Bien que l'enthalpie (énergie totale) soit constante, la pression chute brutalement. Cette chute de pression force le liquide à s'évaporer partiellement ("flash gas"), ce qui lui demande de l'énergie (chaleur latente). Il la puise sur lui-même, provoquant une chute de température drastique. C'est ainsi qu'on crée le "froid".

Normes

Application du Premier Principe de la Thermodynamique pour les systèmes ouverts en régime permanent, pour un processus de détente adiabatique sans production de travail.

Formule(s)

Processus de Détente (Throttling)

\[ h_4 = h_3 \]

Hypothèses

La vanne de détente est un processus isenthalpique.

Transformation 3 \(\rightarrow\) 4 : Isenthalpique (\(h_4 = h_3\))
Processus adiabatique (\(q=0\))
Aucun travail produit (\(w=0\))

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Enthalpie (de Q3)	\(h_3\)	127.23	kJ/kg

Astuces

Sur un diagramme P-h, c'est le processus le plus simple à tracer : c'est une ligne parfaitement verticale, allant de la pression haute \(P_3\) à la pression basse \(P_4\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la détente isenthalpique sur le diagramme P-h.

Processus de Détente 3 \(\rightarrow\) 4

Calcul(s)

Le calcul est direct. L'hypothèse fondamentale pour une vanne de détente (processus "throttling") est qu'il n'y a ni échange de chaleur (\(q=0\)) ni de travail (\(w=0\)).

Le Premier Principe pour un volume de contrôle (la vanne) se simplifie en : \(\Delta h = 0\), soit \(h_{\text{sortie}} = h_{\text{entrée}}\).

1. On applique ce principe à notre vanne (entre les points 3 et 4) : \(h_4 = h_3\).

2. On utilise la valeur de \(h_3\) calculée à la question 3.

Le calcul est une simple substitution :

h_4 = h_3 \] \[ h_4 = 127.23 \text{ kJ/kg}

L'enthalpie au point 4 est donc identique à celle du point 3. Cependant, sa pression et sa température ont chuté drastiquement. Ce fluide froid et partiellement évaporé entre maintenant dans l'évaporateur.

(Note: Au point 4, le fluide est un mélange liquide-vapeur à basse pression \(P_4 = 200 \text{ kPa}\). L'enthalpie est la même, mais l'état physique a radicalement changé, provoquant une chute de température.)

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

Extrait de la Table R-134a (Saturé, par Pression)

P (kPa)	T (\(^\circ\)C)	\(h_f\) (kJ/kg)	\(h_g\) (kJ/kg)
200	-10.09	38.46	244.50

Au point 4, le fluide est un mélange. On peut calculer son "titre de vapeur" (la fraction de masse qui est vapeur) \(x_4\) avec la formule \(h_4 = h_f(P_4) + x_4 \cdot (h_g(P_4) - h_f(P_4))\). Avec les valeurs de la table ci-dessus, \(h_f(200\text{kPa})=38.46\) et \(h_g(200\text{kPa})=244.50\), on trouve \(x_4 \approx 0.43\). Cela signifie que 43% du fluide s'est évaporé "pour rien" juste pour se refroidir. C'est la source majeure d'inefficacité du cycle.

Points de vigilance

Ne supposez *jamais* qu'un processus de détente est isentropique (\(s_4 = s_3\)), sauf s'il s'agit d'une turbine idéale. Une vanne est fondamentalement irréversible et l'entropie augmente (\(s_4 > s_3\)). L'hypothèse correcte est \(h_4 = h_3\).

Points à retenir

La détente dans une vanne (ou tube capillaire) est un processus isenthalpique.

Transformation 3 \(\rightarrow\) 4 : Isenthalpique
Formule : \(h_4 = h_3\)

Le saviez-vous ?

Dans les très grandes installations de réfrigération industrielle, on utilise parfois des "bouteilles de séparation" (flash tanks). On détend le fluide dans un réservoir, on sépare la vapeur "inutile" (le "flash gas") qu'on renvoie au compresseur, et on n'envoie que le liquide froid à l'évaporateur. Cela améliore l'efficacité.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'enthalpie à l'entrée de l'évaporateur est \(h_4 = 127.23 \text{ kJ/kg}\).

A vous de jouer

L'effet frigorifique est la quantité de chaleur absorbée par l'évaporateur. Il est égal à \(q_f = h_1 - h_4\). Calculez cette valeur en utilisant \(h_1\) de la Q1.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Trouver \(h_4\).
Méthode : Processus de détente isenthalpique.
Formule : \(h_4 = h_3\).
Résultat : \(h_4 = 127.23 \text{ kJ/kg}\).

Question 5 : Calcul du Travail (\(w_c\)), Effet Frigorifique (\(q_f\)) et COP

Principe

Nous allons maintenant assembler tous les résultats pour évaluer la performance globale du cycle. Nous appliquons le bilan d'énergie (Premier Principe en système ouvert) à chaque composant pour trouver les transferts d'énergie (travail ou chaleur), puis nous calculons le rapport d'efficacité (le COP).

Mini-Cours

Pour un composant en régime permanent sans changement d'énergie cinétique ou potentielle, le Premier Principe s'écrit : \(\dot{Q} - \dot{W} = \dot{m} (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})\).
- Compresseur (1\(\rightarrow\)2) : Supposé adiabatique (\(\dot{Q}=0\)). Donc \(- \dot{W}_c = \dot{m} (h_2 - h_1)\). Le travail *reçu* par le fluide est \(w_c = \dot{W}_c / \dot{m} = h_2 - h_1\).
- Évaporateur (4\(\rightarrow\)1) : Pas de travail (\(\dot{W}=0\)). Donc \(\dot{Q}_f = \dot{m} (h_1 - h_4)\). L'effet frigorifique est \(q_f = \dot{Q}_f / \dot{m} = h_1 - h_4\).

Remarque Pédagogique

Le COP est le "gain" divisé par le "coût". Pour un réfrigérateur, le "gain" est le froid produit (\(q_f\)) et le "coût" est le travail payé (\(w_c\)). Les deux doivent être positifs. Assurez-vous que \(h_2 > h_1\) et \(h_1 > h_4\) pour que \(w_c\) et \(q_f\) soient positifs.

Normes

Définition standard du Coefficient de Performance pour un cycle frigorifique (parfois noté \(\text{COP}_f\) ou \(\varepsilon\)).

Formule(s)

Travail du Compresseur

\[ w_c = h_2 - h_1 \]

Effet Frigorifique (Évaporateur)

\[ q_f = h_1 - h_4 \]

Coefficient de Performance (Réfrigérateur)

\text{COP}_f = \frac{q_f}{w_c} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}

Hypothèses

Toutes les hypothèses des étapes précédentes sont maintenues (cycle idéal, isentropique, isenthalpique, isobare) et les valeurs d'enthalpie calculées sont correctes.

Donnée(s)

Rappel de toutes les enthalpies calculées.

Point	Propriété	Valeur (kJ/kg)
1	\(h_1\)	244.50
2	\(h_2\)	287.68
3	\(h_3\)	127.23
4	\(h_4\)	127.23

Astuces

Sur le diagramme P-h, \(\text{COP}_f = (\text{longueur du segment 4-1}) / (\text{longueur du segment 1-2})\). Vous pouvez "voir" l'efficacité. Plus l'évaporation (4-1) est longue par rapport à la compression (1-2), meilleur est le COP.

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme P-h complet, montrant les segments qui correspondent à \(q_f\) et \(w_c\).

Visualisation de \(q_f\) et \(w_c\)

Calcul(s)

Nous appliquons les formules de performance en utilisant les quatre valeurs d'enthalpie que nous venons de déterminer.

Étape 1 : Calcul du travail spécifique (Coût)

C'est l'énergie consommée par le compresseur, calculée comme la différence d'enthalpie entre sa sortie (2) et son entrée (1).

w_c = h_2 - h_1 \] \[ w_c = 287.68 \text{ (de Q2)} - 244.50 \text{ (de Q1)} \] \[ w_c = 43.18 \text{ kJ/kg}

Chaque kilogramme de fluide qui traverse le compresseur nécessite un apport de 43.18 kJ de travail.

Étape 2 : Calcul de l'effet frigorifique (Gain)

C'est la chaleur absorbée par l'évaporateur, calculée comme la différence d'enthalpie entre sa sortie (1) et son entrée (4).

q_f = h_1 - h_4 \] \[ q_f = 244.50 \text{ (de Q1)} - 127.23 \text{ (de Q4)} \] \[ q_f = 117.27 \text{ kJ/kg}

Chaque kilogramme de fluide absorbe 117.27 kJ de chaleur de l'espace réfrigéré, produisant ainsi l'effet "froid".

Étape 3 : Calcul du COP (Efficacité)

C'est le rapport du "Gain" (ce qu'on veut, \(q_f\)) sur le "Coût" (ce qu'on paie, \(w_c\)).

\text{COP}_f = \frac{q_f}{w_c} \] \[ \text{COP}_f = \frac{117.27 \text{ kJ/kg}}{43.18 \text{ kJ/kg}} \] \[ \text{COP}_f \approx 2.716

Le COP est un nombre sans dimension. Un COP de 2.716 signifie que notre système est capable de déplacer 2.716 Joules d'énergie thermique pour chaque Joule d'énergie de travail consommé.

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme ci-dessus est complet et représente visuellement le rapport entre le "gain" (\(q_f\)) et le "coût" (\(w_c\)).

Réflexions

Un COP de 2.72 signifie que pour chaque 1 kJ de travail électrique (coûteux) fourni au compresseur, le système parvient à *déplacer* 2.72 kJ de chaleur de l'intérieur (source froide) vers l'extérieur (source chaude). C'est ce qui rend les pompes à chaleur si efficaces : elles ne "créent" pas de chaleur, elles la "transportent".

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser le COP (\(w_c / q_f\)). Le COP d'un frigo doit être > 1 (sauf conditions extrêmes). Si vous obtenez 0.37, vous avez probablement inversé le rapport. Assurez-vous aussi de ne pas mélanger \(q_f\) (\(h_1 - h_4\)) et \(q_c\) (\(h_2 - h_3\)) dans la formule.

Points à retenir

Le COP est le rapport du gain sur le coût. Pour un réfrigérateur, \(\text{COP}_f = q_f / w_c\). Pour une pompe à chaleur, \(\text{COP}_c = q_c / w_c\). On doit toujours avoir \(q_c = q_f + w_c\), et donc \(\text{COP}_c = \text{COP}_f + 1\).

Le saviez-vous ?

Le COP maximal théorique est celui du cycle de Carnot inversé : \(\text{COP}_{\text{Carnot}} = T_f / (T_c - T_f)\). Pour nos températures de saturation \(T_f = -10.09\ ^\circ\text{C}\) (263.06 K) et \(T_c = 52.40\ ^\circ\text{C}\) (325.55 K), \(\text{COP}_{\text{Carnot}} = 263.06 / (325.55 - 263.06) \approx 4.21\). Notre cycle (2.72) est moins efficace, principalement à cause de la détente isenthalpique irréversible.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Travail spécifique : \(w_c = 43.18 \text{ kJ/kg}\)
Effet frigorifique : \(q_f = 117.27 \text{ kJ/kg}\)
Coefficient de Performance : \(\text{COP}_f \approx 2.72\)

A vous de jouer

Si ce même cycle était utilisé comme une pompe à chaleur, l'effet utile serait la chaleur rejetée au condenseur (\(q_c = h_2 - h_3\)). Calculez le \(\text{COP}_c = q_c / w_c\). (Indice : il devrait être égal à \(\text{COP}_f + 1\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Calculer \(w_c\), \(q_f\) et \(\text{COP}_f\).
Formules : \(w_c = h_2 - h_1\), \(q_f = h_1 - h_4\), \(\text{COP}_f = q_f / w_c\).
Résultat : \(\text{COP}_f \approx 2.72\).

Outil Interactif : Simulateur de COP

Explorez comment les pressions de fonctionnement influencent la performance du cycle. Utilisez les curseurs pour modifier les pressions de l'évaporateur (\(P_{\text{evap}}\)) et du condenseur (\(P_{\text{cond}}\)) et observez l'impact direct sur le Coefficient de Performance (COP).

Paramètres d'Entrée

Pression évaporateur (P_evap) [kPa] 200 kPa

Pression condenseur (P_cond) [kPa] 1400 kPa

Résultats Clés (Approximés)

Effet Frigorifique (q_f) - kJ/kg

Coefficient de Performance (COP) -

Glossaire

Enthalpie (\(h\)): Une propriété thermodynamique représentant l'énergie totale d'un système. Elle inclut l'énergie interne (U) plus le produit de la pression (P) et du volume (V). Pour un volume de contrôle, sa variation représente le travail et la chaleur échangés. \(h = u + Pv\).
Entropie (\(s\)): Une mesure du "désordre" ou de la dispersion de l'énergie dans un système. Un processus "isentropique" est un processus idéal, réversible et sans échange de chaleur, où l'entropie ne change pas.
Coefficient de Performance (COP): Rapport de l'énergie utile (froid produit ou chaleur fournie) à l'énergie coûtante (travail consommé). Il mesure l'efficacité d'un cycle de pompe à chaleur ou de réfrigération.
Vapeur saturée (ou Sèche): L'état d'une substance où elle est entièrement sous forme de vapeur, mais à la température et la pression exactes où elle commencerait à se condenser si on lui retirait de la chaleur. (Point 1 dans ce cycle).
Liquide saturé: L'état d'une substance où elle est entièrement sous forme de liquide, mais à la température et la pression exactes où elle commencerait à s'évaporer si on lui fournissait de la chaleur. (Point 3 dans ce cycle).

Modélisation d’un cycle de réfrigération

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de Principe du Cycle de Réfrigération

Questions à traiter

Les bases sur la Thermodynamique des Cycles Frigorifiques

Correction : Modélisation d’un Cycle de Réfrigération Simple

Question 1 : Point 1 : Entrée Compresseur (\(h_1\) et \(s_1\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Localisation du Point 1 (Diagramme P-h)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Point 2 : Sortie Compresseur (\(h_2\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Processus de Compression 1 \(\rightarrow\) 2

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Point 3 : Sortie Condenseur (\(h_3\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Processus de Condensation 2 \(\rightarrow\) 3

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Réfrigération Complet (Diagramme P-h)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Point 4 : Entrée Évaporateur (\(h_4\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)