ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Modélisation du profil de température

Modélisation du Profil de Température dans une Barre Chauffée

Modélisation du profil de température dans une barre chauffée à une extrémité

Comprendre le Transfert de Chaleur Combiné

Cet exercice explore un problème de transfert de chaleur en régime permanent dans une barre (ou ailette de refroidissement) qui est soumise simultanément à deux processus : la conduction de la chaleur le long de son axe et la convection (pertes de chaleur) de sa surface vers l'environnement ambiant. La combinaison de ces deux phénomènes crée un profil de température non linéaire le long de la barre, qui peut être décrit par une équation différentielle. La résolution de cette équation, en appliquant les conditions aux limites, permet de déterminer la température en tout point de la barre et le flux de chaleur nécessaire pour maintenir cet état.

Données de l'étude

On étudie une longue tige de cuivre, fixée par une de ses extrémités à une paroi maintenue à haute température. La tige est en contact avec l'air ambiant et perd de la chaleur par convection. On suppose que l'autre extrémité est suffisamment loin pour être considérée comme parfaitement isolée thermiquement.

Schéma d'une Barre avec Pertes par Convection
Paroi Barre conductrice T_base Extrémité isolée Air ambiant à T_amb Pertes (h) Φ_in

Conditions et constantes :

  • Matériau : Cuivre (\(k = 400 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\))
  • Longueur de la barre : \(L = 1.0 \, \text{m}\)
  • Barre de section carrée de côté \(c = 1 \, \text{cm}\)
  • Température de la base : \(T_{\text{base}} = 120 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température ambiante : \(T_{\text{amb}} = 20 \, ^\circ\text{C}\)
  • Coefficient de convection : \(h = 25 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la section \(A\) et le périmètre \(P\) de la barre.
  2. Établir l'équation différentielle qui décrit le profil de température \(T(x)\) le long de la barre.
  3. Résoudre cette équation pour trouver l'expression générale de \(T(x)\).
  4. Appliquer les conditions aux limites pour déterminer les constantes d'intégration et donner l'expression finale de \(T(x)\).
  5. Calculer la température à l'extrémité isolée de la barre (\(x=L\)).
  6. Calculer le flux de chaleur total (\(\Phi_{\text{in}}\)) qui doit être fourni à la base (\(x=0\)) pour maintenir ce régime permanent.

Correction : Modélisation du profil de température dans une barre chauffée à une extrémité

Question 1 : Section et périmètre

Calcul :

Conversion du côté : \(c = 1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\).

\[ A = c^2 = (0.01)^2 = 1 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
\[ P = 4c = 4 \times 0.01 = 0.04 \, \text{m} \]
Résultat Question 1 : La section est \(A = 10^{-4} \, \text{m}^2\) et le périmètre est \(P = 0.04 \, \text{m}\).

Question 2 : Équation différentielle

Principe :

On effectue un bilan d'énergie sur une tranche infinitésimale de la barre de longueur \(dx\). En régime permanent, le flux de chaleur qui entre en \(x\) par conduction moins le flux qui sort en \(x+dx\) est égal au flux qui est perdu par convection sur la surface latérale de la tranche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Phi(x) - \Phi(x+dx) - d\Phi_{\text{conv}} = 0 \]

Avec \(\Phi(x) = -kA \frac{dT}{dx}\) (Loi de Fourier) et \(d\Phi_{\text{conv}} = h(Pdx)(T(x)-T_{\text{amb}})\) (Loi de Newton).

Cela conduit à l'équation différentielle, en posant \(\theta(x) = T(x) - T_{\text{amb}}\) :

\[ \frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2\theta = 0 \quad \text{avec} \quad m = \sqrt{\frac{hP}{kA}} \]
Résultat Question 2 : L'équation différentielle est \(\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2\theta = 0\).

Question 3 : Solution générale de l'équation

Principe :

L'équation \(\theta'' - m^2\theta = 0\) est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Sa solution générale est une combinaison linéaire d'exponentielles, souvent exprimée à l'aide de fonctions hyperboliques pour plus de commodité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta(x) = C_1 \cosh(mx) + C_2 \sinh(mx) \]

Ce qui donne pour la température :

\[ T(x) = T_{\text{amb}} + C_1 \cosh(mx) + C_2 \sinh(mx) \]
Résultat Question 3 : La solution générale est \(T(x) = T_{\text{amb}} + C_1 \cosh(mx) + C_2 \sinh(mx)\).

Question 4 : Application des conditions aux limites

Principe :

On utilise les deux conditions données pour déterminer les constantes d'intégration \(C_1\) et \(C_2\).
1. À la base (\(x=0\)), la température est imposée : \(T(0) = T_{\text{base}}\).
2. À l'extrémité (\(x=L\)), la barre est isolée, donc le flux de chaleur est nul : \(\frac{dT}{dx}(L) = 0\).

Calcul :

Condition 1 : \(T(0) = T_{\text{base}}\)

\[ T_{\text{base}} = T_{\text{amb}} + C_1 \cosh(0) + C_2 \sinh(0) \Rightarrow C_1 = T_{\text{base}} - T_{\text{amb}} \]

Condition 2 : \(\frac{dT}{dx}(L) = 0\)

\[ \frac{dT}{dx} = mC_1 \sinh(mx) + mC_2 \cosh(mx) \]
\[ 0 = mC_1 \sinh(mL) + mC_2 \cosh(mL) \Rightarrow C_2 = -C_1 \frac{\sinh(mL)}{\cosh(mL)} = -C_1 \tanh(mL) \]

Expression finale de \(T(x)\) :

\[ T(x) = T_{\text{amb}} + (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) (\cosh(mx) - \tanh(mL)\sinh(mx)) \]
\[ T(x) = T_{\text{amb}} + (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{\cosh(mL)\cosh(mx) - \sinh(mL)\sinh(mx)}{\cosh(mL)} \]
\[ T(x) = T_{\text{amb}} + (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{\cosh(m(L-x))}{\cosh(mL)} \]
Résultat Question 4 : Le profil de température est \(T(x) = T_{\text{amb}} + (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{\cosh(m(L-x))}{\cosh(mL)}\).

Question 5 : Température à l'extrémité (\(x=L\))

Principe :

On applique la formule du profil de température au point \(x=L\).

Calcul :

Calcul du paramètre \(m\) :

\[ m = \sqrt{\frac{hP}{kA}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 0.04}{400 \cdot 10^{-4}}} = \sqrt{\frac{1}{0.04}} = \sqrt{25} = 5 \, \text{m}^{-1} \]

Température à \(x=L\) :

\[ \begin{aligned} T(L) &= T_{\text{amb}} + (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{\cosh(m(L-L))}{\cosh(mL)} \\ &= T_{\text{amb}} + (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{\cosh(0)}{\cosh(5 \cdot 1)} \\ &= 20 + (120 - 20) \frac{1}{\cosh(5)} \\ &= 20 + 100 \cdot \frac{1}{74.21} \\ &\approx 20 + 1.35 = 21.35 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La température à l'extrémité de la barre est d'environ \(21.4 \, ^\circ\text{C}\).

Question 6 : Flux de chaleur entrant (\(\Phi_{\text{in}}\))

Principe :

Le flux de chaleur qui entre dans la barre à sa base (\(x=0\)) est donné par la loi de Fourier. On doit dériver l'expression de \(T(x)\) et l'évaluer en \(x=0\).

Calcul :

Dérivée de \(T(x)\) :

\[ \frac{dT}{dx} = (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{-m \sinh(m(L-x))}{\cosh(mL)} \]

Évaluation en \(x=0\) :

\[ \frac{dT}{dx}\bigg|_{x=0} = -(T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \frac{m \sinh(mL)}{\cosh(mL)} = -m(T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \tanh(mL) \]

Calcul du flux :

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{in}} &= -kA \frac{dT}{dx}\bigg|_{x=0} \\ &= -kA [-m(T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \tanh(mL)] \\ &= \sqrt{hPkA} (T_{\text{base}} - T_{\text{amb}}) \tanh(mL) \\ &= (400 \cdot 10^{-4}) \cdot 5 \cdot (100) \cdot \tanh(5) \\ &= 0.04 \cdot 500 \cdot 0.9999 \\ &\approx 20.0 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le flux de chaleur à fournir à la base est d'environ \(20.0 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une barre avec pertes par convection, le profil de température en régime permanent est...

2. Une condition de "paroi isolée" à x=L se traduit mathématiquement par :

3. Si le coefficient de convection \(h\) augmente, la température à l'extrémité de la barre...

Glossaire

Conduction
Transfert de chaleur à travers un matériau par contact direct, sans déplacement de matière. C'est le principal mode de transfert de chaleur dans les solides.
Convection
Transfert de chaleur qui se produit entre une surface et un fluide en mouvement (liquide ou gaz). Il combine les effets de la conduction et du transport de matière.
Loi de Fourier
Loi qui stipule que le flux de chaleur par conduction est proportionnel au gradient de température. \(\Phi = -kA \frac{dT}{dx}\).
Régime Permanent (ou Stationnaire)
État d'un système où les variables d'état (comme la température en un point donné) ne changent pas au cours du temps, même si de l'énergie traverse le système.
Profil de Température
Fonction mathématique, \(T(x)\), qui décrit la valeur de la température en chaque point le long d'un objet.
Profil de Température - Exercice d'Application

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