ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Loi de Fick et Diffusion d’un Polluant

Loi de Fick : Diffusion d'un Polluant dans l'Air

Loi de Fick et Diffusion d'un Polluant

Comprendre la Loi de Fick

La première loi de Fick décrit la diffusion, un processus de transport de matière irréversible qui tend à homogénéiser la concentration d'une espèce dans un milieu. Elle stipule que le flux de matière est proportionnel au gradient de concentration de cette matière. Le signe négatif dans la loi indique que la diffusion se produit des zones de haute concentration vers les zones de basse concentration. Cette loi est fondamentale pour modéliser la dispersion des polluants, l'absorption de nutriments et de nombreux autres phénomènes naturels et industriels.

Données de l'étude

Une usine rejette du dioxyde de soufre (\(\text{SO}_2\)) dans l'atmosphère par une cheminée. On souhaite estimer la quantité de polluant qui diffuse dans l'air ambiant en régime stationnaire.

Schéma de la Diffusion du Polluant
Usine C₁ (source) C₂ (100m) J

Le flux de matière \(J\) se propage de la zone de haute concentration (source) vers la zone de basse concentration.

Conditions et constantes :

  • Concentration molaire de \(\text{SO}_2\) à la sortie de la cheminée : \(C_1 = 0.1 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • On suppose que la concentration de \(\text{SO}_2\) à une distance \(L\) est négligeable : \(C_2 = 0 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • Distance de mesure du gradient : \(L = 100 \, \text{m}\)
  • Coefficient de diffusion de \(\text{SO}_2\) dans l'air : \(D = 1.2 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}\)
  • Surface de diffusion considérée (imaginaire) : \(A = 50 \, \text{m}^2\)
  • Masse molaire du \(\text{SO}_2\) : \(M(\text{S}) \approx 32 \, \text{g/mol}\), \(M(\text{O}) \approx 16 \, \text{g/mol}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le gradient de concentration (\(\frac{dC}{dx}\)) en supposant qu'il est constant sur la distance L.
  2. En utilisant la première loi de Fick, calculer le flux molaire de diffusion (\(J\)) du \(\text{SO}_2\).
  3. Calculer le débit molaire (\(\dot{n}\)) de \(\text{SO}_2\) à travers la surface de diffusion \(A\).
  4. Calculer la masse de \(\text{SO}_2\) qui traverse cette surface en une heure.

Correction : Application de la Loi de Fick

Question 1 : Gradient de concentration

Principe :

Le gradient de concentration est la variation de la concentration par unité de distance. On l'approxime ici par la différence finie des concentrations divisée par la distance \(L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{dC}{dx} \approx \frac{\Delta C}{\Delta x} = \frac{C_2 - C_1}{L} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{dC}{dx} &= \frac{0 - 0.1 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}}{100 \, \text{m}} \\ &= -0.001 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-4} \end{aligned} \]

Le gradient est négatif, ce qui indique que la concentration diminue avec la distance, comme attendu.

Résultat Question 1 : Le gradient de concentration est de \(-0.001 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-4}\).

Question 2 : Flux molaire de diffusion (\(J\))

Principe :

La première loi de Fick relie le flux molaire au gradient de concentration via le coefficient de diffusion \(D\). Le signe négatif de la loi assure que le flux est positif lorsque la diffusion se fait dans le sens des concentrations décroissantes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J = -D \frac{dC}{dx} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= -(1.2 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}) \times (-0.001 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-4}) \\ &= 1.2 \times 10^{-8} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2} \end{aligned} \]

Le flux est positif, indiquant un transport de matière dans la direction positive de x (de la source vers l'extérieur).

Résultat Question 2 : Le flux molaire de diffusion est \(J = 1.2 \times 10^{-8} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}\).

Question 3 : Débit molaire (\(\dot{n}\))

Principe :

Le débit molaire est la quantité totale de matière qui traverse une surface donnée par unité de temps. On l'obtient en multipliant le flux molaire par la surface \(A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \dot{n} = J \cdot A \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \dot{n} &= (1.2 \times 10^{-8} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}) \times (50 \, \text{m}^2) \\ &= 60 \times 10^{-8} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \\ &= 6.0 \times 10^{-7} \, \text{mol/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le débit molaire de \(\text{SO}_2\) est de \(6.0 \times 10^{-7} \, \text{mol/s}\).

Question 4 : Masse de SO₂ diffusée en une heure

Principe :

Pour trouver la masse totale diffusée, on multiplie le débit molaire par la durée de diffusion (en secondes) et par la masse molaire du composé (\(\text{SO}_2\)).

Calcul :

Masse molaire de \(\text{SO}_2\) :

\[ M(\text{SO}_2) = M(\text{S}) + 2 \cdot M(\text{O}) = 32 + 2 \cdot 16 = 64 \, \text{g/mol} \]

Durée de diffusion en secondes :

\[ \Delta t = 1 \, \text{h} \times 3600 \, \text{s/h} = 3600 \, \text{s} \]

Masse totale diffusée (\(m\)) :

\[ \begin{aligned} m &= \dot{n} \cdot M \cdot \Delta t \\ &= (6.0 \times 10^{-7} \, \text{mol/s}) \times (64 \, \text{g/mol}) \times (3600 \, \text{s}) \\ &= 0.13824 \, \text{g} \\ &\approx 138 \, \text{mg} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Environ 138 mg de \(\text{SO}_2\) traversent la surface en une heure.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La première loi de Fick stipule que le flux de matière est...

2. Le signe "moins" dans la loi de Fick indique que...

3. Si le coefficient de diffusion \(D\) était deux fois plus grand, la masse de polluant diffusée serait...

Glossaire

Diffusion
Processus de transport de matière résultant du mouvement aléatoire des particules (mouvement brownien), qui provoque un flux net de matière d'une région de haute concentration vers une région de basse concentration.
Loi de Fick (Première)
Loi qui quantifie le flux de diffusion. Elle stipule que le flux molaire (\(J\)) est proportionnel et de sens opposé au gradient de concentration (\(J = -D \cdot \nabla C\)).
Flux de Matière (\(J\))
Quantité de matière qui traverse une surface unité par unité de temps. Il s'exprime en \(\text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}\).
Gradient de Concentration (\(\nabla C\))
Vecteur qui indique la direction et le taux de variation le plus rapide de la concentration dans l'espace. En une dimension, il se simplifie en \(\frac{dC}{dx}\).
Coefficient de Diffusion (\(D\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Fick qui caractérise la vitesse à laquelle une substance diffuse dans une autre. Il dépend des substances, de la température et de la pression. Unité : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Loi de Fick - Exercice d'Application

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