Le Modèle d'Einstein pour la Capacité Thermique

Comprendre le Modèle d'Einstein

La loi classique de Dulong-Petit prédit que la capacité thermique molaire des solides est constante et égale à \(3R\), ce qui est correct à haute température. Cependant, elle échoue complètement à basse température, où la capacité thermique tend vers zéro. Le modèle d'Einstein fut la première théorie à expliquer ce phénomène en appliquant les idées de la quantification de l'énergie aux vibrations des atomes dans un cristal. Il modélise le solide comme un ensemble de \(N\) atomes vibrant indépendamment les uns des autres comme des oscillateurs harmoniques quantiques, tous à la même fréquence \(\nu\). Ce modèle simple, bien qu'imparfait, a marqué une étape cruciale vers la compréhension quantique de la matière.

Données de l'étude

On s'intéresse à la capacité thermique molaire du diamant, un solide très rigide, à une température donnée.

Conditions et constantes :

Solide : Diamant (carbone)
On s'intéresse à une mole, soit \(N = N_A\) atomes.
Température d'Einstein pour le diamant (\(\Theta_E\)) : \(1320 \, \text{K}\)
Température d'étude (\(T\)) : \(298 \, \text{K}\) (température ambiante)
Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{\text{-1}} \cdot \text{K}^{\text{-1}}\)

Schéma du Solide d'Einstein

Questions à traiter

Écrire la formule de la capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{V,m}\)) d'un solide d'Einstein en fonction de \(R\), \(T\) et de la température d'Einstein \(\Theta_E\).
Calculer le rapport \(\Theta_E / T\).
Calculer la valeur de l'exponentielle \(e^{\Theta_E / T}\).
Calculer la capacité thermique molaire \(C_{V,m}\) du diamant à 298 K.
Comparer le résultat à la valeur classique de Dulong-Petit (\(3R\)) et commenter.

Correction : Le Modèle d'Einstein pour la Capacité Thermique d'un Solide

Question 1 : Formule de la Capacité Thermique d'Einstein

Principe :

La capacité thermique à volume constant \(C_V\) est obtenue en dérivant l'énergie interne \(U\) par rapport à la température \(T\). L'énergie interne elle-même est dérivée de la fonction de partition du système. Le résultat final pour un solide cristallin de \(N_A\) atomes (une mole) est une formule bien connue qui dépend du rapport entre la température d'Einstein \(\Theta_E = h\nu/k_B\) et la température thermodynamique \(T\).

Formule :

C_{V,m} = 3R \left( \frac{\Theta_E}{T} \right)^2 \frac{e^{\Theta_E / T}}{\left(e^{\Theta_E / T} - 1\right)^2}

Question 2 : Calcul du Rapport \(\Theta_E / T\)

Principe :

Ce rapport adimensionnel compare l'énergie caractéristique des vibrations quantiques (\(k_B \Theta_E\)) à l'énergie thermique disponible (\(k_B T\)). Il détermine si le comportement est classique ou quantique.

Calcul :

\frac{\Theta_E}{T} = \frac{1320 \, \text{K}}{298 \, \text{K}} \approx 4.4295

Question 3 : Calcul de l'Exponentielle

Calcul :

e^{\Theta_E / T} = e^{4.4295} \approx 83.89

Question 4 : Calcul de la Capacité Thermique Molaire \(C_{V,m}\)

Principe :

On injecte les valeurs calculées précédemment dans la formule de la capacité thermique d'Einstein.

Calcul :

\begin{aligned} C_{V,m} &= 3R \left( 4.4295 \right)^2 \frac{83.89}{\left(83.89 - 1\right)^2} \\ &= 3R \cdot (19.62) \cdot \frac{83.89}{(82.89)^2} \\ &= 3R \cdot (19.62) \cdot \frac{83.89}{6870.7} \\ &= 3R \cdot (19.62) \cdot (0.01221) \\ &\approx 3R \cdot (0.2396) \end{aligned}

Calculons la valeur numérique :

\begin{aligned} C_{V,m} &\approx 0.2396 \times 3 \times (8.314 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) \\ &\approx 5.977 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La capacité thermique molaire du diamant à 298 K est \(C_{V,m} \approx 5.98 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

Question 5 : Comparaison avec la Loi de Dulong-Petit

Principe :

La loi de Dulong-Petit est la limite classique (haute température) où la capacité thermique molaire de tous les solides monoatomiques devrait être \(3R\).

Calcul et Commentaire :

C_{V,m}^{\text{classique}} = 3R \approx 3 \times 8.314 = 24.94 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

On constate que la valeur calculée pour le diamant (\(5.98 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)) est très inférieure à la prédiction classique. Cela est dû à la très haute température d'Einstein du diamant (\(1320 \, \text{K}\)). La température ambiante (\(298 \, \text{K}\)) est en fait une "basse température" pour le diamant (\(T \ll \Theta_E\)), où les effets quantiques sont dominants et "gèlent" les degrés de liberté de vibration, réduisant drastiquement la capacité thermique.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Que prédit le modèle d'Einstein pour la capacité thermique lorsque \(T \to \infty\) ?

\(C_V \to 0\)
\(C_V \to R\)
\(C_V \to 3R\) (Loi de Dulong-Petit)
\(C_V \to \infty\)

2. Un solide avec une température d'Einstein \(\Theta_E\) très basse (ex: le plomb, \(\Theta_E \approx 105\) K) aura une capacité thermique à température ambiante (298 K)...

Très proche de la limite classique de 3R.
Très proche de zéro.
Égale à celle du diamant.

Note: Pour le plomb à 298 K, \(T > \Theta_E\), on est dans le régime de "haute température".

Glossaire

Modèle d'Einstein: Modèle en physique statistique où un solide cristallin est traité comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques quantiques indépendants et de même fréquence, pour expliquer sa capacité thermique.
Capacité Thermique (\(C_V\)): Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'un système de un degré, à volume constant. Elle mesure l'aptitude d'une substance à stocker de l'énergie thermique.
Loi de Dulong-Petit: Loi classique qui affirme que la capacité thermique molaire de tous les solides monoatomiques est approximativement égale à \(3R\). Elle est valable à haute température mais échoue à basse température.
Température d'Einstein (\(\Theta_E\)): Température caractéristique d'un solide dans le modèle d'Einstein, définie par \(\Theta_E = h\nu/k_B\). Elle représente la température à laquelle les effets quantiques deviennent importants pour les vibrations du réseau.

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