ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Force Thermoélectromotrice d’un Thermocouple

Calcul de la Force Thermoélectromotrice d'un Thermocouple

Calcul de la Force Thermoélectromotrice d'un Thermocouple

Comprendre la Force Thermoélectromotrice

La force thermoélectromotrice (f.é.m.) est la tension générée par l'effet Seebeck dans un thermocouple. Pour de petites différences de température, on peut considérer le coefficient de Seebeck comme constant. Cependant, pour des mesures plus précises sur de larges plages de température, il faut tenir compte du fait que ce coefficient varie avec la température. Le calcul de la f.é.m. totale nécessite alors d'intégrer le coefficient de Seebeck sur l'intervalle de température entre la jonction froide et la jonction chaude.

Données de l'étude

On cherche à calculer précisément la f.é.m. d'un thermocouple de type J (Fer-Constantan) utilisé pour des mesures à haute température.

Schéma d'un Thermocouple
T-chaud T-froid Fil 1 (Fer) Fil 2 (Constantan) Jonction chaude Jonction froide V

Conditions et constantes :

  • Température de la jonction chaude : \(T_{\text{chaud}} = 500 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température de la jonction froide (de référence) : \(T_{\text{froid}} = 0 \, ^\circ\text{C}\)
  • Le coefficient Seebeck du thermocouple de type J est modélisé par l'équation affine suivante (température T en °C) : \(\alpha(T) = a + bT\)
  • Coefficients pour le type J :
    • \(a = 50.2 \times 10^{-6} \, \text{V}/^\circ\text{C}\)
    • \(b = 0.03 \times 10^{-6} \, \text{V}/(^\circ\text{C})^2\)

Questions à traiter

  1. Écrire l'expression intégrale de la force thermoélectromotrice (\(V\)) en fonction de \(\alpha(T)\), \(T_{\text{chaud}}\) et \(T_{\text{froid}}\).
  2. Résoudre l'intégrale pour trouver une expression littérale de la tension \(V\) en fonction de \(a\), \(b\), \(T_{\text{chaud}}\) et \(T_{\text{froid}}\).
  3. Calculer la valeur numérique de la force thermoélectromotrice \(V\) générée par le thermocouple, en millivolts (mV).
  4. À titre de comparaison, calculer la tension qu'on aurait obtenue en utilisant un coefficient Seebeck moyen constant, calculé à la température moyenne \((T_{\text{chaud}}+T_{\text{froid}})/2\). Commenter l'écart.

Correction : Calcul de la Force Thermoélectromotrice d'un Thermocouple

Question 1 : Expression intégrale de la f.é.m.

Principe :

Lorsque le coefficient Seebeck \(\alpha\) dépend de la température, la force thermoélectromotrice (f.é.m.) n'est plus un simple produit, mais l'intégrale du coefficient sur l'intervalle de température entre les deux jonctions.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = \int_{T_{\text{froid}}}^{T_{\text{chaud}}} \alpha(T) \,dT \]
Résultat Question 1 : L'expression intégrale de la tension est \(V = \int_{T_{\text{froid}}}^{T_{\text{chaud}}} \alpha(T) \,dT\).

Question 2 : Résolution de l'intégrale

Principe :

On remplace \(\alpha(T)\) par son expression affine \((a+bT)\) et on calcule l'intégrale définie.

Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= \int_{T_{\text{froid}}}^{T_{\text{chaud}}} (a + bT) \,dT \\ &= \left[ aT + \frac{1}{2}bT^2 \right]_{T_{\text{froid}}}^{T_{\text{chaud}}} \\ &= \left( aT_{\text{chaud}} + \frac{1}{2}bT_{\text{chaud}}^2 \right) - \left( aT_{\text{froid}} + \frac{1}{2}bT_{\text{froid}}^2 \right) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'expression littérale est \(V = a(T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}) + \frac{1}{2}b(T_{\text{chaud}}^2 - T_{\text{froid}}^2)\).

Question 3 : Calcul numérique de la f.é.m.

Principe :

On applique la formule littérale trouvée avec les valeurs numériques de l'énoncé. Comme \(T_{\text{froid}} = 0 \, ^\circ\text{C}\), le calcul est simplifié.

Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= aT_{\text{chaud}} + \frac{1}{2}bT_{\text{chaud}}^2 \\ &= (50.2 \times 10^{-6}) \cdot 500 + \frac{1}{2}(0.03 \times 10^{-6}) \cdot (500)^2 \\ &= (25100 \times 10^{-6}) + (0.015 \times 10^{-6}) \cdot (250000) \\ &= 0.0251 + 0.00375 \\ &= 0.02885 \, \text{V} \end{aligned} \]

Conversion en millivolts :

\[ V = 0.02885 \, \text{V} \times 1000 \, \text{mV/V} = 28.85 \, \text{mV} \]
Résultat Question 3 : La force thermoélectromotrice générée est de \(28.85 \, \text{mV}\).

Question 4 : Comparaison avec un coefficient moyen

Principe :

On calcule d'abord la température moyenne, puis le coefficient Seebeck \(\alpha_{\text{moyen}}\) à cette température. On utilise ensuite ce coefficient constant pour calculer la tension via la formule simplifiée \(V = \alpha_{\text{moyen}} \cdot \Delta T\).

Calcul :

Température moyenne :

\[ T_{\text{moyen}} = \frac{T_{\text{chaud}} + T_{\text{froid}}}{2} = \frac{500 + 0}{2} = 250 \, ^\circ\text{C} \]

Coefficient Seebeck moyen :

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{moyen}} &= a + bT_{\text{moyen}} \\ &= (50.2 \times 10^{-6}) + (0.03 \times 10^{-6}) \cdot 250 \\ &= 50.2 \times 10^{-6} + 7.5 \times 10^{-6} \\ &= 57.7 \times 10^{-6} \, \text{V}/^\circ\text{C} \end{aligned} \]

Calcul de la tension approchée :

\[ \begin{aligned} V_{\text{approx}} &= \alpha_{\text{moyen}} \cdot \Delta T \\ &= (57.7 \times 10^{-6}) \cdot (500 - 0) \\ &= 0.02885 \, \text{V} = 28.85 \, \text{mV} \end{aligned} \]

Commentaire : Dans ce cas précis, parce que le coefficient Seebeck est une fonction affine de la température, l'intégration sur l'intervalle donne exactement le même résultat que l'utilisation de la valeur du coefficient au point milieu de l'intervalle. Si la dépendance en température avait été plus complexe (ex: un terme en \(T^2\)), les deux résultats auraient été différents. Cet exercice montre que pour une dépendance linéaire, l'approximation par la valeur moyenne est exacte.

Résultat Question 4 : Le calcul avec le coefficient moyen donne \(28.85 \, \text{mV}\), un résultat identique au calcul par intégration car la dépendance de \(\alpha\) est linéaire.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force thermoélectromotrice d'un thermocouple dépend principalement...

2. Quand est-il nécessaire d'intégrer le coefficient de Seebeck ?

3. La "force thermoélectromotrice" est un autre nom pour...

Glossaire

Effet Seebeck
Phénomène thermoélectrique dans lequel une différence de température entre deux conducteurs ou semi-conducteurs électriques dissemblables produit une différence de potentiel entre les deux substances.
Force Thermoélectromotrice (f.é.m.)
La tension électrique, ou différence de potentiel, générée par effet Seebeck dans un circuit de thermocouple. Elle est la "force" qui peut potentiellement faire circuler un courant si le circuit est fermé.
Thermocouple
Capteur de température composé de deux conducteurs de nature différente reliés par deux jonctions. La tension générée est fonction de la différence de température entre ces jonctions.
Coefficient Seebeck (\(\alpha\))
Également appelé pouvoir thermoélectrique, c'est la constante de proportionnalité qui lie la tension thermoélectrique à la différence de température. Il est spécifique à une paire de matériaux et dépend généralement de la température. Unité : V/K.
Force Thermoélectromotrice - Exercice d'Application

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