ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Fonction de Partition d’un Système à Deux Niveaux

Calcul de la Fonction de Partition d'un Système à Deux Niveaux

Calcul de la Fonction de Partition d'un Système à Deux Niveaux

Comprendre la Fonction de Partition

En thermodynamique statistique, la fonction de partition (notée \(Z\) ou \(z\)) est la quantité centrale qui fait le pont entre les propriétés microscopiques d'un système (les niveaux d'énergie accessibles à ses particules) et ses propriétés thermodynamiques macroscopiques (énergie interne, entropie, pression...). Elle représente une somme sur tous les états d'énergie possibles du système, pondérée par le facteur de Boltzmann. Calculer la fonction de partition est souvent la première étape pour déterminer toutes les autres grandeurs thermodynamiques d'un système à l'équilibre thermique.

Données de l'étude

On considère un système de \(N\) particules discernables et sans interaction. Chaque particule ne peut occuper que deux niveaux d'énergie non-dégénérés.

Propriétés du système :

  • Niveau d'énergie fondamental : \(\epsilon_0 = 0\)
  • Niveau d'énergie excité : \(\epsilon_1 = \epsilon\)
  • Température du système : \(T\)
  • Constante de Boltzmann : \(k_B\)
  • On pose \(\beta = 1/(k_B T)\)
Schéma du Système à Deux Niveaux
Énergie ε₀ = 0 ε₁ = ε

Les particules se répartissent entre les deux niveaux d'énergie disponibles.

Questions à traiter

  1. Écrire la formule générale de la fonction de partition pour une seule particule (\(z\)) en fonction des énergies \(\epsilon_i\) et de leurs dégénérescences \(g_i\).
  2. Appliquer cette formule pour calculer \(z\) pour le système à deux niveaux décrit.
  3. Exprimer la fonction de partition totale \(Z\) pour un système de \(N\) particules discernables et sans interaction en fonction de \(z\).
  4. Dériver l'expression de l'énergie interne totale \(U\) du système à partir de la fonction de partition \(Z\).

Correction : Calcul de la Fonction de Partition d'un Système à Deux Niveaux

Question 1 : Formule Générale de la Fonction de Partition Monoparticulaire

Principe :

La fonction de partition pour une seule particule, notée \(z\), est la somme des facteurs de Boltzmann pour tous les états d'énergie accessibles à cette particule. Chaque terme est pondéré par la dégénérescence \(g_i\) de son niveau d'énergie \(\epsilon_i\).

Formule :
\[ z = \sum_{i} g_i e^{-\beta \epsilon_i} = \sum_{i} g_i e^{-\epsilon_i / (k_B T)} \]

Question 2 : Calcul de \(z\) pour le Système à Deux Niveaux

Principe :

On applique la formule générale au cas spécifique du système. Nous avons deux niveaux : le premier avec \(\epsilon_0 = 0\) et une dégénérescence \(g_0=1\), et le second avec \(\epsilon_1 = \epsilon\) et une dégénérescence \(g_1=1\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= g_0 e^{-\beta \epsilon_0} + g_1 e^{-\beta \epsilon_1} \\ &= (1) \cdot e^{-\beta(0)} + (1) \cdot e^{-\beta\epsilon} \\ &= e^0 + e^{-\beta\epsilon} \\ &= 1 + e^{-\beta\epsilon} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La fonction de partition pour une particule est \(z = 1 + e^{-\epsilon / (k_B T)}\).

Question 3 : Fonction de Partition Totale \(Z\)

Principe :

Pour un système de \(N\) particules qui sont discernables (par exemple, localisées sur des sites fixes dans un cristal) et sans interaction, la fonction de partition totale du système, \(Z\), est simplement le produit des fonctions de partition individuelles. Comme toutes les particules sont identiques, cela devient la fonction de partition monoparticulaire à la puissance \(N\).

Formule et Résultat :
\[ Z = z^N = \left( 1 + e^{-\beta\epsilon} \right)^N \]
Résultat Question 3 : La fonction de partition totale est \(Z = (1 + e^{-\beta\epsilon})^N\).

Question 4 : Calcul de l'Énergie Interne \(U\)

Principe :

L'énergie interne \(U\), qui est l'énergie moyenne du système \(\langle E \rangle\), peut être directement dérivée du logarithme de la fonction de partition totale \(Z\) par rapport à \(\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ U = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} \]
Calcul :

On calcule d'abord \(\ln Z\):

\[ \ln Z = \ln\left( (1 + e^{-\beta\epsilon})^N \right) = N \ln(1 + e^{-\beta\epsilon}) \]

Puis on dérive par rapport à \(\beta\):

\[ \begin{aligned} U &= - \frac{\partial}{\partial \beta} \left[ N \ln(1 + e^{-\beta\epsilon}) \right] \\ &= -N \left( \frac{1}{1 + e^{-\beta\epsilon}} \right) \cdot \frac{\partial}{\partial \beta} (e^{-\beta\epsilon}) \\ &= -N \left( \frac{1}{1 + e^{-\beta\epsilon}} \right) \cdot (-\epsilon e^{-\beta\epsilon}) \\ &= N \frac{\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{1 + e^{-\beta\epsilon}} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie interne du système est \(U = N\epsilon \frac{e^{-\epsilon/(k_B T)}}{1 + e^{-\epsilon/(k_B T)}}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Lorsque la température \(T \to 0\) (\(\beta \to \infty\)), que vaut la fonction de partition monoparticulaire \(z\) ?

Indice : \(e^{-\infty} = 0\). Toutes les particules sont dans l'état fondamental.

2. Lorsque la température \(T \to \infty\) (\(\beta \to 0\)), que vaut l'énergie interne \(U\) ?

Indice : \(e^0 = 1\). Les deux niveaux sont également peuplés.

Glossaire

Thermodynamique Statistique
Branche de la physique qui utilise les statistiques et la théorie des probabilités pour expliquer les propriétés macroscopiques des systèmes (température, pression) à partir du comportement de leurs constituants microscopiques (atomes, molécules).
Fonction de Partition (\(Z\))
Somme des probabilités relatives de chaque état microscopique d'un système à l'équilibre thermique. C'est une fonction de la température et d'autres paramètres (volume, etc.) qui contient toute l'information thermodynamique sur le système.
Facteur de Boltzmann
Terme \(e^{-\epsilon / (k_B T)}\) qui donne le poids statistique relatif d'un état d'énergie \(\epsilon\) à une température \(T\). Les états de haute énergie sont exponentiellement moins probables.
Dégénérescence (\(g\))
Nombre d'états quantiques différents qui possèdent le même niveau d'énergie.
Fonction de Partition - Exercice d'Application
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