Calcul du Flux de Chaleur à travers un Mur Composite
Contexte : Efficacité Énergétique et Isolation.
L'isolation thermique est un pilier de la transition énergétique. Dans le bâtiment, les murs représentent souvent 20 à 25% des déperditions thermiques d'une maison mal isolée. Comprendre comment la chaleur traverse une paroi composite (constituée par exemple de brique, d'isolant et de plâtre) est essentiel pour dimensionner correctement l'isolation et éviter les gaspillages. Cet exercice simule un cas réel de rénovation thermique pour analyser le transfert de chaleur par ConductionMode de transfert thermique sans déplacement de matière, typique des solides. à travers un mur composé de plusieurs couches de matériaux différents (brique, isolant, plâtre).
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de manipuler la notion de Résistance Thermique et d'appliquer l'analogie électro-thermique (loi d'additivité des résistances en série), fondamentale pour les études thermiques réglementaires (RT2012, RE2020).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la loi de Fourier appliquée à un mur plan multicouche.
- Calculer la résistance thermique de différents matériaux de construction.
- Déterminer le flux de chaleur total traversant une paroi composite.
- Calculer les températures aux interfaces pour prévenir les risques de condensation.
Données de l'étude
On considère un mur plan de surface \(S = 10 \, \text{m}^2\) constitué de trois couches successives. Le mur sépare un intérieur chauffé d'un extérieur froid.
Fiche Technique / Données
| Matériau (Couche) | Épaisseur \(e\) (\(\text{cm}\)) | Conductivité \(\lambda\) (\(\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})\)) |
|---|---|---|
| 1. Brique (Extérieur) | 20 | 0.84 |
| 2. Laine de verre (Isolant) | 10 | 0.04 |
| 3. Plâtre (Intérieur) | 1 | 0.25 |
Températures :
- Température intérieure : \(T_{\text{int}} = 20 \, ^\circ\text{C}\)
- Température extérieure : \(T_{\text{ext}} = -5 \, ^\circ\text{C}\)
Schéma du Mur Composite
Questions à traiter
- Calculer la résistance thermique de chaque couche.
- En déduire la résistance thermique totale du mur.
- Calculer le flux de chaleur total \(\Phi\) traversant le mur.
- Calculer la température à l'interface entre la brique et l'isolant.
- Conclure sur l'importance de l'isolant.
Les bases théoriques
Le transfert de chaleur par conduction suit la loi de Fourier. En régime stationnaire, le flux est conservatif à travers les couches, ce qui permet des analogies simples avec les circuits électriques.
Loi de Fourier (1D)
Le flux thermique est proportionnel au gradient de température et à la surface d'échange.
Pour un mur plan d'épaisseur \(e\), cela se simplifie en : \(\Phi = \frac{\lambda \cdot S}{e} \cdot \Delta T\).
Résistance Thermique
Par analogie avec l'électricité (Loi d'Ohm \(U = R \cdot I\)), on définit la résistance thermique \(R_{\text{th}}\) telle que \(\Delta T = R_{\text{th}} \cdot \Phi\).
Formule de la Résistance
Où :
- \(e\) : épaisseur (\(\text{m}\))
- \(\lambda\) : conductivité thermique (\(\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})\))
- \(S\) : surface (\(\text{m}^2\))
Association en Série
Comme pour des résistances électriques en série, les résistances thermiques s'additionnent.
Correction : Calcul du Flux de Chaleur à travers un Mur Composite
Question 1 : Résistance Thermique de chaque couche
Principe
Nous allons appliquer la formule \(R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda \cdot S}\) pour chacun des trois matériaux. La démarche consiste à identifier les propriétés de chaque couche (épaisseur, conductivité) et à effectuer le calcul individuellement pour quantifier la capacité de chaque matériau à freiner la chaleur.
Mini-Cours
Rappel conversion : \(1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\).
La résistance thermique quantifie l'opposition d'un matériau au passage du flux de chaleur. Plus elle est élevée, plus le matériau est isolant. C'est l'inverse de la conductance.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de travailler avec des unités cohérentes (Système International). L'oubli de la conversion cm vers m est l'erreur la plus fréquente chez les étudiants, menant à des résultats absurdes.
Normes
Les valeurs de conductivité et les méthodes de calcul sont encadrées par la norme ISO 6946 (Composants et parois de bâtiments - Résistance thermique et coefficient de transmission thermique).
Formule(s)
Résistance Thermique Plan
Hypothèses
On suppose que :
- Les matériaux sont homogènes et isotropes.
- Le contact entre les couches est parfait (pas de résistance de contact thermique additionnelle due à des lames d'air parasites).
Donnée(s)
| Couche | \(e\) (\(\text{m}\)) | \(\lambda\) | \(S\) (\(\text{m}^2\)) |
|---|---|---|---|
| Brique | 0.20 | 0.84 | 10 |
| Laine | 0.10 | 0.04 | 10 |
| Plâtre | 0.01 | 0.25 | 10 |
Astuces
La surface \(S\) est la même pour toutes les couches. Si vous calculez la résistance totale surfacique \(r\) (pour 1 m²), vous pouvez multiplier par \(1/S\) à la fin, mais ici nous détaillons le calcul complet pour \(S=10 \, \text{m}^2\) pour plus de clarté.
Modélisation : Couches Séparées
Calcul(s)
Résistance de la Brique (\(R_1\))
Pour la brique, l'épaisseur est de 20 cm soit 0.20 m. La conductivité est élevée (0.84) ce qui en fait un mauvais isolant :
On obtient une résistance très faible (0.0238 K/W). La brique laisse passer la chaleur facilement.
Résistance de la Laine de Verre (\(R_2\))
Pour la laine de verre, l'épaisseur est de 10 cm (0.10 m) et la conductivité est très basse (0.04), caractéristique d'un bon isolant :
Le résultat (0.2500 K/W) est dix fois supérieur à celui de la brique. C'est cette couche qui va principalement freiner le flux thermique.
Résistance du Plâtre (\(R_3\))
Pour le plâtre, couche de finition très fine (1 cm soit 0.01 m) :
La résistance est négligeable (0.0040 K/W) comparée aux autres couches.
Comparaison Graphique des Résistances
Réflexions
On constate que la résistance de l'isolant (\(0.25\)) est bien supérieure à celle de la brique (\(0.024\)), malgré une épaisseur plus faible que la brique. C'est le rôle de la faible conductivité \(\lambda\). Un bon isolant doit avoir un lambda inférieur à 0.06 W/(m.K).
Points de vigilance
Ne pas confondre la résistance thermique \(R\) (en K/W) avec la résistance thermique surfacique \(R_s\) (en m²·K/W) souvent donnée par les fabricants d'isolants. \(R = R_s / S\).
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule de base \(R_{\text{th}} = e / (\lambda \cdot S)\).
- Un isolant a un \(\lambda\) très faible, ce qui génère une grande résistance.
Le saviez-vous ?
La laine de verre est fabriquée à partir de sable et de verre recyclé (calcin). Sa structure fibreuse emprisonne l'air immobile, qui est en réalité le véritable isolant.
FAQ
Pourquoi diviser par la surface S ?
Plus la surface est grande, plus la chaleur a de "chemin" pour passer, donc la résistance au passage diminue (comme un fil électrique de plus gros diamètre laisse passer plus de courant).
A vous de jouer
Calculez R pour 20 cm d'isolant (double épaisseur).
📝 Mémo
La résistance thermique R dépend de l'épaisseur et de la conductivité. Pour bien isoler, il faut de l'épaisseur et un lambda faible.
Question 2 : Résistance Thermique Totale
Principe
Le mur est composé de couches successives traversées par le même flux de chaleur. Il s'agit d'une configuration en série. Nous devons additionner les résistances individuelles calculées précédemment pour obtenir la résistance globale de la paroi.
Mini-Cours
Analogie Électrique : Tout comme des résistors placés à la suite les uns des autres sur un circuit électrique, les obstacles thermiques s'ajoutent. Le flux doit franchir chaque obstacle l'un après l'autre.
Remarque Pédagogique
La résistance totale détermine la performance globale du mur. Si une seule couche a une résistance très élevée (l'isolant), elle "tire" toute la résistance totale vers le haut.
Normes
La RE2020 (Réglementation Environnementale 2020) incite à avoir des résistances thermiques de parois très élevées, souvent \(R_{\text{mur}} \ge 4\) ou \(5 \, \text{m}^2\cdot\text{K}/\text{W}\) pour obtenir le label BBC ou Passif.
Formule(s)
Loi d'additivité
Hypothèses
On néglige ici les ponts thermiques (fuites de chaleur aux jonctions dalle/mur) qui diminueraient la résistance réelle effective.
Donnée(s)
| Résistance | Valeur (\(\text{K}/\text{W}\)) |
|---|---|
| \(R_1\) (Brique) | 0.0238 |
| \(R_2\) (Laine) | 0.2500 |
| \(R_3\) (Plâtre) | 0.0040 |
Astuces
Vérifiez toujours que \(R_{\text{tot}}\) est supérieure à la plus grande des résistances individuelles. Si ce n'est pas le cas, vous avez fait une erreur de soustraction (impossible en série) !
Circuit Thermique Équivalent
Calcul(s)
Somme des Résistances
Les matériaux étant superposés, le flux doit traverser l'ensemble. On additionne les résistances :
La résistance totale est dominée par le terme le plus grand (0.2500). L'isolant représente l'essentiel de la performance.
Résultat
Réflexions
L'isolant représente \( \frac{0.2500}{0.2778} \approx 90\% \) de la résistance totale. Les autres matériaux (brique et plâtre) sont quasi-négligeables thermiquement dans ce système isolé.
Points de vigilance
Ne pas additionner les conductivités \(\lambda\). Ce sont les résistances qui s'ajoutent. C'est une erreur classique de débutant de faire \(\lambda_{\text{tot}} = \lambda_1 + \lambda_2\).
Points à Retenir
En série, \(R_{\text{eq}} = \sum R_i\). C'est le maillon "fort" (le plus isolant) qui dicte la performance de l'ensemble.
Le saviez-vous ?
Dans un mur non isolé, la couche d'air limite superficielle (résistance de convection/rayonnement) joue un rôle non négligeable, mais ici nous nous concentrons sur la conduction pure à travers la matière solide.
FAQ
Et si les couches étaient en parallèle ?
On utiliserait la loi \(1/R_{\text{eq}} = 1/R_1 + 1/R_2\), comme pour des ponts thermiques traversant un mur (ex: une ossature métallique traversant l'isolant).
A vous de jouer
Si on ajoute une 2ème couche de laine identique, combien vaudrait \(R_{\text{tot}}\) ?
📝 Mémo
En série, les résistances thermiques s'ajoutent simplement. L'isolant est l'élément déterminant.
Question 3 : Flux de Chaleur Total (\(\Phi\))
Principe
Le flux thermique \(\Phi\) est la quantité d'énergie qui traverse le mur par seconde (puissance). Il est "poussé" par la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur, et "freiné" par la résistance totale du mur.
Mini-Cours
La formule est l'exacte analogue de \(I = U / R\) en électricité. Le Flux remplace l'Intensité, la Différence de Température remplace la Tension (Différence de Potentiel).
Remarque Pédagogique
Un flux positif signifie que la chaleur va du chaud (intérieur) vers le froid (extérieur). C'est une perte énergétique pour le bâtiment qu'il faudra compenser par du chauffage pour maintenir la température intérieure.
Normes
Ce calcul de déperdition statique est la base des études thermiques réglementaires (Bilan thermique pour le dimensionnement de chaudière).
Formule(s)
Loi générale
Hypothèses
Régime permanent : les températures ne varient pas dans le temps, donc le flux est constant à travers toutes les couches (il ne s'accumule nulle part).
Donnée(s)
| Variable | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(T_{\text{int}}\) | 20 | °C |
| \(T_{\text{ext}}\) | -5 | °C |
| \(R_{\text{tot}}\) | 0.2778 | K/W |
Astuces
Une différence de 1°C est égale à une différence de 1 Kelvin. Pas besoin de convertir en Kelvin absolu (273.15 + ...) pour faire une soustraction de températures.
Gradient de Température (Force Motrice)
Calcul(s)
Calcul de l'écart de température (\(\Delta T\))
On calcule d'abord la différence de température qui "pousse" le flux à travers le mur :
Il y a 25 degrés d'écart, c'est la force motrice du transfert thermique.
Calcul du Flux (\(\Phi\))
On applique ensuite l'analogie de la loi d'Ohm (\(\Phi = \Delta T / R_{\text{tot}}\)) :
Le mur laisse échapper 90 Joules chaque seconde vers l'extérieur.
Résultat Visualisé
Réflexions
90 W correspond à la puissance d'une ancienne ampoule à incandescence. C'est l'énergie perdue en permanence par ce mur de 10m² tant que la différence de température reste de 25°C. Sur une journée, cela représente \(90 \times 24 = 2160\) Wh, soit environ 2.16 kWh.
Points de vigilance
Attention aux signes : \(20 - 5 = 15\) serait faux. C'est \(20 - (-5) = 25\). L'écart de température est la valeur absolue.
Points à Retenir
\(\Phi = \Delta T / R\). Pour réduire le flux (les pertes), il faut soit réduire \(\Delta T\) (chauffer moins), soit augmenter \(R\) (isoler).
Le saviez-vous ?
Dans une maison "passivhaus" (très isolée), les apports solaires et la chaleur des habitants suffisent presque à compenser ces faibles pertes, rendant le chauffage quasi inutile.
FAQ
Est-ce beaucoup 90W ?
Pour 10m², c'est raisonnable grâce à l'isolation. Pour une maison entière (200m² de murs), cela ferait 1800W de pertes rien que par les murs, ce qui commence à compter.
A vous de jouer
Si l'extérieur descend à -10°C (\(\Delta T = 30\)), quel est le nouveau flux ?
📝 Mémo
Flux = Force motrice / Résistance.
Question 4 : Température à l'interface Brique/Isolant
Principe
Puisque le flux \(\Phi\) est le même partout (conservation de l'énergie), on peut appliquer la loi d'Ohm thermique localement, sur une seule couche (ici la brique extérieure), pour trouver la température inconnue à son interface.
Mini-Cours
C'est le principe du pont diviseur de tension. La chute de température dans une couche est proportionnelle à sa résistance : \(\Delta T_i = \Phi \times R_i\). Plus la couche est isolante, plus la température chute brutalement à l'intérieur.
Remarque Pédagogique
Visualisez le profil de température : ça descend doucement dans les conducteurs (brique) et brutalement dans les isolants.
Normes
Connaître les températures d'interface est crucial pour éviter le point de rosée (condensation à l'intérieur du mur) selon la norme ISO 13788.
Formule(s)
Loi locale (Couche 1 : Brique)
On isole \(T_{\text{interface}}\) dans l'équation :
Hypothèses
Le sens du flux va de l'interface vers l'extérieur à travers la brique. Donc \(T_{\text{interface}}\) doit être supérieur à \(T_{\text{ext}}\).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(T_{\text{ext}}\) | -5 °C |
| \(\Phi\) | 90.0 W |
| \(R_{\text{brique}}\) | 0.0238 K/W |
Astuces
Faites un schéma mental : on part de -5°C (dehors) et on "remonte" le courant thermique à travers la brique pour trouver une température plus élevée.
Zoom sur l'Interface
Calcul(s)
Chute de température dans la brique
On applique la loi de Fourier uniquement sur la couche de brique extérieure. On cherche la chute de température \(\Delta T_{\text{brique}}\) provoquée par la traversée de cette couche :
La température ne chute que de 2.14°C à travers la brique car elle n'oppose que peu de résistance.
Calcul final
Comme le flux va vers l'extérieur (le froid), la température à l'interface est plus élevée que la température extérieure :
On trouve une température négative. L'interface est gelée, ce qui justifie l'utilisation de matériaux résistants au gel pour la structure.
Résultat Visualisé
Réflexions
L'interface est gelée (-2.86°C). Si de l'air humide de l'intérieur migre jusqu'ici, il va condenser et geler (car < 0°C), ce qui peut dégrader l'isolant. C'est pourquoi on place souvent un pare-vapeur côté chaud (avant l'isolant) pour empêcher l'humidité d'atteindre cette zone froide.
Points de vigilance
Ne pas utiliser \(R_{\text{tot}}\) ici ! On cherche la température locale, on utilise donc uniquement la résistance locale (\(R_{\text{brique}}\)).
Points à Retenir
La température chute proportionnellement à la résistance traversée. Grande résistance = Grande chute de température.
Le saviez-vous ?
C'est ce calcul qui permet de décider de l'isolation par l'extérieur (ITE) ou l'intérieur (ITI). L'ITE maintient la structure porteuse au chaud (ici la brique serait à l'intérieur), ce qui est meilleur pour le bâtiment (moins de dilatations thermiques).
FAQ
Peut-on calculer T depuis l'intérieur ?
Oui ! \(T_{\text{interface}} = T_{\text{int}} - \Phi \times (R_{\text{plâtre}} + R_{\text{laine}})\). Le résultat sera identique.
A vous de jouer
Quelle est la chute de température dans l'isolant (\(\Delta T_{\text{iso}} = \Phi \times R_{\text{iso}}\)) ?
📝 Mémo
La température chute fortement dans l'isolant. L'interface isolant/mur extérieur est souvent très froide.
Question 5 : Conclusion sur l'importance de l'isolant
Principe
Pour conclure, nous allons comparer le mur isolé avec un mur hypothétique sans isolant pour chiffrer le gain énergétique réel apporté par la laine de verre.
Mini-Cours
L'efficacité énergétique se mesure souvent en facteur de réduction des pertes. C'est le rapport entre la consommation "avant travaux" et "après travaux".
Remarque Pédagogique
Les chiffres parlent plus que les formules : comparer les Watts perdus permet de réaliser l'impact économique et écologique de l'isolation.
Normes
Les DPE (Diagnostics de Performance Énergétique) classent les logements de A à G sur cette base de consommation calculée.
Formule(s)
Ratio de performance
Hypothèses
On suppose les mêmes températures intérieure et extérieure pour que la comparaison soit juste.
Donnée(s)
| Cas | Résistance (K/W) |
|---|---|
| Avec Isolant | 0.2778 |
| Sans Isolant (Brique+Platre) | \(0.0238 + 0.0040 = 0.0278\) |
Astuces
Le rapport des flux est inversement proportionnel au rapport des résistances. Si je multiplie la résistance par 10, je divise le flux par 10.
Comparaison Visuelle
Calcul(s)
Flux sans isolant
Si on retire l'isolant, la résistance totale ne vaut plus que \(R_{\text{brique}} + R_{\text{plâtre}} \approx 0.0278\) K/W. Le flux devient :
C'est une perte énorme, équivalente à un radiateur électrique de 1000W fonctionnant à plein régime pour rien.
Facteur de réduction
Le gain énergétique est le rapport entre les deux situations :
L'isolation divise les pertes par 10. C'est le facteur d'efficacité de notre rénovation.
Résultat Visualisé
Réflexions
L'ajout de seulement 10 cm de matériau isolant a divisé les pertes par 10. Cela montre l'importance capitale de l'isolation dans le bâtiment. Sans isolant, c'est comme chauffer la rue !
Points de vigilance
Isoler un mur ne suffit pas, il faut aussi traiter les fenêtres, le toit et la ventilation pour avoir un bâtiment performant globalement.
Points à Retenir
L'isolant est le composant clé. Sa faible conductivité bloque le flux thermique bien plus efficacement que les matériaux de structure (brique, béton).
Le saviez-vous ?
Les premières isolations thermiques historiques utilisaient de la paille, du liège ou de la sciure de bois avant l'avènement des laines minérales et synthétiques.
FAQ
Peut-on trop isoler ?
Thermiquement non, mais économiquement il y a un rendement décroissant (doubler l'isolant coûte 2x plus cher mais ne divise les pertes restantes que par 2). On vise l'optimum technico-économique.
A vous de jouer
Si on remplace la brique par du béton (moins isolant), le flux augmentera-t-il beaucoup ?
📝 Mémo
L'isolation réduit drastiquement les pertes (facteur 10 ici). C'est le premier levier d'économie d'énergie.
Profil de Température Final
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir
-
🔑
Analogie Électrique
Température \(\leftrightarrow\) Potentiel, Flux \(\leftrightarrow\) Courant, Résistance Th \(\leftrightarrow\) Résistance Elec. -
📐
Résistance Série
\(R_{\text{tot}} = \sum \frac{e_i}{\lambda_i S}\). Les résistances s'ajoutent. -
⚠️
Unités
Attention aux épaisseurs en cm \(\rightarrow\) m. Le flux est en Watts (J/s).
🎛️ Simulateur : Impact de l'épaisseur d'isolant
Modifiez l'épaisseur de la laine de verre et l'écart de température pour voir l'évolution du flux thermique.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de la Résistance Thermique dans le système SI ?
2. Si je double l'épaisseur de mon isolant, que devient sa résistance thermique ?
📚 Glossaire
- Conductivité (\(\lambda\))
- Capacité d'un matériau à conduire la chaleur. Plus elle est faible, plus le matériau est isolant.
- Flux Thermique (\(\Phi\))
- Quantité d'énergie thermique transférée par unité de temps (Puissance en Watts).
- Régime Stationnaire
- État où les températures en tout point du système ne varient plus avec le temps.
- Gradient de T°
- Variation de la température par unité de longueur.
Le Saviez-vous ?
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