ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Flux de Chaleur dans un Mur Composite

Loi de Fourier : Flux de Chaleur dans un Mur Composite

Loi de Fourier : Flux de Chaleur dans un Mur Composite

Comprendre la Loi de Fourier et le Transfert de Chaleur

La loi de Fourier est une loi fondamentale de la thermique qui décrit le transfert de chaleur par conduction. Elle stipule que le flux de chaleur à travers un matériau est proportionnel au gradient de température. Dans le cas de murs composites (constitués de plusieurs couches de matériaux différents), le concept de résistance thermique est particulièrement utile. Chaque couche oppose une certaine résistance au passage de la chaleur. Ces résistances s'additionnent en série, de manière analogue aux résistances électriques, pour donner une résistance totale qui permet de calculer le flux de chaleur global à travers la paroi.

Données de l'étude

On étudie le transfert de chaleur à travers un mur extérieur d'une maison en hiver. Le mur est composite, constitué de trois couches successives : un enduit en plâtre, une couche d'isolant en polyuréthane, et une couche de briques.

Schéma du Mur Composite
Brique Isolant Plâtre T-ext T-int T1 T2 Φ

Le flux de chaleur traverse les couches successives du mur, de l'intérieur chaud vers l'extérieur froid.

Conditions et constantes :

  • Température intérieure : \(T_{\text{int}} = 20 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température extérieure : \(T_{\text{ext}} = -5 \, ^\circ\text{C}\)
  • Épaisseurs des couches :
    • Plâtre (\(e_1\)): 2 cm
    • Isolant (\(e_2\)): 10 cm
    • Brique (\(e_3\)): 20 cm
  • Conductivités thermiques (\(\lambda\)):
    • Plâtre (\(\lambda_1\)): \(0.5 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
    • Isolant (\(\lambda_2\)): \(0.04 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
    • Brique (\(\lambda_3\)): \(0.9 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance thermique surfacique (\(R_{\text{th}, i}\)) de chaque couche du mur.
  2. Calculer la résistance thermique surfacique totale (\(R_{\text{th, totale}}\)) du mur.
  3. Calculer le flux de chaleur surfacique (\(\phi\)) qui traverse le mur.
  4. Calculer les températures aux interfaces entre les couches : \(T_1\) (Plâtre/Isolant) et \(T_2\) (Isolant/Brique).
  5. Calculer la quantité de chaleur totale (\(Q\)) perdue à travers une surface de \(15 \, \text{m}^2\) de ce mur pendant 24 heures.

Correction : Loi de Fourier et Flux de Chaleur

Question 1 : Résistance thermique de chaque couche

Principe :

La résistance thermique surfacique d'une couche de matériau est directement proportionnelle à son épaisseur et inversement proportionnelle à sa conductivité thermique. Attention à bien convertir les épaisseurs en mètres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda} \]
Calcul :

Plâtre (\(e_1=0.02 \, \text{m}\)) :

\[ R_{\text{th}, 1} = \frac{0.02}{0.5} = 0.04 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1} \]

Isolant (\(e_2=0.10 \, \text{m}\)) :

\[ R_{\text{th}, 2} = \frac{0.10}{0.04} = 2.50 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1} \]

Brique (\(e_3=0.20 \, \text{m}\)) :

\[ R_{\text{th}, 3} = \frac{0.20}{0.9} \approx 0.222 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1} \]
Résultat Question 1 : Les résistances thermiques sont :
  • \(R_{\text{th, plâtre}} = 0.04 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1}\)
  • \(R_{\text{th, isolant}} = 2.50 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1}\)
  • \(R_{\text{th, brique}} \approx 0.222 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1}\)

Question 2 : Résistance thermique totale

Principe :

Pour un mur composite, les couches sont en série. La résistance thermique totale est simplement la somme des résistances thermiques de chaque couche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{th, totale}} = \sum_{i} R_{\text{th}, i} = R_{\text{th}, 1} + R_{\text{th}, 2} + R_{\text{th}, 3} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{th, totale}} &= 0.04 + 2.50 + 0.222 \\ &= 2.762 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance thermique surfacique totale du mur est d'environ \(2.762 \, \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1}\).

Question 3 : Flux de chaleur surfacique (\(\phi\))

Principe :

Le flux de chaleur surfacique (en W/m²) est le rapport entre la différence de température totale entre les deux faces du mur et la résistance thermique totale du mur. Une différence de température en degrés Celsius est équivalente à une différence en Kelvin (\(\Delta T_K = \Delta T_{^\circ C}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \phi = \frac{T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}}{R_{\text{th, totale}}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi &= \frac{20 - (-5)}{2.762} \\ &= \frac{25}{2.762} \\ &\approx 9.05 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le flux de chaleur à travers le mur est d'environ \(9.05 \, \text{W/m}^2\).

Question 4 : Températures aux interfaces

Principe :

En régime permanent, le flux de chaleur \(\phi\) est constant à travers chaque couche. On peut donc l'utiliser pour trouver la chute de température aux bornes de chaque couche : \(\Delta T = \phi \times R_{\text{th}}\).

Calcul :

Température \(T_1\) (Interface Plâtre/Isolant) :

\[ \begin{aligned} T_1 &= T_{\text{int}} - \phi \times R_{\text{th}, 1} \\ &= 20 - (9.05 \times 0.04) \\ &= 20 - 0.362 \\ &\approx 19.64 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]

Température \(T_2\) (Interface Isolant/Brique) :

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 - \phi \times R_{\text{th}, 2} \\ &= 19.64 - (9.05 \times 2.50) \\ &= 19.64 - 22.625 \\ &\approx -2.99 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]

On peut vérifier que \(T_{\text{ext}} \approx T_2 - \phi \times R_{\text{th}, 3} = -2.99 - (9.05 \times 0.222) \approx -5.0 \, ^\circ\text{C}\).

Résultat Question 4 : Les températures aux interfaces sont :
  • \(T_1 \approx 19.6 \, ^\circ\text{C}\)
  • \(T_2 \approx -3.0 \, ^\circ\text{C}\)

Question 5 : Quantité de chaleur totale perdue

Principe :

La quantité totale de chaleur (énergie, en Joules) est le produit du flux de chaleur total (\(\Phi\)) et du temps. Le flux total est le flux surfacique (\(\phi\)) multiplié par la surface (\(S\)). Le temps doit être en secondes.

Calcul :

Flux de chaleur total (\(\Phi\)) :

\[ \Phi = \phi \times S = 9.05 \, \text{W/m}^2 \times 15 \, \text{m}^2 = 135.75 \, \text{W} \]

Temps en secondes :

\[ \Delta t = 24 \, \text{h} \times 3600 \, \text{s/h} = 86400 \, \text{s} \]

Quantité de chaleur (\(Q\)) :

\[ \begin{aligned} Q &= \Phi \times \Delta t \\ &= 135.75 \, \text{J/s} \times 86400 \, \text{s} \\ &= 11728800 \, \text{J} \\ &\approx 11.73 \, \text{MJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La perte de chaleur totale en 24 heures est d'environ \(11.73 \, \text{MJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Si la conductivité thermique (\(\lambda\)) d'un matériau augmente, sa résistance thermique...

2. Dans un mur composite en régime permanent, quelle grandeur est constante à travers chaque couche ?

3. Pour réduire les pertes de chaleur d'un bâtiment, il faut choisir des matériaux avec...

Glossaire

Loi de Fourier
Loi fondamentale qui décrit le transfert thermique par conduction. Elle énonce que la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température.
Flux de Chaleur Surfacique (\(\phi\))
Quantité de chaleur qui traverse une surface unité par unité de temps. Elle est exprimée en Watts par mètre carré (\(\text{W/m}^2\)).
Conductivité Thermique (\(\lambda\))
Propriété intrinsèque d'un matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur. Un matériau avec une faible conductivité thermique est un bon isolant. Unité : \(\text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Résistance Thermique (\(R_{\text{th}}\))
Mesure de l'opposition d'un matériau au passage du flux de chaleur. Pour la conduction à travers une paroi plane, elle est calculée comme le rapport de l'épaisseur sur la conductivité thermique. Unité : \(\text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1}\).
Mur Composite
Paroi constituée de plusieurs couches de matériaux différents, chacune ayant ses propres propriétés thermiques (épaisseur, conductivité).
Loi de Fourier - Exercice d'Application
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