ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Étude d’un Moteur à Réaction (Cycle de Brayton Idéal)

Thermodynamique : Étude d'un Moteur à Réaction (Cycle de Brayton)

Étude d'un Moteur à Réaction (Cycle de Brayton Idéal)

Contexte : La Puissance des Turbines à Gaz

Le cycle de BraytonCycle thermodynamique décrivant le fonctionnement des turbines à gaz, comme les moteurs d'avion. Il est composé de quatre processus : compression isentropique, ajout de chaleur isobare, détente isentropique et rejet de chaleur isobare. est le modèle thermodynamique qui décrit le fonctionnement des turbines à gaz. Ces moteurs sont au cœur de la plupart des avions de ligne modernes ainsi que de nombreuses centrales électriques. Le cycle idéal modélise le fluide (généralement de l'air) subissant quatre processus successifs : une compression, un ajout de chaleur à pression constante (combustion), une détente qui produit du travail, et un refroidissement à pression constante pour fermer le cycle. Cet exercice vise à analyser chaque étape de ce cycle pour en calculer le travail net et le rendement.

Remarque Pédagogique : Comprendre le cycle de Brayton idéal est la première étape essentielle avant d'aborder les cycles réels, qui incluent des irréversibilités (comme les pertes de charge et les rendements non parfaits du compresseur et de la turbine). La maîtrise du cycle idéal permet de quantifier la performance maximale théorique d'un moteur et de comprendre l'impact de chaque paramètre sur son efficacité.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les quatre transformations du cycle de Brayton idéal.
  • Appliquer les lois de Laplace pour les transformations isentropiques.
  • Calculer les températures et pressions à chaque point du cycle.
  • Déterminer le travail du compresseur, le travail de la turbine et la chaleur fournie.
  • Calculer le travail net du cycle et son rendement thermique.
  • Visualiser le cycle sur un diagramme Température-Entropie (T-S).

Données de l'étude

On modélise un turboréacteur fonctionnant selon un cycle de Brayton idéal. L'air, considéré comme un gaz parfait, entre dans le compresseur au point 1.

Schéma du Cycle de Brayton Idéal
Compresseur Chambre de Comb. Turbine 1 2 3 4 Wcomp Qin Wturb

Données :

  • Conditions à l'entrée (Point 1) : \(P_1 = 100 \, \text{kPa}\), \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • Rapport de pression du compresseur : \(r_p = P_2/P_1 = 10\)
  • Température à l'entrée de la turbine (Point 3) : \(T_3 = 1400 \, \text{K}\)
  • L'air est modélisé comme un gaz parfait avec des chaleurs massiques constantes : \(c_p = 1.005 \, \text{kJ/(kg·K)}\) et un rapport des chaleurs massiques \(\gamma = 1.4\).

Questions à traiter

  1. Calculer la température \(T_2\) et le travail massique absorbé par le compresseur \(w_{\text{comp}}\).
  2. Calculer la chaleur massique \(q_{\text{in}}\) fournie dans la chambre de combustion.
  3. Calculer la température \(T_4\) et le travail massique produit par la turbine \(w_{\text{turb}}\).
  4. Déterminer le travail net du cycle \(w_{\text{net}}\) et le rendement thermique \(\eta_{\text{th}}\).

Correction : Étude d'un Moteur à Réaction (Cycle de Brayton)

Question 1 : Compresseur (1 \(\rightarrow\) 2)

Principe :
Compression Isentropique s T 1 2 s = cste

La première étape est une compression isentropique (adiabatique et réversible) de l'air. La pression et la température augmentent. Comme la transformation est isentropique, on peut utiliser les lois de Laplace pour relier les états 1 et 2. Le travail fourni au compresseur est égal à la variation d'enthalpie entre ces deux points.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le travail du compresseur est un "coût" pour le cycle. C'est de l'énergie que l'on doit fournir pour faire fonctionner le moteur. Dans un vrai turboréacteur, ce travail est prélevé sur l'énergie extraite par la turbine. Le but est que la turbine produise plus de travail qu'il n'en faut pour le compresseur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} \quad (\text{Loi de Laplace}) \]
\[ w_{\text{comp}} = h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1) \quad (\text{Travail massique})\]
Donnée(s) :
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • \(r_p = P_2/P_1 = 10\)
  • \(\gamma = 1.4\)
  • \(c_p = 1.005 \, \text{kJ/(kg·K)}\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la température \(T_2\) :

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 \times (r_p)^{(\gamma-1)/\gamma} \\ &= 300 \times (10)^{(1.4-1)/1.4} \\ &= 300 \times (10)^{0.2857} \\ &\approx 579.2 \, \text{K} \end{aligned} \]

2. Calcul du travail massique du compresseur \(w_{\text{comp}}\) :

\[ \begin{aligned} w_{\text{comp}} &= c_p (T_2 - T_1) \\ &= 1.005 \times (579.2 - 300) \\ &\approx 280.6 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul de l'exposant : Une erreur fréquente est de mal calculer l'exposant \((\gamma-1)/\gamma\). Assurez-vous d'effectuer la soustraction avant la division. Pour \(\gamma=1.4\), l'exposant est \(0.4/1.4 \approx 0.2857\).

Le saviez-vous ?

Les compresseurs des moteurs d'avions modernes sont des machines extrêmement complexes, composées de multiples étages de rotors (parties tournantes) et de stators (parties fixes) pour atteindre des rapports de pression très élevés, parfois supérieurs à 40:1 !

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le travail est-il égal à la variation d'enthalpie ?

Pour un système ouvert en régime permanent (comme un compresseur), le premier principe de la thermodynamique s'écrit \( \dot{Q} - \dot{W} = \dot{m} \Delta h \). Pour une transformation adiabatique (\(\dot{Q}=0\)), on a \(-\dot{W} = \dot{m} \Delta h\). Le travail massique \(w = \dot{W}/\dot{m}\) est donc \(w = - \Delta h\). Par convention, on exprime souvent le travail absorbé par le compresseur comme une valeur positive, \(w_{\text{comp}} = \Delta h = h_2 - h_1\).

Résultat : \(T_2 \approx 579.2 \, \text{K}\) et \(w_{\text{comp}} \approx 280.6 \, \text{kJ/kg}\).

Question 2 : Chambre de Combustion (2 \(\rightarrow\) 3)

Principe :
Ajout de Chaleur Isobare s T 2 3 P = cste

La deuxième étape est un ajout de chaleur à pression constante (isobare). Le carburant est injecté et brûlé, ce qui augmente considérablement la température du gaz. Dans le cycle idéal, on suppose que ce processus se déroule sans perte de charge, donc \(P_3 = P_2\). La chaleur apportée est égale à la variation d'enthalpie.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que l'énergie "chimique" du carburant est convertie en énergie "thermique" du fluide. La température maximale du cycle (\(T_3\)) est un paramètre crucial : plus elle est élevée, plus le rendement potentiel du moteur est grand. Elle est cependant limitée par la résistance des matériaux de la turbine.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{\text{in}} = h_3 - h_2 = c_p (T_3 - T_2) \quad (\text{Chaleur massique}) \]
Donnée(s) :
  • \(T_3 = 1400 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 579.2 \, \text{K}\) (calculé précédemment)
  • \(c_p = 1.005 \, \text{kJ/(kg·K)}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} q_{\text{in}} &= c_p (T_3 - T_2) \\ &= 1.005 \times (1400 - 579.2) \\ &\approx 824.9 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Utiliser la bonne température : Assurez-vous d'utiliser la température à la sortie du compresseur (\(T_2\)) et non la température d'entrée (\(T_1\)) pour ce calcul. La chaleur est ajoutée au gaz déjà comprimé et chaud.

Le saviez-vous ?

Dans un vrai moteur, la combustion n'est pas un simple "ajout de chaleur". C'est une réaction chimique complexe qui modifie la composition du gaz. Cependant, pour une analyse thermodynamique de premier ordre, modéliser ce processus comme un simple apport de chaleur à l'air est une approximation très efficace.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la pression est-elle considérée comme constante ?

Dans un modèle idéal, on suppose que le gaz s'écoule à travers la chambre de combustion sans friction ni obstruction, ce qui signifie qu'il n'y a pas de perte de pression. En réalité, il y a toujours une légère chute de pression (perte de charge), ce qui diminue légèrement les performances du moteur.

Résultat : La chaleur massique ajoutée est \(q_{\text{in}} \approx 824.9 \, \text{kJ/kg}\).

Question 3 : Turbine (3 \(\rightarrow\) 4)

Principe :
Détente Isentropique s T 3 4 s = cste

La troisième étape est la détente isentropique des gaz chauds à travers la turbine. La température et la pression chutent, et ce processus produit du travail. Comme pour la compression, on applique les lois de Laplace pour relier les états 3 et 4. Le travail produit par la turbine est égal à la variation d'enthalpie.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est le cœur de la production de puissance du cycle. L'énergie thermique des gaz chauds est convertie en énergie mécanique de rotation. Une partie de ce travail sert à entraîner le compresseur, et le reste (dans une centrale électrique) entraîne un alternateur. Dans un turboréacteur, le surplus de puissance est utilisé pour accélérer les gaz d'échappement et générer la poussée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} \quad (\text{Loi de Laplace}) \]
\[ w_{\text{turb}} = h_3 - h_4 = c_p (T_3 - T_4) \quad (\text{Travail massique})\]
Donnée(s) :
  • \(T_3 = 1400 \, \text{K}\)
  • \(P_4/P_3 = P_1/P_2 = 1/r_p = 1/10\) (car \(P_1=P_4\) et \(P_2=P_3\))
  • \(\gamma = 1.4\)
  • \(c_p = 1.005 \, \text{kJ/(kg·K)}\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la température \(T_4\) :

\[ \begin{aligned} T_4 &= T_3 \times (1/r_p)^{(\gamma-1)/\gamma} \\ &= 1400 \times (1/10)^{(1.4-1)/1.4} \\ &= 1400 \times (0.1)^{0.2857} \\ &\approx 725.1 \, \text{K} \end{aligned} \]

2. Calcul du travail massique de la turbine \(w_{\text{turb}}\) :

\[ \begin{aligned} w_{\text{turb}} &= c_p (T_3 - T_4) \\ &= 1.005 \times (1400 - 725.1) \\ &\approx 678.3 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Rapport de pression : Pour la détente, le rapport de pression est \(P_4/P_3\), qui est l'inverse du rapport de compression \(r_p\). Il faut donc utiliser \(1/r_p\) dans la loi de Laplace. Oublier cette inversion est une erreur courante.

Le saviez-vous ?

Les aubes de turbine des moteurs modernes fonctionnent à des températures bien supérieures à la température de fusion des alliages métalliques qui les composent. Elles sont protégées par des revêtements céramiques complexes et refroidies par un film d'air prélevé au niveau du compresseur qui s'écoule à travers de minuscules trous à leur surface.

FAQ en rapport avec la question :
Le travail de la turbine est-il toujours supérieur à celui du compresseur ?

Oui, pour que le moteur produise un travail net positif (ou de la poussée), il est impératif que \(w_{\text{turb}} > w_{\text{comp}}\). C'est la différence entre les deux qui représente la puissance utile du cycle. Si ce n'était pas le cas, le moteur consommerait plus d'énergie qu'il n'en produit et ne pourrait pas fonctionner.

Résultat : \(T_4 \approx 725.1 \, \text{K}\) et \(w_{\text{turb}} \approx 678.3 \, \text{kJ/kg}\).

Question 4 : Performance du Cycle

Principe :

La performance globale du cycle est évaluée par deux grandeurs clés. Le travail net est la différence entre ce que la turbine produit et ce que le compresseur consomme. Le rendement thermique est le rapport entre ce travail net (ce qu'on gagne) et la chaleur fournie par le carburant (ce que ça coûte). C'est la mesure de l'efficacité avec laquelle le moteur convertit la chaleur en travail utile.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le rendement du cycle de Brayton idéal ne dépend que du rapport de pression et du rapport des chaleurs massiques \(\gamma\). Il ne dépend pas des températures du cycle. C'est un résultat fondamental qui montre l'importance d'avoir un rapport de pression élevé pour obtenir un bon rendement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ w_{\text{net}} = w_{\text{turb}} - w_{\text{comp}} \]
\[ \eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} = 1 - \frac{1}{(r_p)^{(\gamma-1)/\gamma}} \]
Donnée(s) :
  • \(w_{\text{turb}} \approx 678.3 \, \text{kJ/kg}\)
  • \(w_{\text{comp}} \approx 280.6 \, \text{kJ/kg}\)
  • \(q_{\text{in}} \approx 824.9 \, \text{kJ/kg}\)
  • \(r_p = 10\) et \(\gamma = 1.4\)
Calcul(s) :

1. Calcul du travail net \(w_{\text{net}}\) :

\[ \begin{aligned} w_{\text{net}} &= 678.3 - 280.6 \\ &= 397.7 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]

2. Calcul du rendement thermique \(\eta_{\text{th}}\) :

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} \\ &= \frac{397.7}{824.9} \\ &\approx 0.482 \quad (\text{soit } 48.2\%) \end{aligned} \]

Vérification avec la formule du rendement idéal :

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= 1 - \frac{1}{(10)^{(1.4-1)/1.4}} \\ &= 1 - \frac{1}{1.9307} \\ &\approx 1 - 0.5179 \approx 0.482 \quad (\text{soit } 48.2\%) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Rendement vs Efficacité : Le rendement thermique est un nombre sans dimension, généralement exprimé en pourcentage. Assurez-vous que les unités du travail net et de la chaleur s'annulent bien (par exemple, kJ/kg divisé par kJ/kg).

Le saviez-vous ?

Le rendement des vrais moteurs d'avion est inférieur à celui du cycle idéal, mais les plus modernes atteignent des rendements thermiques impressionnants, dépassant les 60% pour les cycles combinés (turbine à gaz + turbine à vapeur) dans les centrales électriques.

FAQ en rapport avec la question :
Que représente la 4ème étape (refroidissement isobare) ?

Dans un moteur à réaction, cette étape n'existe pas physiquement. Les gaz chauds au point 4 sont simplement éjectés dans l'atmosphère. Le cycle est dit "ouvert". Pour l'analyse thermodynamique, on le "ferme" en supposant que les gaz sont refroidis à pression constante pour revenir à l'état initial (point 1). La chaleur rejetée serait \(q_{\text{out}} = c_p(T_4 - T_1)\). Cette modélisation en cycle fermé permet de calculer facilement le rendement.

Résultat : Le travail net du cycle est \(w_{\text{net}} \approx 397.7 \, \text{kJ/kg}\) et le rendement thermique est \(\eta_{\text{th}} \approx 48.2\%\).

Simulation Interactive du Cycle de Brayton

Explorez l'influence des paramètres clés sur la performance du cycle. Observez comment le rendement et le travail net changent en fonction du rapport de pression et de la température d'entrée de la turbine.

Paramètres du Cycle
Travail Net
Rendement Thermique
Diagramme Température-Entropie (T-S)

Pour Aller Plus Loin : Le Cycle Réel

L'idéal face à la réalité : Dans un moteur réel, les processus de compression et de détente ne sont pas parfaitement isentropiques en raison des frottements et autres irréversibilités. On introduit alors un "rendement isentropique" pour le compresseur et la turbine (\(\eta_{c} < 1\) et \(\eta_{t} < 1\)). Cela signifie que le compresseur réel consomme plus de travail et que la turbine réelle en produit moins pour les mêmes rapports de pression. De plus, des pertes de charge dans la chambre de combustion et la tuyère réduisent la pression disponible. Tout cela contribue à diminuer le travail net et le rendement par rapport au cycle idéal calculé ici.

Le Saviez-Vous ?

Le premier moteur à réaction fonctionnel, le Heinkel HeS 3, a volé en 1939 en Allemagne, juste avant le Gloster E.28/39 britannique équipé du moteur de Frank Whittle. Ces deux inventeurs ont développé le concept de manière indépendante et ont jeté les bases de l'aviation à réaction moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre un turboréacteur et une turbine à gaz de centrale électrique ?

Les deux fonctionnent sur le cycle de Brayton. La principale différence est leur objectif. Un turboréacteur est conçu pour produire une poussée maximale en accélérant les gaz d'échappement. La turbine ne prélève que le travail nécessaire pour entraîner le compresseur. Une turbine à gaz de centrale électrique est conçue pour produire un maximum de travail sur l'arbre. La turbine est donc plus grande et extrait un maximum d'énergie des gaz, qui sont ensuite évacués avec une vitesse plus faible.

Le rendement augmente-t-il toujours avec le rapport de pression ?

Pour un cycle idéal, oui. Pour un cycle réel, il existe un rapport de pression optimal qui maximise le travail net. Au-delà de ce point, les pertes dues aux irréversibilités (surtout dans le compresseur qui doit fournir un travail énorme) deviennent si grandes qu'elles diminuent le travail net global, même si le rendement théorique continue d'augmenter.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un cycle de Brayton idéal, si on augmente le rapport de pression \(r_p\) (en gardant les températures fixes), le rendement thermique :

2. Quelle étape du cycle consomme du travail ?

Glossaire

Cycle de Brayton
Cycle thermodynamique décrivant le fonctionnement des turbines à gaz. Il est composé de quatre processus : compression isentropique, ajout de chaleur isobare, détente isentropique et rejet de chaleur isobare.
Isentropique
Transformation qui se déroule à entropie constante (adiabatique et réversible). Dans le cycle idéal, la compression et la détente sont isentropiques.
Isobare
Transformation qui se déroule à pression constante. Dans le cycle idéal, l'ajout et le rejet de chaleur sont isobares.
Rapport de Pression (\(r_p\))
Rapport de la pression à la sortie du compresseur sur la pression à l'entrée (\(P_2/P_1\)). C'est un paramètre clé qui détermine le rendement du cycle.
Rendement Thermique (\(\eta_{\text{th}}\))
Rapport du travail net produit par le cycle sur la quantité de chaleur fournie. Il mesure l'efficacité de la conversion de chaleur en travail.
Thermodynamique : Étude d'un Moteur à Réaction (Cycle de Brayton)

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