Étude de la liquéfaction de l’air (Procédé Claude)
Contexte : La CryogénieBranche de la physique étudiant la production et les effets des très basses températures (généralement inférieures à -150°C). industrielle.
Dans cet exercice, nous allons étudier le cycle de Claude, une méthode thermodynamique efficace pour liquéfier l'air. Contrairement au cycle de Linde qui n'utilise qu'une détente isenthalpique (laminage), le procédé Claude combine une détente isentropique (avec production de travail dans une turbine) et une détente isenthalpique. Cela permet d'améliorer considérablement le rendement de liquéfaction. Votre mission est de calculer le coefficient de liquéfaction (rendement) de ce cycle en effectuant un bilan énergétique global.
Remarque Pédagogique : Cet exercice mobilise le premier principe de la thermodynamique appliqué aux systèmes ouverts (volumes de contrôle). Il est crucial de bien définir vos frontières pour les bilans d'énergie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le fonctionnement du cycle de Claude.
- Calculer le travail technique produit par une détente adiabatique.
- Effectuer un bilan enthalpique global sur un système complexe ("Boîte Froide").
- Déterminer le taux de liquéfaction théorique.
Données de l'étude
Fiche Technique et États Thermodynamiques
| Point du Cycle | Description | Enthalpie (kJ/kg) |
|---|---|---|
| Entrée (1) | Air comprimé (HP) entrant dans la boîte froide (300 K) | \(h_{\text{in}} = 500\) |
| Sortie Gaz (9) | Air basse pression (BP) ressortant de l'installation (295 K) | \(h_{\text{return}} = 490\) |
| Sortie Liquide (6) | Air liquide saturé extrait du séparateur | \(h_{\text{L}} = 100\) |
| Entrée Turbine (2) | Air HP dérivé vers la turbine | \(h_{\text{in},t} = 450\) |
| Sortie Turbine (3) | Air détendu par la turbine (travail produit) | \(h_{\text{out},t} = 300\) |
Schéma Simplifié du Procédé Claude
| Paramètre | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(x\) | Fraction massique d'air détournée vers la turbine | 0.6 (soit 60%) |
| \(1-x\) | Fraction massique passant par le détendeur (Joule-Thomson) | 0.4 (soit 40%) |
Questions à traiter
- Calculer le travail massique (\(w_t\)) produit par la turbine, ramené à 1 kg d'air entrant.
- Poser le bilan énergétique global de la "boîte froide" (système englobant les échangeurs, la turbine, la vanne et le séparateur).
- Déterminer le taux de liquéfaction (\(y\)), c'est-à-dire la fraction de liquide produite par kg d'air entrant.
Les bases de la Thermodynamique Appliquée
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons le Premier Principe pour les systèmes ouverts en régime permanent.
1. Premier Principe (Système Ouvert)
La variation d'enthalpie totale d'un fluide traversant un volume de contrôle est égale à la somme des chaleurs et travaux échangés. Si le système est adiabatique (isolé thermiquement) :
\[ \sum \dot{m}_{\text{in}} h_{\text{in}} = \sum \dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}} + \dot{W}_{\text{tech}} \]
2. Rendement (Taux) de Liquéfaction
Le taux \(y\) est défini par le rapport du débit massique de liquide produit sur le débit massique total entrant :
\[ y = \frac{\dot{m}_{\text{L}}}{\dot{m}_{\text{total}}} \]
Correction : Étude de la liquéfaction de l’air (Procédé Claude)
Question 1 : Travail produit par la turbine
Principe
La turbine détend une partie du gaz pour produire du travail mécanique. Ce travail est "perdu" par le fluide, ce qui provoque une baisse importante de son enthalpie (et donc de sa température). C'est le principe du refroidissement par détente adiabatique. Contrairement à la vanne qui ne fait que laminer le fluide (sans extraire d'énergie), la turbine "aspire" de l'énergie interne pour faire tourner ses pales.
Mini-Cours
En thermodynamique, une détente adiabatique réversible est isentropique (entropie constante). C'est le mode de détente le plus efficace pour refroidir un gaz. La turbine récupère l'énergie du gaz sous forme de travail mécanique \(W\), ce qui diminue l'énergie interne (et l'enthalpie) du gaz. La formule générale pour un système ouvert est \( \dot{W} = \dot{m} \Delta h \).
Remarque Pédagogique
Il est essentiel de bien distinguer le débit massique total de l'installation du débit massique partiel traversant la turbine. La turbine ne traite qu'une fraction \(x\) du débit total, ce qui signifie que son impact énergétique doit être pondéré par ce coefficient \(x\).
Normes
Nous utilisons ici la convention thermodynamique industrielle : les énergies sortantes (comme le travail produit par la turbine) sont comptées positivement lorsqu'on les place du côté "Sorties" de l'équation de bilan, ou négativement dans le calcul de la variation interne (\(\Delta H = W + Q\)). Ici, nous calculerons une valeur absolue de travail produit.
Formule(s)
Travail spécifique (pour 1 kg traversant la turbine)
Travail ramené au débit total (pour 1 kg d'air entrant)
Hypothèses
On suppose que :
- La turbine est adiabatique : il n'y a pas de perte de chaleur vers l'extérieur (toute la perte d'enthalpie est convertie en travail).
- Le régime est permanent : les débits et les températures sont constants dans le temps.
- Les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligeables : on néglige la vitesse du gaz et la hauteur de chute.
Donnée(s)
| Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(x\) (fraction turbine) | 0.6 | - |
| \(h_{\text{in},t}\) (Enthalpie entrée) | 450 | kJ/kg |
| \(h_{\text{out},t}\) (Enthalpie sortie) | 300 | kJ/kg |
Astuces
Vérifiez toujours vos unités. Ici, les enthalpies sont en kJ/kg, donc le travail sera aussi en kJ/kg. Si le débit était donné en kg/s, le résultat serait une puissance en kW. Pensez à la cohérence dimensionnelle !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la turbine isolée du reste du système pour bien comprendre les flux entrant et sortant.
Bilan Turbine
Calcul(s)
Application numérique détaillée
On applique la formule en remplaçant les symboles par les valeurs. Le terme \( (450 - 300) \) représente l'énergie perdue par chaque kilogramme de gaz passant dans la turbine. On multiplie ensuite par 0.6 car seulement 60% du gaz total passe par là.
Le résultat obtenu est un travail massique "global", c'est-à-dire rapporté au flux total entrant dans l'usine, et non au flux partiel de la turbine.
Schéma (Après les calculs)
Nous pouvons maintenant quantifier l'énergie extraite.
Réflexions
Ce travail de 90 kJ est de l'énergie purement extraite du système. En retirant cette énergie, on diminue l'enthalpie globale du fluide restant, ce qui est le but recherché pour atteindre la liquéfaction. C'est un "puits" d'énergie très efficace.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier de multiplier par la fraction \(x\). Si vous calculez \(450-300 = 150\) kJ/kg, vous supposez implicitement que TOUT l'air passe dans la turbine, ce qui est faux. Cela fausserait tout le bilan énergétique final.
Points à retenir
Synthèse :
- La variation d'enthalpie (\(\Delta h\)) donne le travail par kg de fluide traversant la machine.
- Pour ramener ce travail à l'ensemble du système, il faut pondérer par le débit massique partiel (\(x\)).
- La détente avec travail est toujours plus efficace pour refroidir que la détente simple.
Le saviez-vous ?
Georges Claude, l'inventeur français de ce procédé en 1902, utilisait initialement le travail de la turbine pour aider à compresser l'air en entrée, améliorant encore l'efficacité globale. C'était une innovation majeure face au procédé Linde allemand.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Supposons que la turbine soit moins efficace et que l'enthalpie de sortie ne soit que de 350 kJ/kg au lieu de 300. Quel serait le nouveau travail produit (toujours avec x=0.6) ?
Mini Fiche Mémo
Mémo Q1 : Formule à retenir : \( w_t = x \cdot \Delta h_{\text{turbine}} \). Toujours vérifier quel débit traverse quel composant.
Question 2 : Bilan énergétique global
Principe
Plutôt que de calculer la température et la pression à chaque point du cycle (ce qui serait long et fastidieux), nous allons utiliser la méthode de la "Boîte Noire" (ou volume de contrôle). Nous allons dessiner une frontière imaginaire autour de toute la partie froide de l'usine et appliquer le principe de conservation de l'énergie : tout ce qui rentre doit ressortir (sous une forme ou une autre).
Mini-Cours
Le Premier Principe de la thermodynamique pour un système ouvert en régime permanent s'écrit : la somme des puissances entrantes (enthalpie des débits entrants + chaleur reçue) est égale à la somme des puissances sortantes (enthalpie des débits sortants + travail fourni). Pour une boîte adiabatique (\(Q=0\)), l'équation se simplifie : \( \sum \dot{m}_{\text{in}} h_{\text{in}} = \sum \dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}} + \dot{W}_{\text{out}} \).
Remarque Pédagogique
Cette méthode est extrêmement puissante car elle permet d'ignorer la complexité interne (les multiples échangeurs, les vannes, les mélanges). Peu importe ce qui se passe dedans, l'énergie ne peut pas disparaître. Seules les entrées et les sorties comptent pour le bilan global.
Normes
Nous appliquons ici la loi de conservation de l'énergie, qui est universelle. Les enthalpies sont exprimées en kJ/kg, une unité standard en génie des procédés.
Formule(s)
Conservation de l'énergie (Entrées = Sorties)
Application aux flux
Hypothèses
Pour que ce bilan soit valide, nous supposons :
- La "boîte froide" est parfaitement isolée thermiquement (adiabatique, \(Q=0\)).
- Le régime est stationnaire (pas d'accumulation d'énergie ou de masse à l'intérieur).
- Les débits de masse sont conservés : 1 kg entre = \(y\) kg (liquide) + \((1-y)\) kg (gaz) sortent.
Donnée(s)
Nous identifions clairement les quatre acteurs du bilan :
| Flux | Nature | Enthalpie / Energie | Quantité |
|---|---|---|---|
| Entrée | Air Comprimé (HP) | \(h_{\text{in}} = 500\) kJ/kg | 1 kg |
| Sortie 1 | Air Liquide | \(h_{\text{L}} = 100\) kJ/kg | y kg |
| Sortie 2 | Gaz Retour (BP) | \(h_{\text{return}} = 490\) kJ/kg | (1-y) kg |
| Sortie 3 | Travail Mécanique | \(w_t = 90\) kJ | Global |
Astuces
Une bonne pratique est de toujours vérifier la conservation de la masse avant la conservation de l'énergie. Ici : Entrée (1) = Sortie Liquide (y) + Sortie Gaz (1-y). C'est correct car \(y + 1 - y = 1\).
Schéma (Avant les calculs)
Frontières du système (Volume de Contrôle)
Calcul(s)
Ici, nous ne faisons pas de calcul numérique immédiat, nous posons l'équation fondamentale qui servira à la résolution.
Cette équation relie toutes nos inconnues. Elle est physiquement homogène : ce sont des Joules (ou kJ) de part et d'autre.
Schéma (Après les calculs)
L'équation obtenue est notre modèle mathématique du système. Elle relie toutes les variables entre elles.
Réflexions
Cette équation est très parlante : l'enthalpie qui entre (\(h_{\text{in}}\)) est "consommée" de trois manières : une partie sort avec le gaz de retour (\(h_{\text{return}}\)), une partie est exportée sous forme de travail (\(w_t\)), et ce qui reste "tombe" dans le liquide (\(h_{\text{L}}\)). Plus on extrait de travail (\(w_t\)), moins il reste d'énergie, et plus on peut produire de liquide (qui a une enthalpie très basse).
Points de vigilance
Le piège classique est d'oublier le terme \(w_t\) dans l'équation. Si on l'oublie, on retombe sur l'équation du cycle de Linde, qui est beaucoup moins performant. Assurez-vous que tous les flux traversant la frontière pointillée sont bien dans l'équation.
Points à retenir
La méthode du volume de contrôle transforme un problème complexe de mécanique des fluides et de thermodynamique en une simple équation de bilan comptable : Entrées = Sorties.
Le saviez-vous ?
Dans la réalité industrielle, la "boîte froide" est une énorme structure métallique remplie d'isolant (perlite) et maintenue sous vide partiel pour minimiser les entrées de chaleur parasites, car chaque joule de chaleur entrant réduit la production de liquide.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le système n'était pas parfaitement isolé et recevait de la chaleur \(q_{\text{pertes}}\) de l'extérieur, où faudrait-il ajouter ce terme dans l'équation ? (Réponse mentale : c'est une énergie entrante, donc à gauche avec \(h_{\text{in}}\)).
Mini Fiche Mémo
Mémo Q2 : Bilan Global : \( \text{Entrées} = \text{Sorties} \). Ne rien oublier qui traverse la frontière.
Question 3 : Calcul du taux de liquéfaction \(y\)
Principe
Nous avons posé l'équation physique à l'étape précédente. Il s'agit maintenant d'un problème purement mathématique : isoler l'inconnue \(y\) (le taux de liquéfaction) pour calculer sa valeur exacte.
Mini-Cours
Nous sommes face à une équation linéaire du premier degré à une inconnue de la forme \( A = yB + (1-y)C + D \). La stratégie de résolution est standard : développer, regrouper les termes en \(y\) d'un côté, les constantes de l'autre, et diviser.
Remarque Pédagogique
Le résultat \(y\) est une fraction massique. Physiquement, il doit obligatoirement être compris entre 0 (0%) et 1 (100%). Si vous trouvez un résultat négatif ou supérieur à 1, il y a forcément une erreur de calcul ou de signe quelque part.
Normes
En ingénierie, on exprime souvent le résultat avec 3 chiffres significatifs. Un taux de liquéfaction s'exprime soit en fraction (ex: 0.205) soit en pourcentage (ex: 20.5%).
Formule(s)
Formule finale isolée
Hypothèses
Les hypothèses thermodynamiques restent les mêmes que pour la Question 2. Nous supposons simplement que nous n'avons fait aucune erreur de calcul intermédiaire.
Donnée(s)
| Variable | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(h_{\text{in}}\) | Enthalpie Entrée | 500 |
| \(w_t\) | Travail Turbine | 90 |
| \(h_{\text{return}}\) | Enthalpie Gaz Sortie | 490 |
| \(h_{\text{L}}\) | Enthalpie Liquide | 100 |
Astuces
Lors du calcul numérique, calculez le numérateur et le dénominateur séparément avant de diviser. Notez que le dénominateur \(h_{\text{L}} - h_{\text{return}}\) sera négatif (car le liquide est plus froid que le gaz), c'est normal et attendu.
Schéma (Avant les calculs)
La résolution est algébrique, mais on peut visualiser le but : trouver la proportion de la "tarte" (flux massique) qui devient liquide.
Calcul(s)
1. Développement de l'équation initiale
On part de l'équation du bilan : \( h_{\text{in}} = y h_{\text{L}} + h_{\text{return}} - y h_{\text{return}} + w_t \). Le but est d'extraire \(y\).
2. Regroupement des termes
On passe tous les termes connus (sans \(y\)) à gauche et on factorise \(y\) à droite. Attention aux signes lors du passage de l'autre côté du signe égal.
3. Isolation de y
On divise par le terme factorisé pour obtenir \(y\) seul.
4. Application Numérique
On remplace les variables par leurs valeurs numériques. Notez comment les deux résultats négatifs vont se compenser.
Le résultat final est positif, ce qui confirme la validité de nos signes.
Schéma (Après les calculs)
Résultat : Répartition des flux
Réflexions
Un rendement de 20.5% est excellent pour un système de liquéfaction simple étage. Pour comparaison, un cycle de Linde simple (sans la turbine qui apporte les 90 kJ de refroidissement supplémentaire) aurait eu un numérateur de \(500 - 490 = 10\), donnant un rendement de \(10/390 \approx 2.5\%\). La turbine a multiplié le rendement par 8 !
Points de vigilance
Attention aux signes ! Le numérateur \((-80)\) et le dénominateur \((-390)\) sont tous les deux négatifs. Les signes s'annulent pour donner un résultat positif. Si vous aviez trouvé un rendement négatif, c'est que vous auriez inversé un terme.
Points à retenir
La turbine est l'élément clé du cycle de Claude. Elle "paye" le froid nécessaire pour liquéfier une bien plus grande quantité d'air que ne le permettrait la simple détente Joule-Thomson.
Le saviez-vous ?
Le rendement théorique maximal (Carnot) pour liquéfier de l'air est beaucoup plus élevé, mais impossible à atteindre à cause des irréversibilités (frottements, écarts de température dans les échangeurs). Les usines modernes complexes atteignent environ 30-35% du rendement de Carnot.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Reprenons le scénario de la Question 1. Si le travail de la turbine était de 105 kJ/kg (au lieu de 90), quel serait le nouveau taux de liquéfaction \(y\) ? (Indice : le numérateur change).
Mini Fiche Mémo
Synthèse : Formule clé à retenir : \( y = \frac{h_{\text{in}} - h_{\text{return}} - w_t}{h_{\text{L}} - h_{\text{return}}} \). Plus \(w_t\) est grand, plus \(y\) est grand.
Outil Interactif : Simulateur de Cycle Claude
Modifiez la fraction massique envoyée à la turbine (\(x\)) et la différence d'enthalpie dans la turbine (\(\Delta h_t\)) pour voir l'impact sur le rendement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la principale différence entre le cycle de Linde et le cycle de Claude ?
2. Dans la turbine, la détente est idéalement :
3. Si on augmente trop la fraction \(x\) vers la turbine, que risque-t-il d'arriver ?
4. Le travail produit par la turbine est compté comme :
5. Dans la vanne de détente (Joule-Thomson), la transformation est :
Glossaire
- Enthalpie (\(h\))
- Grandeur thermodynamique représentant l'énergie totale d'un système (énergie interne + travail de pression). C'est la grandeur clé pour les systèmes ouverts.
- Isentropique
- Transformation se déroulant sans échange de chaleur et sans frottement (entropie constante). C'est le cas idéal d'une turbine.
- Isenthalpique
- Transformation se déroulant à enthalpie constante. C'est ce qui se passe lors d'une détente dans une vanne (laminage).
- Effet Joule-Thomson
- Phénomène de changement de température d'un gaz lorsqu'il subit une détente isenthalpique.
D’autres exercices de Thermodynamique classique:
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