ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Équipartition de l’Énergie et Degrés de Liberté

Équipartition de l'Énergie : Degrés de Liberté

Équipartition de l'Énergie : Degrés de Liberté

Comprendre le Théorème d'Équipartition

Le théorème d'équipartition de l'énergie est un concept central de la thermodynamique statistique classique. Il affirme qu'à l'équilibre thermique, l'énergie d'un système se distribue équitablement entre tous ses degrés de liberté quadratiques (ceux dont l'énergie s'exprime comme le carré d'une variable, comme \(\frac{1}{2}mv_x^2\) ou \(\frac{1}{2}I\omega_z^2\)). Chaque degré de liberté actif contribue pour \(\frac{1}{2}k_B T\) à l'énergie interne moyenne par particule. Ce théorème permet d'estimer de manière simple l'énergie interne et la capacité thermique des gaz en comptant simplement leurs modes de mouvement : translation, rotation et vibration.

Données de l'étude

On veut calculer l'énergie interne molaire et la capacité thermique molaire du dioxygène (O₂) à une température suffisamment haute pour que tous les degrés de liberté soient actifs.

Conditions et constantes :

  • Gaz : Dioxygène (O₂), une molécule diatomique linéaire.
  • Température (\(T\)) : \(1000 \, \text{K}\) (haute température).
  • On considère une mole de gaz, soit \(N=N_A\) molécules.
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{\text{-1}} \cdot \text{K}^{\text{-1}}\)

Questions à traiter

  1. Identifier le nombre de degrés de liberté de translation, de rotation et de vibration pour une molécule de O₂.
  2. En utilisant le théorème d'équipartition, calculer la contribution molaire à l'énergie interne pour chaque type de mouvement (\(U_{\text{trans}}\), \(U_{\text{rot}}\), \(U_{\text{vib}}\)).
  3. Calculer l'énergie interne molaire totale (\(U_m\)) du gaz.
  4. Déduire la capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{V,m}\)) du gaz.

Correction : Équipartition de l'Énergie et Degrés de Liberté

Question 1 : Nombre de Degrés de Liberté

Principe :

On compte le nombre de manières indépendantes dont une molécule peut stocker de l'énergie.

  • Translation : Le centre de masse peut se déplacer selon 3 axes indépendants (x, y, z).
  • Rotation : Une molécule diatomique linéaire peut tourner autour de 2 axes perpendiculaires à son axe de liaison. La rotation autour de son propre axe est négligeable.
  • Vibration : La distance entre les deux atomes peut varier comme un ressort. Ce mode possède à la fois de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, comptant pour 2 degrés de liberté quadratiques.
Résultat Question 1 :
  • Translation : 3 degrés de liberté.
  • Rotation : 2 degrés de liberté.
  • Vibration : 1 degré de liberté (comptant pour 2 termes quadratiques).

Question 2 : Contribution Énergétique par Mouvement

Principe :

Chaque degré de liberté quadratique contribue pour \(\frac{1}{2}k_B T\) à l'énergie par molécule. Pour une mole (\(N_A\) molécules), chaque degré contribue donc pour \(\frac{1}{2} N_A k_B T = \frac{1}{2}RT\).

Calcul :
\[ U_{\text{trans, m}} = 3 \times \left(\frac{1}{2}RT\right) = \frac{3}{2}RT \]
\[ U_{\text{rot, m}} = 2 \times \left(\frac{1}{2}RT\right) = RT \]

Pour la vibration, il y a un terme d'énergie cinétique et un terme d'énergie potentielle, soit 2 termes quadratiques :

\[ U_{\text{vib, m}} = 2 \times \left(\frac{1}{2}RT\right) = RT \]

Question 3 : Énergie Interne Molaire Totale (\(U_m\))

Principe :

L'énergie interne totale est la somme des contributions de chaque type de mouvement.

Calcul :
\[ \begin{aligned} U_m &= U_{\text{trans, m}} + U_{\text{rot, m}} + U_{\text{vib, m}} \\ &= \frac{3}{2}RT + RT + RT = \frac{7}{2}RT \end{aligned} \]

Calculons la valeur numérique :

\[ \begin{aligned} U_m &= \frac{7}{2} \times (8.314 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) \times (1000 \, \text{K}) \\ &= 29099 \, \text{J/mol} \approx 29.1 \, \text{kJ/mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie interne molaire totale est \(U_m = \frac{7}{2}RT \approx 29.1 \, \text{kJ/mol}\).

Question 4 : Capacité Thermique Molaire (\(C_{V,m}\))

Principe :

La capacité thermique molaire à volume constant est la dérivée de l'énergie interne molaire par rapport à la température.

Formule et Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{V,m} &= \left( \frac{\partial U_m}{\partial T} \right)_V \\ &= \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{7}{2}RT\right) \\ &= \frac{7}{2}R \end{aligned} \]

Calculons la valeur numérique :

\[ C_{V,m} = \frac{7}{2} \times 8.314 \approx 29.1 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \]
Résultat Question 4 : La capacité thermique molaire à volume constant est \(C_{V,m} = \frac{7}{2}R \approx 29.1 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Quelle serait la capacité thermique molaire \(C_{V,m}\) d'un gaz monoatomique (comme l'Hélium) ?

Indice : Un atome seul n'a que des degrés de liberté de translation.

2. À température ambiante (~300 K), les degrés de liberté de vibration du N₂ sont "gelés". Quelle serait alors la valeur de \(C_{V,m}\) ?

Indice : On ne compte que la translation (3) et la rotation (2).

Glossaire

Théorème d'Équipartition de l'Énergie
Principe de la mécanique statistique classique qui attribue une énergie moyenne de \(\frac{1}{2}k_B T\) à chaque degré de liberté quadratique d'un système à l'équilibre thermique.
Degré de Liberté
Variable indépendante qui contribue à l'énergie totale d'une particule. Les principaux types pour une molécule sont la translation, la rotation et la vibration.
Translation
Mouvement du centre de masse de la molécule dans l'espace. Il y a toujours 3 degrés de liberté de translation.
Rotation
Mouvement de la molécule autour de son centre de masse. Il y a 2 degrés de liberté pour une molécule linéaire et 3 pour une molécule non linéaire.
Vibration
Mouvement d'oscillation des atomes les uns par rapport aux autres au sein de la molécule. Chaque mode de vibration compte pour 2 degrés de liberté quadratiques (un pour l'énergie cinétique, un pour l'énergie potentielle).
Équipartition de l'Énergie - Exercice d'Application

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