ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Équation de la diffusion et sa résolution

Équation de la Diffusion et sa Résolution dans un Cas Simple

Équation de la diffusion et sa résolution dans un cas simple

Comprendre l'Équation de la Diffusion

Si la première loi de Fick décrit le flux de matière à un instant T, la seconde loi de Fick, ou équation de la diffusion, décrit comment la concentration évolue dans le temps et l'espace. C'est une équation aux dérivées partielles qui relie la variation temporelle de la concentration à sa variation spatiale (plus précisément, son laplacien). La résolution de cette équation, avec des conditions initiales et aux limites appropriées, permet de prédire le profil de concentration à n'importe quel instant. Cet exercice illustre la résolution et l'application de cette équation dans un cas unidimensionnel classique.

Données de l'étude

On dépose une très fine couche contenant une quantité \(N_0\) de traceur radioactif à la surface d'un milieu semi-infini (\(x>0\)). À l'instant \(t=0\), ce traceur commence à diffuser dans le milieu. On cherche à déterminer la concentration du traceur à une certaine profondeur après un certain temps.

Schéma de la Diffusion 1D
Position (x) Concentration (C) t = 0 t > 0

Le profil de concentration initial (un pic infiniment fin à x=0) s'élargit et s'aplatit avec le temps.

Conditions et constantes :

  • La solution de l'équation de la diffusion pour ce cas est donnée par : \[ C(x,t) = \frac{N_0}{A\sqrt{\pi D t}} e^{-x^2 / (4Dt)} \] où \(A\) est la surface de dépôt.
  • Quantité de matière totale de traceur déposée par unité de surface : \(N_0/A = 0.1 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-2}\)
  • Coefficient de diffusion du traceur dans le milieu : \(D = 4 \times 10^{-10} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de la diffusion de Fick en une dimension.
  2. Calculer la concentration du traceur \(C(x, t)\) à une profondeur de \(x = 100 \, \mu\text{m}\) après un temps \(t = 1 \, \text{heure}\).
  3. Déterminer à quel instant \(t_{\text{max}}\) la concentration à la profondeur \(x = 100 \, \mu\text{m}\) est maximale.
  4. Calculer cette concentration maximale.

Correction : Équation de la diffusion et sa résolution dans un cas simple

Question 1 : Équation de la diffusion

Principe :

La seconde loi de Fick relie la dérivée temporelle de la concentration à la dérivée seconde spatiale de la concentration. Elle provient de la combinaison de la première loi de Fick avec l'équation de conservation de la matière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \]
Résultat Question 1 : L'équation de la diffusion en 1D est \(\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}\).

Question 2 : Concentration à \(x = 100 \, \mu\text{m}\) et \(t = 1\) heure

Principe :

On applique directement la formule de la solution donnée en veillant à la cohérence des unités SI.

Calcul :

Conversion des unités :

  • \(x = 100 \, \mu\text{m} = 100 \times 10^{-6} \, \text{m} = 10^{-4} \, \text{m}\)
  • \(t = 1 \, \text{heure} = 3600 \, \text{s}\)

Calcul des termes de l'équation :

\[ 4Dt = 4 \cdot (4 \times 10^{-10}) \cdot 3600 = 5.76 \times 10^{-6} \]
\[ x^2 = (10^{-4})^2 = 10^{-8} \]
\[ \frac{x^2}{4Dt} = \frac{10^{-8}}{5.76 \times 10^{-6}} \approx 0.001736 \]
\[ \sqrt{\pi D t} = \sqrt{\pi \cdot (4 \times 10^{-10}) \cdot 3600} \approx \sqrt{4.52 \times 10^{-6}} \approx 0.002126 \]

Calcul final de \(C(x,t)\) :

\[ \begin{aligned} C(x, t) &= \frac{0.1}{0.002126} \cdot e^{-0.001736} \\ &= 47.04 \cdot 0.99826 \\ &\approx 46.96 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La concentration est d'environ \(47.0 \, \text{mol/m}^3\).

Question 3 : Temps pour la concentration maximale

Principe :

Pour trouver le temps où la concentration est maximale à une position \(x\) donnée, on doit dériver l'expression de \(C(x,t)\) par rapport au temps \(t\), et trouver pour quelle valeur de \(t\) cette dérivée s'annule.

Calcul :

On cherche à résoudre \(\frac{\partial C(x,t)}{\partial t} = 0\). On peut simplifier en dérivant \(\ln(C)\) :

\[ \ln(C) = \ln\left(\frac{N_0}{A\sqrt{\pi D}}\right) - \frac{1}{2}\ln(t) - \frac{x^2}{4Dt} \]
\[ \frac{\partial \ln(C)}{\partial t} = 0 - \frac{1}{2t} - \frac{x^2}{4D} \left(-\frac{1}{t^2}\right) = -\frac{1}{2t} + \frac{x^2}{4Dt^2} \]

On pose la dérivée égale à zéro :

\[ -\frac{1}{2t_{\text{max}}} + \frac{x^2}{4Dt_{\text{max}}^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{4Dt_{\text{max}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow t_{\text{max}} = \frac{x^2}{2D} \]

Application numérique :

\[ t_{\text{max}} = \frac{(10^{-4})^2}{2 \cdot (4 \times 10^{-10})} = \frac{10^{-8}}{8 \times 10^{-10}} = 12.5 \, \text{s} \]
Résultat Question 3 : La concentration à \(x=100\,\mu\text{m}\) est maximale au bout de \(12.5 \, \text{secondes}\).

Question 4 : Calcul de la concentration maximale

Principe :

On utilise la formule de \(C(x,t)\) avec la valeur de \(t_{\text{max}}\) que nous venons de trouver.

Calcul :

On substitue \(t_{\text{max}} = x^2 / (2D)\) dans l'expression de C :

\[ C_{\text{max}} = \frac{N_0}{A\sqrt{\pi D \frac{x^2}{2D}}} e^{-x^2 / (4D \frac{x^2}{2D})} = \frac{N_0}{A x \sqrt{\pi/2}} e^{-1/2} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} C_{\text{max}} &= \frac{0.1}{10^{-4} \cdot \sqrt{\pi/2}} e^{-0.5} \\ &= \frac{1000}{1.253} \cdot 0.6065 \\ &= 798 \cdot 0.6065 \\ &\approx 484 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La concentration maximale atteinte à cette profondeur est d'environ \(484 \, \text{mol/m}^3\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'équation de la diffusion (seconde loi de Fick) décrit...

2. Si le coefficient de diffusion \(D\) est plus grand, la diffusion est...

3. Dans ce modèle, la concentration en un point x donné...

Glossaire

Équation de la Diffusion (Seconde Loi de Fick)
Équation aux dérivées partielles qui modélise l'évolution de la concentration d'une substance au cours du temps due à la diffusion.
Coefficient de Diffusion (D)
Constante de proportionnalité qui caractérise la vitesse à laquelle une substance diffuse dans une autre. Unité : m²/s.
Gradient de Concentration (\(\nabla C\))
Vecteur qui indique la direction et le taux de variation le plus rapide de la concentration. C'est la force motrice de la diffusion.
Flux de Matière (J)
Quantité de matière qui traverse une surface unité par unité de temps, due à la diffusion. Unité : mol·s⁻¹·m⁻².
Milieu Semi-infini
Modèle mathématique où l'on considère qu'un milieu s'étend à l'infini dans une ou plusieurs directions. Ici, il s'étend de \(x=0\) à \(x=+\infty\).
Équation de la Diffusion - Exercice d'Application

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