ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Entropie Statistique d’un Système Simple

Entropie Statistique (Formule de Boltzmann) d'un Système Simple

Entropie Statistique (Formule de Boltzmann) d'un Système Simple

Comprendre l'Entropie Statistique

La formule de l'entropie de Boltzmann, \(S = k_B \ln \Omega\), est l'un des piliers de la thermodynamique statistique. Elle établit un lien direct entre une propriété macroscopique, l'entropie (\(S\)), et une propriété microscopique, le nombre de micro-états (\(\Omega\)) accessibles au système pour un macro-état donné (énergie, volume, nombre de particules fixés). Un micro-état est une configuration spécifique du système (positions et impulsions de toutes les particules), tandis qu'un macro-état est défini par ses variables thermodynamiques. \(\Omega\) mesure le nombre de façons dont on peut "arranger" le système microscopiquement tout en conservant le même état macroscopique. Plus il y a de façons, plus le désordre est grand, et plus l'entropie est élevée.

Données de l'étude

On considère un système simple composé de 4 particules discernables (par exemple, localisées sur 4 sites d'un cristal). Chaque particule peut être placée dans l'un des 2 compartiments (ou états) disponibles.

Conditions et constantes :

  • Nombre de particules discernables (\(N\)) : 4
  • Nombre de compartiments/états par particule (\(C\)) : 2
  • Constante de Boltzmann (\(k_B\)) : \(1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
Schéma : Particules et Compartiments
4 Particules, 2 Compartiments Compartiment 1 Compartiment 2 1 2 3 4 Un exemple de micro-état : (1,2,3) dans C1 et (4) dans C2

Questions à traiter

  1. Déterminer le nombre total de micro-états (\(\Omega\)) possibles pour ce système.
  2. Énoncer la formule de l'entropie de Boltzmann.
  3. Calculer l'entropie statistique (\(S\)) de ce système.
  4. Si on ajoutait une 5ème particule, quelle serait la nouvelle entropie ?

Correction : Entropie Statistique (Formule de Boltzmann) d'un Système Simple

Question 1 : Nombre de Micro-états (\(\Omega\))

Principe :

Chaque particule est discernable et a un choix indépendant des autres. Pour chaque particule, il y a \(C\) choix possibles (ici, 2 compartiments). Comme il y a \(N\) particules, le nombre total d'arrangements possibles (micro-états) est le produit des choix pour chaque particule.

Formule et Calcul :
\[ \begin{aligned} \Omega &= C^N \\ &= 2^4 \\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \end{aligned} \]

Il y a 16 façons uniques de distribuer les 4 particules dans les 2 compartiments.

Résultat Question 1 : Le nombre total de micro-états accessibles au système est \(\Omega = 16\).

Question 2 : Formule de l'Entropie de Boltzmann

Principe :

La formule de Boltzmann relie l'entropie \(S\) d'un macro-état au logarithme népérien du nombre de micro-états \(\Omega\) correspondant à ce macro-état, via la constante de Boltzmann \(k_B\).

Formule :
\[ S = k_B \ln(\Omega) \]

Question 3 : Calcul de l'Entropie Statistique (\(S\))

Principe :

On applique directement la formule de Boltzmann avec la valeur de \(\Omega\) calculée à la première question.

Calcul :
\[ \begin{aligned} S &= (1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}) \times \ln(16) \\ &\approx (1.38 \times 10^{-23}) \times 2.7726 \\ &\approx 3.826 \times 10^{-23} \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'entropie statistique du système est \(S \approx 3.83 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\).

Question 4 : Entropie avec une 5ème Particule

Principe :

On recalcule d'abord le nouveau nombre de micro-états \(\Omega'\) avec \(N=5\), puis on applique à nouveau la formule de Boltzmann.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Omega' &= 2^5 = 32 \\ S' &= k_B \ln(\Omega') \\ &= (1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}) \times \ln(32) \\ &\approx (1.38 \times 10^{-23}) \times 3.4657 \\ &\approx 4.783 \times 10^{-23} \, \text{J/K} \end{aligned} \]

L'ajout d'une particule a augmenté le nombre d'arrangements possibles, et donc l'entropie du système.

Résultat Question 4 : Avec 5 particules, l'entropie serait \(S' \approx 4.78 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Si les 4 particules étaient toutes dans un seul compartiment, que vaudrait \(\Omega\) ?

Indice : Il n'y a qu'une seule façon de mettre tout le monde au même endroit.

2. L'entropie calculée pour le macro-état où toutes les particules sont dans un seul compartiment serait :

Indice : Calculez \(k_B \ln(1)\).

Glossaire

Entropie Statistique (\(S\))
Mesure du désordre d'un système, définie par la formule de Boltzmann. Elle est proportionnelle au logarithme du nombre de façons microscopiques de réaliser un état macroscopique.
Micro-état
Une configuration spécifique et entièrement détaillée de toutes les particules d'un système (par exemple, "la particule 1 est dans la boîte A, la particule 2 dans la boîte B...").
Macro-état
Description d'un système par ses propriétés macroscopiques globales, comme la pression, la température, le volume, et l'énergie totale, sans spécifier l'état de chaque particule.
Particules Discernables
Particules que l'on peut distinguer les unes des autres, par exemple par leur position fixe sur un réseau. L'échange de deux particules discernables crée un nouveau micro-état.
Entropie Statistique - Exercice d'Application

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