ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Entropie de Mélange de Deux Gaz Parfaits

Thermodynamique : Entropie de Mélange de Deux Gaz Parfaits

Entropie de Mélange de Deux Gaz Parfaits

Contexte : L'Irréversibilité et le Désordre

En thermodynamique, l'entropieGrandeur thermodynamique qui mesure le degré de désordre ou de dispersion de l'énergie dans un système. Selon le second principe, elle ne peut qu'augmenter dans un système isolé. est une mesure du désordre d'un système. Lorsqu'on retire une séparation entre deux gaz différents, ils se mélangent spontanément. Ce processus est irréversible : les gaz ne se sépareront jamais d'eux-mêmes. Cette augmentation du "désordre" (les molécules de chaque gaz sont maintenant dispersées dans un volume plus grand) correspond à une augmentation de l'entropie totale du système. Cet exercice vise à quantifier cette augmentation, connue sous le nom d'entropie de mélangeAugmentation de l'entropie totale qui se produit lorsque deux ou plusieurs substances différentes sont mélangées sans réaction chimique..

Remarque Pédagogique : Le calcul de l'entropie de mélange est une application directe du second principe de la thermodynamique. Il illustre comment un processus spontané et irréversible est toujours associé à une création d'entropie.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la nature de l'entropie de mélange.
  • Appliquer la formule de la variation d'entropie pour une détente isotherme d'un gaz parfait.
  • Calculer les fractions molairesRapport entre le nombre de moles d'un constituant et le nombre total de moles de tous les constituants dans un mélange. des constituants d'un mélange.
  • Calculer l'entropie de mélange totale pour un système de deux gaz.
  • Interpréter le signe de la variation d'entropie et sa signification physique.

Données de l'étude

On considère une enceinte à parois rigides et calorifugées, séparée en deux compartiments par une fine membrane. Les deux compartiments sont maintenus à la même température \(T = 298 \, \text{K}\) et à la même pression \(P = 1 \, \text{bar}\).

  • Compartiment 1 : contient \(n_1 = 2 \, \text{mol}\) d'Hélium (He), considéré comme un gaz parfait.
  • Compartiment 2 : contient \(n_2 = 3 \, \text{mol}\) d'Argon (Ar), également considéré comme un gaz parfait.

On retire la membrane séparatrice, et les deux gaz se mélangent.

Constante :

  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Schéma du Processus de Mélange
État Initial He (n₁) Ar (n₂) Retrait de la membrane État Final Mélange (He + Ar)

Questions à traiter

  1. Calculer les volumes initiaux \(V_1\) (Hélium) et \(V_2\) (Argon), ainsi que le volume final total \(V_f\).
  2. Calculer la variation d'entropie \(\Delta S_1\) pour l'Hélium et \(\Delta S_2\) pour l'Argon lors du mélange.
  3. En déduire l'entropie de mélange totale \(\Delta S_{\text{mélange}}\). Conclure sur le signe et la spontanéité de la transformation.

Correction : Entropie de Mélange

Question 1 : Calcul des Volumes

Principe :
V₁ V₂

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour déterminer le volume de chaque compartiment. Comme la pression et la température sont initialement les mêmes, le volume est directement proportionnel au nombre de moles. Le volume final est simplement la somme des deux volumes initiaux.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette première étape est essentielle pour la suite. Elle permet de quantifier l' "espace" initial de chaque gaz et l' "espace" final qu'ils partageront. C'est le rapport de ces espaces qui déterminera la variation d'entropie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = \frac{nRT}{P} \]
Donnée(s) :
  • \(n_1 = 2 \, \text{mol}\), \(n_2 = 3 \, \text{mol}\)
  • \(T = 298 \, \text{K}\)
  • \(P = 1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{2 \times 8.314 \times 298}{10^5} \\ &\approx 0.0495 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{3 \times 8.314 \times 298}{10^5} \\ &\approx 0.0743 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_f &= V_1 + V_2 \\ &= 0.0495 + 0.0743 \\ &= 0.1238 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités du SI : La plus grande source d'erreur est d'oublier de convertir la pression de bars en Pascals. La constante R est donnée en unités du Système International, tous les autres paramètres doivent l'être aussi pour que le calcul soit correct.

Le saviez-vous ?

La loi d'Avogadro stipule que, à température et pression égales, des volumes égaux de gaz parfaits contiennent le même nombre de molécules. Ici, comme \(n_2 > n_1\), on a bien \(V_2 > V_1\), ce qui est cohérent.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la pression finale est-elle la même que la pression initiale ?

D'après la loi des gaz parfaits, \(P_f = \frac{n_f R T}{V_f}\). Or, \(n_f = n_1 + n_2\) et \(V_f = V_1 + V_2\). Comme \(V_1 = n_1 RT/P\) et \(V_2 = n_2 RT/P\), on a \(V_f = (n_1+n_2)RT/P\). En remplaçant, on trouve bien \(P_f = P\). Cela n'est vrai que parce que les gaz sont parfaits et à la même température et pression initiales.

Résultat : \(V_1 \approx 49.5 \, \text{L}\), \(V_2 \approx 74.3 \, \text{L}\) et \(V_f \approx 123.8 \, \text{L}\).

Question 2 : Variation d'Entropie pour chaque Gaz

Principe :
Détente de l'Hélium V₁ V₂

Le mélange est un processus isotherme (la température ne change pas). Pour chaque gaz, le processus est équivalent à une détente isotherme (détente de Joule-Gay-Lussac) de son volume initial vers le volume final total. La variation d'entropie pour une telle transformation est donnée par une formule spécifique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Bien que la pression totale reste constante avant et après le mélange (si les gaz sont parfaits et à la même T et P initiales), la pression partiellePression qu'exercerait un gaz dans un mélange s'il occupait seul tout le volume du mélange à la même température. de chaque gaz diminue. C'est cette diminution de pression partielle (ou augmentation du volume disponible) qui est à l'origine de l'augmentation de l'entropie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta S = nR \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \]
Donnée(s) :
  • \(n_1 = 2 \, \text{mol}\), \(n_2 = 3 \, \text{mol}\)
  • \(V_1 = 0.0495 \, \text{m}^3\), \(V_2 = 0.0743 \, \text{m}^3\), \(V_f = 0.1238 \, \text{m}^3\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta S_1 (\text{He}) &= n_1 R \ln\left(\frac{V_f}{V_1}\right) \\ &= 2 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{0.1238}{0.0495}\right) \\ &\approx 16.628 \times \ln(2.5) \\ &\approx 15.22 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta S_2 (\text{Ar}) &= n_2 R \ln\left(\frac{V_f}{V_2}\right) \\ &= 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{0.1238}{0.0743}\right) \\ &\approx 24.942 \times \ln(1.666) \\ &\approx 12.72 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Logarithme d'un rapport > 1 : Puisqu'il s'agit d'une détente (\(V_f > V_i\)), le rapport des volumes est supérieur à 1. Son logarithme népérien est donc positif, ce qui garantit que \(\Delta S\) est positif pour chaque gaz, reflétant l'augmentation du désordre.

Le saviez-vous ?

La formule de l'entropie de Boltzmann, \(S = k_B \ln(W)\), relie l'entropie macroscopique (S) au nombre de micro-états (W) accessibles au système. En se détendant, un gaz a accès à beaucoup plus de positions possibles pour ses molécules, donc W augmente, et S augmente aussi.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si les températures initiales étaient différentes ?

Le processus ne serait plus isotherme. Il y aurait un transfert de chaleur du gaz le plus chaud vers le gaz le plus froid jusqu'à l'équilibre thermique. Le calcul de la variation d'entropie serait plus complexe, car il faudrait ajouter un terme \(\Delta S = n C_v \ln(T_f/T_i)\) pour chaque gaz, en plus du terme lié à la détente.

Résultat : \(\Delta S_1 \approx +15.22 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\) et \(\Delta S_2 \approx +12.72 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 3 : Entropie de Mélange Totale et Conclusion

Principe :
Mélange Spontané

L'entropie est une fonction extensive. La variation d'entropie totale du système est donc la somme des variations d'entropie de ses parties (ici, les deux gaz).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le résultat final, \(\Delta S_{\text{mélange}} > 0\), est une manifestation directe du second principe de la thermodynamique. Il quantifie "l'irréversibilité" du mélange. Le système ne reviendra jamais spontanément à son état initial séparé car cela correspondrait à une diminution de l'entropie, ce qui est statistiquement impossible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta S_{\text{mélange}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 \]
\[ \Delta S_{\text{mélange}} = -R \sum_{i} n_i \ln(x_i) = -n_{\text{total}} R \sum_{i} x_i \ln(x_i) \]

Où \(x_i = n_i / n_{\text{total}}\) est la fraction molaire du gaz \(i\).

Donnée(s) :
  • \(\Delta S_1 = 15.22 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(\Delta S_2 = 12.72 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{mélange}} &= 15.22 + 12.72 \\ &= 27.94 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le signe de \(\Delta S\) : L'entropie de mélange de gaz différents est TOUJOURS positive. Un résultat négatif indique une erreur de calcul (par exemple, inversion du rapport des volumes dans le logarithme).

Le saviez-vous ?

La notion d'entropie a des parallèles directs en théorie de l'information. L'entropie de Shannon mesure l'incertitude ou la "surprise" associée à une variable aléatoire. Le mélange de gaz augmente le désordre physique, tout comme le mélange de lettres augmente le "désordre" informationnel, rendant un message moins prévisible.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si on mélange deux gaz identiques ?

C'est le fameux "paradoxe de Gibbs". Si les gaz sont identiques, il n'y a macroscopiquement aucun changement après avoir retiré la paroi. On ne peut plus distinguer les molécules "de gauche" et "de droite". Dans ce cas, la variation d'entropie est nulle, \(\Delta S_{\text{mélange}} = 0\). La formule avec les fractions molaires ne s'applique que pour des gaz discernables.

Conclusion : L'entropie de mélange totale est \(\Delta S_{\text{mélange}} \approx +27.94 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\). Comme \(\Delta S > 0\), la transformation est irréversible et spontanée, ce qui correspond à notre intuition.

Simulation Interactive de l'Entropie de Mélange

Faites varier le nombre de moles de chaque gaz pour voir l'impact sur l'entropie de mélange totale. La température est fixée à 298 K.

Paramètres du Mélange
\(\Delta S_{\text{mélange}}\) Totale
Contribution à l'Entropie de Mélange

Pour Aller Plus Loin : Le Paradoxe de Gibbs

Le problème de l'indiscernabilité : La formule de l'entropie de mélange (\(\Delta S > 0\)) ne fonctionne que si les particules des deux gaz sont discernables (He et Ar). Si on mélange deux volumes du même gaz (He et He), notre intuition nous dit que l'entropie ne devrait pas changer, car l'état final est macroscopiquement identique à l'état initial. Pourtant, une application naïve de la formule donnerait un \(\Delta S > 0\). Ce "paradoxe" a été résolu par Gibbs en introduisant le concept d'indiscernabilité des particules identiques en mécanique statistique, un concept qui ne sera pleinement justifié que par la mécanique quantique.

Le Saviez-Vous ?

L'entropie est parfois appelée "la flèche du temps". Alors que la plupart des lois fondamentales de la physique (comme la gravité ou l'électromagnétisme) sont réversibles dans le temps, le second principe de la thermodynamique stipule que l'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter. C'est ce qui donne une direction au temps et explique pourquoi nous nous souvenons du passé mais pas du futur, et pourquoi les œufs cassés ne se reconstituent pas spontanément.

Foire Aux Questions (FAQ)

L'entropie de mélange dépend-elle de la nature des gaz ?

Non, tant qu'ils sont considérés comme des gaz parfaits et qu'ils sont différents. La formule ne dépend que du nombre de moles et des fractions molaires, pas de la masse molaire ou du type d'atome. Mélanger 1 mole de He avec 1 mole de Ar produit la même entropie de mélange que mélanger 1 mole de N₂ avec 1 mole de O₂.

Le mélange est-il toujours un processus isotherme ?

Pour des gaz parfaits, oui. Dans un gaz parfait, il n'y a pas de forces intermoléculaires. Le mélange ne libère ni ne consomme d'énergie, donc la température reste constante si le système est isolé. Pour les gaz réels, de faibles variations de température peuvent se produire en raison des forces d'attraction ou de répulsion entre les différentes molécules.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'entropie de mélange est maximale lorsque :

  • Le nombre total de moles est le plus grand possible.

2. Si on retire la paroi entre deux compartiments contenant le MÊME gaz parfait aux mêmes T et P, la variation d'entropie est :

Glossaire

Entropie (S)
Une fonction d'état thermodynamique qui est une mesure du nombre de façons dont un système peut être arrangé, souvent interprétée comme une mesure de désordre ou de dispersion de l'énergie.
Entropie de Mélange
L'augmentation de l'entropie lorsque deux ou plusieurs substances différentes sont mélangées. Elle est due à l'augmentation du volume accessible à chaque type de particule.
Gaz Parfait
Un modèle théorique de gaz où les particules sont considérées comme des points matériels sans volume propre et n'interagissant pas entre elles, sauf par des collisions élastiques.
Fraction Molaire (x)
Le rapport du nombre de moles d'un composant sur le nombre total de moles dans le mélange. La somme des fractions molaires est toujours égale à 1.
Processus Irréversible
Une transformation qui ne peut pas revenir spontanément à son état initial une fois qu'elle a eu lieu. Tous les processus spontanés réels sont irréversibles et créent de l'entropie.
Fondamentaux de la Thermodynamique Classique - Exercice d'Application

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