ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Dynamique de la relaxation vers l’équilibre

Dynamique de la relaxation vers l'équilibre thermodynamique

Dynamique de la relaxation vers l'équilibre thermodynamique

Contexte : Le retour inéluctable à l'équilibre.

Lorsqu'un système est sorti de son état d'équilibre (par exemple, en le chauffant), il tend naturellement et spontanément à y retourner s'il est mis en contact avec un environnement à température constante. Ce processus, fondamental en thermodynamique des processus irréversibles, est appelé relaxation. La vitesse à laquelle le système retourne à l'équilibre n'est pas instantanée ; elle est gouvernée par les propriétés du système (sa capacité à stocker la chaleur) et de son interface avec l'extérieur (sa capacité à échanger la chaleur). Cet exercice explore la dynamique de ce retour à l'équilibre pour un solide se refroidissant dans l'air, un phénomène décrit par la loi de refroidissement de Newton.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du premier et du second principe de la thermodynamique. Nous allons modéliser un processus irréversible (le transfert de chaleur à travers une différence de température finie) en résolvant une équation différentielle simple. Cela nous permettra de calculer non seulement l'évolution de la température, mais aussi une quantité clé des processus irréversibles : l'entropie produiteL'entropie créée au sein d'un système due à l'irréversibilité des processus. Selon le second principe de la thermodynamique, cette quantité est toujours positive ou nulle..

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la loi de refroidissement de Newton pour modéliser un transfert thermique.
  • Établir et résoudre une équation différentielle du premier ordre décrivant la relaxation.
  • Calculer et interpréter la constante de temps thermique (\(\tau\)) d'un système.
  • Déterminer l'évolution de la température d'un système en fonction du temps.
  • Calculer la production d'entropie totale associée à un processus de relaxation irréversible.

Données de l'étude

Un petit bloc de cuivre de forme cubique est sorti d'un four à \(100 \, ^\circ\text{C}\) et est posé sur une paillasse dans une grande pièce maintenue à une température constante de \(20 \, ^\circ\text{C}\). On cherche à décrire son refroidissement.

Refroidissement d'un bloc de cuivre
Bloc de Cuivre T(t) Air ambiant T_ext = 20 °C Flux de chaleur
Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse du bloc \(m\) 0.5 \(\text{kg}\)
Capacité thermique massique du cuivre \(c\) 385 \(\text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Coefficient de transfert thermique convectif \(h\) 15 \(\text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}\)
Arête du cube \(a\) 0.0385 \(\text{m}\)
Température initiale du bloc \(T_0\) 100 \(^\circ\text{C}\)
Température de la pièce (externe) \(T_{\text{ext}}\) 20 \(^\circ\text{C}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps thermique \(\tau\) du système en secondes.
  2. Établir l'équation différentielle régissant la température \(T(t)\) du bloc et la résoudre pour obtenir \(T(t)\).
  3. Calculer la température du bloc après 5 minutes (\(t = 300 \, \text{s}\)).
  4. Calculer la variation d'entropie totale de l'univers (\(\Delta S_{\text{univ}}\)), qui correspond à l'entropie produite, pour ce processus de relaxation complet.

Données et constantes utiles :

  • Surface d'un cube d'arête \(a\) : \(S = 6a^2\)
  • Loi de refroidissement de Newton : \(\Phi = \frac{dQ}{dt} = hS(T - T_{\text{ext}})\) (flux sortant)
  • Relation chaleur-température : \(dQ = mc \, dT\)
  • Constante de temps thermique : \(\tau = \frac{mc}{hS}\)
  • Variation d'entropie d'un solide : \(\Delta S_{\text{bloc}} = \int \frac{dQ}{T} = mc \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\)
  • Variation d'entropie d'un thermostat : \(\Delta S_{\text{ext}} = \frac{Q_{\text{reçu}}}{T_{\text{ext}}}\)

Les bases de la Thermodynamique des Processus Irréversibles

Avant de plonger dans la correction, revoyons les deux lois fondamentales qui gouvernent ce problème.

1. Le Premier Principe (Conservation de l'Énergie) :
Pour un système comme notre bloc de cuivre, la variation de son énergie interne \(dU\) est égale à la chaleur \(dQ\) qu'il échange avec l'extérieur (on néglige le travail). Comme \(dU = mc \, dT\), et que la chaleur est perdue vers l'extérieur selon la loi de Newton, on peut écrire un bilan d'énergie : \[ \frac{d(\text{Énergie Interne})}{dt} = - (\text{Flux de chaleur sortant}) \Rightarrow mc \frac{dT}{dt} = -hS(T(t) - T_{\text{ext}}) \] Ceci est l'équation différentielle qui décrit comment la température du bloc change au cours du temps.

2. Le Second Principe (Création d'Entropie) :
Le second principe stipule que pour tout processus réel (irréversible), l'entropie de l'univers ne peut qu'augmenter. L'univers ici est constitué du {bloc + pièce}. La variation d'entropie de l'univers est la somme des variations d'entropie de ses parties : \(\Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{bloc}} + \Delta S_{\text{ext}}\). Comme le transfert de chaleur se fait avec une différence de température, ce processus est irréversible et on s'attend à ce que \(\Delta S_{\text{univ}} > 0\). Cette quantité est aussi appelée "entropie produite".

Correction : Dynamique de la relaxation vers l'équilibre thermodynamique

Question 1 : Calculer la constante de temps thermique

Principe (le concept physique)

La constante de temps thermique, notée \(\tau\), représente le temps caractéristique de la relaxation du système. Physiquement, elle compare l'inertie thermique du système (sa capacité à stocker de la chaleur, \(mc\)) à sa capacité à évacuer cette chaleur vers l'extérieur (\(hS\)). Un système avec une grande inertie et un faible transfert thermique mettra longtemps à se refroidir (grand \(\tau\)), et vice-versa.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans la solution de l'équation différentielle du refroidissement, \(T(t) - T_{\text{ext}} = (T_0 - T_{\text{ext}})e^{-t/\tau}\), la constante de temps \(\tau\) a une signification mathématique précise : c'est le temps au bout duquel l'écart de température entre le système et l'extérieur a été réduit d'un facteur \(e \approx 2.718\). Autrement dit, après un temps \(t=\tau\), le système a effectué environ 63% de son retour à l'équilibre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à \(\tau\) comme à la "personnalité thermique" de l'objet. Un éléphant aura une constante de temps thermique beaucoup plus grande qu'une souris. L'éléphant (grande masse, rapport surface/volume faible) mettra des heures à se refroidir, tandis que la souris (petite masse, rapport surface/volume élevé) perdra sa chaleur très rapidement. Calculer \(\tau\) est la première étape pour "comprendre" comment un objet va se comporter thermiquement.

Normes (la référence réglementaire)

La loi de refroidissement de Newton et le concept de constante de temps sont des piliers de l'analyse des transferts thermiques en régime transitoire. Ils sont utilisés dans d'innombrables normes d'ingénierie, de la conception de bâtiments (normes d'isolation thermique) à l'électronique (normes de dissipation de chaleur pour les composants).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La constante de temps thermique \(\tau\) est donnée par le rapport de la capacité thermique totale sur le coefficient de perte thermique :

\[ \tau = \frac{mc}{hS} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la température du bloc est uniforme à chaque instant (modèle du régime quasi-stationnaire ou "modèle 0D"). Cette hypothèse est valide si la conduction de la chaleur à l'intérieur du bloc est beaucoup plus rapide que la convection à sa surface (critère du nombre de Biot \(Bi \ll 1\)). On suppose aussi que \(h\), \(c\) et \(S\) sont constants durant le refroidissement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse, \(m = 0.5 \, \text{kg}\)
  • Capacité thermique, \(c = 385 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Coefficient de transfert, \(h = 15 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Arête du cube, \(a = 0.0385 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de vous lancer dans le calcul final, vérifiez les unités. Le numérateur \(mc\) est en \(\text{J} \cdot \text{K}^{-1}\). Le dénominateur \(hS\) est en \(\text{W} \cdot \text{K}^{-1}\). Comme \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J} \cdot \text{s}^{-1}\), le rapport \(\frac{\text{J} \cdot \text{K}^{-1}}{\text{J} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}}\) se simplifie bien en secondes (\(\text{s}\)). Si les unités sont correctes, votre formule l'est probablement aussi.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Propriétés Thermiques
Inertie thermiquemcPertes thermiqueshSτ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la surface d'échange \(S\) du cube :

\[ \begin{aligned} S &= 6a^2 \\ &= 6 \times (0.0385 \, \text{m})^2 \\ &= 6 \times 0.00148225 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.00889 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calculer la constante de temps \(\tau\) :

\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{mc}{hS} \\ &= \frac{(0.5 \, \text{kg}) \times (385 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1})}{(15 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}) \times (0.00889 \, \text{m}^2)} \\ &= \frac{192.5 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}}{0.13335 \, \text{W} \cdot \text{K}^{-1}} \\ &\approx 1443 \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Échelle de Temps Caractéristique
tTτ ≈ 1443 s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une constante de temps de 1443 secondes (environ 24 minutes) signifie que le refroidissement du bloc n'est pas un processus rapide. Il faudra environ 24 minutes pour que l'écart de température avec la pièce soit réduit de 63%. Pour que le bloc soit quasiment à l'équilibre avec la pièce (par exemple, à 99% du chemin), il faudra attendre plusieurs constantes de temps (environ \(5\tau\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans le calcul de la surface. Pour un cube, il y a 6 faces identiques. Pour un cylindre ou une sphère, les formules seraient différentes. Assurez-vous toujours d'utiliser la bonne formule pour l'aire d'échange thermique. De plus, toutes les unités doivent être dans le Système International (mètres, kg, secondes, Joules, Watts, Kelvin) pour que le calcul soit homogène.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La constante de temps \(\tau\) est le rapport entre la "capacité à garder la chaleur" et la "facilité à la perdre".
  • \(\tau\) est proportionnelle à la masse et à la chaleur massique.
  • \(\tau\) est inversement proportionnelle au coefficient de transfert et à la surface.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Ce même concept de constante de temps est omniprésent en ingénierie. En électricité, la constante de temps \(\tau = RC\) décrit la charge/décharge d'un condensateur. En génie chimique, elle décrit le temps de séjour dans un réacteur. Comprendre la constante de temps d'un système est fondamental pour pouvoir le contrôler.

FAQ (pour lever les doutes)
Les températures doivent-elles être en Kelvin pour ce calcul ?

Pour le calcul de \(\tau\), non. La capacité thermique et le coefficient de transfert sont donnés en \(\text{K}^{-1}\), mais comme ils décrivent une différence de température, un intervalle de 1 K est identique à un intervalle de 1°C. Les unités s'annulent. Cependant, pour la question sur l'entropie, l'utilisation de températures absolues (Kelvin) sera impérative.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La constante de temps thermique du bloc de cuivre est d'environ 1443 secondes.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le bloc était en aluminium (\(c \approx 900 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)) au lieu de cuivre, quelle serait la nouvelle constante de temps \(\tau\) en secondes ?

Question 2 : Établir et résoudre l'équation différentielle

Principe (le concept physique)

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au bloc stipule que la variation de son énergie interne au cours du temps est égale au flux de chaleur qui le traverse. En exprimant l'énergie interne en fonction de la température et le flux de chaleur avec la loi de Newton, on obtient une équation qui lie la température \(T(t)\) à sa propre dérivée \(\frac{dT}{dt}\). C'est une équation différentielle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation \(mc \frac{dT}{dt} = -hS(T - T_{\text{ext}})\) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. En posant \(\theta(t) = T(t) - T_{\text{ext}}\) et \(\tau = \frac{mc}{hS}\), elle se réécrit sous la forme canonique \(\frac{d\theta}{dt} + \frac{1}{\tau}\theta = 0\). La solution générale de cette équation est \(\theta(t) = C e^{-t/\tau}\), où C est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne soyez pas intimidé par le terme "équation différentielle". Pensez-y comme à une recette qui vous dit "la vitesse de refroidissement (\(\frac{dT}{dt}\)) est proportionnelle à 'à quel point vous êtes encore chaud' (\(T - T_{\text{ext}}\))". C'est logique : un café très chaud se refroidit plus vite au début qu'un café tiède. La résolution de l'équation ne fait que transformer cette "recette" en une prédiction exacte de la température à n'importe quel moment.

Normes (la référence réglementaire)

La modélisation de phénomènes physiques par des équations différentielles est l'approche standard dans toutes les branches de l'ingénierie et de la physique. La résolution de l'équation du premier ordre est une compétence mathématique fondamentale requise pour l'analyse de circuits RC, de la cinétique chimique, de la décroissance radioactive, et bien d'autres phénomènes de relaxation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation différentielle :

\[ \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau}(T - T_{\text{ext}}) = 0 \]

Solution générale :

\[ T(t) = T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}}) e^{-t/\tau} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous utilisons les mêmes hypothèses que précédemment : température uniforme dans le bloc, et coefficients \(m, c, h, S\) constants. La condition initiale est que la température du bloc à \(t=0\) est connue et vaut \(T_0\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Constante de temps, \(\tau \approx 1443 \, \text{s}\) (de Q1)
  • Température initiale, \(T_0 = 100 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température externe, \(T_{\text{ext}} = 20 \, ^\circ\text{C}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La structure de la solution est toujours la même pour ces problèmes : \(T(t) = (\text{Valeur finale}) + (\text{Écart initial}) \times e^{-t/\tau}\). Ici, la valeur finale est \(T_{\text{ext}}\) et l'écart initial est \(T_0 - T_{\text{ext}}\). Mémoriser cette structure peut vous faire gagner beaucoup de temps.

Schéma (Avant les calculs)
Décroissance Exponentielle Attendue
T_extT_0T(t) = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant la solution générale avec nos valeurs (en Celsius, car c'est une équation sur les écarts de température) :

\[ \begin{aligned} T(t) &= T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}}) e^{-t/\tau} \\ &= 20 + (100 - 20) e^{-t/1443} \\ &= 20 + 80 \, e^{-t/1443} \end{aligned} \]

L'équation de la température du bloc en fonction du temps (en secondes) est donc :

\[ T(t) \, [^\circ\text{C}] = 20 + 80 \, \exp\left(-\frac{t}{1443}\right) \]
Schéma (Après les calculs)
Évolution de la Température
20 °C100 °CT(t) = 20 + 80 exp(-t/1443)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette équation capture parfaitement le comportement physique du système. À \(t=0\), \(e^0=1\) et on retrouve bien \(T(0) = 20 + 80 = 100 \, ^\circ\text{C}\). Pour un temps très long (\(t \to \infty\)), \(e^{-\infty} \to 0\) et on retrouve bien \(T(\infty) = 20 \, ^\circ\text{C}\). L'équation décrit une décroissance exponentielle de l'écart de température vers zéro.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est d'oublier la température du thermostat \(T_{\text{ext}}\) dans la solution finale et d'écrire \(T(t) = T_0 e^{-t/\tau}\). Cette équation décrirait un refroidissement vers le zéro absolu ! La relaxation se fait toujours vers la température de l'environnement, d'où la nécessité du terme \(T_{\text{ext}}\) et de travailler avec l'écart de température \(T(t) - T_{\text{ext}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le bilan d'énergie (1er principe) mène à l'équation différentielle.
  • La solution est une exponentielle décroissante de l'écart de température.
  • La condition initiale (\(T(0)=T_0\)) et la condition finale (\(T(\infty)=T_{\text{ext}}\)) doivent toujours être vérifiées.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La datation par le carbone 14 repose sur une équation différentielle identique ! La vitesse de désintégration d'un échantillon (\(dN/dt\)) est proportionnelle au nombre de noyaux restants (\(N\)). La solution est \(N(t) = N_0 e^{-t/\tau}\), où \(\tau\) est la durée de vie moyenne du carbone 14. Le principe de relaxation est universel.

FAQ (pour lever les doutes)
Peut-on utiliser les degrés Celsius pour résoudre l'équation ?

Oui. Comme l'équation différentielle est linéaire et ne fait intervenir que des différences de température (\(dT\) et \(T - T_{\text{ext}}\)), on peut travailler en Celsius ou en Kelvin, le résultat pour \(T(t)\) sera le même (à une constante de 273.15 près). Si l'équation avait contenu un terme en \(T^4\) (rayonnement), l'usage des Kelvin aurait été obligatoire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation décrivant l'évolution de la température est \( T(t) = 20 + 80 \, e^{-t/1443} \), avec \(T\) en \(^\circ\text{C}\) et \(t\) en secondes.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'équation si la température initiale était de \(200 \, ^\circ\text{C}\) et celle de la pièce de \( -10 \, ^\circ\text{C}\) (avec le même \(\tau\)) ?

Question 3 : Calculer la température après 5 minutes

Principe (le concept physique)

Une fois l'équation d'évolution \(T(t)\) établie, elle agit comme une "machine à prédire". En entrant une valeur de temps \(t\) dans l'équation, on peut calculer la valeur exacte de la température \(T\) à cet instant précis. Il s'agit d'une simple application numérique de la solution trouvée précédemment.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul illustre la puissance de la modélisation mathématique. Au lieu de devoir mesurer la température en continu, une seule loi physique (loi de Newton) et un peu de mathématiques (résolution de l'équation différentielle) nous permettent de connaître l'état du système à n'importe quel instant, passé ou futur (dans les limites de validité du modèle).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le moment de vérité pour votre modèle. Le calcul vous donne une prédiction. En conditions réelles, un ingénieur ou un physicien comparerait cette valeur prédite à une mesure expérimentale. Si les deux coïncident, le modèle est validé. Sinon, cela signifie qu'une des hypothèses (comme un \(h\) constant) est peut-être incorrecte et doit être affinée.

Normes (la référence réglementaire)

L'évaluation de fonctions exponentielles est une compétence mathématique de base requise dans toutes les normes impliquant des processus de croissance ou de décroissance (dynamique des populations, pharmacocinétique, finance, etc.). La capacité à convertir des unités de temps (minutes en secondes) est également une norme fondamentale de rigueur scientifique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise l'équation trouvée à la question 2 :

\[ T(t) = 20 + 80 \, e^{-t/1443} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le modèle reste valide pour la durée considérée (5 minutes). C'est une hypothèse très raisonnable car les propriétés du système ne devraient pas changer de manière significative pendant ce court laps de temps.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Temps, \(t = 5 \, \text{minutes}\)
  • Équation de température : \(T(t)\) de Q2
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de calculer, estimez le rapport \(t/\tau\). Ici, \(t=300\) s et \(\tau \approx 1443\) s. Le rapport est d'environ \(300/1500 = 1/5 = 0.2\). Le refroidissement ne sera donc pas très avancé, et la température finale devrait être encore assez proche de 100°C. Cela vous protège contre des erreurs de calcul grossières.

Schéma (Avant les calculs)
Point sur la Courbe de Refroidissement
t = 300 sT = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir le temps en secondes, l'unité de base de notre constante \(\tau\) :

\[ t = 5 \, \text{min} \times 60 \, \frac{\text{s}}{\text{min}} = 300 \, \text{s} \]

2. Appliquer la formule de \(T(t)\) :

\[ \begin{aligned} T(300) &= 20 + 80 \times \exp\left(-\frac{300}{1443}\right) \\ &= 20 + 80 \times \exp(-0.2079) \\ &= 20 + 80 \times 0.8123 \\ &= 20 + 64.98 \\ &\approx 85.0 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Température à t = 300 s
t = 300 s85 °C
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Après 5 minutes, le bloc a perdu environ 15°C, passant de 100°C à 85°C. Il est encore très chaud par rapport à la température ambiante, ce qui est cohérent avec une constante de temps de plus de 24 minutes. Le refroidissement est bien plus lent qu'une simple relaxation linéaire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est l'unité du temps. La constante \(\tau\) a été calculée en secondes, il est donc impératif de convertir les 5 minutes en secondes avant de les insérer dans l'exponentielle. Une autre erreur fréquente est de mal utiliser la fonction exponentielle sur la calculatrice (par exemple, calculer \(80 \times e\) puis mettre le résultat à la puissance \(-t/\tau\), au lieu de calculer \(e^{-t/\tau}\) d'abord).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation \(T(t)\) permet de prédire la température à n'importe quel instant.
  • La cohérence des unités (en particulier pour le temps) est cruciale.
  • L'ordre des opérations mathématiques doit être respecté scrupuleusement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En médecine légale, la loi de refroidissement de Newton est utilisée pour estimer l'heure du décès. En mesurant la température d'un corps et celle de l'environnement, et en utilisant une constante de temps moyenne pour un corps humain, les experts peuvent "remonter le temps" sur la courbe de refroidissement exponentielle pour déterminer le moment où la température du corps était de 37°C.

FAQ (pour lever les doutes)
Le coefficient h est-il vraiment constant ?

En réalité, non. Le coefficient de convection \(h\) peut dépendre de l'écart de température entre l'objet et le fluide, et de la présence de courants d'air (convection forcée vs naturelle). Le supposer constant est une simplification (approximation de Boussinesq) qui fonctionne très bien pour de petits écarts de température, mais qui peut devenir moins précise pour de grands refroidissements.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Après 5 minutes, la température du bloc de cuivre est d'environ 85.0 °C.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

À quelle température (en °C) sera le bloc après un temps égal à une constante de temps (\(t = \tau \approx 1443 \, \text{s}\)) ?

Question 4 : Calculer l'entropie produite

Principe (le concept physique)

Le second principe de la thermodynamique nous dit que le transfert de chaleur entre deux corps à des températures différentes est un processus irréversible qui crée de l'entropie. L'entropie totale produite est la somme de la variation d'entropie du bloc (qui se refroidit, donc son entropie diminue) et de la variation d'entropie de la pièce (qui reçoit de la chaleur, donc son entropie augmente). L'augmentation pour la pièce sera plus grande que la diminution pour le bloc, résultant en une création nette d'entropie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La variation d'entropie est définie par \(dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}\). Pour un processus irréversible, on calcule les variations d'entropie du système et de l'extérieur en considérant un chemin réversible équivalent. L'entropie produite est \(\Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{syst}} + \Delta S_{\text{ext}}\). Pour un système isolé, \(\Delta S_{\text{univ}} \ge 0\). Ici, notre "univers" est le système {bloc + pièce}, qui est bien isolé du reste.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'entropie peut être vue comme une mesure du "désordre" ou, plus précisément, du nombre de configurations microscopiques possibles pour un état macroscopique. En transférant de la chaleur d'un corps chaud (peu d'états possibles pour cette énergie concentrée) vers un corps froid (beaucoup plus d'états possibles pour cette énergie diluée), on augmente le nombre total d'états possibles pour l'énergie. On crée donc de l'entropie, et le processus ne peut pas revenir en arrière spontanément.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la production d'entropie est au cœur de l'analyse de l'efficacité des machines thermiques et des processus chimiques. Le second principe de la thermodynamique et l'inégalité de Clausius (\(\Delta S \ge \int \frac{\delta Q}{T_{\text{ext}}}\)) sont des lois fondamentales qui régissent la direction de l'évolution de tous les systèmes physiques et sont des normes absolues en ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'entropie totale produite est :

\[ \Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{bloc}} + \Delta S_{\text{ext}} \]

avec la variation d'entropie du bloc :

\[ \Delta S_{\text{bloc}} = mc \ln\left(\frac{T_{\text{ext}}}{T_0}\right) \]

et la variation d'entropie de l'extérieur :

\[ \Delta S_{\text{ext}} = \frac{Q_{\text{cédée par le bloc}}}{T_{\text{ext}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère le processus complet, de l'état initial \(T_0\) à l'état d'équilibre final où la température du bloc est \(T_f = T_{\text{ext}}\). La pièce est considérée comme un thermostat parfait, c'est-à-dire que sa température \(T_{\text{ext}}\) ne change pas, peu importe la quantité de chaleur qu'elle reçoit.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Toutes les données précédentes.
  • Températures initiales et finales en Kelvin : \(T_0 = 100 + 273.15 = 373.15 \, \text{K}\), \(T_{\text{ext}} = 20 + 273.15 = 293.15 \, \text{K}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La chaleur totale cédée par le bloc est simplement \(Q = mc(T_0 - T_{\text{ext}})\). Vous pouvez calculer cette quantité une seule fois et l'utiliser pour trouver \(\Delta S_{\text{ext}}\). Notez que \(\Delta S_{\text{bloc}}\) sera négatif (refroidissement) et \(\Delta S_{\text{ext}}\) sera positif. Le résultat final \(\Delta S_{\text{univ}}\) doit impérativement être positif.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan Entropique de l'Univers
BlocPièceQΔS_bloc = ?ΔS_ext = ?ΔS_univ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir les températures en Kelvin (obligatoire pour les calculs d'entropie) :

\[ T_0 = 100 + 273.15 = 373.15 \, \text{K} \]
\[ T_{\text{ext}} = 20 + 273.15 = 293.15 \, \text{K} \]

2. Calculer la variation d'entropie du bloc :

\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{bloc}} &= mc \ln\left(\frac{T_{\text{ext}}}{T_0}\right) \\ &= (0.5 \times 385) \times \ln\left(\frac{293.15}{373.15}\right) \\ &= 192.5 \times \ln(0.7856) \\ &= 192.5 \times (-0.2413) \\ &\approx -46.45 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]

3. Calculer la chaleur totale transférée à la pièce :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{cédée}} &= mc(T_0 - T_{\text{ext}}) \\ &= 192.5 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \times (373.15 - 293.15) \, \text{K} \\ &= 192.5 \times 80 \\ &= 15400 \, \text{J} \end{aligned} \]

4. Calculer la variation d'entropie de la pièce :

\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{ext}} &= \frac{Q_{\text{reçu}}}{T_{\text{ext}}} \\ &= \frac{15400 \, \text{J}}{293.15 \, \text{K}} \\ &\approx +52.54 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]

5. Calculer l'entropie totale produite :

\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{univ}} &= \Delta S_{\text{bloc}} + \Delta S_{\text{ext}} \\ &= -46.45 + 52.54 \\ &= +6.09 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Création Nette d'Entropie
-46.45 J/K+52.54 J/KΔS_univ = +6.09 J/K
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, la variation d'entropie de l'univers est positive, confirmant que le refroidissement spontané est un processus irréversible. L'entropie perdue par le bloc en se "réorganisant" à une température plus basse est plus que compensée par l'entropie gagnée par la pièce en recevant cette chaleur de manière "désordonnée". Le "désordre" total de l'univers a augmenté.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus critique est d'oublier de convertir les températures en Kelvin. Les formules d'entropie impliquent des rapports de températures ou des températures absolues au dénominateur. Utiliser des degrés Celsius mènerait à des résultats complètement faux (et même à des divisions par zéro si une température était de 0°C !).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour tout processus irréversible, l'entropie de l'univers augmente (\(\Delta S_{\text{univ}} > 0\)).
  • L'entropie d'un système qui se refroidit diminue (\(\Delta S_{\text{syst}} < 0\)).
  • L'entropie d'un thermostat qui reçoit de la chaleur augmente (\(\Delta S_{\text{ext}} > 0\)).
  • L'utilisation des températures absolues (Kelvin) est impérative.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Minimiser la production d'entropie est un objectif central de l'ingénierie durable. Chaque Joule par Kelvin d'entropie produite représente une opportunité perdue de produire du travail utile. Une centrale électrique parfaitement efficace (et donc réversible) ne produirait aucune entropie. Dans la réalité, les ingénieurs cherchent à réduire les irréversibilités (frictions, transferts de chaleur brusques) pour se rapprocher de cet idéal.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne peut-on pas simplement utiliser \(dQ = mc \Delta T\) pour la chaleur ?

La formule \(Q = mc \Delta T\) donne la chaleur totale échangée sur l'ensemble du processus. Pour calculer la variation d'entropie du bloc, qui dépend de la température instantanée \(T\) à laquelle la chaleur est échangée, nous devons utiliser la forme différentielle \(dQ = mc \, dT\) et l'intégrer. Pour le thermostat, comme sa température est constante, on peut utiliser la chaleur totale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'entropie totale produite lors du refroidissement du bloc est d'environ +6.09 J·K⁻¹.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pièce était à \(0 \, ^\circ\text{C}\) (\(273.15 \, \text{K}\)) au lieu de \(20 \, ^\circ\text{C}\), l'entropie produite serait-elle plus grande ou plus petite ? Calculez sa nouvelle valeur en J/K.

Outil Interactif : Dynamique du Refroidissement

Modifiez les paramètres du bloc pour observer leur influence sur la vitesse de refroidissement et la constante de temps.

Paramètres d'Entrée
15
0.5
385
Résultats Clés
Constante de temps (τ) - s
Température à 300 s - °C
Temps pour atteindre 30°C - s

Le Saviez-Vous ?

Le concept de relaxation est au cœur de la technologie de l'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM). En médecine, on excite les protons des molécules d'eau du corps avec des ondes radio. On mesure ensuite le temps qu'ils mettent à "relaxer", c'est-à-dire à revenir à leur état d'équilibre. Ce temps de relaxation (appelé T1 ou T2) dépend du tissu biologique, ce qui permet de créer des images contrastées du corps humain.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la pièce n'est pas un thermostat parfait ?

Si la pièce est petite et isolée, sa température augmentera légèrement en recevant la chaleur du bloc. Le problème devient alors plus complexe : on a deux systèmes dont les températures évoluent. L'équilibre final sera une température intermédiaire, et l'écart de température \(T(t) - T_{\text{ext}}(t)\) ne suivra plus une simple exponentielle. Cependant, le principe de production d'entropie reste valide.

La loi de Newton est-elle la seule forme de transfert thermique ?

Non, il en existe deux autres : la conduction (transfert de chaleur au sein d'un solide) et le rayonnement (émission d'ondes électromagnétiques, comme la chaleur du soleil). Pour un objet très chaud, le refroidissement par rayonnement (\(\propto T^4\)) peut devenir dominant. La loi de Newton est une excellente approximation pour la convection avec l'air à des températures modérées.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour accélérer le refroidissement d'un objet (diminuer \(\tau\)), il est plus efficace de :

2. Si on mélange 1 kg d'eau à 80°C et 1 kg d'eau à 20°C dans un calorimètre parfait, la production d'entropie sera :

Processus Irréversible
Un processus qui ne peut pas revenir spontanément en arrière. Tous les processus naturels sont irréversibles et sont caractérisés par une production d'entropie positive.
Thermostat (ou Réservoir de Chaleur)
Un système si grand que sa température ne change pas de manière appréciable lorsqu'il échange une quantité finie de chaleur. Une pièce, un lac ou l'atmosphère sont souvent modélisés comme des thermostats.
Constante de Temps (τ)
Dans un processus de relaxation exponentiel, c'est le temps nécessaire pour que l'écart par rapport à l'équilibre soit divisé par le nombre e (environ 2.718). C'est une mesure de la rapidité du processus.
Dynamique de la relaxation vers l'équilibre thermodynamique

D’autres exercices de thermodynamique irréversibles:

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