ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Diffusion d’une espèce à travers une membrane poreuse

Diffusion d'une espèce à travers une membrane poreuse

Diffusion d'une espèce à travers une membrane poreuse

Comprendre la Diffusion en Milieu Poreux

La diffusion de matière à travers une membrane poreuse est un processus irréversible crucial dans de nombreux domaines comme la biologie (membranes cellulaires), la chimie (dialyse, filtration) ou le génie civil (humidité dans les murs). Le phénomène est régi par la loi de Fick, mais la structure de la membrane modifie la diffusion. Deux paramètres sont clés : la porosité (\(\epsilon\)), qui réduit la surface effective de diffusion, et la tortuosité (\(\tau\)), qui allonge le chemin que les particules doivent réellement parcourir. Ces deux facteurs sont combinés pour définir un coefficient de diffusion effectif, plus faible que le coefficient en milieu libre.

Données de l'étude

On modélise un processus de dialyse. Deux compartiments sont séparés par une membrane poreuse. Le premier compartiment contient de l'urée dissoute dans l'eau, et le second contient de l'eau pure. On s'intéresse au flux d'urée à travers la membrane.

Schéma de la Diffusion à travers une Membrane
Compartiment A C₁ (Urée) Membrane (L) Compartiment B C₂ (Eau pure) J (Flux d'urée)

Conditions et constantes :

  • Concentration d'urée dans le compartiment A : \(C_1 = 50 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • Concentration d'urée dans le compartiment B : \(C_2 = 0 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • Épaisseur de la membrane : \(L = 0.1 \, \text{mm}\)
  • Porosité de la membrane : \(\epsilon = 0.6\) (60% du volume est vide)
  • Tortuosité de la membrane : \(\tau = 1.5\) (le chemin réel est 1.5 fois plus long que l'épaisseur)
  • Coefficient de diffusion de l'urée dans l'eau : \(D = 1.3 \times 10^{-9} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le gradient de concentration (\(\Delta C / L\)) à travers la membrane.
  2. Calculer le coefficient de diffusion effectif (\(D_{\text{eff}}\)) de l'urée dans la membrane.
  3. Calculer le flux molaire de diffusion (\(J\)) de l'urée à travers la membrane.
  4. Si la surface de la membrane est de \(1.5 \, \text{m}^2\), quelle quantité de matière d'urée (en moles) la traverse en 10 minutes ?

Correction : Diffusion d'une espèce à travers une membrane poreuse

Question 1 : Gradient de concentration

Principe :

Le gradient de concentration est la force motrice de la diffusion. On l'approxime par la différence de concentration entre les deux faces de la membrane, divisée par son épaisseur. Attention aux unités, l'épaisseur doit être en mètres.

Calcul :

Conversion de l'épaisseur : \(L = 0.1 \, \text{mm} = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta C}{L} &= \frac{C_2 - C_1}{L} \\ &= \frac{0 - 50 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-3}}{0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= -500000 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-4} \\ &= -5 \times 10^5 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-4} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le gradient de concentration est de \(-5 \times 10^5 \, \text{mol} \cdot \text{m}^{-4}\).

Question 2 : Coefficient de diffusion effectif (\(D_{\text{eff}}\))

Principe :

Le coefficient de diffusion effectif tient compte de la géométrie de la membrane. La porosité \(\epsilon\) réduit la section disponible pour la diffusion, et la tortuosité \(\tau\) augmente la distance à parcourir. Les deux effets réduisent la diffusion par rapport au milieu libre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{eff}} = D \cdot \frac{\epsilon}{\tau} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} D_{\text{eff}} &= (1.3 \times 10^{-9} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}) \times \frac{0.6}{1.5} \\ &= (1.3 \times 10^{-9}) \times 0.4 \\ &= 5.2 \times 10^{-10} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient de diffusion effectif est \(D_{\text{eff}} = 5.2 \times 10^{-10} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}\).

Question 3 : Flux molaire de diffusion (\(J\))

Principe :

On applique la première loi de Fick en utilisant le coefficient de diffusion effectif, car le transport se fait à travers la membrane poreuse et non en milieu libre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J = -D_{\text{eff}} \frac{dC}{dx} \approx -D_{\text{eff}} \frac{\Delta C}{L} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= -(5.2 \times 10^{-10}) \times (-5 \times 10^5) \\ &= 26 \times 10^{-5} \\ &= 2.6 \times 10^{-4} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le flux molaire d'urée à travers la membrane est \(J = 2.6 \times 10^{-4} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}\).

Question 4 : Quantité de matière transférée

Principe :

La quantité totale de matière (\(n\)) qui traverse une surface (\(A\)) pendant un certain temps (\(\Delta t\)) est le produit du débit molaire (\(\dot{n}\)) et du temps. Le débit molaire est lui-même le produit du flux molaire (\(J\)) et de la surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n = J \cdot A \cdot \Delta t \]
Calcul :

Conversion du temps : \(\Delta t = 10 \, \text{min} = 10 \times 60 = 600 \, \text{s}\).

\[ \begin{aligned} n &= (2.6 \times 10^{-4} \, \text{mol} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}) \times (1.5 \, \text{m}^2) \times (600 \, \text{s}) \\ &= (3.9 \times 10^{-4}) \times 600 \\ &= 2340 \times 10^{-4} \\ &= 0.234 \, \text{mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La quantité d'urée qui traverse la membrane en 10 minutes est de \(0.234 \, \text{mol}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une augmentation de la tortuosité (\(\tau\)) de la membrane...

2. Le coefficient de diffusion effectif \(D_{\text{eff}}\) est toujours...

3. La force thermodynamique qui gouverne la diffusion de matière est...

Glossaire

Diffusion
Processus de transport de matière résultant du mouvement aléatoire des particules, qui provoque un flux net de matière d'une région de haute concentration vers une région de basse concentration.
Loi de Fick (Première)
Loi qui quantifie le flux de diffusion. Elle stipule que le flux molaire (\(J\)) est proportionnel et de sens opposé au gradient de concentration (\(J = -D \cdot \nabla C\)).
Membrane Poreuse
Matériau solide contenant un réseau de pores interconnectés qui permettent le passage de certaines molécules tout en bloquant d'autres, ou en ralentissant leur transport.
Porosité (\(\epsilon\))
Fraction du volume total d'un matériau qui est occupée par des vides (pores). C'est un nombre sans dimension entre 0 et 1.
Tortuosité (\(\tau\))
Mesure du degré de sinuosité des chemins poreux à l'intérieur d'un matériau. C'est le rapport entre la longueur réelle du chemin de diffusion et la distance en ligne droite (l'épaisseur de la membrane). C'est un nombre sans dimension supérieur ou égal à 1.
Coefficient de Diffusion Effectif (\(D_{\text{eff}}\))
Coefficient de diffusion qui tient compte de la géométrie interne d'un milieu poreux (porosité, tortuosité). Il est utilisé à la place du coefficient de diffusion en milieu libre pour les calculs à travers la membrane.
Diffusion en Milieu Poreux - Exercice d'Application

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