Diagramme d’équilibre solide-liquide et eutectique
Contexte : Le diagramme d'équilibre Bismuth-Étain (Bi-Sn).
Cet exercice explore le diagramme de phase d'un alliage Bismuth-Étain, un système binaire à eutectique simple. Ce type de diagramme est fondamental en science des matériaux pour comprendre le comportement des alliages, notamment les soudures à bas point de fusion. Nous analyserons comment la température de solidification varie avec la composition, nous identifierons le point eutectiquePoint unique du diagramme (température et composition) où un liquide se solidifie en deux solides simultanément. La variance y est nulle. où le mélange se comporte comme un corps pur, et nous apprendrons à utiliser la règle des segmentsMéthode graphique pour trouver les proportions des phases en équilibre dans une zone biphasée du diagramme. pour quantifier les phases en équilibre. Ces compétences sont essentielles pour la conception et l'utilisation d'alliages métalliques.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à lire et à exploiter quantitativement un diagramme de phase binaire, une compétence clé en thermodynamique chimique et en génie des matériaux.
Objectifs Pédagogiques
- Construire et interpréter le diagramme de phase binaire Bi-Sn.
- Identifier le liquidus, le solidus et les différentes régions du diagramme.
- Déterminer les coordonnées du point eutectique.
- Appliquer la règle des segments (levier inverse) pour calculer les proportions des phases.
- Décrire l'analyse thermique d'un alliage de composition donnée.
Données de l'étude
Données Thermodynamiques
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Température de fusion du Bismuth pur (Bi) | \(T_{\text{fus, Bi}} = 271^\circ \text{C}\) |
| Température de fusion de l'Étain pur (Sn) | \(T_{\text{fus, Sn}} = 232^\circ \text{C}\) |
Données Expérimentales du Liquidus
| Fraction massique en Étain (\(w_{\text{Sn}}\)) | Température de début de solidification (\(^\circ\text{C}\)) |
|---|---|
| 0.0 (Bi pur) | 271 |
| 0.10 | 248 |
| 0.20 | 225 |
| 0.40 | 178 |
| 0.619 (Eutectique) | 139 |
| 0.80 | 185 |
| 0.90 | 210 |
| 1.0 (Sn pur) | 232 |
Questions à traiter
- Tracer l'allure du diagramme de phase massique \(T = f(w_{\text{Sn}})\) en utilisant les données fournies. Identifier toutes les zones en précisant la nature et le nombre de phases présentes.
- Déterminer les coordonnées du point eutectique (température \(T_E\) et composition massique \(w_{\text{Sn, E}}\)).
- On refroidit lentement 100 g d'un alliage liquide contenant 30% en masse d'étain. Décrire les phénomènes observés (températures, nature des phases) jusqu'à solidification complète.
- À 200°C, quelles sont les phases présentes pour l'alliage de la question 3 ? Calculer leur masse respective.
- Une fois l'alliage de la question 3 complètement solidifié (à \(T < 139^\circ\text{C}\)), quelles sont les masses de la phase pro-eutectique et de l'eutectique ?
Les bases sur les diagrammes binaires
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts fondamentaux : la variance et la règle des segments.
1. Variance et Règle des phases de Gibbs
La variance (\(v\)) représente le nombre de paramètres intensifs (comme T, P, composition) que l'on peut modifier indépendamment sans changer le nombre de phases (\(\varphi\)) en équilibre. Pour un système binaire (N=2) à pression constante (\(P_{\text{ext}}=1\)), la règle de Gibbs s'écrit :
- Zone monophasée (ex: Liquide) : \(\varphi=1 \Rightarrow v=2\). On peut varier T et la composition.
- Zone biphasée (ex: Liquide+Solide) : \(\varphi=2 \Rightarrow v=1\). Si on fixe T, la composition des phases est imposée.
- Point eutectique : \(\varphi=3\) (Liquide, Solide A, Solide B) \(\Rightarrow v=0\). C'est un point invariant, T et les compositions sont fixes.
2. Règle des Segments (ou du Levier Inverse)
Dans une zone biphasée (par exemple Solide \(\alpha\) + Liquide), pour un alliage de composition globale \(w_{\text{globale}}\) à une température T, les compositions des phases en équilibre sont \(w_{\alpha}\) (donnée par le solidus) et \(w_{L}\) (donnée par le liquidus). La règle des segments permet de calculer la fraction massique de chaque phase :
Correction : Diagramme d’équilibre solide-liquide et eutectique
Question 1 : Tracé et identification des zones du diagramme
Principe
Le tracé consiste à reporter les points expérimentaux (Température en ordonnée, fraction massique en abscisse) et à relier les points pour former les courbes du liquidus. Le solidus est une ligne horizontale à la température eutectique, car les solides sont non miscibles. Les zones sont ensuite délimitées par ces courbes.
Mini-Cours
Un diagramme de phase binaire est une "carte" qui indique les phases stables (liquide, solide(s)) d'un mélange de deux composants pour n'importe quelle composition et température données (à pression constante). Le liquidus est la frontière au-dessus de laquelle tout est liquide, et le solidus est la frontière en dessous de laquelle tout est solide. Entre les deux, les phases liquide et solide coexistent en équilibre.
Donnée(s)
Les données expérimentales du liquidus, utilisées pour construire le diagramme, sont les suivantes :
| Fraction massique en Étain (\(w_{\text{Sn}}\)) | Température de début de solidification (\(^\circ\text{C}\)) |
|---|---|
| 0.0 (Bi pur) | 271 |
| 0.10 | 248 |
| 0.20 | 225 |
| 0.40 | 178 |
| 0.619 (Eutectique) | 139 |
| 0.80 | 185 |
| 0.90 | 210 |
| 1.0 (Sn pur) | 232 |
Schéma (Avant les calculs)
Le point de départ est un système d'axes vide, prêt à accueillir les données expérimentales.
Axes du diagramme de phase
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme complet est représenté ci-dessous. Les points de l'énoncé permettent de tracer les deux branches du liquidus qui se rejoignent au point eutectique. La ligne horizontale à 139°C est le solidus.
Diagramme de phase massique Bismuth-Étain (Bi-Sn)
Réflexions
Ce diagramme montre que l'ajout d'étain au bismuth (ou vice-versa) abaisse la température de fusion. Le mélange se solidifie sur une plage de température, sauf pour la composition eutectique qui a un point de fusion net, comme un corps pur.
Points de vigilance
La principale difficulté est le tracé manuel. Il faut veiller à bien graduer les axes et à placer les points avec précision. Une erreur courante est de mal identifier les domaines : rappelez-vous que la zone liquide est toujours en haut (haute température) et la zone solide en bas. Les zones biphasées sont toujours situées entre une zone monophasée liquide et une zone monophasée solide.
Question 2 : Coordonnées du point eutectique
Principe
Le point eutectique est le point le plus bas du liquidus. Il correspond à l'intersection des deux branches du liquidus. Ses coordonnées sont directement lues sur le graphique ou données dans le tableau expérimental.
Mini-Cours
Le point eutectique est un point invariant (variance nulle à P constante). Cela signifie que trois phases (Liquide, Bi(s), Sn(s)) coexistent en équilibre à une température et une composition uniques. Le liquide se solidifie à température constante, comme un corps pur, mais en donnant deux phases solides distinctes.
Donnée(s)
Le tableau de données fournit directement le point correspondant à la température la plus basse de solidification, qui définit l'eutectique.
| Fraction massique en Étain (\(w_{\text{Sn}}\)) | Température (\(^\circ\text{C}\)) |
|---|---|
| 0.619 (Eutectique) | 139 |
Schéma (Avant les calculs)
Le diagramme de phase complet sert de référence pour localiser le point eutectique.
Localisation du Point Eutectique
Réflexions
La température eutectique de 139°C est très inférieure à celle des métaux purs (271°C et 232°C). C'est cette propriété qui rend les alliages eutectiques, comme les soudures à l'étain, si utiles pour joindre des composants électroniques sans les endommager par une chaleur excessive.
Points de vigilance
La principale erreur est de mal lire les coordonnées sur le diagramme. Assurez-vous de bien identifier le point le plus bas sur la courbe du liquidus. Il ne faut pas le confondre avec une autre composition ayant une température de solidification plus élevée.
Résultat Final
Question 3 : Refroidissement d'un alliage à 30% de Sn
Principe
Le concept physique est de suivre le chemin de refroidissement d'un alliage de composition globale constante sur le diagramme de phase. Ce chemin est une ligne verticale, appelée isopleth. En traversant les frontières (liquidus, solidus), le système subit des changements de phase que nous décrivons.
Mini-Cours
Le refroidissement d'un alliage hypo-eutectique se déroule en deux étapes. D'abord, entre le liquidus et le solidus, la phase primaire (riche en constituant majoritaire, ici le Bi) se solidifie. Pendant ce temps, le liquide restant s'enrichit de l'autre constituant (le Sn), sa composition suivant la courbe du liquidus jusqu'à atteindre la composition eutectique.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont la composition globale de l'alliage et les coordonnées des points du diagramme qui encadrent cette composition, nécessaires à l'interpolation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse totale de l'alliage | \(m_{\text{tot}}\) | 100 | g |
| Fraction massique globale en Sn | \(w_{\text{globale}}\) | 0.30 | - |
| Point 1 du liquidus | (\(w_1, T_1\)) | (0.2, 225) | (-, °C) |
| Point 2 du liquidus | (\(w_2, T_2\)) | (0.4, 178) | (-, °C) |
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous montre le diagramme de phase avec une ligne verticale verte (isopleth) qui représente le chemin de refroidissement de l'alliage à composition constante \(w_{Sn} = 0.30\).
Chemin de refroidissement de l'alliage
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la température du liquidus \(T_{\text{liq}}\)
On utilise la formule d'interpolation linéaire avec les données ci-dessus pour trouver la température à laquelle la solidification commence pour un alliage à 30% de Sn.
Étape 2 : Description du refroidissement
Le refroidissement se déroule en plusieurs étapes clés :
- À \(T > 201.5^\circ\text{C}\) : L'alliage est entièrement liquide (une seule phase).
- À \(T = 201.5^\circ\text{C}\) : Les premiers cristaux de Bismuth pur (Bi(s)) apparaissent. Le système devient biphasé (Bi(s) + Liquide).
- Entre \(201.5^\circ\text{C}\) et \(139^\circ\text{C}\) : La solidification du Bismuth continue. Le liquide restant s'enrichit en Étain, sa composition suivant la courbe du liquidus.
- À \(T = 139^\circ\text{C}\) : Le liquide restant atteint la composition eutectique (\(w_{\text{Sn}} = 0.619\)). Ce liquide se solidifie à son tour à température constante pour former l'eutectique, un mélange intime de cristaux de Bi(s) et Sn(s). Le système est triphasé (Bi(s) pro-eutectique, Liquide, Eutectique en formation).
- À \(T < 139^\circ\text{C}\) : L'alliage est entièrement solide, constitué de cristaux de Bi(s) formés avant l'eutectique (dits pro-eutectiques) et de la matrice eutectique.
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre l'évolution de la microstructure de l'alliage à différentes étapes clés du refroidissement.
100% Liquide
Début de formation de Bi(s)
Dendrites de Bi(s) + Liquide
Bi(s) pro-eutectique + Eutectique
Réflexions
L'analyse montre une solidification en deux étapes : d'abord la formation progressive d'un solide primaire sur une plage de température, puis la solidification complète à une température fixe (le palier eutectique). Ce comportement est typique de tous les alliages non-eutectiques dans ce type de système.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de mal calculer la température d'intersection avec le liquidus (\(T_{\text{liq}}\)). L'interpolation linéaire doit être utilisée avec soin, en prenant les bons points de référence du diagramme. Une autre erreur est d'oublier que la composition du liquide évolue pendant le refroidissement.
Résultat Final
Question 4 : Proportions des phases à 200°C
Principe
À 200°C, l'alliage est dans un domaine biphasé. Le principe physique pour trouver les proportions est la conservation de la masse de chaque constituant. L'outil mathématique qui en découle est la règle des segments (ou règle du levier inverse), qui s'applique sur une ligne d'attache horizontale (isotherme).
Mini-Cours
La règle des segments inverses est une conséquence directe d'un bilan de masse. Si on note \(f_S\) et \(f_L\) les fractions massiques du solide et du liquide, le bilan sur le constituant Sn s'écrit : \(m_{\text{tot}} \times w_{\text{globale}} = m_S \times w_S + m_L \times w_L\). En divisant par \(m_{\text{tot}}\) et en sachant que \(f_S + f_L = 1\), on retrouve les formules du levier.
Donnée(s)
Les données nécessaires sont la composition globale de l'alliage, la température d'étude, la masse totale, ainsi que les compositions des phases solide et liquide à cette température (lues ou calculées à partir du diagramme).
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Température | T | 200 °C |
| Fraction massique globale | \(w_{\text{globale}}\) | 0.30 |
| Fraction massique du solide (Bi pur) | \(w_S\) | 0 |
| Fraction massique du liquide (calculée) | \(w_L\) | 0.333 |
| Masse totale | \(m_{\text{tot}}\) | 100 g |
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma montre la ligne d'attache horizontale (isotherme) à 200°C. Le point noir représente la composition globale de l'alliage, et les points bleu et rouge représentent respectivement les compositions de la phase solide (Bi pur) et de la phase liquide en équilibre.
Règle des Segments à 200°C
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la composition du liquide \(w_L\) à 200°C
On interpole sur la branche du liquidus entre (0.2, 225°C) et (0.4, 178°C) pour trouver \(w_L\) à T=200°C.
Étape 2 : Application de la règle des segments
On calcule la masse de solide (Bi(s)) et de liquide.
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme à barres représente visuellement les proportions massiques des phases solide et liquide calculées pour l'alliage à 200°C.
Proportions des Phases à 200°C
Réflexions
Le résultat montre qu'à 200°C, l'alliage est encore majoritairement liquide (98%). Seule une petite fraction de Bismuth a solidifié. Cela est cohérent avec le fait que 200°C est juste en dessous de la température de début de solidification (201.5°C).
Points de vigilance
L'erreur classique est d'inverser les segments du levier. Rappelez-vous que la fraction d'une phase est proportionnelle à la longueur du segment opposé à cette phase sur la ligne d'attache. Assurez-vous également de bien identifier les bornes de votre segment : ici, le solide est du Bismuth pur, sa fraction massique en étain est donc \(w_S = 0\).
Résultat Final
Question 5 : Masse de l'eutectique dans le solide final
Principe
Le principe est que toute la phase liquide présente juste avant le palier eutectique (\(T = T_E + \epsilon\)) se transforme intégralement en eutectique. La masse de l'eutectique dans le solide final est donc égale à la masse de liquide présente à cette température. On la calcule avec la règle des segments.
Mini-Cours
Il est crucial de distinguer "phase" et "constituant structural". Une phase est une partie homogène du système (ex: Bi(s), Sn(s), Liquide). Un constituant est un élément de la microstructure identifiable (ex: cristaux pro-eutectiques, eutectique). L'eutectique est un constituant, mais il est lui-même composé de deux phases (Bi(s) + Sn(s)).
Donnée(s)
Les données nécessaires sont les compositions qui définissent le levier sur la ligne du palier eutectique.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Fraction massique globale | \(w_{\text{globale}}\) | 0.30 |
| Fraction massique du solide pro-eutectique | \(w_S\) | 0 |
| Fraction massique du liquide eutectique | \(w_E\) | 0.619 |
| Masse totale | \(m_{\text{tot}}\) | 100 g |
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre l'application de la règle des segments sur la ligne horizontale eutectique à 139°C. Les points w_S, w_globale et w_E définissent les segments du levier utilisés pour le calcul.
Levier Eutectique
Calcul(s)
Calcul de la masse d'eutectique
On calcule la masse de liquide présente juste avant le palier, qui se transformera en eutectique.
Calcul de la masse de Bi pro-eutectique
La masse restante est celle du solide primaire formé avant d'atteindre la température eutectique.
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme à barres représente les proportions massiques des constituants (Bi pro-eutectique et eutectique) dans l'alliage solidifié.
Proportions des Constituants Solides
Réflexions
La microstructure finale est un composite naturel : des cristaux primaires de Bismuth (dits pro-eutectiques), relativement gros et formés en premier, sont enchâssés dans une matrice d'eutectique à la structure lamellaire très fine. Les propriétés mécaniques de l'alliage dépendent fortement des proportions de ces deux constituants.
Points de vigilance
Ne pas confondre la masse de l'eutectique (48.5 g) avec la masse totale de Sn dans l'alliage (30 g). L'eutectique est lui-même un mélange de Bi et de Sn. La masse de Sn dans l'eutectique serait \(48.5 \text{ g} \times 0.619 \approx 30 \text{ g}\). Toute la quantité d'étain initiale se retrouve dans la phase eutectique !
Résultat Final
Outil Interactif : Levier Thermodynamique
Utilisez ce simulateur pour explorer le diagramme Bi-Sn. Ajustez la composition globale de l'alliage et la température pour voir en temps réel les phases présentes et leur proportion calculée par la règle des segments.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un diagramme binaire, qu'est-ce que le liquidus ?
2. À pression constante, quelle est la variance d'un système binaire au point eutectique ?
3. Un alliage Bi-Sn contenant 10% d'étain en masse est dit...
4. En refroidissant un alliage liquide à 80% de Sn, quel est le premier solide à apparaître ?
5. La règle des segments permet de déterminer...
Glossaire
- Eutectique
- Mélange de deux ou plusieurs corps purs qui fond et se solidifie à une température constante et unique, plus basse que la température de fusion de chacun des constituants purs.
- Liquidus
- Dans un diagramme de phase, la courbe qui délimite le domaine où le système est entièrement à l'état liquide du domaine où coexistent les phases liquide et solide.
- Solidus
- La courbe qui délimite le domaine où le système est entièrement à l'état solide du domaine où coexistent les phases solide et liquide.
- Variance (Règle des phases)
- Nombre de paramètres intensifs (comme la température, la pression, ou la composition) que l'on peut faire varier indépendamment sans provoquer la disparition d'une phase ou l'apparition d'une nouvelle.
- Règle des Segments (ou du Levier Inverse)
- Une méthode graphique utilisée sur les diagrammes de phase binaires pour déterminer la fraction massique (ou molaire) de chaque phase dans une région biphasée.
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