ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Détermination de l’Énergie de Fermi

Détermination de l'Énergie de Fermi

Détermination de l'Énergie de Fermi

Comprendre l'Énergie de Fermi

En mécanique statistique, les électrons dans un métal sont des fermions, des particules qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli. Ce principe stipule que deux électrons ne peuvent occuper le même état quantique. Par conséquent, même à la température du zéro absolu (0 K), les électrons ne sont pas tous à l'énergie la plus basse ; ils remplissent les niveaux d'énergie disponibles du plus bas au plus haut. L'énergie du niveau le plus élevé occupé à 0 K est appelée l'énergie de Fermi (\(E_F\)). C'est une propriété fondamentale d'un métal qui détermine nombre de ses caractéristiques électriques et thermiques.

Données de l'étude

On souhaite calculer l'énergie de Fermi du cuivre (\(\text{Cu}\)) à 0 K, en utilisant le modèle du gaz d'électrons libres.

Schéma des Niveaux d'Énergie à 0 K
Énergie (E) États occupés États vides E_F

À T=0 K, tous les niveaux d'énergie jusqu'à l'énergie de Fermi \(E_F\) sont remplis par les électrons.

Conditions et constantes :

  • Matériau : Cuivre (\(\text{Cu}\)). Chaque atome de cuivre contribue avec un seul électron de valence (\(Z=1\)).
  • Masse volumique du cuivre : \(\rho = 8960 \, \text{kg/m}^3\)
  • Masse molaire du cuivre : \(M = 63.546 \, \text{g/mol}\)
  • Masse de l'électron : \(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • Constante de Planck : \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
  • Constante d'Avogadro : \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
  • Charge élémentaire : \(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\) (pour la conversion en eV)

Questions à traiter

  1. Calculer la densité numérique d'atomes (\(n_{\text{atomes}}\)) dans le cuivre.
  2. En déduire la densité numérique d'électrons libres (\(n_e\)).
  3. Écrire la formule de l'énergie de Fermi (\(E_F\)) pour un gaz d'électrons libres en 3D.
  4. Calculer la valeur de l'énergie de Fermi en Joules (J).
  5. Convertir cette énergie en électron-volts (eV).

Correction : Détermination de l'Énergie de Fermi

Question 1 : Densité numérique d'atomes (\(n_{\text{atomes}}\))

Principe :

La densité numérique d'atomes est le nombre d'atomes par unité de volume. On peut la trouver en calculant combien de moles il y a dans 1 m³ (en utilisant la masse volumique et la masse molaire), puis en multipliant par le nombre d'Avogadro.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n_{\text{atomes}} = \frac{\rho \cdot N_A}{M} \]
Calcul :

Conversion de la masse molaire : \(M = 63.546 \, \text{g/mol} = 0.063546 \, \text{kg/mol}\).

\[ \begin{aligned} n_{\text{atomes}} &= \frac{(8960 \, \text{kg/m}^3) \cdot (6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1})}{0.063546 \, \text{kg/mol}} \\ &= \frac{5.395 \times 10^{27}}{0.063546} \\ &\approx 8.49 \times 10^{28} \, \text{atomes/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité numérique d'atomes de cuivre est d'environ \(8.49 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3}\).

Question 2 : Densité numérique d'électrons libres (\(n_e\))

Principe :

La densité d'électrons libres est la densité d'atomes multipliée par le nombre d'électrons de valence que chaque atome fournit au "gaz d'électrons".

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n_e = n_{\text{atomes}} \times Z \]
Calcul :

Pour le cuivre, \(Z=1\).

\[ \begin{aligned} n_e &= (8.49 \times 10^{28}) \times 1 \\ &= 8.49 \times 10^{28} \, \text{électrons/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La densité d'électrons libres est \(n_e \approx 8.49 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3}\).

Question 3 : Formule de l'énergie de Fermi

Principe :

L'énergie de Fermi pour un gaz d'électrons libres en trois dimensions est dérivée de la mécanique statistique quantique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_F = \frac{h^2}{8m_e} \left( \frac{3n_e}{\pi} \right)^{2/3} \]

où \(h\) est la constante de Planck et \(m_e\) est la masse de l'électron.

Résultat Question 3 : \(E_F = \frac{h^2}{8m_e} \left( \frac{3n_e}{\pi} \right)^{2/3}\).

Question 4 : Calcul de l'énergie de Fermi en Joules

Principe :

On applique la formule en utilisant les constantes physiques et la densité d'électrons calculée, en veillant à la cohérence des unités SI.

Calcul :

Calcul du terme entre parenthèses :

\[ \frac{3n_e}{\pi} = \frac{3 \cdot (8.49 \times 10^{28})}{\pi} \approx 8.107 \times 10^{28} \]

Élévation à la puissance 2/3 :

\[ \left( 8.107 \times 10^{28} \right)^{2/3} \approx 1.88 \times 10^{19} \]

Calcul final :

\[ \begin{aligned} E_F &= \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \cdot (9.11 \times 10^{-31})} \cdot (1.88 \times 10^{19}) \\ &= \frac{4.39 \times 10^{-67}}{7.288 \times 10^{-30}} \cdot (1.88 \times 10^{19}) \\ &= (6.023 \times 10^{-38}) \cdot (1.88 \times 10^{19}) \\ &\approx 1.13 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie de Fermi du cuivre est d'environ \(1.13 \times 10^{-18} \, \text{J}\).

Question 5 : Conversion en électron-volts (eV)

Principe :

Pour convertir l'énergie de Joules en électron-volts, on divise par la valeur de la charge élémentaire \(e\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} E_F (\text{en eV}) &= \frac{E_F (\text{en J})}{e} \\ &= \frac{1.13 \times 10^{-18} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}} \\ &\approx 7.05 \, \text{eV} \end{aligned} \]

Cette valeur est très proche de la valeur expérimentale acceptée pour le cuivre, ce qui montre la pertinence du modèle du gaz d'électrons libres.

Résultat Question 5 : L'énergie de Fermi du cuivre est d'environ \(7.05 \, \text{eV}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'énergie de Fermi représente...

2. Si la densité d'électrons libres \(n_e\) d'un métal augmente, son énergie de Fermi...

3. L'énergie de Fermi est une conséquence directe...

Glossaire

Énergie de Fermi (\(E_F\))
En mécanique statistique, c'est l'énergie du plus haut niveau d'énergie occupé par un fermion (comme un électron) dans un système à la température du zéro absolu.
Gaz d'Électrons Libres
Modèle simple pour décrire le comportement des électrons de valence dans un solide métallique. Il suppose que ces électrons sont libres de se déplacer dans tout le volume du métal, sans interagir entre eux, mais confinés par le potentiel du réseau cristallin.
Principe d'Exclusion de Pauli
Principe de la mécanique quantique qui stipule que deux fermions identiques ne peuvent pas occuper simultanément le même état quantique dans un atome ou une molécule.
Fermion
Type de particule (comme l'électron, le proton, le neutron) qui obéit à la statistique de Fermi-Dirac et au principe d'exclusion de Pauli.
Densité Numérique (\(n\))
Nombre de particules (atomes ou électrons) par unité de volume. C'est une mesure de concentration.
Énergie de Fermi - Exercice d'Application

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