ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Détermination de la Température Finale

Détermination de la Température Finale d'un Mélange de Deux Liquides

Détermination de la Température Finale d'un Mélange de Deux Liquides

Comprendre la Calorimétrie

La calorimétrie est la branche de la thermodynamique qui étudie les échanges de chaleur. Un principe fondamental de la calorimétrie est la conservation de l'énergie. Lorsqu'on mélange deux substances à des températures différentes dans un système isolé (un calorimètre), la substance la plus chaude cède de la chaleur, tandis que la substance la plus froide en absorbe. Cet échange se poursuit jusqu'à ce que l'ensemble du système atteigne une température d'équilibre commune. En posant que la chaleur cédée est égale à la chaleur absorbée, on peut déterminer cette température finale.

Données de l'étude

On mélange de l'eau chaude et de l'éthanol froid dans un calorimètre parfaitement isolé (on néglige sa capacité thermique et toute perte de chaleur).

Schéma du Mélange dans un Calorimètre
Eau chaude (m₁, T₁) Éthanol froid (m₂, T₂) Calorimètre Mélange (Tf)

Conditions et constantes :

  • Eau (Liquide 1) :
    • Masse : \(m_1 = 200 \, \text{g}\)
    • Température initiale : \(T_1 = 80 \, ^\circ\text{C}\)
    • Capacité thermique massique : \(c_1 = 4.18 \, \text{J} \cdot \text{g}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Éthanol (Liquide 2) :
    • Masse : \(m_2 = 150 \, \text{g}\)
    • Température initiale : \(T_2 = 10 \, ^\circ\text{C}\)
    • Capacité thermique massique : \(c_2 = 2.44 \, \text{J} \cdot \text{g}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Énoncer le principe de conservation de l'énergie pour ce système isolé.
  2. Écrire l'expression littérale de la chaleur cédée par l'eau (\(Q_1\)) en fonction de la température finale \(T_f\).
  3. Écrire l'expression littérale de la chaleur absorbée par l'éthanol (\(Q_2\)) en fonction de la température finale \(T_f\).
  4. En appliquant le principe de conservation, établir l'équation permettant de trouver \(T_f\).
  5. Calculer la température finale d'équilibre (\(T_f\)) du mélange.

Correction : Détermination de la Température Finale d'un Mélange

Question 1 : Principe de conservation de l'énergie

Principe :

Le système est isolé (calorimètre parfait), donc il n'échange pas de chaleur avec l'extérieur. L'énergie totale du système est conservée. La chaleur cédée par le corps chaud est entièrement absorbée par le corps froid. La somme des chaleurs échangées est donc nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{\text{cédée}} + Q_{\text{absorbée}} = 0 \]

Ou, en nommant \(Q_1\) la chaleur échangée par l'eau et \(Q_2\) celle échangée par l'éthanol :

\[ Q_1 + Q_2 = 0 \]
Résultat Question 1 : Le principe est la conservation de l'énergie dans un système isolé, ce qui se traduit par \(\sum Q_i = 0\).

Question 2 : Chaleur cédée par l'eau (\(Q_1\))

Principe :

La chaleur échangée par une substance qui change de température sans changer d'état est proportionnelle à sa masse, sa capacité thermique massique et sa variation de température (\(\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_1 = m_1 \cdot c_1 \cdot (T_f - T_1) \]

Puisque l'eau se refroidit (\(T_f < T_1\)), la valeur de \(Q_1\) sera négative, ce qui représente bien une chaleur cédée.

Résultat Question 2 : L'expression est \(Q_1 = m_1 c_1 (T_f - T_1)\).

Question 3 : Chaleur absorbée par l'éthanol (\(Q_2\))

Principe :

Le même principe s'applique à l'éthanol. Comme il se réchauffe (\(T_f > T_2\)), la valeur de \(Q_2\) sera positive, ce qui représente une chaleur absorbée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_2 = m_2 \cdot c_2 \cdot (T_f - T_2) \]
Résultat Question 3 : L'expression est \(Q_2 = m_2 c_2 (T_f - T_2)\).

Question 4 : Équation pour trouver \(T_f\)

Principe :

On pose l'équation de conservation de l'énergie \(Q_1 + Q_2 = 0\) et on y substitue les expressions trouvées précédemment. L'inconnue est \(T_f\).

Mise en équation :
\[ m_1 c_1 (T_f - T_1) + m_2 c_2 (T_f - T_2) = 0 \]

On développe et on regroupe les termes en \(T_f\) :

\[ m_1 c_1 T_f - m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_f - m_2 c_2 T_2 = 0 \]
\[ T_f (m_1 c_1 + m_2 c_2) = m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2 \]

On isole \(T_f\) :

\[ T_f = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \]
Résultat Question 4 : L'équation permettant de trouver la température finale est \(T_f = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}\).

Question 5 : Calcul de la température finale d'équilibre (\(T_f\))

Principe :

On procède à l'application numérique. Notez que comme l'équation est un rapport homogène en température, on peut utiliser les degrés Celsius directement sans conversion en Kelvin (le résultat sera aussi en Celsius).

Calcul :

Calcul des termes \(m \cdot c\) :

  • Eau : \(m_1 c_1 = 200 \times 4.18 = 836 \, \text{J/K}\)
  • Éthanol : \(m_2 c_2 = 150 \times 2.44 = 366 \, \text{J/K}\)

Application numérique :

\[ \begin{aligned} T_f &= \frac{(836 \times 80) + (366 \times 10)}{836 + 366} \\ &= \frac{66880 + 3660}{1202} \\ &= \frac{70540}{1202} \\ &\approx 58.68 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La température finale d'équilibre du mélange est d'environ \(58.7 \, ^\circ\text{C}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La température finale d'un mélange de deux liquides est toujours...

2. Si on mélange deux masses égales d'eau, l'une à 20°C et l'autre à 80°C, la température finale sera :

3. Un matériau avec une haute capacité thermique massique...

Glossaire

Calorimétrie
Partie de la thermodynamique qui a pour objet la mesure des quantités de chaleur échangées.
Système Isolé
Système qui n'échange ni matière, ni énergie (travail ou chaleur) avec son environnement. La somme des énergies échangées est nulle.
Capacité Thermique Massique (c)
Quantité d'énergie qu'il faut fournir à un kilogramme (ou un gramme) d'une substance pour élever sa température de un degré Celsius (ou un Kelvin). Unité S.I. : J·kg⁻¹·K⁻¹.
Équilibre Thermique
État atteint par plusieurs corps en contact thermique lorsqu'ils ont tous la même température et qu'il n'y a plus de flux net de chaleur entre eux.
Enthalpie (H)
Fonction d'état dont la variation est égale à la chaleur échangée à pression constante. Elle est fondamentale pour les transformations isobares.
Mélange de Liquides - Exercice d'Application

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