Détermination de la Température Finale

Contexte : Le mélange de liquidesProcessus par lequel deux ou plusieurs substances liquides sont combinées pour former une solution ou une mixture homogène. dans un calorimètreUn appareil isolé thermiquement utilisé pour mesurer la quantité de chaleur échangée lors d'une réaction chimique ou d'un changement de phase..

Cet exercice fondamental de la thermodynamique classique explore le principe de conservation de l'énergie lors du mélange de deux masses d'eau à des températures différentes. En utilisant un calorimètre, considéré comme un système isolé, nous déterminerons la température finale du mélange, dite température d'équilibre. Cette situation modélise de nombreux phénomènes naturels et industriels où des transferts de chaleur se produisent jusqu'à atteindre un état stable.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le premier principe de la thermodynamique à un système simple. Vous apprendrez à poser une équation de bilan thermique en considérant tous les éléments du système (eau froide, eau chaude, et le calorimètre lui-même) pour trouver une inconnue, ici la température finale.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le principe de conservation de l'énergie pour les transferts thermiques.
Maîtriser la formule de la quantité de chaleur échangée : \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\).
Résoudre une équation de bilan thermique pour un système isolé.
Comprendre l'importance de la capacité thermique du calorimètre dans les calculs de précision.

Données de l'étude

On souhaite mélanger deux quantités d'eau à des températures différentes dans un calorimètre. L'objectif est de calculer la température finale du système une fois l'équilibre thermique atteint.

Schéma du Système Calorimétrique

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(m_1\)	Masse d'eau froide	200	g
\(T_1\)	Température initiale de l'eau froide	20	°C
\(m_2\)	Masse d'eau chaude	150	g
\(T_2\)	Température initiale de l'eau chaude	80	°C
\(C_{\text{cal}}\)	Capacité thermique du calorimètre	150	J·K⁻¹
\(c_{\text{eau}}\)	Capacité thermique massique de l'eau	4185	J·kg⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

Exprimer littéralement la quantité de chaleur \(Q_1\) absorbée par l'eau froide en fonction de \(m_1, c_{\text{eau}}\) et des températures.
Exprimer littéralement la quantité de chaleur \(Q_2\) cédée par l'eau chaude en fonction de \(m_2, c_{\text{eau}}\) et des températures.
Exprimer littéralement la quantité de chaleur \(Q_{\text{cal}}\) absorbée par le calorimètre en fonction de \(C_{\text{cal}}\) et des températures.
Établir l'équation du bilan thermique du système (considéré comme isolé).
Calculer la température finale d'équilibre \(T_{\text{f}}\) du mélange en degrés Celsius.

Les bases de la Calorimétrie

Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés de la thermodynamique sont nécessaires : la notion de quantité de chaleur et le principe de conservation de l'énergie dans un système isolé.

1. Quantité de Chaleur (\(Q\))
La quantité de chaleur échangée par un corps de masse \(m\) et de capacité thermique massique \(c\) qui subit une variation de température \(\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\) est donnée par la formule : \[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \] Pour un objet comme le calorimètre, décrit par sa capacité thermique globale \(C\), la formule devient : \[ Q = C \cdot \Delta T \]

2. Principe du Bilan Thermique
Pour un système thermiquement isolé (qui n'échange pas de chaleur avec l'extérieur), la somme des quantités de chaleur échangées entre ses composants est nulle. C'est une manifestation de la conservation de l'énergie. \[ \sum_{i} Q_i = 0 \] Cela signifie que la chaleur cédée par les corps chauds est entièrement absorbée par les corps froids.

Correction : Détermination de la Température Finale

Question 1 : Chaleur absorbée par l'eau froide (\(Q_1\))

Principe

L'eau froide, initialement à une température \(T_1\), va se réchauffer au contact de l'eau chaude jusqu'à atteindre une température d'équilibre finale \(T_{\text{f}}\). Ce réchauffement correspond à une absorption d'énergie sous forme de chaleur.

Formule(s)

La formule de la quantité de chaleur pour une substance sans changement d'état est :

Q_1 = m_1 \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_{\text{f}} - T_1)

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma ci-dessous représente l'absorption de chaleur par l'eau froide.

Réflexions

Puisque l'eau froide se réchauffe, on s'attend à ce que \(T_f > T_1\). Par conséquent, le terme \((T_f - T_1)\) sera positif, et la quantité de chaleur \(Q_1\) sera également positive, ce qui est cohérent avec une chaleur absorbée (reçue par le système "eau froide").

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser les températures dans le \(\Delta T\). Rappelez-vous toujours : \(\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\).

Résultat Final

L'expression littérale de la chaleur absorbée par l'eau froide est \(Q_1 = m_1 \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_{\text{f}} - T_1)\).

Question 2 : Chaleur cédée par l'eau chaude (\(Q_2\))

Principe

L'eau chaude, initialement à \(T_2\), va céder de l'énergie thermique au reste du système (eau froide et calorimètre) et ainsi se refroidir jusqu'à la température finale \(T_{\text{f}}\).

Formule(s)

La formule est structurellement la même, appliquée au second corps :

Q_2 = m_2 \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_{\text{f}} - T_2)

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la cession de chaleur par l'eau chaude.

Réflexions

Puisque l'eau chaude se refroidit, on s'attend à ce que \(T_f < T_2\). Le terme \((T_f - T_2)\) sera donc négatif, et la quantité de chaleur \(Q_2\) sera négative. Un signe négatif indique une chaleur cédée (perdue par le système "eau chaude").

Points de vigilance

Encore une fois, l'erreur la plus fréquente est une inversion dans le \(\Delta T\). Assurez-vous de toujours faire \(T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\). Le signe négatif qui en résultera est correct et important.

Résultat Final

L'expression littérale de la chaleur cédée par l'eau chaude est \(Q_2 = m_2 \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_{\text{f}} - T_2)\).

Question 3 : Chaleur absorbée par le calorimètre (\(Q_{\text{cal}}\))

Principe

Le calorimètre, qui contient initialement l'eau froide, est à la même température \(T_1\). Il va donc lui aussi se réchauffer jusqu'à \(T_{\text{f}}\) en absorbant une partie de l'énergie de l'eau chaude.

Formule(s)

La formule pour un objet de capacité thermique \(C\) est :

Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} \cdot (T_{\text{f}} - T_1)

Schéma (Avant les calculs)

Le calorimètre absorbe de la chaleur, tout comme l'eau froide.

Réflexions

Cette expression est très similaire à celle de l'eau froide, car les deux éléments partent de la même température initiale \(T_1\) et absorbent de la chaleur. La seule différence est l'utilisation de \(C_{\text{cal}}\) au lieu de \(m_1 \cdot c_{\text{eau}}\).

Points de vigilance

Attention à la température initiale du calorimètre. L'énoncé précise (ou sous-entend) qu'il est en équilibre avec l'eau froide. Si on y avait mis l'eau chaude en premier, sa température initiale aurait été \(T_2\).

Résultat Final

L'expression littérale de la chaleur absorbée par le calorimètre est \(Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} \cdot (T_{\text{f}} - T_1)\).

Question 4 : Équation du bilan thermique

Principe

Le principe fondamental de la calorimétrie est la conservation de l'énergie. Dans un système isolé (le calorimètre est supposé l'être), l'énergie ne peut être ni créée ni détruite. L'énergie thermique perdue par les corps chauds est intégralement récupérée par les corps froids. La somme algébrique de tous ces transferts est donc nulle.

Mini-Cours

Le Premier Principe de la Thermodynamique stipule que la variation de l'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec l'extérieur : \(\Delta U = W + Q\). Pour un système isolé, il n'y a aucun échange avec l'extérieur, donc \(\Delta U = 0\). Si de plus il n'y a pas de travail (pas de pièces mobiles, etc.), cela implique que la somme des chaleurs échangées *à l'intérieur* du système est nulle.

Remarque Pédagogique

Poser correctement le bilan est l'étape la plus importante. Identifiez tous les corps qui changent de température, écrivez l'expression de la chaleur pour chacun, et additionnez-les pour obtenir zéro. C'est une méthode systématique qui fonctionne toujours.

Normes

Le principe de conservation de l'énergie est une des lois les plus fondamentales de toute la physique.

Formule(s)

L'équation générale du bilan est :

\sum Q_i = 0

Appliquée à notre système à 3 composants :

Q_1 + Q_2 + Q_{\text{cal}} = 0

Hypothèses

L'hypothèse cruciale ici est que le système est parfaitement isolé. Dans la réalité, il y a toujours de légères fuites thermiques, mais on les néglige pour le calcul.

Donnée(s)

Cette question utilise les expressions littérales des questions 1, 2 et 3.

Astuces

Avant de remplacer par les expressions complètes, écrivez toujours le bilan sous sa forme simple (\(Q_1 + Q_2 + ... = 0\)). Cela clarifie votre raisonnement et réduit les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente le système isolé où les transferts de chaleur sont internes.

Calcul(s)

On substitue les expressions trouvées précédemment dans l'équation de bilan :

[m_1 \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_{\text{f}} - T_1)] + [m_2 \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_{\text{f}} - T_2)] + [C_{\text{cal}} \cdot (T_{\text{f}} - T_1)] = 0

Schéma (Après les calculs)

Le schéma final représente l'état d'équilibre où tous les composants sont à la même température finale.

Réflexions

Cette équation unique lie toutes les données du problème à la seule inconnue, \(T_{\text{f}}\). La physique du problème est maintenant entièrement traduite en une équation mathématique qu'il ne reste plus qu'à résoudre.

Points de vigilance

N'oubliez aucun terme ! Chaque corps qui change de température doit avoir son terme \(Q_i\) dans la somme. Ici, il y en a bien trois.

Points à retenir

Pour un système isolé, la somme des chaleurs échangées est nulle : \(\sum Q_i = 0\).
Cette équation est la clé de tous les problèmes de calorimétrie.

Le saviez-vous ?

Le calorimètre a été inventé par Antoine Lavoisier et Pierre-Simon de Laplace vers 1780. Leur premier modèle était un "calorimètre à glace", où la chaleur dégagée par une réaction était mesurée par la quantité de glace qu'elle faisait fondre.

FAQ

Résultat Final

L'équation du bilan thermique est : \(m_1 c_{\text{eau}} (T_{\text{f}} - T_1) + m_2 c_{\text{eau}} (T_{\text{f}} - T_2) + C_{\text{cal}} (T_{\text{f}} - T_1) = 0\).

A vous de jouer

Si on ajoutait un bloc de cuivre de 50g (\(m_3\), \(c_{\text{cu}}\)) à \(T_3=100°\text{C}\), quel terme ajouterait-on au bilan ?

Question 5 : Calcul de la température finale (\(T_{\text{f}}\))

Principe

Maintenant que le problème physique est entièrement modélisé par une équation mathématique, la dernière étape consiste à résoudre cette équation pour trouver la valeur de l'inconnue, \(T_{\text{f}}\).

Mini-Cours

La résolution implique une manipulation algébrique de base : développer les termes, regrouper tous les termes contenant l'inconnue (\(T_{\text{f}}\)) d'un côté de l'équation, regrouper toutes les constantes de l'autre côté, factoriser par l'inconnue, et enfin diviser pour l'isoler.

Remarque Pédagogique

Il est fortement conseillé de faire la résolution littérale (avec les symboles) jusqu'au bout avant de remplacer par les valeurs numériques. Cela permet d'obtenir une formule générale, de vérifier son homogénéité (cohérence des unités) et de limiter les erreurs d'arrondi.

Normes

Les règles de l'algèbre s'appliquent ici.

Formule(s)

L'expression littérale de \(T_{\text{f}}\) est obtenue en isolant \(T_{\text{f}}\) de l'équation de bilan :

T_{\text{f}} = \frac{(m_1 c_{\text{eau}} + C_{\text{cal}}) T_1 + m_2 c_{\text{eau}} T_2}{m_1 c_{\text{eau}} + m_2 c_{\text{eau}} + C_{\text{cal}}}

Hypothèses

Les hypothèses sont celles cumulées des étapes précédentes : système isolé, pas de changement d'état, capacités thermiques constantes, et équilibre initial du calorimètre avec l'eau froide.

Donnée(s)

Nous utilisons toutes les valeurs numériques de l'énoncé.

\(m_1\)	\(0.200 \text{ kg}\)	\(T_1\)	\(20 \text{ °C}\)
\(m_2\)	\(0.150 \text{ kg}\)	\(T_2\)	\(80 \text{ °C}\)
\(C_{\text{cal}}\)	\(150 \text{ J} \cdot \text{K}^{-1}\)	\(c_{\text{eau}}\)	\(4185 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Astuces

Avant le calcul final, faites une estimation rapide. La température finale sera une moyenne des températures initiales, pondérée par les capacités thermiques (\(m \cdot c\) ou \(C\)). Comme la capacité thermique du camp froid (\((0.2 \cdot 4185) + 150 \approx 987\) J/K) est supérieure à celle du camp chaud (\((0.15 \cdot 4185) \approx 628\) J/K), la température finale devrait être plus proche de 20°C que de 80°C. Elle sera inférieure à la moyenne simple de 50°C.

Schéma (Avant les calculs)

Un axe de température peut être utile, avec \(T_1\) à gauche, \(T_2\) à droite, et une flèche indiquant que \(T_{\text{f}}\) se situera quelque part entre les deux.

Calcul(s)

On procède à l'application numérique de la formule littérale.

Étape 1 : Calcul de la capacité thermique de l'eau froide

\begin{aligned}C_1 &= m_1 c_{\text{eau}} \\ &= 0.200 \cdot 4185 \\ &= 837 \text{ J/K}\end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la capacité thermique de l'eau chaude

\begin{aligned}C_2 &= m_2 c_{\text{eau}} \\ &= 0.150 \cdot 4185 \\ &= 627.75 \text{ J/K}\end{aligned}

Étape 3 : Calcul final de la température d'équilibre

\begin{aligned} T_{\text{f}} &= \frac{(C_1 + C_{\text{cal}}) T_1 + C_2 T_2}{C_1 + C_2 + C_{\text{cal}}} \\ &= \frac{(837 + 150) \cdot 20 + 627.75 \cdot 80}{837 + 627.75 + 150} \\ &= \frac{987 \cdot 20 + 50220}{1614.75} \\ &= \frac{19740 + 50220}{1614.75} \\ &= \frac{69960}{1614.75} \\ &\approx 43.326 \text{ °C}\end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant placer la valeur calculée sur l'axe des températures pour visualiser le résultat.

Position de la Température d'Équilibre

Réflexions

Le résultat de 43.3°C est conforme à notre estimation : il est bien entre 20°C et 80°C, et plus proche de 20°C que de 80°C, car la "force thermique" (capacité thermique) du camp froid (\(C_1+C_{\text{cal}}\)) était supérieure à celle du camp chaud (\(C_2\)).

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les masses sont en kg pour être cohérentes avec les unités de \(c_{\text{eau}}\). Une erreur d'un facteur 1000 est très fréquente !

Points à retenir

La méthode : poser le bilan, isoler l'inconnue littéralement, puis faire l'application numérique.
La température finale est une moyenne pondérée par les capacités thermiques.

Le saviez-vous ?

Le concept d'équilibre thermique est une conséquence du Second Principe de la Thermodynamique, qui stipule que l'entropie (le "désordre") d'un système isolé ne peut qu'augmenter ou rester constante. Le mélange de températures augmente l'entropie, et l'équilibre est l'état d'entropie maximale.

FAQ

Résultat Final

La température finale d'équilibre du système est d'environ 43.3 °C.

A vous de jouer

Recalculez la température finale si on négligeait la capacité thermique du calorimètre (\(C_{\text{cal}} = 0\)).

Outil Interactif : Simulateur de Mélange

Utilisez les curseurs pour faire varier la masse et la température de l'eau chaude et observez en temps réel l'impact sur la température d'équilibre finale. Toutes les autres données de l'énoncé restent inchangées.

Paramètres de l'Eau Chaude

Masse d'eau chaude \(m_2\) (g) 150 g

Température de l'eau chaude \(T_2\) (°C) 80 °C

Résultats Clés

Température finale \(T_{\text{f}}\) (°C) -

Énergie cédée par l'eau chaude (J) -

Glossaire

Calorimètre: Enceinte thermiquement isolée de l'extérieur, conçue pour réaliser des mesures de quantités de chaleur.
Capacité thermique massique (c): Quantité d'énergie nécessaire pour élever de 1 Kelvin (ou 1°C) la température de 1 kg d'une substance. Unité : J·kg⁻¹·K⁻¹.
Capacité thermique (C): Quantité d'énergie nécessaire pour élever de 1 Kelvin (ou 1°C) la température d'un objet entier. Unité : J·K⁻¹.
Équilibre thermique: État atteint par un système lorsque toutes ses parties sont à la même température et qu'il n'y a plus de transfert de chaleur net entre elles.

Détermination de la Température Finale

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Système Calorimétrique

Questions à traiter

Les bases de la Calorimétrie

Correction : Détermination de la Température Finale

Question 1 : Chaleur absorbée par l'eau froide (\(Q_1\))

Principe

Formule(s)

Schéma (Avant les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Résultat Final

Question 2 : Chaleur cédée par l'eau chaude (\(Q_2\))

Principe

Formule(s)

Schéma (Avant les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Résultat Final

Question 3 : Chaleur absorbée par le calorimètre (\(Q_{\text{cal}}\))

Principe

Formule(s)

Schéma (Avant les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Résultat Final

Question 4 : Équation du bilan thermique

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 5 : Calcul de la température finale (\(T_{\text{f}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Position de la Température d'Équilibre

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Outil Interactif : Simulateur de Mélange

Paramètres de l'Eau Chaude

Résultats Clés

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Glossaire

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