Dérivation de la Loi de Stefan-Boltzmann

Contexte : Le rayonnement du corps noirRayonnement électromagnétique émis par un objet idéal qui absorbe parfaitement toute radiation incidente, quelle que soit sa fréquence ou son angle d'incidence..

La loi de Stefan-Boltzmann décrit la puissance totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir en fonction de sa température thermodynamique. Cette loi, initialement découverte expérimentalement, peut être rigoureusement dérivée en utilisant les principes de la thermodynamique statistique et de la mécanique quantique pour décrire le comportement des photons (quanta de lumière) en équilibre thermique dans une cavité. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés de cette dérivation fondamentale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la puissance de la thermodynamique statistique pour expliquer des phénomènes macroscopiques (comme le rayonnement thermique) à partir de considérations microscopiques (le comportement quantique des photons).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le modèle du gaz de photons dans une cavité.
Appliquer la statistique de Bose-EinsteinStatistique quantique décrivant le comportement des bosons, particules indiscernables de spin entier (comme les photons), qui peuvent occuper le même état quantique. aux photons.
Calculer la densité d'étatsNombre d'états quantiques disponibles par unité d'énergie (ou de fréquence, ou de vecteur d'onde) et par unité de volume. pour les photons.
Dériver l'expression de la densité d'énergie totale du rayonnement du corps noir.
Établir la relation entre la densité d'énergie et la puissance rayonnée pour obtenir la loi de Stefan-Boltzmann \(P/A = \sigma T^4\).

Données de l'étude

Nous considérons un gaz de photons en équilibre thermique à la température \(T\) dans une cavité de volume \(V\). Les photons sont des bosons sans masse et leur potentiel chimique est nul (\(\mu=0\)). Nous utiliserons les constantes fondamentales suivantes :

Constante	Symbole	Valeur Approximative	Unité (SI)
Constante de Planck	\(h\)	\(6.626 \times 10^{-34}\)	\(\text{J} \cdot \text{s}\)
Constante de Boltzmann	\(k_{\text{B}}\)	\(1.381 \times 10^{-23}\)	\(\text{J/K}\)
Vitesse de la lumière dans le vide	\(c\)	\(2.998 \times 10^{8}\)	\(\text{m/s}\)
Constante de Planck réduite	\(\hbar = h / (2\pi)\)	\(1.055 \times 10^{-34}\)	\(\text{J} \cdot \text{s}\)

Questions à traiter

Déterminer la densité d'états \(g(\nu) d\nu\) pour les photons dans la cavité, c'est-à-dire le nombre d'états photoniques possibles par unité de volume dans l'intervalle de fréquence \([\nu, \nu+d\nu]\).
En utilisant la statistique de Bose-Einstein, exprimer l'énergie moyenne \(\langle E_\nu \rangle\) d'un mode photonique de fréquence \(\nu\) à la température \(T\).
Combiner les résultats précédents pour obtenir la densité spectrale d'énergie \(u(\nu, T) d\nu\), c'est-à-dire l'énergie électromagnétique par unité de volume dans l'intervalle de fréquence \([\nu, \nu+d\nu]\). Retrouver la loi de Planck.
Intégrer la densité spectrale d'énergie sur toutes les fréquences pour obtenir la densité d'énergie totale \(u(T)\). Montrer qu'elle est proportionnelle à \(T^4\). Vous pourrez utiliser l'intégrale \(\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}\).
Relier la densité d'énergie totale \(u(T)\) à la puissance \(P\) rayonnée par unité de surface \(A\) d'un corps noir (émissivité \(\epsilon=1\)) pour obtenir la loi de Stefan-Boltzmann \(P/A = \sigma T^4\). Exprimer la constante de Stefan-Boltzmann \(\sigma\) en fonction des constantes fondamentales \(h, c, k_{\text{B}}\).

Les bases sur le Gaz de Photons et la Statistique Quantique

Pour dériver la loi de Stefan-Boltzmann, nous modélisons le rayonnement thermique dans une cavité comme un gaz de photons en équilibre. Les photons sont des particules quantiques particulières :

1. Photons comme Bosons
Les photons ont un spin entier (spin 1), ce sont donc des bosonsClasse de particules quantiques (incluant les photons) caractérisées par un spin entier et obéissant à la statistique de Bose-Einstein. Plusieurs bosons peuvent occuper le même état quantique.. Ils obéissent à la statistique de Bose-Einstein. Le nombre moyen d'occupation \(\langle n_s \rangle\) d'un état d'énergie \(\epsilon_s\) est donné par : \[ \langle n_s \rangle = \frac{1}{e^{(\epsilon_s - \mu)/(k_{\text{B}} T)} - 1} \] Pour les photons, le potentiel chimique \(\mu\) est nul car leur nombre n'est pas conservé (ils peuvent être créés et détruits). L'énergie d'un photon de fréquence \(\nu\) (ou pulsation \(\omega = 2\pi\nu\)) est \(\epsilon = h\nu = \hbar\omega\).

2. Densité d'États
Dans une boîte de volume \(V=L^3\), les modes électromagnétiques stationnaires ont des vecteurs d'onde \(\vec{k} = (k_x, k_y, k_z)\) quantifiés. Le nombre d'états avec un module de vecteur d'onde entre \(k\) et \(k+dk\) est proportionnel à \(k^2 dk\). En reliant \(k\) à la fréquence \(\nu\) (\(k = 2\pi\nu/c\)) et en tenant compte des deux polarisations possibles pour chaque mode, on peut trouver la densité d'états \(g(\nu)\).

3. Relation Énergie - Puissance Rayonnée
La densité d'énergie \(u(T)\) dans la cavité est liée à la puissance \(P\) émise par unité de surface \(A\) par un petit trou dans la paroi (modélisant un corps noir). Des arguments cinétiques montrent que l'exitance énergétique \(M = P/A\) est proportionnelle à la densité d'énergie : \(M = \frac{c}{4} u(T)\).

Correction : Dérivation de la Loi de Stefan-Boltzmann

Question 1 : Calcul de la densité d'états \(g(\nu) d\nu\)

Principe

Il s'agit de compter le nombre de modes électromagnétiques possibles (ondes stationnaires) dans une cavité cubique de volume \(V=L^3\), puis de généraliser au volume unité et d'exprimer ce nombre en fonction de la fréquence \(\nu\). On considère les conditions aux limites pour les champs électromagnétiques sur les parois de la boîte.

Mini-Cours

Les composantes du vecteur d'onde \(\vec{k}\) sont quantifiées : \(k_x = n_x \pi/L\), \(k_y = n_y \pi/L\), \(k_z = n_z \pi/L\), où \(n_x, n_y, n_z\) sont des entiers positifs. Le nombre d'états dans l'espace des \(\vec{k}\) correspond au volume d'un octant de sphère (car \(n_i > 0\)). La relation de dispersion pour les photons est \(\omega = ck\), où \(\omega = 2\pi\nu\). Chaque mode \((\vec{k})\) peut exister sous deux polarisations indépendantes.

Remarque Pédagogique

L'idée clé est de passer d'un comptage discret des états (liés aux entiers \(n_x, n_y, n_z\)) à une densité continue d'états lorsque le volume \(V\) devient grand. On utilise l'espace des vecteurs d'onde (\(\vec{k}\)) comme intermédiaire.

Normes

Ce calcul relève des fondements de la physique statistique et de l'électromagnétisme classique (modes d'une cavité résonante). Il n'y a pas de norme "réglementaire" au sens de l'ingénierie ici, mais les principes utilisés sont universellement acceptés en physique.

Formule(s)

Nombre d'états dans \(d^3k\)

dN = 2 \times \frac{V}{(2\pi)^3} d^3k

Élément de volume sphérique

d^3k = 4\pi k^2 dk

Relation de dispersion

k = \frac{2\pi\nu}{c}

Hypothèses

On considère une cavité cubique avec des parois parfaitement réfléchissantes (conditions aux limites pour les ondes stationnaires). On suppose que la taille de la cavité \(L\) est beaucoup plus grande que les longueurs d'onde considérées, permettant de traiter \(k\) comme une variable quasi-continue.

Donnée(s)

Pour cette étape, nous utilisons les relations physiques et géométriques suivantes :

Nombre d'états (avec polarisations)

dN = 2 \times \frac{\text{Volume accessible dans l'espace } \vec{k}}{\text{Volume élémentaire par état}}

Volume élémentaire par état dans l'espace \(\vec{k}\)

V_k = \left(\frac{\pi}{L}\right)^3 = \frac{\pi^3}{V}

Volume d'une coquille sphérique dans le 1er octant

dV_{k,\text{octant}} = \frac{1}{8} (4\pi k^2 dk) = \frac{\pi}{2} k^2 dk

Relation \(k \leftrightarrow \nu\)

k = \frac{2\pi\nu}{c}

Astuces

Visualiser l'espace des \(\vec{k}\) : chaque état correspond à un point de coordonnées \((n_x\pi/L, n_y\pi/L, n_z\pi/L)\). Le nombre d'états dans une coquille sphérique de rayon \(k\) et d'épaisseur \(dk\) est proportionnel au volume de cette coquille dans l'octant positif.

Schéma (Avant les calculs)

Espace des vecteurs d'onde \(\vec{k}\)

Représentation schématique d'une coquille sphérique (rayons k et k+dk) dans le premier octant de l'espace \(\vec{k}\).

Calcul(s)

Étape 1 : Nombre d'états \(dN\) (avec polarisations)

\begin{aligned} dN &= 2 \times \frac{dV_{k,\text{octant}}}{V_k / V} \\ &= 2 \times \frac{(\pi/2) k^2 dk}{(\pi^3/V)} \\ &= \frac{V k^2}{\pi^2} dk \end{aligned}

Étape 2 : Changement de variable \(k \rightarrow \nu\)

Calcul de \(k^2 dk\)

\begin{aligned} k^2 dk &= \left(\frac{2\pi\nu}{c}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{c}\right) d\nu \\ &= \frac{8\pi^3 \nu^2}{c^3} d\nu \end{aligned}

Étape 3 : Densité d'états \(g(\nu)\) par unité de volume

Calcul de \(g(\nu)d\nu = dN/V\)

\begin{aligned} g(\nu)d\nu &= \frac{1}{V} \left( \frac{V k^2}{\pi^2} \right) dk \\ &= \frac{k^2}{\pi^2} dk \\ &= \frac{1}{\pi^2} \left(\frac{8\pi^3 \nu^2}{c^3}\right) d\nu \\ &= \frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Allure de la densité d'états \(g(\nu)\)

Allure de \(g(\nu) \propto \nu^2\).

Réflexions

La densité d'états augmente rapidement avec la fréquence (comme \(\nu^2\)). Cela signifie qu'il y a beaucoup plus de modes disponibles aux hautes fréquences qu'aux basses fréquences. Ce facteur \(\nu^2\) est crucial dans la forme de la loi de Planck.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 2 pour les polarisations. Attention à la différence entre le comptage dans l'espace \((n_x, n_y, n_z)\) (volume \((\pi/L)^3\) par état dans l'octant) et l'utilisation de \(4\pi k^2 dk\) (volume de la coquille sphérique complète).

Points à retenir

La densité d'états \(g(\nu)\) représente le nombre de "places" disponibles pour les photons par unité de volume et de fréquence.
Elle dépend de la dimensionnalité de l'espace (ici 3D) et de la relation de dispersion (\(k \propto \nu\)).
Elle est proportionnelle à \(\nu^2\).

Le saviez-vous ?

Le calcul de la densité d'états est une technique fondamentale en physique du solide pour les électrons et les phonons, et en physique statistique en général. La forme \(g(\epsilon) \propto \epsilon^x\) dépend fortement de la dimensionnalité et de la relation de dispersion \(\epsilon(k)\).

FAQ

Pas de FAQ spécifique ajoutée pour cette étape.

Résultat Final

La densité d'états par unité de volume pour les photons est : \(g(\nu) d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu\).

A vous de jouer

Comment la densité d'états \(g(\lambda) d\lambda\) s'exprimerait-elle en fonction de la longueur d'onde \(\lambda = c/\nu\) ? (Attention au signe de \(d\lambda\) par rapport à \(d\nu\)).

Question 2 : Énergie moyenne \(\langle E_\nu \rangle\) d'un mode photonique

Principe

Chaque mode photonique de fréquence \(\nu\) peut être vu comme un oscillateur harmonique quantique d'énergie \(h\nu\). L'énergie moyenne de ce mode est l'énergie d'un photon (\(h\nu\)) multipliée par le nombre moyen de photons \(\langle n_\nu \rangle\) dans ce mode, donné par la statistique de Bose-Einstein.

Mini-Cours

La statistique de Bose-Einstein donne le nombre moyen d'occupation \(\langle n_s \rangle\) d'un état quantique d'énergie \(\epsilon_s\) par des bosons à la température \(T\) et potentiel chimique \(\mu\) : \(\langle n_s \rangle = [e^{(\epsilon_s - \mu)/(k_{\text{B}} T)} - 1]^{-1}\). Les photons sont des bosons dont le nombre n'est pas conservé, ce qui implique \(\mu=0\). L'énergie d'un photon de fréquence \(\nu\) est \(\epsilon_\nu = h\nu\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre pourquoi \(\mu=0\) pour les photons. Imaginez une cavité chaude : des photons sont constamment émis et absorbés par les parois. L'équilibre thermique est atteint lorsque les taux d'émission et d'absorption s'égalisent, sans contrainte sur le nombre total de photons présents.

Normes

Ceci est une application directe des principes fondamentaux de la mécanique statistique quantique (ensemble grand-canonique appliqué aux bosons).

Formule(s)

Nombre moyen d'occupation (Bose-Einstein, \(\mu=0\))

\langle n_\nu \rangle = \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}

Énergie moyenne

\langle E_\nu \rangle = \langle n_\nu \rangle \times (h\nu)

Hypothèses

Le système (gaz de photons) est en équilibre thermique à la température \(T\). Les photons sont des bosons indiscernables. Le potentiel chimique est nul.

Donnée(s)

Nous utilisons les paramètres \(\nu\), \(T\) et les constantes \(h\) et \(k_{\text{B}}\).

Énergie d'un photon

\epsilon_\nu = h\nu

Potentiel chimique

\mu = 0

Astuces

Penser au terme \(h\nu/(k_{\text{B}} T)\) comme une énergie adimensionnée, comparant l'énergie du photon à l'énergie thermique caractéristique \(k_{\text{B}} T\). Lorsque \(k_{\text{B}} T \gg h\nu\) (basses fréquences, hautes températures), \(e^x-1 \approx x\), et \(\langle E_\nu \rangle \approx k_{\text{B}} T\), retrouvant le résultat classique de l'équipartition (qui mène à la catastrophe UV). Lorsque \(k_{\text{B}} T \ll h\nu\), \(\langle E_\nu \rangle \approx h\nu e^{-h\nu/(k_{\text{B}} T)}\), l'énergie moyenne est très faible.

Schéma (Avant les calculs)

Distribution de Bose-Einstein

Allure du nombre moyen d'occupation \(\langle n \rangle\) en fonction de l'énergie adimensionnée \(\epsilon / (k_B T)\).

Calcul(s)

Étape 1 : Formule du nombre moyen d'occupation

\langle n_\nu \rangle = \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}

Étape 2 : Calcul de l'énergie moyenne \(\langle E_\nu \rangle\)

\begin{aligned} \langle E_\nu \rangle &= \langle n_\nu \rangle h\nu \\ &= \frac{h\nu}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Énergie Moyenne \(\langle E_\nu \rangle / (k_B T)\)

Allure de l'énergie moyenne adimensionnée \(\langle E \rangle / (k_B T)\) en fonction de l'énergie adimensionnée \(x = h\nu / (k_B T)\).

Réflexions

L'énergie moyenne d'un mode dépend fortement du rapport \(h\nu / (k_{\text{B}} T)\). Aux hautes fréquences (\(h\nu \gg k_{\text{B}} T\)), l'énergie moyenne tend exponentiellement vers zéro, ce qui "coupe" le spectre du corps noir et résout la catastrophe ultraviolette.

Points de vigilance

Ne pas confondre l'énergie d'un photon \(h\nu\) avec l'énergie moyenne \(\langle E_\nu \rangle\) du mode, qui tient compte du nombre moyen de photons présents dans ce mode à la température \(T\).

Points à retenir

Les photons suivent la statistique de Bose-Einstein avec \(\mu=0\).
Le nombre moyen de photons dans un mode diminue rapidement lorsque l'énergie du photon \(h\nu\) devient grande par rapport à l'énergie thermique \(k_{\text{B}} T\).
\(\langle E_\nu \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}\).

Le saviez-vous ?

La même statistique de Bose-Einstein, mais avec \(\mu \neq 0\), décrit le phénomène de condensation de Bose-Einstein observé dans les gaz atomiques ultrafroids, où un grand nombre de bosons s'accumulent dans l'état quantique de plus basse énergie.

FAQ

Pas de FAQ spécifique ajoutée pour cette étape.

Résultat Final

L'énergie moyenne d'un mode photonique de fréquence \(\nu\) à la température \(T\) est \(\langle E_\nu \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}\).

A vous de jouer

Quelle est la limite de \(\langle E_\nu \rangle\) lorsque \(T \to 0\) K pour une fréquence \(\nu > 0\) ? Et lorsque \(T \to \infty\) ?

Question 3 : Densité spectrale d'énergie \(u(\nu, T) d\nu\) (Loi de Planck)

Principe

La densité spectrale d'énergie est obtenue en multipliant le nombre d'états par unité de volume dans l'intervalle \([\nu, \nu+d\nu]\) (densité d'états \(g(\nu)d\nu\)) par l'énergie moyenne \(\langle E_\nu \rangle\) de chaque état.

Mini-Cours

La densité spectrale d'énergie \(u(\nu, T)\) représente la contribution à l'énergie totale par unité de volume provenant des photons dont la fréquence est comprise dans un petit intervalle autour de \(\nu\). C'est une fonction clé pour décrire le spectre du rayonnement thermique.

Remarque Pédagogique

Cette étape combine les deux résultats précédents : le nombre de "places" disponibles (\(g(\nu)\)) et l'énergie moyenne "par place" (\(\langle E_\nu \rangle\)). Le produit donne l'énergie totale par unité de volume et de fréquence.

Normes

La loi de Planck résultante est une loi fondamentale de la physique quantique et de la thermodynamique.

Formule(s)

Définition de \(u(\nu, T) d\nu\)

u(\nu, T) d\nu = g(\nu) \langle E_\nu \rangle d\nu

Expressions de \(g(\nu)\) et \(\langle E_\nu \rangle\)

g(\nu) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}

\langle E_\nu \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}

Hypothèses

Les hypothèses des étapes précédentes (équilibre thermique, gaz de photons bosons avec \(\mu=0\), validité du calcul de \(g(\nu)\)) restent valables.

Donnée(s)

Les expressions de \(g(\nu)\) et \(\langle E_\nu \rangle\) obtenues précédemment :

Densité d'états

g(\nu) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}

Énergie moyenne

\langle E_\nu \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}

Astuces

Vérifier les unités : \(g(\nu)\) a les unités de \(1/(\text{Volume} \times \text{Fréquence})\), \(\langle E_\nu \rangle\) a les unités d'une énergie. Leur produit a donc les unités d'une énergie par unité de volume et par unité de fréquence (\(\text{J} / \text{m}^3 / \text{Hz}\)), ce qui est correct pour \(u(\nu, T)\).

Schéma (Avant les calculs)

Allure de la densité d'états \(g(\nu)\)

Allure de \(g(\nu) \propto \nu^2\).

Énergie Moyenne \(\langle E_\nu \rangle / (k_B T)\)

Allure de l'énergie moyenne adimensionnée \(\langle E \rangle / (k_B T)\) en fonction de \(x = h\nu / (k_B T)\).

Calcul(s)

Étape 1 : Produit de \(g(\nu)\) et \(\langle E_\nu \rangle\)

\begin{aligned} u(\nu, T) &= g(\nu) \langle E_\nu \rangle \\ &= \left( \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \right) \left( \frac{h\nu}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1} \right) \end{aligned}

Étape 2 : Expression finale de \(u(\nu, T)\)

u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}

Schéma (Après les calculs)

Spectre de Planck \(u(\nu, T)\)

Allure typique de la densité spectrale d'énergie \(u(\nu, T)\) en fonction de la fréquence \(\nu\) pour différentes températures \(T\). Notez le déplacement du pic vers les hautes fréquences et l'augmentation de l'aire totale lorsque \(T\) augmente.

Réflexions

Cette formule décrit comment l'énergie du rayonnement du corps noir est distribuée en fonction de la fréquence à une température donnée. Elle montre un pic à une fréquence qui dépend de la température (loi de Wien) et une décroissance rapide aux hautes fréquences, évitant la catastrophe ultraviolette.

Points de vigilance

Ne pas confondre la densité spectrale en fréquence \(u(\nu, T)\) avec la densité spectrale en longueur d'onde \(u(\lambda, T)\), qui ont des formes fonctionnelles différentes en raison du changement de variable \(\lambda = c/\nu\) et \(d\nu = |-c/\lambda^2| d\lambda\).

Points à retenir

La loi de Planck combine la densité d'états et l'énergie moyenne de Bose-Einstein.
\(u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}\).
Elle décrit quantitativement le spectre du corps noir.

Le saviez-vous ?

Max Planck a introduit cette formule en 1900 de manière semi-empirique pour ajuster les données expérimentales. Il a dû postuler que l'énergie des oscillateurs (dans les parois de la cavité) était quantifiée (\(E=nh\nu\)), une idée révolutionnaire qui a lancé la mécanique quantique.

FAQ

Pas de FAQ spécifique ajoutée pour cette étape.

Résultat Final

La densité spectrale d'énergie est donnée par la loi de Planck : \(u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}\).

A vous de jouer

Trouver la fréquence \(\nu_{\text{max}}\) pour laquelle \(u(\nu, T)\) est maximale à \(T\) fixée (loi de déplacement de Wien). Indice : Il faut résoudre numériquement une équation transcendante après dérivation.

Question 4 : Densité d'énergie totale \(u(T)\)

Principe

Pour obtenir la densité d'énergie totale, il faut intégrer la densité spectrale d'énergie \(u(\nu, T)\) sur toutes les fréquences possibles, de \(0\) à l'infini.

Mini-Cours

L'intégration de la loi de Planck sur toutes les fréquences donne l'énergie totale contenue dans le rayonnement électromagnétique par unité de volume à une température \(T\). Le résultat montre une dépendance très forte avec la température (\(T^4\)).

Remarque Pédagogique

Cette intégration nécessite un changement de variable astucieux pour la ramener à une intégrale numérique connue (liée à la fonction Zêta de Riemann). C'est un calcul classique en thermodynamique statistique.

Normes

Le résultat de cette intégration est directement lié à la loi de Stefan-Boltzmann, une loi fondamentale du rayonnement thermique.

Formule(s)

Définition de \(u(T)\)

u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T) d\nu

Changement de variable

x = \frac{h\nu}{k_{\text{B}} T}

Intégrale utile

\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}

Hypothèses

Les hypothèses précédentes restent valables. On suppose que l'intégrale converge, ce qui est le cas grâce à la coupure exponentielle aux hautes fréquences introduite par la statistique de Bose-Einstein.

Donnée(s)

L'expression de \(u(\nu, T)\) et la valeur de l'intégrale :

Loi de Planck

u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1}

Intégrale de Bose-Einstein

\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}

Astuces

Lors du changement de variable, regrouper soigneusement tous les termes dépendant de \(T\) pour faire apparaître la dépendance en \(T^4\) comme facteur multiplicatif devant l'intégrale numérique.

Schéma (Avant les calculs)

Aire sous la courbe \(u(\nu, T)\)

L'intégrale \(u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T) d\nu\) correspond à l'aire totale sous la courbe de la densité spectrale d'énergie.

Calcul(s)

Étape 1 : Expression de l'intégrale

u(T) = \int_0^\infty \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / (k_{\text{B}} T)} - 1} d\nu

Étape 2 : Application du changement de variable

Relations de substitution : \(x = h\nu / (k_{\text{B}} T)\) \(\Rightarrow\) \(\nu = \frac{k_{\text{B}} T}{h} x\) et \(d\nu = \frac{k_{\text{B}} T}{h} dx\)

Calcul de \(\nu^3\)

\nu^3 = \left(\frac{k_{\text{B}} T}{h}\right)^3 x^3

Substitution dans l'intégrale

\begin{aligned} u(T) &= \frac{8\pi h}{c^3} \int_0^\infty \left(\frac{k_{\text{B}} T}{h}\right)^3 x^3 \frac{1}{e^x - 1} \left(\frac{k_{\text{B}} T}{h}\right) dx \\ &= \frac{8\pi h}{c^3} \left(\frac{k_{\text{B}} T}{h}\right)^4 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx \end{aligned}

Étape 3 : Utilisation de la valeur de l'intégrale

Calcul final de \(u(T)\)

\begin{aligned} u(T) &= \frac{8\pi h}{c^3} \frac{(k_{\text{B}} T)^4}{h^4} \left( \frac{\pi^4}{15} \right) \\ &= \frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3} T^4 \end{aligned}

On pose \(a = \frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3}\) (constante).

Résultat

\[ u(T) = a T^4 \]

Schéma (Après les calculs)

Densité d'énergie totale \(u(T)\) vs \(T\)

\(u(T)\) croît très rapidement avec la température, proportionnellement à \(T^4\).

Réflexions

L'énergie contenue dans le rayonnement thermique augmente extrêmement vite avec la température. Doubler la température multiplie la densité d'énergie par \(2^4 = 16\).

Points de vigilance

Bien maîtriser le changement de variable dans l'intégrale. Ne pas oublier le facteur \(d\nu = (k_{\text{B}} T / h) dx\). Vérifier que les constantes \(h\) se simplifient correctement.

Points à retenir

La densité d'énergie totale \(u(T)\) est l'intégrale de la loi de Planck \(u(\nu, T)\) sur toutes les fréquences.
\(u(T)\) est proportionnelle à \(T^4\).
La constante de proportionnalité \(a = \frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3}\) dépend uniquement des constantes fondamentales.

Le saviez-vous ?

L'intégrale \(\int_0^\infty \frac{x^s}{e^x - 1} dx\) est liée à la fonction Zêta de Riemann \(\zeta(s+1)\) et à la fonction Gamma \(\Gamma(s+1)\) par la relation \(\int_0^\infty \frac{x^s}{e^x - 1} dx = \Gamma(s+1) \zeta(s+1)\). Pour \(s=3\), \(\Gamma(4)=3!=6\) et \(\zeta(4)=\pi^4/90\), donc l'intégrale vaut \(6 \times \pi^4/90 = \pi^4/15\).

FAQ

Pas de FAQ spécifique ajoutée pour cette étape.

Résultat Final

La densité d'énergie totale est \(u(T) = \left(\frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3}\right) T^4\). Elle est proportionnelle à \(T^4\).

A vous de jouer

Quelle serait la dépendance en température de la densité d'énergie \(u(T)\) si l'univers était en 2 dimensions spatiales au lieu de 3 ? (Indice : comment la densité d'états \(g(\nu)\) change-t-elle en 2D ?)

Question 5 : Loi de Stefan-Boltzmann et constante \(\sigma\)

Principe

La puissance rayonnée par unité de surface (exitance énergétique \(M\)) d'un corps noir est liée à la densité d'énergie \(u(T)\) dans la cavité par la relation \(M = \frac{c}{4} u(T)\). En substituant l'expression de \(u(T)\) trouvée précédemment, on obtient la loi de Stefan-Boltzmann et l'expression de la constante \(\sigma\).

Mini-Cours

La relation \(M = (c/4)u(T)\) vient d'un argument cinétique considérant les photons qui frappent une surface unité par unité de temps, en moyennant sur toutes les directions possibles. C'est une relation fondamentale entre la densité d'énergie d'un gaz de particules se déplaçant à la vitesse \(c\) et le flux de ces particules à travers une surface.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale qui connecte la description microscopique (densité d'énergie \(u(T)\) calculée via la mécanique statistique) à la quantité macroscopique mesurable (puissance rayonnée \(P/A\)).

Normes

La loi de Stefan-Boltzmann \(P/A = \sigma T^4\) est une loi empirique et théorique fondamentale du transfert thermique par rayonnement.

Formule(s)

Relation Exitance - Densité d'énergie

M = \frac{P}{A} = \frac{c}{4} u(T)

Expression de \(u(T)\)

u(T) = a T^4 = \left(\frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3}\right) T^4

Hypothèses

On suppose que la surface émettrice se comporte comme un corps noir idéal (émissivité \(\epsilon=1\)). La relation \(M = (c/4)u(T)\) suppose un rayonnement isotrope dans la cavité.

Donnée(s)

L'expression de \(u(T)\) trouvée à la question 4 et la relation entre \(M\) et \(u(T)\) :

Densité d'énergie totale

u(T) = \left(\frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3}\right) T^4

Relation Exitance - Densité d'énergie

M = \frac{c}{4} u(T)

Astuces

Le facteur \(1/4\) dans \(M=(c/4)u(T)\) est important. Il vient d'une intégration sur l'angle solide et d'un facteur \(\cos(\theta)\) lié à la projection de la surface.

Schéma (Avant les calculs)

Rayonnement d'une surface

Schéma illustrant la puissance P rayonnée par une surface A à température T.

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution de \(u(T)\) dans \(M\)

\begin{aligned} M &= \frac{c}{4} u(T) \\ &= \frac{c}{4} \left(\frac{8\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^3 h^3}\right) T^4 \end{aligned}

Étape 2 : Simplification de l'expression de \(M\)

M = \left(\frac{2\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^2 h^3}\right) T^4

Étape 3 : Identification de \(\sigma\)

Par identification avec \(M = \sigma T^4\) :

\sigma = \frac{2\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^2 h^3}

Schéma (Après les calculs)

Rayonnement d'une surface (Loi de Stefan-Boltzmann)

La puissance totale émise par unité de surface (\(M\)) est proportionnelle à \(T^4\).

Réflexions

Nous avons achevé la dérivation. La loi \(P/A = \sigma T^4\), initialement trouvée expérimentalement par Stefan et justifiée thermodynamiquement par Boltzmann, est ici expliquée par les fondements de la mécanique statistique et quantique. L'expression de \(\sigma\) en termes de \(h, c, k_{\text{B}}\) montre le lien profond entre ces constantes fondamentales et le rayonnement thermique.

Points de vigilance

Bien utiliser la bonne relation entre \(M\) et \(u(T)\), le facteur \(c/4\) est essentiel. S'assurer que les constantes se simplifient correctement pour obtenir l'expression finale de \(\sigma\).

Points à retenir

La puissance rayonnée par unité de surface d'un corps noir est \(M = \sigma T^4\).
La constante \(\sigma\) peut être exprimée en fonction de constantes fondamentales : \(\sigma = \frac{2\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^2 h^3}\).
Cette dérivation est un exemple majeur du succès de la physique statistique quantique.

Le saviez-vous ?

La loi de Stefan-Boltzmann permet d'estimer la température de surface d'étoiles lointaines en mesurant la puissance totale reçue sur Terre et en connaissant (ou estimant) leur distance et leur rayon. C'est un outil fondamental en astrophysique.

FAQ

Pas de FAQ spécifique ajoutée pour cette étape.

Résultat Final

La loi de Stefan-Boltzmann est \(P/A = \sigma T^4\), avec \(\sigma = \frac{2\pi^5 k_{\text{B}}^4}{15 c^2 h^3}\).

A vous de jouer

Calculez la valeur numérique de \(\sigma\) en utilisant les valeurs des constantes \(h, c, k_{\text{B}}\) fournies dans l'énoncé. Le résultat doit être proche de \(5.67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\).

Outil Interactif : Calculateur de Puissance Rayonnée

Cet outil calcule la puissance totale rayonnée par un corps noir (émissivité \(\epsilon=1\)) en fonction de sa température et de sa surface, en utilisant la loi de Stefan-Boltzmann.

Paramètres d'Entrée

Température \(T\) (K) 300 K

Surface \(A\) (\(\text{m}^2\)) 1.0 \(\text{m}^2\)

Résultats Clés

Exitance Énergétique \(M = P/A\) (\(\text{W/m}^2\)) -

Puissance Totale Rayonnée \(P\) (W) -

Corps Noir: Objet idéal qui absorbe tout rayonnement électromagnétique incident et émet un rayonnement thermique dont le spectre ne dépend que de sa température (loi de Planck).
Photon: Quantum d'énergie du champ électromagnétique, considéré comme une particule sans masse de spin 1 (boson).
Densité d'États \(g(\nu)\): Nombre d'états quantiques possibles par unité de volume et par unité d'intervalle de fréquence, pour une particule ou une quasi-particule (comme un photon).
Statistique de Bose-Einstein: Loi statistique décrivant la distribution des bosons indiscernables sur les différents états d'énergie possibles en équilibre thermique.
Loi de Planck \(u(\nu, T)\): Décrit la densité spectrale d'énergie du rayonnement électromagnétique émis par un corps noir à une température \(T\) donnée.
Constante de Stefan-Boltzmann \(\sigma\): Constante de proportionnalité (\(\approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\)) reliant l'exitance énergétique totale d'un corps noir à la quatrième puissance de sa température thermodynamique.
Potentiel Chimique \(\mu\): Paramètre thermodynamique intensif qui mesure la variation d'énergie libre lorsqu'une particule est ajoutée au système à température et volume constants. Pour les particules dont le nombre n'est pas conservé (comme les photons en équilibre thermique), \(\mu=0\).
Exitance Énergétique \(M\): Puissance totale rayonnée par unité de surface d'une source étendue, intégrée sur toutes les longueurs d'onde et toutes les directions de l'hémisphère sortant. Unité : W/m².