ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Dérivation de la Loi de Stefan-Boltzmann

Dérivation de la Loi de Stefan-Boltzmann

Dérivation de la Loi de Stefan-Boltzmann

Comprendre : Le Rayonnement du Corps Noir et le Gaz de Photons

Le rayonnement du corps noir est le rayonnement électromagnétique émis par un objet idéal qui absorbe parfaitement toute la lumière incidente. Son étude a été un pilier de la physique moderne, menant à la révolution quantique. En thermodynamique statistique, on modélise ce rayonnement comme un gaz de photonsUn gaz composé de photons, qui sont les quanta du champ électromagnétique. Les photons sont des bosons sans masse et au potentiel chimique nul. en équilibre thermique à une température \(T\) dans une cavité. Le but de cet exercice est de dériver la loi de Stefan-Boltzmann, qui stipule que l'énergie totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température thermodynamique (\(M \propto T^4\)), en partant des principes fondamentaux de la statistique des photons.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est au carrefour de la thermodynamique, de la physique quantique et de l'électromagnétisme. Il montre comment un concept macroscopique (la puissance rayonnée) peut être entièrement expliqué par le comportement statistique de particules quantiques (les photons).

Données de l'étude

On considère un gaz de photonsUn gaz composé de photons, qui sont les quanta du champ électromagnétique. Les photons sont des bosons sans masse et au potentiel chimique nul. contenu dans une cavité de volume \(V\) à la température \(T\). Les photons sont des bosons sans masse et leur nombre n'est pas conservé, ce qui implique que leur potentiel chimique est nul (\(\mu = 0\)).

Schéma : Cavité avec un Gaz de Photons
Température T M(T)

Relations et constantes fondamentales :

  • Densité d'énergie spectrale de PlanckFormule qui décrit la quantité d'énergie électromagnétique émise par un corps noir à une certaine température, par unité de volume, par unité de fréquence. : \(u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1}\)
  • Énergie d'un photon de fréquence \(\nu\) : \(E = h\nu\)
  • Relation entre l'énergie volumique \(u\) et l'exitance énergétique (puissance rayonnée par unité de surface) \(M\) : \(M(T) = \frac{c}{4} u(T)\)
  • Intégrale de Bose : \(\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}\)

Questions à traiter

  1. Exprimer l'énergie volumique totale \(u(T)\) du gaz de photons sous la forme d'une intégrale sur les fréquences \(\nu\).
  2. Par un changement de variable approprié (\(x = h\nu/k_B T\)), transformer cette intégrale en une forme faisant apparaître l'intégrale de Bose.
  3. En utilisant la valeur de l'intégrale de Bose, déduire l'expression de l'énergie volumique totale \(u(T)\) en fonction de \(T\) et des constantes fondamentales.
  4. En déduire la loi de Stefan-Boltzmann, \(M(T) = \sigma T^4\), et donner l'expression de la constante de Stefan-Boltzmann \(\sigma\).

Correction : Dérivation de la Loi de Stefan-Boltzmann

Question 1 : Expression Intégrale de l'Énergie Volumique \(u(T)\)

Principe :
fréquence, v u(v) u(T) = somme

L'énergie volumique totale \(u(T)\) s'obtient en sommant (intégrant) les contributions énergétiques de toutes les fréquences possibles. Chaque contribution est donnée par la densité d'énergie spectrale de Planck \(u(\nu, T)\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'idée clé ici est que le rayonnement total est la somme de toutes les contributions spectrales. La loi de Planck nous donne la "recette" pour chaque fréquence, et l'intégration est l'outil mathématique qui nous permet de "mélanger" toutes ces contributions pour obtenir le résultat total.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T) \, d\nu \]
Calcul(s) :

En substituant l'expression de la loi de Planck, on obtient :

\[ u(T) = \int_0^\infty \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \, d\nu \]
Résultat Question 1 : L'énergie volumique totale est donnée par \(u(T) = \frac{8\pi h}{c^3} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \, d\nu\).

Test de Compréhension : L'opération \(\int_0^\infty u(\nu, T) d\nu\) représente :

Question 2 : Changement de Variable

Principe :
Intégrale en v v Intégrale en x x x = hv / kBT

Pour résoudre cette intégrale, on effectue un changement de variable qui la ramène à une forme adimensionnée standard, l'intégrale de Bose. Cela permet de séparer la dépendance en température des constantes physiques.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce changement de variable est une technique très puissante en physique. Il nous permet de transformer une intégrale contenant plusieurs constantes physiques et une dépendance à la température en une intégrale numérique universelle (l'intégrale de Bose) multipliée par un facteur qui contient toute la physique du problème. C'est une façon élégante de séparer les aspects mathématiques des aspects physiques.

Calcul(s) :

1. On pose le changement de variable :

\[ x = \frac{h\nu}{k_B T} \quad \Rightarrow \quad \nu = \frac{k_B T}{h} x \]

2. On calcule le différentiel :

\[ d\nu = \frac{k_B T}{h} dx \]

3. On substitue dans l'intégrale de \(u(T)\) :

\[ \begin{aligned} u(T) &= \frac{8\pi h}{c^3} \int_0^\infty \left( \frac{k_B T}{h} x \right)^3 \frac{1}{e^x - 1} \left( \frac{k_B T}{h} dx \right) \\ &= \frac{8\pi h}{c^3} \left( \frac{k_B T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} \, dx \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \( u(T) = \frac{8\pi (k_B T)^4}{(hc)^3} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} \, dx \).

Test de Compréhension : Quelle est la principale raison d'effectuer ce changement de variable ?

Question 3 : Calcul de l'Énergie Volumique Totale \(u(T)\)

Principe :
Intégrale de Bose π⁴/15

Maintenant que l'intégrale est sous sa forme standard, on peut utiliser sa valeur connue (\(\pi^4/15\)) pour obtenir l'expression finale de l'énergie volumique totale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Nous avons atteint un résultat fondamental ! L'énergie volumique d'un gaz de photons en équilibre thermique est proportionnelle à \(T^4\). Toutes les dépendances complexes en fréquence de la loi de Planck se sont simplifiées en une simple loi de puissance pour l'énergie totale.

Données(s) :
  • Valeur de l'intégrale de Bose : \(\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}\)
Calcul(s) :

On remplace l'intégrale par sa valeur :

\[ \begin{aligned} u(T) &= \frac{8\pi (k_B T)^4}{(hc)^3} \times \left( \frac{\pi^4}{15} \right) \\ &= \left( \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^3} \right) T^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie volumique totale est \( u(T) = \sigma' T^4 \), avec la constante de radiation \(\sigma' = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^3}\).

Test de Compréhension : La densité d'énergie totale \(u(T)\) est proportionnelle à...

Question 4 : Loi de Stefan-Boltzmann et Constante \(\sigma\)

Principe :
u(T) M(T) x (c/4)

La dernière étape consiste à relier l'énergie volumique \(u(T)\) à l'exitance énergétique \(M(T)\), qui est la puissance totale rayonnée par unité de surface. Cette relation provient de considérations cinétiques et géométriques sur les photons qui s'échappent de la cavité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le facteur \(c/4\) n'est pas arbitraire. Il résulte d'une intégration sur tous les angles solides de la contribution des photons se propageant vers une surface. Seuls les photons se dirigeant vers 'l'extérieur' et avec une composante de vitesse perpendiculaire à la surface contribuent à l'exitance, d'où ce facteur géométrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M(T) = \frac{c}{4} u(T) \]
Calcul(s) :

On substitue l'expression de \(u(T)\) trouvée à la question 3 :

\[ \begin{aligned} M(T) &= \frac{c}{4} \left( \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^3} \right) T^4 \\ &= \left( \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2} \right) T^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : On obtient la loi de Stefan-Boltzmann \(M(T) = \sigma T^4\), avec la constante de Stefan-Boltzmann \(\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}\).

Test de Compréhension : L'exitance \(M(T)\) est...

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Étape Clé Résultat
Énergie volumique totale (intégrale) Cliquez pour révéler
Expression après changement de variable Cliquez pour révéler
Loi de l'énergie volumique Cliquez pour révéler
Loi de Stefan-Boltzmann Cliquez pour révéler

Simulation : Spectre du Corps Noir et Énergie Totale

Variez la température du corps noir pour voir comment son spectre d'émission (loi de Planck) et son énergie volumique totale changent.

Paramètres de Simulation
Énergie Volumique (u)
Exitance Énergétique (M)

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : En utilisant les valeurs des constantes fondamentales, calculez la valeur numérique de la constante de Stefan-Boltzmann \(\sigma\). Comparez-la à la valeur expérimentale \(\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\).
Constantes : \(h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{J}\cdot\text{s}\), \(c \approx 3.00 \times 10^8 \text{m/s}\), \(k_B \approx 1.381 \times 10^{-23} \text{J/K}\).

Le Saviez-Vous ?

La "catastrophe ultraviolette" était une prédiction de la physique classique qui affirmait qu'un corps noir idéal à l'équilibre thermique devrait émettre une quantité infinie d'énergie, particulièrement dans les hautes fréquences (ultraviolet). C'est Max Planck, en 1900, qui a résolu ce paradoxe en postulant que l'énergie n'était pas émise de manière continue, mais sous forme de paquets discrets, ou "quanta". Cette idée a marqué la naissance de la physique quantique et a permis de dériver la loi correcte du rayonnement du corps noir, qui porte aujourd'hui son nom.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le potentiel chimique \(\mu\) des photons est-il nul ?

Le potentiel chimique est lié à la conservation du nombre de particules. Dans une cavité chaude, les photons sont constamment créés (émis par les parois) et détruits (absorbés par les parois). Leur nombre total n'est pas constant. En thermodynamique statistique, la condition d'équilibre pour une réaction où le nombre de particules change est que la somme des potentiels chimiques (pondérée par les coefficients stoechiométriques) soit nulle. Comme les photons peuvent être créés à partir de "rien" (énergie thermique), leur potentiel chimique doit être nul pour que cet équilibre soit atteint.

D'où vient le facteur 2 (ou \(8\pi\)) dans la densité d'énergie de Planck ?

Le terme \(8\pi\nu^2/c^3\) correspond à la densité d'étatsLe nombre d'états quantiques disponibles pour une particule par unité de volume et par unité d'intervalle d'énergie (ou de fréquence). pour les ondes électromagnétiques dans une boîte 3D. Le facteur 2 qui s'y cache provient du fait que les photons peuvent avoir deux états de polarisation indépendants (par exemple, polarisation verticale et horizontale) pour une même fréquence et direction de propagation. Il y a donc deux "types" de photons à compter pour chaque mode vibratoire de la cavité.

Cette loi s'applique-t-elle aux objets réels ?

Oui, mais avec une correction. Les objets réels ne sont pas des corps noirs parfaits ; ils n'absorbent ni n'émettent le rayonnement avec une efficacité de 100%. On introduit un facteur appelé "émissivité" (\(\epsilon\)), un nombre sans dimension entre 0 et 1 (\(\epsilon=1\) pour un corps noir parfait). La loi de Stefan-Boltzmann pour un corps réel s'écrit alors \(M(T) = \epsilon \sigma T^4\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La loi de Stefan-Boltzmann (\(M \propto T^4\)) est une conséquence directe du fait que :

2. Si la température d'un corps noir double, sa puissance totale rayonnée par unité de surface est multipliée par :

Glossaire

Gaz de Photons
Un modèle en physique statistique où le rayonnement électromagnétique dans une cavité est traité comme un gaz de particules sans masse (photons) qui suivent la statistique de Bose-Einstein.
Densité d'États
En mécanique quantique, le nombre d'états quantiques disponibles pour une particule par unité de volume et par unité d'intervalle d'énergie (ou de fréquence).
Statistique de Bose-Einstein
La loi statistique qui régit le comportement d'un ensemble de bosons, des particules indiscernables qui peuvent occuper le même état quantique. Le nombre moyen d'occupation d'un état d'énergie \(E\) est \((e^{(E-\mu)/k_B T}-1)^{-1}\).
Loi de Stefan-Boltzmann - Exercice d'Application

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