Cycle de Rankine pour une Centrale à Vapeur

Comprendre le Cycle de Rankine

Le cycle de Rankine est le modèle thermodynamique fondamental utilisé pour décrire le fonctionnement de la plupart des centrales thermiques à vapeur, qui produisent une grande partie de l'électricité mondiale. Ce cycle est composé de quatre processus principaux : la compression du liquide par une pompe, le chauffage et la vaporisation dans une chaudière, la détente de la vapeur dans une turbine (produisant du travail), et enfin la condensation de la vapeur dans un condenseur. L'étude de ce cycle permet de déterminer les transferts d'énergie et de calculer le rendement de la centrale.

Données de l'étude

On étudie un cycle de Rankine idéal simple utilisant de l'eau comme fluide de travail.

Points du cycle et propriétés (extraites des tables thermodynamiques) :

Point 1 (sortie condenseur / entrée pompe) : Liquide saturé à \(P_1 = 0.08 \, \text{bar}\).
- \(h_1 = 173.88 \, \text{kJ/kg}\)
- \(v_1 = 0.001008 \, \text{m}^3\text{/kg}\)
Point 2 (sortie pompe / entrée chaudière) : Liquide comprimé à \(P_2 = 40 \, \text{bar}\).
Point 3 (sortie chaudière / entrée turbine) : Vapeur surchauffée à \(P_3 = 40 \, \text{bar}\) et \(T_3 = 400 \, \text{°C}\).
- \(h_3 = 3213.6 \, \text{kJ/kg}\)
- \(s_3 = 6.7690 \, \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}\)
Point 4 (sortie turbine / entrée condenseur) : Mélange liquide-vapeur à \(P_4 = 0.08 \, \text{bar}\).
- Propriétés du liquide saturé à 0.08 bar : \(h_{f,4} = 173.88 \, \text{kJ/kg}\), \(s_{f,4} = 0.5926 \, \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}\)
- Propriétés de la vapeur saturée à 0.08 bar : \(h_{g,4} = 2577.0 \, \text{kJ/kg}\), \(s_{g,4} = 8.2287 \, \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}\)

Hypothèses : Les processus dans la pompe et la turbine sont isentropiques (adiabatiques et réversibles). Les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligées.

Schéma du Cycle de Rankine

Questions à traiter

Déterminer l'enthalpie \(h_2\) à la sortie de la pompe et le travail massique de la pompe \(w_p\).
Calculer la chaleur massique \(q_{\text{in}}\) fournie au fluide dans la chaudière.
Déterminer le titre (qualité) de la vapeur \(x_4\) à la sortie de la turbine, puis l'enthalpie \(h_4\).
Calculer le travail massique \(w_t\) produit par la turbine.
Calculer le travail massique net du cycle \(w_{\text{net}}\) et le rendement thermique \(\eta_{\text{th}}\) du cycle.

Correction : Étude d'un Cycle de Rankine pour une Centrale à Vapeur

Question 1 : Travail de la Pompe et Enthalpie \(h_2\)

Principe :

La pompe est supposée isentropique et traite un liquide considéré comme incompressible. Le travail massique \(w_p\) fourni à la pompe peut être approximé par \(w_p \approx v_1(P_2 - P_1)\). Le premier principe pour un système ouvert (\(\Delta h = w\)) donne alors \(h_2 = h_1 + w_p\).

Calcul :

On convertit les pressions en Pascals : \(P_1 = 0.08 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(P_2 = 40 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

\begin{aligned} w_p &= v_1 (P_2 - P_1) \\ &= (0.001008 \, \text{m}^3\text{/kg}) \times (40 \times 10^5 - 0.08 \times 10^5) \, \text{Pa} \\ &= 0.001008 \times 39.92 \times 10^5 \, \text{J/kg} \\ &= 4023.9 \, \text{J/kg} \approx 4.02 \, \text{kJ/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} h_2 &= h_1 + w_p \\ &= 173.88 \, \text{kJ/kg} + 4.02 \, \text{kJ/kg} \\ &= 177.90 \, \text{kJ/kg} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le travail de la pompe est \(w_p \approx 4.02 \, \text{kJ/kg}\) et l'enthalpie en sortie est \(h_2 = 177.90 \, \text{kJ/kg}\).

Question 2 : Chaleur Fournie dans la Chaudière (\(q_{\text{in}}\))

Principe :

La chaudière est un échangeur de chaleur qui fonctionne à pression constante. La chaleur massique fournie au fluide est simplement la différence d'enthalpie entre la sortie (point 3) et l'entrée (point 2).

Formule(s) utilisée(s) :

q_{\text{in}} = h_3 - h_2

Calcul :

\begin{aligned} q_{\text{in}} &= 3213.6 \, \text{kJ/kg} - 177.90 \, \text{kJ/kg} \\ &= 3035.7 \, \text{kJ/kg} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La chaleur fournie dans la chaudière est \(q_{\text{in}} = 3035.7 \, \text{kJ/kg}\).

Question 3 : Titre Vapeur \(x_4\) et Enthalpie \(h_4\)

Principe :

La détente dans la turbine est isentropique, ce qui signifie que \(s_4 = s_3\). Au point 4, dans la zone de saturation, l'entropie est donnée par \(s_4 = s_{f,4} + x_4 (s_{g,4} - s_{f,4})\). On peut donc isoler le titre \(x_4\). Une fois \(x_4\) connu, on calcule \(h_4\) avec la même logique : \(h_4 = h_{f,4} + x_4 (h_{g,4} - h_{f,4})\).

Calcul :

\begin{aligned} x_4 &= \frac{s_4 - s_{f,4}}{s_{g,4} - s_{f,4}} \\ &= \frac{6.7690 - 0.5926}{8.2287 - 0.5926} \\ &= \frac{6.1764}{7.6361} \approx 0.8088 \end{aligned}

Le titre en sortie de turbine est d'environ 80.9%.

\begin{aligned} h_4 &= h_{f,4} + x_4 (h_{g,4} - h_{f,4}) \\ &= 173.88 + 0.8088 \times (2577.0 - 173.88) \\ &= 173.88 + 0.8088 \times 2403.12 \\ &= 173.88 + 1943.76 \approx 2117.64 \, \text{kJ/kg} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le titre en sortie de turbine est \(x_4 \approx 0.809\) et l'enthalpie est \(h_4 \approx 2117.6 \, \text{kJ/kg}\).

Question 4 : Travail de la Turbine (\(w_t\))

Principe :

Comme pour la chaudière, le travail massique produit par la turbine est égal à la variation d'enthalpie du fluide entre son entrée (point 3) et sa sortie (point 4).

Formule(s) utilisée(s) :

\[ w_t = h_3 - h_4 \]

Calcul :

\begin{aligned} w_t &= 3213.6 \, \text{kJ/kg} - 2117.64 \, \text{kJ/kg} \\ &= 1095.96 \, \text{kJ/kg} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le travail produit par la turbine est \(w_t \approx 1096.0 \, \text{kJ/kg}\).

Question 5 : Travail Net et Rendement Thermique \(\eta_{\text{th}}\)

Principe :

Le travail net du cycle est la différence entre le travail produit par la turbine et le travail consommé par la pompe. Le rendement thermique est le rapport de ce travail net sur la chaleur fournie par la source chaude (dans la chaudière).

Calcul :

\begin{aligned} w_{\text{net}} &= w_t - w_p \\ &= 1095.96 \, \text{kJ/kg} - 4.02 \, \text{kJ/kg} \\ &= 1091.94 \, \text{kJ/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} \\ &= \frac{1091.94 \, \text{kJ/kg}}{3035.7 \, \text{kJ/kg}} \\ &\approx 0.3597 \end{aligned}

Résultat Question 5 : Le travail net du cycle est \(w_{\text{net}} \approx 1091.9 \, \text{kJ/kg}\) et le rendement thermique est \(\eta_{\text{th}} \approx 36.0\%\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Quel est le rôle du condenseur dans le cycle ?

Augmenter la température du fluide.
Rejeter la chaleur résiduelle et ramener le fluide à l'état liquide.
Produire du travail.
Augmenter la pression du fluide.

2. Pourquoi le travail consommé par la pompe est-il beaucoup plus faible que le travail produit par la turbine ?

La pompe est plus petite que la turbine.
La variation de pression est plus faible dans la pompe.
Le volume massique du liquide (pompé) est bien plus faible que celui de la vapeur (détendue).
La pompe a un meilleur rendement que la turbine.

Glossaire

Cycle de Rankine: Cycle thermodynamique qui modélise le fonctionnement des centrales à vapeur. Il est composé de quatre processus : pompage, ébullition, détente et condensation.
Enthalpie (\(h\)): Fonction d'état (énergie par unité de masse) particulièrement utile pour analyser les systèmes ouverts en régime permanent, comme les turbines ou les pompes.
Processus Isentropique: Transformation qui est à la fois adiabatique (sans transfert de chaleur) et réversible (sans création d'entropie). L'entropie du fluide reste constante.
Titre de Vapeur (\(x\)): Fraction massique de la phase vapeur dans un mélange liquide-vapeur. Un titre de 0 correspond à un liquide saturé, et un titre de 1 à une vapeur saturée.