ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Compression multi-étagée avec refroidissement

Compression Multi-étagée avec Refroidissement Intermédiaire

Compression multi-étagée avec refroidissement intermédiaire

Comprendre la Compression Multi-étagée

La compression d'un gaz augmente sa température, ce qui rend la suite de la compression de plus en plus difficile et coûteuse en énergie (travail). Pour atteindre de hautes pressions de manière efficace, on utilise souvent une compression multi-étagée. Le principe est de compresser le gaz en plusieurs étapes et de le refroidir entre chaque étape (refroidissement intermédiaire ou "intercooling"). Ce refroidissement, typiquement réalisé à pression constante, ramène le gaz à sa température initiale, réduisant ainsi le volume à compresser lors de l'étape suivante. Le résultat est une économie significative sur le travail total requis par rapport à une compression en une seule étape.

Données de l'étude

On souhaite compresser de l'air de manière réversible, d'une pression \(P_1\) à une pression \(P_3\), en utilisant un compresseur à deux étages avec un refroidissement intermédiaire parfait (le gaz est ramené à sa température initiale \(T_1\) après la première étape).

Diagramme P-V de la Compression Multi-étagée
Volume (V) Pression (P) 1→2' (Compression) 2'→2 (Refroidissement) 2→3 (Compression) Travail économisé 1 (P₁, T₁) 2' (P₂, T₂') 2 (P₂, T₁) 3 (P₃, T₃')

Conditions et constantes :

  • Fluide : Air, assimilé à un gaz parfait diatomique (\(\gamma = 1.4\)).
  • Quantité de matière : \(n = 1.0 \, \text{mol}\)
  • État initial (1) : \(P_1 = 100 \, \text{kPa}\), \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • Pression finale (3) : \(P_3 = 900 \, \text{kPa}\)
  • Les deux compressions sont supposées adiabatiques réversibles (isentropiques).
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Coefficient isentropique : \(\gamma = 1.4\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pression intermédiaire optimale (\(P_2\)) qui minimise le travail total.
  2. Calculer la température \(T_{2'}\) à la fin de la première compression.
  3. Calculer le travail reçu par le gaz pour la première étape de compression (\(W_{1\rightarrow2'}\)).
  4. Calculer la chaleur cédée lors du refroidissement intermédiaire (\(Q_{2'\rightarrow2}\)).
  5. Calculer le travail total reçu par le gaz pour les deux étages de compression (\(W_{\text{total}}\)).
  6. Calculer le travail qui aurait été nécessaire pour une compression en une seule étape de \(P_1\) à \(P_3\) (\(W_{\text{mono-étage}}\)) et en déduire le travail économisé.

Correction : Compression multi-étagée avec refroidissement intermédiaire

Question 1 : Pression intermédiaire optimale (\(P_2\))

Principe :

Pour minimiser le travail total de compression en deux étages avec refroidissement intermédiaire parfait, la pression intermédiaire optimale est la moyenne géométrique des pressions initiale et finale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 = \sqrt{P_1 \cdot P_3} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= \sqrt{(100 \, \text{kPa}) \cdot (900 \, \text{kPa})} \\ &= \sqrt{90000} \\ &= 300 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression intermédiaire optimale est \(P_2 = 300 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Température \(T_{2'}\) après la première compression

Principe :

La compression 1→2' est adiabatique et réversible (isentropique). Pour un gaz parfait, on utilise la loi de Laplace \(T P^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{constante}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_1 P_1^{(1-\gamma)/\gamma} = T_{2'} P_2^{(1-\gamma)/\gamma} \Rightarrow T_{2'} = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} \]
Calcul :

Calcul de l'exposant : \((\gamma-1)/\gamma = (1.4-1)/1.4 = 0.4/1.4 \approx 0.2857\).

\[ \begin{aligned} T_{2'} &= 300 \cdot \left(\frac{300}{100}\right)^{0.2857} \\ &= 300 \cdot (3)^{0.2857} \\ &= 300 \cdot 1.369 \\ &\approx 410.7 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La température à la fin de la première compression est \(T_{2'} \approx 410.7 \, \text{K}\).

Question 3 : Travail de la première compression (\(W_{1\rightarrow2'}\))

Principe :

Pour une transformation adiabatique d'un gaz parfait, le travail ne dépend que de la variation de température, via la capacité thermique à volume constant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{1\rightarrow2'} = \Delta U_{1\rightarrow2'} = n C_{v,m} (T_{2'} - T_1) \]
Calcul :

Capacité thermique : \(C_{v,m} = \frac{R}{\gamma-1} = \frac{8.314}{1.4-1} = \frac{8.314}{0.4} = 20.785 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

\[ \begin{aligned} W_{1\rightarrow2'} &= 1.0 \cdot (20.785) \cdot (410.7 - 300) \\ &= 20.785 \cdot 110.7 \\ &\approx +2301 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le travail reçu par le gaz est \(W_{1\rightarrow2'} \approx +2.30 \, \text{kJ}\).

Question 4 : Chaleur cédée lors du refroidissement (\(Q_{2'\rightarrow2}\))

Principe :

Le refroidissement intermédiaire se fait à pression constante (\(P_2\)). La chaleur échangée est donc calculée avec la capacité thermique à pression constante \(C_{p,m}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{2'\rightarrow2} = n C_{p,m} (T_2 - T_{2'}) \]
Calcul :

Capacité thermique : \(C_{p,m} = \gamma C_{v,m} = 1.4 \cdot 20.785 = 29.099 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

La température finale est \(T_2 = T_1 = 300 \, \text{K}\).

\[ \begin{aligned} Q_{2'\rightarrow2} &= 1.0 \cdot (29.099) \cdot (300 - 410.7) \\ &= 29.099 \cdot (-110.7) \\ &\approx -3221 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La chaleur cédée à l'échangeur est \(Q_{2'\rightarrow2} \approx -3.22 \, \text{kJ}\).

Question 5 : Travail total de compression (\(W_{\text{total}}\))

Principe :

Le travail total est la somme des travaux des deux étages. Comme la pression intermédiaire est optimale et que le refroidissement est parfait, le travail du second étage est identique à celui du premier.

Calcul :

Compression 2→3 : \(T_2 = T_1 = 300 \text{ K}\), \(P_2=300 \text{ kPa}\), \(P_3=900 \text{ kPa}\). Le rapport de pression est \(900/300 = 3\), identique à celui du premier étage. Donc \(W_{2\rightarrow3} = W_{1\rightarrow2'}\).

\[ \begin{aligned} W_{\text{total}} &= W_{1\rightarrow2'} + W_{2\rightarrow3} \\ &= 2 \times W_{1\rightarrow2'} \\ &= 2 \times 2301 \\ &= +4602 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le travail total reçu est \(W_{\text{total}} \approx +4.60 \, \text{kJ}\).

Question 6 : Travail économisé

Principe :

On calcule le travail qui aurait été nécessaire pour une compression isentropique en une seule étape de \(P_1\) à \(P_3\), puis on compare ce résultat au travail total calculé pour la compression à deux étages.

Calcul :

Température finale pour une compression mono-étage :

\[ \begin{aligned} T_{3, \text{mono}} &= T_1 \left(\frac{P_3}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} \\ &= 300 \cdot \left(\frac{900}{100}\right)^{0.2857} \\ &= 300 \cdot (9)^{0.2857} \\ &\approx 300 \cdot 1.874 \\ &\approx 562.2 \, \text{K} \end{aligned} \]

Travail pour une compression mono-étage :

\[ \begin{aligned} W_{\text{mono-étage}} &= n C_{v,m} (T_{3, \text{mono}} - T_1) \\ &= 1.0 \cdot (20.785) \cdot (562.2 - 300) \\ &= 20.785 \cdot 262.2 \\ &\approx +5450 \, \text{J} \end{aligned} \]

Travail économisé :

\[ \begin{aligned} W_{\text{économisé}} &= W_{\text{mono-étage}} - W_{\text{total}} \\ &= 5450 - 4602 \\ &= 848 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le travail pour une compression mono-étage aurait été de \(5.45 \, \text{kJ}\). Le travail économisé grâce au refroidissement intermédiaire est de \(0.85 \, \text{kJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le principal avantage de la compression multi-étagée avec refroidissement est de...

2. Le refroidissement intermédiaire dans un cycle idéal se produit à...

3. Pour un nombre d'étages donné, le travail de compression total est minimisé lorsque...

Glossaire

Compression Multi-étagée
Processus de compression d'un gaz réalisé en plusieurs étapes successives pour atteindre une haute pression finale.
Refroidissement Intermédiaire (Intercooling)
Processus de refroidissement d'un gaz entre deux étages de compression. Il se fait généralement à pression constante et vise à ramener le gaz à sa température initiale pour réduire le travail de la compression suivante.
Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique qui se produit sans échange de chaleur avec l'extérieur (\(Q=0\)). Si elle est aussi réversible, elle est dite isentropique.
Transformation Isentropique
Processus qui se déroule à entropie constante (\(\Delta S = 0\)). Pour un gaz parfait, elle suit la loi de Laplace \(PV^\gamma = \text{constante}\).
Travail de Compression
Travail fourni à un système pour réduire son volume. Par convention, c'est un travail reçu par le système, donc positif (\(W > 0\)).
Compression Multi-étagée - Exercice d'Application

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