Comparaison des travaux de compression

Contexte : Le processus thermodynamiqueUne transformation qui amène un système d'un état d'équilibre initial à un état d'équilibre final. de compression.

En ingénierie, la compression d'un gaz (comme l'air dans un moteur ou un compresseur industriel) est une opération fondamentale. Cependant, le "chemin" thermodynamique suivi lors de cette compression influence énormément l'énergie (le travail) requise. Un processus lent et refroidi (isotherme) est très différent d'un processus rapide et isolé (adiabatique).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et comparer le travail requis pour différents chemins de compression (isotherme, adiabatique, polytropique) et à comprendre pourquoi le refroidissement est crucial dans les compresseurs.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le travail de compression pour un processus isotherme réversible.
Calculer le travail de compression pour un processus adiabatique réversible (isentropique).
Calculer le travail de compression pour un processus polytropique.
Comparer les travaux et les températures finales pour comprendre l'efficacité énergétique.

Données de l'étude

On souhaite comprimer 1 kg d'air d'un état initial (1) à un état final (2) dans un compresseur fonctionnant en régime permanent. L'air est considéré comme un gaz parfait.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide	Air (Gaz Parfait)
Masse (m)	1 kg
Constante spécifique de l'air (r)	287 J/(kg·K)
Indice adiabatique de l'air (γ)	1.4

Diagramme P-V (Pression-Volume) des Processus

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Pression initiale (P1)	Pression atmosphérique	100	kPa
Température initiale (T1)	Température ambiante	300	K
Pression finale (P2)	Pression de refoulement	800	kPa

Questions à traiter

Calculer le volume initial (V1) occupé par 1 kg d'air.
Calculer le travail de compression (W_iso) en kJ/kg si la transformation est isotherme réversible.
Calculer la température finale (T2_ad) et le travail de compression (W_ad) en kJ/kg si la transformation est adiabatique réversible (isentropique).
Comparer les deux travaux (W_iso et W_ad). Quel processus est le plus coûteux en énergie ? Pourquoi ?
Calculer la température finale (T2_poly) et le travail (W_poly) si la compression est polytropique réversible avec un exposant n = 1.2 (cas d'un compresseur refroidi).

Les bases sur le Travail de Compression

Pour un système ouvert en régime permanent (comme un compresseur), le travail technique (ou travail de compression) reçu par le fluide est donné par \( W = \int_{1}^{2} V dP \). On suppose les variations d'énergie cinétique et potentielle négligeables.

1. Loi des Gaz Parfaits
La relation entre Pression (P), Volume (V) et Température (T) pour une masse (m) de gaz parfait est : \[ PV = mrT \] Où 'r' est la constante spécifique du gaz. Pour les pressions, on utilisera des Pascals (Pa).

2. Relations Polytropiques (PV^n = Cste)
Pour un processus polytropique, les relations entre les états (1) et (2) sont : \[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n-1} \] Le travail de compression (système ouvert) est : \[ W_{\text{poly}} = \int V dP = \frac{n}{n-1} (P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{n}{n-1} m r (T_2 - T_1) \]

Correction : Comparaison des Travaux de Compression

Question 1 : Calculer le volume initial (V1).

Principe

Pour trouver le volume initial (V1), nous devons utiliser une équation qui relie les propriétés du gaz à cet état. Puisque l'air est considéré comme un gaz parfait, nous pouvons utiliser la Loi des Gaz Parfaits, qui lie la Pression (P), le Volume (V), la Masse (m) et la Température (T) via une constante (r).

Mini-Cours

La Loi des Gaz Parfaits est l'équation d'état \(PV = nRT\), où 'n' est le nombre de moles et 'R' la constante universelle. En ingénierie, on utilise souvent la forme massique \(PV = mrT\), où 'm' est la masse et 'r' est la constante spécifique du gaz (\(r = R/M\), M étant la masse molaire). Cette équation s'applique à l'état 1 : \(P_1V_1 = mrT_1\).

Remarque Pédagogique

C'est la première étape indispensable. Nous ne pouvons calculer aucun travail de compression sans connaître au moins l'état initial complet (P, V, T). Ici, P1 et T1 sont donnés, il manque V1 pour caractériser entièrement le point de départ de la compression.

Normes

Pour que la formule \(P_1V_1 = mrT_1\) fonctionne, toutes les unités doivent être cohérentes avec la constante 'r' [J/(kg·K)]. Nous devons donc utiliser les unités de base du Système International (SI) : Pression en Pascals (Pa), Volume en mètres cubes (m³), Masse en kilogrammes (kg) et Température en Kelvins (K).

Formule(s)

Loi des Gaz Parfaits (isolant V1)

P_1V_1 = mrT_1 \implies V_1 = \frac{mrT_1}{P_1}

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale pour cette étape est que l'air, dans les conditions données (basse pression, haute température relative), se comporte comme un gaz parfait.

L'air est un gaz parfait.
Le système est à l'équilibre à l'état 1.

Donnée(s)

Nous extrayons les données pertinentes de l'énoncé pour l'état 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse	m	1	kg
Constante de l'air	r	287	J/(kg·K)
Température initiale	T1	300	K
Pression initiale	P1	100	kPa

Astuces

Le produit \(mrT_1\) (86100 J) sera réutilisé dans le calcul du travail isotherme (Q2). Notez-le bien ! C'est aussi égal au produit \(P_1V_1\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous situons au point de départ (État 1) sur le diagramme P-V fourni dans l'énoncé.

Point Initial de la Compression

Calcul(s)

La seule difficulté est la conversion des unités de pression avant l'application numérique.

Étape 1 : Conversion de P1 en Pascals (Pa)

La constante 'r' (287 J/(kg·K)) utilise des Joules, or 1 Joule = 1 N·m et 1 Pascal = 1 N/m². Nous devons utiliser des Pascals (Pa) pour la pression.

\begin{aligned} P_1 &= 100 \text{ kPa} \\ &= 100 \times 10^3 \text{ Pa} \\ &= 100 000 \text{ Pa} \end{aligned}

Cette conversion est essentielle pour la cohérence des unités SI (Système International).

Étape 2 : Calcul du volume V1

On part de la formule, on substitue les valeurs et on calcule :

\begin{aligned} V_1 &= \frac{mrT_1}{P_1} \\ &= \frac{1 \text{ kg} \times 287 \text{ J/(kg·K)} \times 300 \text{ K}}{100 000 \text{ Pa}} \\ &= \frac{86100 \text{ J}}{100 000 \text{ Pa}} \\ &= 0.861 \text{ m}^3 \end{aligned}

Nous obtenons un volume initial de 0.861 mètres cubes.

Schéma (Après les calculs)

Nous pouvons maintenant compléter la coordonnée V1 sur notre diagramme mental.

Paramètre	Valeur	Unité
V1	0.861	m³

Réflexions

Un volume de 0.861 m³ (soit 861 litres) pour 1 kg d'air semble cohérent à température et pression ambiante. Si on avait obtenu 861 m³ ou 0.000861 m³, cela aurait indiqué une erreur d'unité probable (oubli de conversion des kPa).

Points de vigilance

La conversion des unités est cruciale ! La pression doit être en Pascals (Pa) pour être cohérente avec la constante 'r' en Joules. \(1 \text{ kPa} = 1000 \text{ Pa}\).
Ne pas confondre 'r' (spécifique, J/kg·K) et 'R' (universelle, 8.314 J/mol·K).

Points à retenir

Pour un gaz parfait, si P, T et m (ou n) sont connus, V est déterminé (et vice-versa). C'est la base de tout calcul thermodynamique.

Formule clé : \(PV = mrT\).
Point de Vigilance : Unités SI (Pascals, Kelvins, m³).

Le saviez-vous ?

La constante 'r' de 287 J/(kg·K) pour l'air est dérivée de la constante universelle R (8.314 J/mol·K) et de la masse molaire moyenne de l'air (environ 0.02896 kg/mol). \(r = 8.314 / 0.02896 \approx 287\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le volume initial (V1) occupé par 1 kg d'air est de 0.861 m³.

A vous de jouer

Que deviendrait V1 si la température initiale (T1) était de 290 K (environ 17°C) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Loi des Gaz Parfaits \(PV=mrT\).
Formule Essentielle : \(V_1 = mrT_1 / P_1\).
Point de Vigilance Majeur : Unités SI (P en Pa, T en K).

Question 2 : Calculer le travail isotherme (W_iso).

Principe

Un processus isotherme se produit à température constante (T=cste). Pour un gaz parfait, si T=cste, alors \(PV = mrT = \text{Cste}\). C'est un cas particulier de processus polytropique avec n=1.

Mini-Cours

Lorsque n=1, la formule générale du travail \(W = \frac{n}{n-1}mr(T_2-T_1)\) diverge (division par 0). On doit utiliser l'intégration spécifique pour ce cas. Le travail \(W = \int V dP\) devient \(W = \int \frac{mrT}{P} dP\). Comme mrT est constant, on le sort de l'intégrale, ce qui donne la formule ci-dessous.

Remarque Pédagogique

C'est le travail 'idéal' qui demande le moins d'énergie. Il représente une compression parfaitement refroidie, où toute la chaleur générée par la compression est évacuée instantanément pour maintenir la température constante.

Normes

On utilisera les unités du Système International (SI) pour les calculs : Pascals (Pa), Kelvins (K), Joules (J).

Formule(s)

Travail Isotherme (n=1)

W_{\text{iso}} = \int_{P_1}^{P_2} V dP = mrT \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = mrT \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)

Hypothèses

Le processus est supposé réversible (pas de frottements internes), la température est constante (T=T1=300K) et l'air est un gaz parfait.

T = T1 = 300 K
Gaz Parfait

Donnée(s)

On utilise les données initiales et le rapport de pression.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse	m	1	kg
Constante de l'air	r	287	J/(kg·K)
Température (constante)	T	300	K
Rapport P2/P1	P2/P1	8	-

Astuces

Puisque \(P_1V_1 = mrT_1\), on a aussi \(W_{\text{iso}} = P_1V_1 \ln(P_2/P_1)\). On peut réutiliser le produit \(P_1V_1 = 100 \times 10^3 \text{ Pa} \times 0.861 \text{ m}^3 = 86100 \text{ J}\) calculé à la Question 1.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est le diagramme P-V de l'énoncé, en se concentrant sur la courbe isotherme (n=1.0). Le travail est l'aire à gauche de cette courbe.

Courbe Isotherme \(PV = \text{Cste}\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du rapport de pression

Nous calculons d'abord le rapport \(P_2/P_1\) qui est sans dimension :

\begin{aligned} \frac{P_2}{P_1} &= \frac{800 \text{ kPa}}{100 \text{ kPa}} \\ &= 8 \end{aligned}

Le gaz est comprimé 8 fois par rapport à sa pression initiale.

Étape 2 : Calcul de W_iso

On part de la formule, on substitue les valeurs et on calcule :

\begin{aligned} W_{\text{iso}} &= mrT \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \\ &= (1 \text{ kg} \times 287 \text{ J/(kg·K)} \times 300 \text{ K}) \times \ln(8) \\ &= 86100 \text{ J} \times 2.07944... \\ &= 179039 \text{ J} \\ &\approx 179.0 \text{ kJ} \end{aligned}

Le travail minimal (isotherme) requis est donc de 179.0 kJ.

Schéma (Après les calculs)

La température finale T2 est la même que T1, car le processus est isotherme.

Paramètre	Valeur	Unité
T2_iso	300	K

Réflexions

Notez que la température finale T2 est la même que T1 (300 K). Cela implique qu'on doit activement refroidir le gaz pendant la compression pour évacuer la chaleur générée par le travail. Ce travail de 179.0 kJ est le minimum théorique requis.

Points de vigilance

Ne pas oublier d'utiliser \(\ln\) (logarithme népérien), et non \(\log_{10}\). Assurez-vous que P2 et P1 sont dans la *même* unité pour le rapport (kPa/kPa est OK).

Points à retenir

Formule clé : \(W_{\text{iso}} = mrT \ln(P_2/P_1)\).
C'est le travail minimal de compression.
La température finale est égale à la température initiale.

Le saviez-vous ?

Les grands compresseurs industriels sont 'étagés' : ils compriment un peu, refroidissent le gaz dans un 'intercooler', puis re-compriment. Cela permet de se rapprocher de la courbe isotherme (n=1), plus économe en énergie.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le travail de compression isotherme est W_iso = 179.0 kJ.

A vous de jouer

Que deviendrait W_iso si la pression finale P2 n'était que de 600 kPa ? (P2/P1 = 6)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Compression à T=cste (n=1).
Formule Essentielle : \(W_{\text{iso}} = mrT \ln(P_2/P_1)\).
Résultat : Travail minimal.

Question 3 : Calculer T2_ad et W_ad (Adiabatique).

Principe

Un processus adiabatique réversible (ou isentropique) se produit sans échange de chaleur (Q=0). C'est un cas polytropique où l'exposant \(n = \gamma\) (gamma), l'indice adiabatique. Tout le travail fourni sert à augmenter l'énergie interne (température) et l'énergie de transvasement (PV).

Mini-Cours

La relation \(PV^\gamma = \text{Cste}\) est la loi de Laplace. Elle décrit une compression rapide et isolée thermiquement. \(\gamma\) pour l'air (gaz diatomique) est 1.4. L'énergie interne U ne dépend que de T (\(\Delta U = m C_v \Delta T\)) et l'enthalpie H aussi (\(\Delta H = m C_p \Delta T\)).

Remarque Pédagogique

C'est le travail 'maximal' théorique pour une compression en une seule étape. Il représente une compression parfaitement isolée (comme dans un cylindre très rapide) où toute l'énergie de compression reste dans le gaz, le chauffant considérablement.

Normes

Utilisation des unités SI (Pascals, Kelvins, Joules).

Formule(s)

Température Finale Adiabatique (Loi de Laplace T-P)

T_{2,\text{ad}} = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}

Travail Adiabatique (n=γ)

W_{\text{ad}} = \frac{\gamma}{\gamma-1} m r (T_{2,\text{ad}} - T_1)

Hypothèses

Processus réversible (isentropique), pas d'échange de chaleur (Q=0), gaz parfait, \(\gamma = 1.4\).

Q = 0
Gaz Parfait, \(\gamma = 1.4\)

Donnée(s)

On utilise \(\gamma = 1.4\). Le rapport de pression est \(P_2/P_1 = 8\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Indice adiabatique	\(\gamma\)	1.4	-
Température initiale	T1	300	K
Rapport P2/P1	P2/P1	8	-

Astuces

Le terme \(\frac{\gamma}{\gamma-1} r\) est aussi égal à \(C_p\), la capacité thermique massique à pression constante. Pour l'air, \(C_p \approx 1004.5\) J/kg.K. Donc \(W_{\text{ad}} = m C_p (T_2 - T_1)\). C'est la variation d'enthalpie.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est le diagramme P-V de l'énoncé, en se concentrant sur la courbe adiabatique (n=1.4), qui est plus raide que l'isotherme. Le travail est l'aire à gauche de cette courbe.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'exposant T-P

On calcule la puissance \(\frac{\gamma-1}{\gamma}\) qui sera utilisée pour trouver T2 :

\begin{aligned} \frac{\gamma-1}{\gamma} &= \frac{1.4 - 1}{1.4} \\ &= \frac{0.4}{1.4} \\ &\approx 0.2857 \end{aligned}

Cet exposant relie le rapport de température au rapport de pression.

Étape 2 : Calcul de T2_ad

On utilise la loi de Laplace (relation T-P), on substitue et on calcule :

\begin{aligned} T_{2,\text{ad}} &= T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \\ &= 300 \text{ K} \times \left( 8 \right)^{0.2857} \\ &= 300 \times 1.8113... \\ &\approx 543.4 \text{ K} \end{aligned}

La température finale est de 543.4 K, soit 270.4 °C. C'est une forte augmentation !

Étape 3 : Calcul de W_ad

On utilise la formule du travail polytropique avec n=\(\gamma\), on substitue et on calcule :

\begin{aligned} W_{\text{ad}} &= \frac{\gamma}{\gamma-1} m r (T_{2,\text{ad}} - T_1) \\ &= \left(\frac{1.4}{1.4 - 1}\right) \times 1 \text{ kg} \times 287 \text{ J/(kg·K)} \times (543.4 - 300) \text{ K} \\ &= \left(\frac{1.4}{0.4}\right) \times 287 \times 243.4 \\ &= 3.5 \times 287 \times 243.4 \\ &= 1004.5 \times 243.4 \\ &= 244460 \text{ J} \\ &\approx 244.5 \text{ kJ} \end{aligned}

Le travail adiabatique (sans refroidissement) est de 244.5 kJ.

Schéma (Après les calculs)

La température finale est très élevée, montrant l'énergie "gaspillée" en chaleur.

Paramètre	Valeur	Unité
T2_ad	543.4	K
T2_ad	270.4	°C

Réflexions

Notez comme la température a grimpé ! L'air sort à 543.4 K (soit 270.4 °C). Tout le travail fourni qui n'a pas servi à augmenter la pression a été converti en énergie interne (chaleur), car aucune chaleur n'a été évacuée (Q=0).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\frac{\gamma-1}{\gamma}\) (pour T-P) et \(\gamma\) (pour P-V). Bien utiliser la valeur de T en Kelvins pour le calcul, pas en Celsius.

Points à retenir

Formules: \(T_2/T_1 = (P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}\) et \(W_{\text{ad}} = m C_p (T_2 - T_1)\).
C'est le travail maximal pour une compression en une étape.
La température augmente fortement.

Le saviez-vous ?

C'est ce principe qui allume le mélange air-carburant dans un moteur Diesel. La compression est si rapide (quasi-adiabatique) que la température de l'air atteint 700-900°C, enflammant le gazole injecté sans besoin de bougie.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La température finale adiabatique est T2_ad = 543.4 K. Le travail de compression est W_ad = 244.5 kJ.

A vous de jouer

Que deviendrait W_ad si P2 n'était que de 600 kPa ? (Indice : calculez d'abord T2_ad pour P2/P1=6).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Compression sans chaleur (Q=0), n=\(\gamma\).
Formules : Loi de Laplace \(T_2/T_1 = (P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}\).
Résultat : Travail maximal, forte hausse de T.

Question 4 : Comparer W_iso et W_ad. Quel processus est le plus coûteux ?

Principe

Cette question est une analyse et une comparaison. Il ne s'agit pas d'un nouveau calcul complexe, mais de l'interprétation des résultats des Q2 et Q3 pour en tirer une conclusion fondamentale sur l'efficacité énergétique de la compression.

Mini-Cours

Le travail d'un système ouvert (\(W = \int V dP\)) est représenté par l'aire à *gauche* de la courbe de transformation sur un diagramme P-V (P en ordonnée, V en abscisse). Une courbe "plus haute" (à un P donné, V est plus grand) aura une aire \(\int V dP\) plus grande.

Remarque Pédagogique

C'est la question la plus importante de l'exercice ! Comprendre *pourquoi* \(W_{\text{ad}} > W_{\text{iso}}\) est le concept clé. Pensez à l'énergie : dans le cas adiabatique, le travail comprime ET chauffe le gaz. Dans le cas isotherme, le travail ne fait que comprimer (la chaleur est évacuée).

Normes

Pas de norme de calcul ici, il s'agit d'une réflexion physique.

Formule(s)

Comparaison directe des résultats :

W_{\text{ad}} \text{ vs } W_{\text{iso}}

Hypothèses

On se base sur les hypothèses des calculs précédents (Gaz parfait, processus réversibles).

Donnée(s)

Résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Travail Isotherme (Q2)	\(W_{\text{iso}}\)	179.0	kJ
Travail Adiabatique (Q3)	\(W_{\text{ad}}\)	244.5	kJ

Astuces

Sur un diagramme P-V, la pente d'une adiabatique (\(PV^\gamma = C\)) est plus raide que celle d'une isotherme (\(PV = C\)). La courbe adiabatique est donc toujours "au-dessus" de l'isotherme lors d'une compression, ce qui garantit une aire (un travail) plus grande.

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme P-V de l'énoncé montre visuellement cette différence. L'aire à gauche de la courbe verte (Adiabatique) est visiblement plus grande que l'aire à gauche de la courbe bleue (Isotherme).

Comparaison des Aires (Travail = Aire à gauche)

Calcul(s)

On compare les deux valeurs numériques obtenues :

W_{\text{ad}} = 244.5 \text{ kJ}

Ceci est le résultat de la Q3 (travail maximal).

W_{\text{iso}} = 179.0 \text{ kJ}

Ceci est le résultat de la Q2 (travail minimal).

On voit que \(W_{\text{ad}} > W_{\text{iso}}\).

Calcul du surcoût (absolu et relatif)

Différence absolue :

\begin{aligned} \text{Surcoût} &= W_{\text{ad}} - W_{\text{iso}} \\ &= 244.5 - 179.0 \\ &= 65.5 \text{ kJ} \end{aligned}

Le travail adiabatique nécessite 65.5 kJ de plus que le travail isotherme.

Différence relative (en % par rapport au cas idéal isotherme) :

\begin{aligned} \text{Surcoût (en %)} &= \frac{W_{\text{ad}} - W_{\text{iso}}}{W_{\text{iso}}} \times 100 \\ &= \frac{65.5}{179.0} \times 100 \\ &\approx 36.6 \% \end{aligned}

Le coût énergétique est 36.6% plus élevé sans refroidissement !

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme l'analyse visuelle du schéma : le processus adiabatique coûte 36.6% d'énergie en plus.

Résultat Final

W_ad (244.5 kJ) > W_iso (179.0 kJ). Le processus adiabatique est le plus coûteux, avec un surcoût de 36.6%.

A vous de jouer

Pensez-y : si on parvenait à refroidir *parfaitement* le compresseur pour maintenir la température constante, quel serait l'exposant 'n' du processus polytropique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Comparaison des aires sur le diagramme P-V.
Formule Essentielle : \(W = \int V dP\).
Résultat : \(W_{\text{ad}} > W_{\text{poly}} > W_{\text{iso}}\).

Question 5 : Calculer T2_poly et W_poly (Polytropique, n=1.2).

Principe

C'est le cas 'réel' d'un compresseur avec un refroidissement partiel, mais pas parfait. Le processus suit une loi \(PV^n = \text{Cste}\) avec un exposant 'n' (ici 1.2) qui se situe entre 1 (isotherme) et \(\gamma\) (adiabatique).

Mini-Cours

Les formules sont mathématiquement identiques à celles du cas adiabatique, mais en remplaçant systématiquement l'indice adiabatique \(\gamma\) (1.4) par l'exposant polytropique 'n' (1.2). La valeur de 'n' dépend de l'efficacité du refroidissement de la machine.

Remarque Pédagogique

Plus 'n' est proche de 1.0, meilleur est le refroidissement et plus le travail requis est faible. Plus 'n' est proche de 1.4 (\(\gamma\)), plus la compression est inefficace et se rapproche du cas adiabatique coûteux.

Normes

Utilisation des unités SI (Pascals, Kelvins, Joules).

Formule(s)

Température Finale Polytropique

T_{2,\text{poly}} = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}

Travail Polytropique (n=1.2)

W_{\text{poly}} = \frac{n}{n-1} m r (T_{2,\text{poly}} - T_1)

Hypothèses

Processus réversible, refroidissement partiel (n=1.2), gaz parfait.

n = 1.2
Gaz Parfait

Donnée(s)

On utilise \(n = 1.2\). Le rapport de pression est \(P_2/P_1 = 8\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Exposant polytropique	n	1.2	-
Température initiale	T1	300	K
Rapport P2/P1	P2/P1	8	-

Astuces

Le calcul est en tout point similaire à la Q3 (Adiabatique), mais en remplaçant 1.4 par 1.2. Soyez méthodique !

Schéma (Avant les calculs)

Sur le diagramme P-V, la courbe polytropique (n=1.2) se situe entre la courbe isotherme (n=1.0) et la courbe adiabatique (n=1.4).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'exposant T-P (n=1.2)

On calcule la puissance, cette fois avec n=1.2 :

\begin{aligned} \frac{n-1}{n} &= \frac{1.2 - 1}{1.2} \\ &= \frac{0.2}{1.2} \\ &\approx 0.1666... \end{aligned}

Cet exposant est plus petit que celui du cas adiabatique (0.2857).

Étape 2 : Calcul de T2_poly

On utilise la loi polytropique (relation T-P), on substitue et on calcule :

\begin{aligned} T_{2,\text{poly}} &= T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} \\ &= 300 \text{ K} \times \left( 8 \right)^{0.1666...} \\ &= 300 \times 1.4142... \\ &\approx 424.3 \text{ K} \end{aligned}

La température finale est de 424.3 K (151.3 °C). C'est plus chaud que l'isotherme (300 K) mais moins que l'adiabatique (543.4 K).

Étape 3 : Calcul de W_poly

On utilise la formule du travail polytropique avec n=1.2, on substitue et on calcule :

\begin{aligned} W_{\text{poly}} &= \frac{n}{n-1} m r (T_{2,\text{poly}} - T_1) \\ &= \left(\frac{1.2}{1.2 - 1}\right) \times 1 \text{ kg} \times 287 \text{ J/(kg·K)} \times (424.3 - 300) \text{ K} \\ &= \left(\frac{1.2}{0.2}\right) \times 287 \times 124.3 \\ &= 6 \times 287 \times 124.3 \\ &= 1722 \times 124.3 \\ &= 214045 \text{ J} \\ &\approx 214.0 \text{ kJ} \end{aligned}

Le travail "réel" avec refroidissement partiel est de 214.0 kJ.

Schéma (Après les calculs)

La température finale est de 424.3 K (151.3 °C). C'est mieux que les 270.4 °C du cas adiabatique, mais bien plus chaud que les 27°C du cas isotherme.

Outil Interactif : Simulateur de Compression

Explorez comment l'exposant polytropique (n) et le rapport de pression (P2/P1) influencent le travail de compression et la température finale (pour 1kg d'air à T1=300K).

Paramètres d'Entrée

Rapport de Pression (P2/P1) 8

Exposant Polytropique (n) 1.4

Résultats Clés

Température Finale (K) -

Travail (kJ/kg) -

Glossaire

Processus Isotherme: Une transformation à température constante (T=cste). L'énergie interne (U) d'un gaz parfait ne varie pas (\(\Delta U = 0\)).
Processus Adiabatique: Une transformation sans échange de chaleur avec l'extérieur (Q=0). Si elle est réversible, elle est aussi isentropique (entropie constante).
Processus Polytropique: Une transformation qui suit la loi \(PV^n = \text{Cste}\), où 'n' est l'exposant polytropique. C'est un modèle général qui décrit les processus réels avec transfert de chaleur.
Travail de compression (W): Pour un système ouvert (compresseur), c'est l'énergie (par unité de masse) fournie au fluide pour augmenter sa pression, donnée par \( W = \int V dP \).
Indice Adiabatique (γ ou k): Rapport des capacités thermiques à pression constante et volume constant (\(\gamma = C_p / C_v\)). Pour l'air (diatomique), \(\gamma \approx 1.4\).