Comparaison des Cycles d'Otto et de Diesel

Comprendre les Cycles Moteurs Idéaux

Les cycles d'Otto et de Diesel sont des modèles thermodynamiques idéaux qui décrivent le fonctionnement des moteurs à combustion interne. Le cycle d'Otto modélise les moteurs à allumage commandé (moteurs à essence), où la combustion est si rapide qu'on l'assimile à un apport de chaleur à volume constant. Le cycle de Diesel modélise les moteurs à allumage par compression (moteurs diesel), où le carburant est injecté et brûle progressivement pendant que le piston commence sa descente, ce qui est modélisé par un apport de chaleur à pression constante. Cet exercice vise à comparer leurs rendements pour un même taux de compression et un même apport de chaleur.

Données de l'étude

On compare un cycle d'Otto et un cycle de Diesel fonctionnant avec de l'air comme gaz parfait.

Conditions communes aux deux cycles :

Fluide : Air, gaz parfait avec \(\gamma = 1.4\), \(C_v = 718 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}\)
Conditions à l'admission (Point 1) : \(P_1 = 1 \, \text{bar}\), \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
Taux de compression volumétrique (\(r\)) : \(r = V_1/V_2 = 10\)
Chaleur massique fournie au cycle (\(q_{\text{in}}\)) : \(1400 \, \text{kJ/kg}\)

Cycle d'Otto (V=cste)

Cycle de Diesel (P=cste)

Questions à traiter

Déterminer la température \(T_2\) et la pression \(P_2\) à la fin de la compression isentropique (communes aux deux cycles).
Pour le cycle d'Otto : Calculer la température \(T_3\) et la pression \(P_3\) après l'apport de chaleur.
Pour le cycle d'Otto : Calculer la température \(T_4\) en fin de détente et le rendement thermique \(\eta_{\text{Otto}}\).
Pour le cycle de Diesel : Calculer la température \(T_3\) et le rapport de détente \(r_c\) après l'apport de chaleur.
Pour le cycle de Diesel : Calculer la température \(T_4\) en fin de détente et le rendement thermique \(\eta_{\text{Diesel}}\).
Comparer les rendements des deux cycles et conclure.

Correction : Comparaison des Cycles d'Otto et de Diesel

Question 1 : Fin de Compression (Points 1-2)

Principe :

La compression 1-2 est isentropique. On applique les lois de Laplace pour un gaz parfait pour trouver la température \(T_2\) et la pression \(P_2\) en fonction des conditions initiales et du taux de compression \(r\).

Calcul :

\begin{aligned} T_2 &= T_1 \cdot r^{\gamma-1} \\ &= 300 \, \text{K} \times (10)^{1.4-1} \\ &= 300 \times 10^{0.4} \approx 300 \times 2.512 \\ &\approx 753.6 \, \text{K} \end{aligned}

\begin{aligned} P_2 &= P_1 \cdot r^{\gamma} \\ &= 1 \, \text{bar} \times (10)^{1.4} \\ &\approx 25.12 \, \text{bar} \end{aligned}

Résultat Question 1 : \(T_2 \approx 753.6 \, \text{K}\) et \(P_2 \approx 25.12 \, \text{bar}\).

Question 2 : Cycle d'Otto - Apport de Chaleur (Points 2-3)

Principe :

Pour le cycle d'Otto, l'apport de chaleur \(q_{\text{in}}\) se fait à volume constant (isochore). La chaleur fournie augmente la température de \(T_2\) à \(T_3\) selon la relation \(q_{\text{in}} = C_v (T_3 - T_2)\). La pression augmente aussi, suivant la loi des gaz parfaits à volume constant (\(P_3/T_3 = P_2/T_2\)).

Calcul :

\begin{aligned} T_3 &= T_2 + \frac{q_{\text{in}}}{C_v} \\ &= 753.6 \, \text{K} + \frac{1400 \times 10^3 \, \text{J/kg}}{718 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}} \\ &= 753.6 + 1949.9 \approx 2703.5 \, \text{K} \end{aligned}

\begin{aligned} P_3 &= P_2 \cdot \frac{T_3}{T_2} \\ &= 25.12 \, \text{bar} \times \frac{2703.5 \, \text{K}}{753.6 \, \text{K}} \\ &\approx 90.1 \, \text{bar} \end{aligned}

Résultat Question 2 (Otto) : \(T_3 \approx 2703.5 \, \text{K}\) et la pression maximale atteint \(P_3 \approx 90.1 \, \text{bar}\).

Question 3 : Cycle d'Otto - Rendement

Principe :

Le rendement théorique du cycle d'Otto ne dépend que du taux de compression \(r\) et de l'indice adiabatique \(\gamma\). La formule est \(\eta = 1 - 1/r^{\gamma-1}\).

Calcul :

\begin{aligned} \eta_{\text{Otto}} &= 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} \\ &= 1 - \frac{1}{10^{0.4}} \\ &= 1 - \frac{1}{2.512} \approx 1 - 0.398 \\ &\approx 0.602 \end{aligned}

Résultat Question 3 (Otto) : Le rendement thermique du cycle d'Otto est \(\eta_{\text{Otto}} \approx 60.2\%\).

Question 4 : Cycle de Diesel - Apport de Chaleur (Points 2-3)

Principe :

Pour le cycle de Diesel, l'apport de chaleur \(q_{\text{in}}\) se fait à pression constante (isobare). La chaleur fournie est \(q_{\text{in}} = C_p (T_3 - T_2)\), où \(C_p = \gamma C_v\). On en déduit \(T_3\). Le rapport de détente (ou "cutoff ratio") \(r_c\) est le rapport des volumes \(V_3/V_2\), qui est aussi égal au rapport des températures \(T_3/T_2\) à pression constante.

Calcul :

D'abord, \(C_p = \gamma C_v = 1.4 \times 718 = 1005.2 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}\).

\begin{aligned} T_3 &= T_2 + \frac{q_{\text{in}}}{C_p} \\ &= 753.6 \, \text{K} + \frac{1400 \times 10^3 \, \text{J/kg}}{1005.2 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}} \\ &= 753.6 + 1392.7 \approx 2146.3 \, \text{K} \end{aligned}

\begin{aligned} r_c &= \frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2} \\ &= \frac{2146.3 \, \text{K}}{753.6 \, \text{K}} \approx 2.85 \end{aligned}

Résultat Question 4 (Diesel) : \(T_3 \approx 2146.3 \, \text{K}\) et le rapport de détente est \(r_c \approx 2.85\).

Question 5 : Cycle de Diesel - Rendement

Principe :

Le rendement théorique du cycle de Diesel dépend de \(r\), \(\gamma\), et du rapport de détente \(r_c\).

Formule(s) utilisée(s) :

\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} \left[ \frac{r_c^\gamma - 1}{\gamma(r_c - 1)} \right]

Calcul :

\begin{aligned} \eta_{\text{Diesel}} &= 1 - \frac{1}{10^{0.4}} \left[ \frac{2.85^{1.4} - 1}{1.4(2.85 - 1)} \right] \\ &= 1 - \frac{1}{2.512} \left[ \frac{4.287 - 1}{1.4(1.85)} \right] \\ &= 1 - 0.398 \left[ \frac{3.287}{2.59} \right] \\ &= 1 - 0.398 \times 1.27 \\ &\approx 1 - 0.505 \approx 0.495 \end{aligned}

Résultat Question 5 (Diesel) : Le rendement thermique du cycle de Diesel est \(\eta_{\text{Diesel}} \approx 49.5\%\).

Question 6 : Comparaison et Conclusion

Analyse :

En comparant les rendements calculés :

\(\eta_{\text{Otto}} \approx 60.2\%\)
\(\eta_{\text{Diesel}} \approx 49.5\%\)

On constate que \(\eta_{\text{Otto}} > \eta_{\text{Diesel}}\).

Conclusion :

Pour un même taux de compression et un même apport de chaleur, le cycle d'Otto a un rendement thermique supérieur à celui du cycle de Diesel. Cela est dû au fait que l'apport de chaleur à volume constant (Otto) est thermodynamiquement plus efficace que l'apport à pression constante (Diesel). Cependant, en pratique, les moteurs Diesel peuvent fonctionner à des taux de compression beaucoup plus élevés que les moteurs à essence (qui sont limités par le cliquetis), ce qui leur permet souvent d'atteindre des rendements réels plus élevés.

Glossaire

Cycle d'Otto: Modèle idéal pour les moteurs à allumage commandé. Il comprend deux isentropes et deux isochores.
Cycle de Diesel: Modèle idéal pour les moteurs à allumage par compression. Il comprend deux isentropes, une isobare (apport de chaleur) et une isochore (rejet de chaleur).
Taux de Compression (\(r\)): Rapport entre le volume maximal (\(V_1\)) et le volume minimal (\(V_2\)) dans le cylindre. C'est un paramètre clé du rendement.
Rapport de Détente / Cutoff Ratio (\(r_c\)): Spécifique au cycle de Diesel, c'est le rapport du volume après l'apport de chaleur (\(V_3\)) au volume avant (\(V_2\)).