Coefficient de Diffusion et Dépendance en Température
Comprendre : Diffusion, Friction et Agitation Thermique
La diffusionLe mouvement net de particules d'une région de haute concentration vers une région de basse concentration, résultant du mouvement aléatoire des particules. est le processus par lequel les particules se dispersent sous l'effet de l'agitation thermique aléatoire (mouvement brownien). Le coefficient de diffusionUne mesure de la vitesse à laquelle les particules diffusent. Une valeur élevée signifie une diffusion rapide. Unité : m²/s., \(D\), quantifie cette dispersion. Il dépend de deux facteurs antagonistes : l'énergie thermique (\(k_B T\)), qui pousse les particules à bouger, et la friction exercée par le milieu environnant (le "solvant"), qui freine ce mouvement. La relation d'Einstein-Stokes, un des résultats majeurs de la thermodynamique des processus irréversibles, lie ces trois quantités.
Remarque Pédagogique : Cet exercice montre comment une grandeur macroscopique et mesurable (le coefficient de diffusion \(D\)) est directement reliée à des concepts microscopiques : la température, qui est une mesure de l'agitation cinétique, et la friction, qui dépend de la taille de la particule et de la viscosité du fluide.
Données de l'étude
Schéma : Mouvement Brownien d'une Particule
- Coefficient de friction de StokesLa force de friction subie par une sphère se déplaçant lentement dans un fluide visqueux. Il est proportionnel à la viscosité du fluide et au rayon de la sphère. pour une sphère : \(\gamma = 6\pi\eta r\)
- Relation d'Einstein (mobilité) : \(D = B k_B T\)
- La mobilitéLe rapport entre la vitesse de dérive d'une particule et la force appliquée. C'est l'inverse du coefficient de friction. \(B\) est l'inverse du coefficient de friction : \(B = 1/\gamma\)
- Constante de Boltzmann : \(k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
Questions à traiter
- Exprimer le coefficient de friction \(\gamma\) pour la particule.
- Exprimer la mobilité \(B\) de la particule.
- Dériver la relation de Stokes-Einstein qui donne le coefficient de diffusion \(D\) en fonction de \(T\), \(\eta\) et \(r\).
- Analyser la dépendance du coefficient de diffusion avec la température et le rayon de la particule.
Correction : Dérivation de la Relation de Stokes-Einstein
Question 1 : Coefficient de Friction (\(\gamma\))
Principe :
Le coefficient de friction \(\gamma\) est un coefficient de proportionnalité qui lie la force de friction \(F_f\) subie par un objet à sa vitesse \(v\) dans un fluide : \(F_f = \gamma v\). Pour une particule sphérique dans un fluide visqueux, ce coefficient est donné par la loi de Stokes.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le coefficient de friction représente la "difficulté" pour un objet de se mouvoir à travers un fluide. Il dépend de la forme de l'objet (ici, une sphère de rayon \(r\)) et des propriétés du fluide (sa viscosité \(\eta\)). Plus le fluide est "épais" ou plus la particule est grosse, plus la friction est importante.
Formule(s) utilisée(s) :
Question 2 : Mobilité de la Particule (\(B\))
Principe :
La mobilité \(B\) est une mesure de la facilité avec laquelle une particule se déplace sous l'effet d'une force. Elle est simplement définie comme l'inverse du coefficient de friction. Une friction élevée implique une faible mobilité, et vice-versa.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La mobilité est un concept central en physique des transports. Elle relie la réponse d'une particule (sa vitesse) à une sollicitation (une force). Ici, elle caractérise comment le milieu freine la particule.
Calcul(s) :
Test de Compréhension : Si on double le rayon de la particule, sa mobilité est :
Question 3 : Relation de Stokes-Einstein
Principe :
La relation d'Einstein relie le coefficient de diffusion macroscopique \(D\) à la température et à la mobilité microscopique \(B\). En combinant cette relation avec l'expression de la mobilité trouvée précédemment, on obtient la célèbre relation de Stokes-Einstein.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est ici que l'on relie deux mondes : la mécanique des fluides (via le terme de friction \(\gamma\)) et la thermodynamique statistique (via le terme d'énergie thermique \(k_B T\)). Le coefficient de diffusion \(D\) est le pont entre ces deux descriptions.
Calcul(s) :
On part de la relation d'Einstein \(D = B k_B T\) et on substitue l'expression de B :
Question 4 : Dépendance avec la Température et le Rayon
Principe :
L'analyse de l'expression finale nous permet de comprendre comment les différents paramètres influencent la diffusion. La compétition entre l'agitation thermique (numérateur) et la friction (dénominateur) est maintenant explicite.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette relation a des conséquences pratiques immenses. Elle explique pourquoi les petites particules (comme les virus) diffusent beaucoup plus vite que les grosses (comme les bactéries), et pourquoi la diffusion est beaucoup plus lente dans un liquide visqueux (comme le miel) que dans un liquide fluide (comme l'eau).
Analyse :
1. Dépendance avec la Température : Le coefficient de diffusion \(D\) est directement proportionnel à la température absolue \(T\). Plus il fait chaud, plus l'agitation thermique est grande, et plus les particules se dispersent rapidement.
2. Dépendance avec le Rayon : Le coefficient de diffusion \(D\) est inversement proportionnel au rayon de la particule \(r\). Les petites particules, subissant moins de friction, diffusent plus vite que les grosses particules.
3. Dépendance avec la Viscosité : Le coefficient de diffusion \(D\) est inversement proportionnel à la viscosité du fluide \(\eta\). Il est plus difficile pour une particule de se mouvoir dans un milieu plus visqueux.
Test de Compréhension : Pour une particule donnée dans un fluide donné, si on double la température (en Kelvin), le coefficient de diffusion :
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Grandeur | Expression |
|---|---|
| Coefficient de Friction (\(\gamma\)) | Cliquez pour révéler |
| Mobilité (\(B\)) | Cliquez pour révéler |
| Coefficient de Diffusion (\(D\)) | Cliquez pour révéler |
Simulation : Coefficient de Diffusion
Variez la température et le rayon de la particule pour observer l'impact sur le coefficient de diffusion dans l'eau (\(\eta \approx 10^{-3}\) Pa·s).
Paramètres de Simulation
Le Saviez-Vous ? La Taille d'Avogadro
En 1905, l'une des trois publications révolutionnaires d'Albert Einstein portait sur le mouvement brownien. En utilisant la relation qui porte aujourd'hui son nom (\(D = k_B T / \gamma\)), il a montré comment l'observation du déplacement quadratique moyen de particules en suspension pouvait permettre de déterminer la constante de Boltzmann \(k_B\). Comme la constante des gaz parfaits \(R\) était déjà connue, et que \(R = N_A k_B\), les expériences de Jean Perrin validant la théorie d'Einstein ont fourni l'une des premières estimations précises du nombre d'Avogadro \(N_A\), prouvant de manière concluante l'existence des atomes.
Foire Aux Questions (FAQ)
La relation de Stokes-Einstein est-elle toujours applicable ?
Non, elle a ses limites. La loi de Stokes n'est valable que pour des particules sphériques se déplaçant à faible vitesse (faible nombre de Reynolds) dans un fluide continu. L'équation n'est donc pas précise pour des particules très petites (comparables aux molécules du solvant) ou non sphériques, ou dans des fluides non newtoniens.
Comment la viscosité (\(\eta\)) dépend-elle de la température ?
C'est un point important. Pour la plupart des liquides, la viscosité diminue lorsque la température augmente (le miel devient plus fluide quand on le chauffe). La dépendance totale de \(D\) avec \(T\) est donc plus complexe que la simple proportionnalité, car le terme \(\eta(T)\) au dénominateur varie aussi. La formule est \(D(T) = \frac{k_B T}{6\pi\eta(T) r}\).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le mouvement brownien est causé par :
2. Selon la relation de Stokes-Einstein, si on remplace l'eau (\(\eta \approx 10^{-3}\) Pa·s) par du glycérol (\(\eta \approx 1\) Pa·s), le coefficient de diffusion sera :
Glossaire
- Coefficient de Diffusion (D)
- Une mesure de la vitesse à laquelle les particules diffusent sous l'effet du mouvement brownien. Il caractérise la surface balayée par unité de temps. Unité SI : m²/s.
- Coefficient de Friction (\(\gamma\))
- Une mesure de la résistance qu'un objet rencontre en se déplaçant à travers un fluide. Il lie la force de friction à la vitesse de l'objet (\(F_f = \gamma v\)). Unité SI : N·s/m.
- Mobilité (B)
- L'inverse du coefficient de friction (\(B=1/\gamma\)). Elle représente la vitesse de dérive qu'une particule acquiert par unité de force appliquée.
D’autres exercices de Thermodynamique irréversible:
0 commentaires