ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Calcul des Pressions Partielles à l’Équilibre

Calcul des Pressions Partielles à l'Équilibre

Calcul des Pressions Partielles à l'Équilibre : Dissociation de N₂O₄

Comprendre le Calcul des Pressions à l'Équilibre

Cet exercice se concentre sur le calcul des pressions partielles de chaque composé dans un mélange gazeux à l'équilibre. Nous étudierons la dissociation du tétroxyde de diazote (\(\text{N}_2\text{O}_4\)) en dioxyde d'azote (\(\text{NO}_2\)). En partant des conditions initiales et de la constante d'équilibre \(K_p\), nous utiliserons le concept du degré de dissociation (\(\alpha\)) pour déterminer la composition exacte du mélange une fois que l'équilibre est atteint.

Données de l'étude

On considère la dissociation en phase gazeuse du tétroxyde de diazote, un gaz incolore, en dioxyde d'azote, un gaz brun-rouge. L'équation de la réaction est :

\[ \text{N}_2\text{O}_4(g) \rightleftharpoons 2\text{NO}_2(g) \]

Conditions initiales et constantes :

  • On introduit initialement \(1.0 \, \text{mol}\) de \(\text{N}_2\text{O}_4\) pur dans un réacteur vide.
  • Volume du réacteur : \(V = 20.0 \, \text{L}\)
  • Température maintenue constante : \(T = 300 \, \text{K}\)
  • Constante d'équilibre en pression : \(K_p = 0.171 \, \text{atm}\) (à 300 K)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Schéma : Dissociation de N₂O₄
N₂O₄ NO₂ NO₂

Une molécule de N₂O₄ se dissocie pour former deux molécules de NO₂.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression initiale \(P_{\text{initial}}\) due au \(\text{N}_2\text{O}_4\) avant toute dissociation.
  2. Définir le degré de dissociation \(\alpha\) et établir un tableau d'avancement pour exprimer les quantités de matière de chaque gaz à l'équilibre en fonction de \(\alpha\).
  3. Exprimer la pression totale \(P_{\text{totale}}\) à l'équilibre en fonction de \(P_{\text{initial}}\) et \(\alpha\).
  4. Exprimer les pressions partielles de \(\text{N}_2\text{O}_4\) et \(\text{NO}_2\) à l'équilibre en fonction de \(P_{\text{totale}}\) et \(\alpha\).
  5. Substituer ces expressions dans celle de \(K_p\) pour obtenir une équation liant \(K_p\), \(P_{\text{totale}}\) et \(\alpha\).
  6. Résoudre l'équation pour trouver la valeur du degré de dissociation \(\alpha\).
  7. Calculer les pressions partielles de \(\text{N}_2\text{O}_4\) et \(\text{NO}_2\) à l'équilibre.

Correction : Calcul des Pressions à l'Équilibre

Question 1 : Pression initiale de N₂O₄

Principe :

Avant que la dissociation ne commence, le seul gaz présent est \(\text{N}_2\text{O}_4\). Sa pression initiale peut être calculée avec la loi des gaz parfaits.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{initial}} = \frac{n_{\text{initial}} R T}{V} \]
Données spécifiques :
  • \(n_{\text{initial}} = 1.0 \, \text{mol}\)
  • \(V = 20.0 \, \text{L}\)
  • \(R = 0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(T = 300 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{initial}} &= \frac{1.0 \times 0.0821 \times 300}{20.0} \\ &= \frac{24.63}{20.0} \\ &= 1.2315 \, \text{atm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression initiale de \(\text{N}_2\text{O}_4\) est d'environ \(1.23 \, \text{atm}\).

Question 2 : Tableau d'avancement et degré de dissociation

Principe :

Le degré de dissociation, \(\alpha\), est la fraction d'une mole de réactif initial qui s'est dissociée à l'équilibre. On l'utilise pour suivre l'évolution des quantités de matière.

Si \(n_0\) est la quantité initiale de \(\text{N}_2\text{O}_4\), alors la quantité qui se dissocie est \(n_0 \alpha\).

Tableau d'avancement (en moles) :
\[ \begin{array}{l|ccc} \text{Équation} & \text{N}_2\text{O}_4(g) & \rightleftharpoons & 2\text{NO}_2(g) \\ \hline \text{Initial} & n_0 & & 0 \\ \text{Changement} & -n_0 \alpha & & +2 n_0 \alpha \\ \text{Équilibre} & n_0(1-\alpha) & & 2 n_0 \alpha \\ \end{array} \]

Nombre total de moles à l'équilibre : \(n_{\text{tot}} = n_0(1-\alpha) + 2n_0\alpha = n_0(1+\alpha)\).

Résultat Question 2 : À l'équilibre, nous avons \(n_0(1-\alpha)\) moles de \(\text{N}_2\text{O}_4\) et \(2n_0\alpha\) moles de \(\text{NO}_2\).

Question 3 : Pression totale à l'équilibre

Principe :

La pression totale à l'équilibre est proportionnelle au nombre total de moles à l'équilibre. D'après la loi d'Avogadro, à T et V constants, \(P/n\) est constant. Donc \(P_{\text{totale}}/n_{\text{tot}} = P_{\text{initial}}/n_0\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{totale}} &= P_{\text{initial}} \times \frac{n_{\text{tot}}}{n_0} \\ &= P_{\text{initial}} \times \frac{n_0(1+\alpha)}{n_0} \\ &= P_{\text{initial}}(1+\alpha) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pression totale à l'équilibre est \(P_{\text{totale}} = P_{\text{initial}}(1+\alpha)\).

Question 4 : Pressions partielles à l'équilibre

Principe :

La pression partielle d'un gaz \(i\) est le produit de sa fraction molaire (\(x_i\)) et de la pression totale (\(P_{\text{totale}}\)), avec \(x_i = n_i / n_{\text{tot}}\).

Calcul :
\[ P_{\text{N}_2\text{O}_4} = x_{\text{N}_2\text{O}_4} P_{\text{totale}} = \frac{n_0(1-\alpha)}{n_0(1+\alpha)} P_{\text{totale}} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}} \]
\[ P_{\text{NO}_2} = x_{\text{NO}_2} P_{\text{totale}} = \frac{2n_0\alpha}{n_0(1+\alpha)} P_{\text{totale}} = \frac{2\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}} \]
Résultat Question 4 : Les pressions partielles sont \(P_{\text{N}_2\text{O}_4} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}}\) et \(P_{\text{NO}_2} = \frac{2\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}}\).

Question 5 : Expression de Kp

Principe :

On exprime la constante d'équilibre \(K_p\) en fonction des pressions partielles des produits et des réactifs, puis on y substitue les expressions trouvées précédemment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_p = \frac{(P_{\text{NO}_2})^2}{P_{\text{N}_2\text{O}_4}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_p &= \frac{\left(\frac{2\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}}\right)^2}{\frac{1-\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}}} \\ &= \frac{\frac{4\alpha^2}{(1+\alpha)^2} P_{\text{totale}}^2}{\frac{1-\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}}} \\ &= \frac{4\alpha^2}{(1+\alpha)(1-\alpha)} P_{\text{totale}} \\ &= \frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2} P_{\text{totale}} \end{aligned} \]

Comme \(P_{\text{totale}} = P_{\text{initial}}(1+\alpha)\), on a aussi : \(K_p = \frac{4\alpha^2 P_{\text{initial}}(1+\alpha)}{(1-\alpha)(1+\alpha)} = \frac{4\alpha^2 P_{\text{initial}}}{1-\alpha}\).

Résultat Question 5 : L'expression est \(K_p = \frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2} P_{\text{totale}}\).

Question 6 : Calcul du degré de dissociation \(\alpha\)

Principe :

L'équation \(K_p = \frac{4\alpha^2 P_{\text{initial}}}{1-\alpha}\) peut être réarrangée en une équation du second degré en \(\alpha\) qu'il faut résoudre.

Calcul :
\[ K_p(1-\alpha) = 4\alpha^2 P_{\text{initial}} \]
\[ 4P_{\text{initial}}\alpha^2 + K_p\alpha - K_p = 0 \]

En remplaçant par les valeurs numériques (\(P_{\text{initial}} \approx 1.2315\), \(K_p = 0.171\)) :

\[ 4(1.2315)\alpha^2 + 0.171\alpha - 0.171 = 0 \]
\[ 4.926\alpha^2 + 0.171\alpha - 0.171 = 0 \]

On résout le polynôme \(ax^2+bx+c=0\) avec la formule \(\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). On ne garde que la solution positive car \(\alpha\) est une fraction.

\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{-0.171 + \sqrt{0.171^2 - 4(4.926)(-0.171)}}{2(4.926)} \\ &= \frac{-0.171 + \sqrt{0.02924 + 3.3695}}{9.852} \\ &= \frac{-0.171 + \sqrt{3.39874}}{9.852} \\ &= \frac{-0.171 + 1.8435}{9.852} \\ &= \frac{1.6725}{9.852} \approx 0.1697 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le degré de dissociation est \(\alpha \approx 0.170\).

Question 7 : Calcul des pressions partielles à l'équilibre

Principe :

Maintenant que \(\alpha\) est connu, on peut calculer la pression totale à l'équilibre, puis les pressions partielles de chaque gaz.

Calcul :

Pression totale à l'équilibre :

\[ \begin{aligned} P_{\text{totale}} &= P_{\text{initial}}(1+\alpha) \\ &= 1.2315 \times (1+0.1697) \\ &= 1.2315 \times 1.1697 \approx 1.4404 \, \text{atm} \end{aligned} \]

Pressions partielles à l'équilibre :

\[ \begin{aligned} P_{\text{N}_2\text{O}_4} &= \frac{1-\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}} \\ &= \frac{1-0.1697}{1+0.1697} \times 1.4404 \\ &= \frac{0.8303}{1.1697} \times 1.4404 \approx 1.023 \, \text{atm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{\text{NO}_2} &= \frac{2\alpha}{1+\alpha} P_{\text{totale}} \\ &= \frac{2 \times 0.1697}{1+0.1697} \times 1.4404 \\ &= \frac{0.3394}{1.1697} \times 1.4404 \approx 0.417 \, \text{atm} \end{aligned} \]

Vérification : \(P_{\text{N}_2\text{O}_4} + P_{\text{NO}_2} = 1.023 + 0.417 = 1.440 \, \text{atm} \approx P_{\text{totale}}\).

Résultat Question 7 : À l'équilibre, les pressions partielles sont :
  • \(P_{\text{N}_2\text{O}_4} \approx 1.02 \, \text{atm}\)
  • \(P_{\text{NO}_2} \approx 0.42 \, \text{atm}\)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le degré de dissociation \(\alpha\) représente :

2. Dans une réaction de dissociation comme \(A \rightleftharpoons 2B\), le nombre total de moles de gaz...

3. La somme des pressions partielles de tous les gaz dans un mélange à l'équilibre est égale à :

Glossaire

Dissociation
Processus au cours duquel une molécule se scinde en atomes ou en molécules plus petites. C'est un cas particulier de réaction chimique.
Degré de Dissociation (\(\alpha\))
Fraction de la quantité de matière initiale d'un réactif qui s'est dissociée ou a réagi lorsque le système atteint l'équilibre. C'est un nombre sans dimension compris entre 0 et 1.
Loi des Gaz Parfaits
Loi physique décrivant le comportement des gaz. Elle établit une relation entre la pression, le volume, la quantité de matière et la température d'un gaz : \(PV=nRT\).
Pression Partielle (\(P_i\))
Pression qu'exercerait un gaz s'il était seul à occuper le volume total du mélange gazeux. La somme des pressions partielles est égale à la pression totale.
Constante d'Équilibre (\(K_p\))
Valeur qui caractérise l'état d'équilibre d'une réaction à une température donnée. Elle est calculée à partir des pressions partielles des gaz à l'équilibre, exprimées en atmosphères ou en bars.
Calcul des Pressions Partielles - Exercice d'Application

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