Calcul des Pressions Partielles à l’Équilibre
Contexte : L'équilibre chimiqueÉtat d'un système réactionnel dans lequel les concentrations des réactifs et des produits n'évoluent plus au cours du temps. Les vitesses des réactions directe et inverse sont égales..
La maîtrise des équilibres chimiques est fondamentale en ingénierie des procédés. Elle permet de prédire le rendement des réactions et d'optimiser les conditions de production. Cet exercice se concentre sur la synthèse de l'ammoniac, un procédé industriel majeur (procédé Haber-Bosch), pour illustrer le calcul des pressions partiellesLa pression qu'exercerait un gaz d'un mélange s'il occupait seul tout le volume disponible à la même température. dans un mélange gazeux à l'équilibre.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe d'équilibre en étapes logiques : écriture des constantes, utilisation d'un tableau d'avancement, et application de la loi de DaltonLa pression totale d'un mélange de gaz est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz constituant le mélange. pour déterminer la composition d'un système réactionnel.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la loi de Dalton sur les pressions partielles.
- Définir et utiliser la constante d'équilibre en termes de pressions (\(K_p\)).
- Construire et exploiter un tableau d'avancement pour un système gazeux.
- Calculer la composition (pressions partielles) d'un mélange gazeux à l'équilibre.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Réaction
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Équation de la réaction | \(N_2(\text{g}) + 3H_2(\text{g}) \rightleftharpoons 2NH_3(\text{g})\) |
| Conditions initiales | 1 mole de \(N_2\) et 3 moles de \(H_2\) |
| Température de l'équilibre | 450 °C (soit 723 K) |
| Pression totale à l'équilibre | 200 atm |
| Constante d'équilibre à 450°C | \(K_p = 1.65 \times 10^{-4} \text{ atm}^{-2}\) |
Schéma du Réacteur de Synthèse
Questions à traiter
- Écrire l'expression de la constante d'équilibre \(K_p\) en fonction des pressions partielles.
- Établir le tableau d'avancement en moles pour la réaction.
- Exprimer la fraction molaire de chaque gaz à l'équilibre en fonction de l'avancement à l'équilibre, \(x_{\text{eq}}\).
- En déduire l'expression de la pression partielle de chaque gaz en fonction de \(x_{\text{eq}}\) et de la pression totale \(P_{\text{tot}}\).
- À l'aide des expressions précédentes, montrer que l'avancement à l'équilibre \(x_{\text{eq}}\) est solution d'une équation complexe. On admettra que la résolution numérique donne \(x_{\text{eq}} \approx 0.191 \text{ mol}\).
- Calculer les pressions partielles de \(N_2\), \(H_2\) et \(NH_3\) à l'équilibre.
Les bases de la thermodynamique des gaz
Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés sont nécessaires : la loi des pressions partielles de Dalton et la définition de la constante d'équilibre \(K_p\).
1. Loi de Dalton
Pour un mélange de gaz parfaits, la pression totale \(P_{\text{tot}}\) est la somme des pressions partielles \(P_i\) de chaque constituant. La pression partielle d'un gaz \(i\) est liée à sa fraction molaire \(y_i\) (rapport entre le nombre de moles de ce gaz \(n_i\) et le nombre de moles total \(n_{\text{tot}}\)).
\[ P_{\text{tot}} = \sum_{i} P_i \quad \text{et} \quad P_i = y_i \cdot P_{\text{tot}} \quad \text{avec} \quad y_i = \frac{n_i}{n_{\text{tot}}} \]
2. Constante d'Équilibre \(K_p\)
Pour une réaction gazeuse générique \(aA + bB \rightleftharpoons cC + dD\), la constante d'équilibre \(K_p\) s'exprime en fonction des pressions partielles à l'équilibre. Elle ne dépend que de la température.
\[ K_p = \frac{(P_C)^c \cdot (P_D)^d}{(P_A)^a \cdot (P_B)^b} \]
Correction : Calcul des Pressions Partielles à l’Équilibre
Question 1 : Expression de la constante d'équilibre \(K_p\)
Principe
Il s'agit d'appliquer directement la définition de la constante d'équilibre \(K_p\) à la réaction de synthèse de l'ammoniac, en respectant les coefficients stœchiométriques comme exposants.
Mini-Cours
La constante \(K_p\) est une grandeur thermodynamique qui mesure le ratio des produits sur les réactifs à l'équilibre, exprimé en termes de pressions. Sa valeur indique l'étendue d'une réaction : un \(K_p\) élevé signifie que l'équilibre favorise les produits, tandis qu'un \(K_p\) faible indique que les réactifs prédominent.
Formule(s)
La formule générale de \(K_p\) est appliquée à la réaction \(N_2(\text{g}) + 3H_2(\text{g}) \rightleftharpoons 2NH_3(\text{g})\). Les pressions sont celles à l'équilibre.
Réflexions
L'expression de \(K_p\) montre que la pression de l'ammoniac (\(P_{\text{NH}_3}\)) au numérateur a un impact quadratique, tandis que la pression de l'hydrogène (\(P_{\text{H}_2}\)) au dénominateur a un impact cubique. Cela suggère que la concentration en hydrogène est particulièrement influente sur la position de l'équilibre.
Résultat Final
Question 2 : Tableau d'avancement en moles
Principe
Le tableau d'avancement permet de suivre l'évolution des quantités de matière (en moles) de chaque espèce chimique, de l'état initial à l'état d'équilibre, en fonction d'une seule variable : l'avancement \(x\).
Mini-Cours
Un tableau d'avancement est un outil comptable pour la chimie. Il utilise la stœchiométrie de la réaction (les coefficients 1, 3, 2) pour lier la disparition des réactifs à l'apparition des produits via une variable unique, l'avancement \(x\), simplifiant ainsi la résolution de problèmes d'équilibre.
Donnée(s)
On se base sur les quantités de matière initiales fournies dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité initiale de diazote | \(n_{\text{N}_2, \text{initial}}\) | 1 | mol |
| Quantité initiale de dihydrogène | \(n_{\text{H}_2, \text{initial}}\) | 3 | mol |
Calcul(s)
On construit le tableau en trois lignes : état initial (E.I.), en cours de transformation, et état d'équilibre (E.Eq.). L'avancement à l'équilibre est noté \(x_{\text{eq}}\). Les quantités de réactifs diminuent et celles des produits augmentent, en respectant la stœchiométrie.
| Équation | \(N_2(\text{g})\) | \(+\) | \(3H_2(\text{g})\) | \(\rightleftharpoons\) | \(2NH_3(\text{g})\) |
|---|---|---|---|---|---|
| E.I. (mol) | 1 | 3 | 0 | ||
| E.Eq. (mol) | \(1 - x_{\text{eq}}\) | \(3 - 3x_{\text{eq}}\) | \(2x_{\text{eq}}\) |
Réflexions
L'intérêt majeur du tableau d'avancement est de transformer un problème à plusieurs inconnues (les quantités de chaque espèce) en un problème à une seule inconnue (\(x_{\text{eq}}\)). C'est la pierre angulaire de la résolution systématique des équilibres chimiques.
Points de vigilance
Attention à bien multiplier l'avancement \(x\) par le coefficient stœchiométrique de chaque espèce (1 pour \(N_2\), 3 pour \(H_2\), 2 pour \(NH_3\)).
Question 3 : Fractions molaires à l'équilibre
Principe
La fraction molaire d'un gaz représente sa proportion dans le mélange total. C'est le rapport entre le nombre de moles de ce gaz et le nombre de moles total de tous les gaz présents. Ce concept est la clé pour relier les quantités de matière aux pressions.
Mini-Cours
La fraction molaire d'un constituant \(i\), notée \(y_i\), est une grandeur sans dimension définie par \(y_i = n_i / n_{\text{tot}}\). La somme des fractions molaires de tous les constituants d'un mélange est toujours égale à 1 : \(\sum y_i = 1\). C'est une manière d'exprimer la composition relative d'un mélange.
Remarque Pédagogique
L'étape la plus importante (et une source d'erreur fréquente) est le calcul du nombre de moles total à l'équilibre, \(n_{\text{tot}}\). Prenez l'habitude de le calculer en premier, car il servira de dénominateur pour toutes les fractions molaires. Une erreur sur \(n_{\text{tot}}\) invalidera tous les calculs suivants.
Formule(s)
Formule du nombre de moles total
Définition de la fraction molaire
Donnée(s)
On utilise les quantités de matière à l'équilibre déterminées dans le tableau d'avancement.
- \(n_{\text{N}_2} = 1 - x_{\text{eq}}\)
- \(n_{\text{H}_2} = 3 - 3x_{\text{eq}}\)
- \(n_{\text{NH}_3} = 2x_{\text{eq}}\)
Astuces
Pour vérifier vos expressions, vous pouvez sommer les fractions molaires que vous avez trouvées. Leur somme doit être égale à 1. Par exemple : \(\frac{1 - x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} + \frac{3 - 3x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} + \frac{2x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} = \frac{1 - x_{\text{eq}} + 3 - 3x_{\text{eq}} + 2x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} = \frac{4 - 2x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} = 1\).
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nombre de moles total à l'équilibre (\(n_{\text{tot}}\))
Étape 2 : Calcul des fractions molaires (\(y_i\))
Fraction molaire du diazote (\(y_{\text{N}_2}\))
Fraction molaire du dihydrogène (\(y_{\text{H}_2}\))
Fraction molaire de l'ammoniac (\(y_{\text{NH}_3}\))
Réflexions
Les fractions molaires permettent de décrire la composition d'un mélange indépendamment de sa pression ou de son volume total. C'est une mesure relative qui est essentielle pour ensuite appliquer la loi de Dalton et passer aux pressions partielles.
Points à retenir
Pour déterminer les fractions molaires à l'équilibre : 1. Calculez le nombre total de moles gazeuses \(n_{\text{tot}}\) en sommant toutes les expressions de la ligne "E.Eq." du tableau d'avancement. 2. Pour chaque gaz, divisez sa quantité de matière à l'équilibre par \(n_{\text{tot}}\).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
Question 4 : Pressions partielles à l'équilibre
Principe
Le concept physique central est la loi de Dalton : la contribution d'un gaz à la pression totale (sa pression partielle) est directement proportionnelle à sa présence dans le mélange (sa fraction molaire). Plus un gaz est abondant en moles, plus sa pression partielle est élevée.
Mini-Cours
La loi de Dalton, \(P_i = y_i \cdot P_{\text{tot}}\), découle de la loi des gaz parfaits. Pour un gaz \(i\), \(P_i V = n_i R T\). Pour le mélange, \(P_{\text{tot}} V = n_{\text{tot}} R T\). En divisant la première équation par la seconde, on obtient \(\frac{P_i}{P_{\text{tot}}} = \frac{n_i}{n_{\text{tot}}}\), qui n'est autre que \(y_i\). On en déduit immédiatement \(P_i = y_i \cdot P_{\text{tot}}\).
Remarque Pédagogique
Considérez cette étape comme une "traduction". Vous traduisez la composition en termes de fractions molaires en termes de pressions, qui sont les grandeurs expérimentales mesurables et qui apparaissent dans la constante \(K_p\). C'est une étape de transition cruciale avant d'aborder l'équation finale.
Formule(s)
Loi de Dalton appliquée à chaque gaz
Donnée(s)
On utilise les expressions des fractions molaires \(y_i\) et la pression totale \(P_{\text{tot}}\) de l'énoncé.
- \(y_{\text{N}_2} = \frac{1 - x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}}\)
- \(y_{\text{H}_2} = \frac{3(1 - x_{\text{eq}})}{4 - 2x_{\text{eq}}}\)
- \(y_{\text{NH}_3} = \frac{2x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}}\)
- \(P_{\text{tot}} = 200 \text{ atm}\)
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre visuellement comment la pression totale (représentée par une jauge) est la somme des contributions de chaque gaz, proportionnelles à leur population (représentée par des points de couleur).
Illustration de la Loi de Dalton
Calcul(s)
Expression de la pression partielle de diazote (\(P_{\text{N}_2}\))
Expression de la pression partielle de dihydrogène (\(P_{\text{H}_2}\))
Expression de la pression partielle d'ammoniac (\(P_{\text{NH}_3}\))
Réflexions
En exprimant les pressions partielles en fonction de \(x_{\text{eq}}\) et \(P_{\text{tot}}\), nous avons maintenant tous les éléments nécessaires pour les substituer dans l'expression de \(K_p\). Nous avons transformé un problème de chimie en un problème purement algébrique à une seule inconnue.
Points de vigilance
Une erreur classique est d'oublier de multiplier la fraction molaire par la pression totale \(P_{\text{tot}}\). La pression partielle n'est pas la fraction molaire, elle en dépend mais doit être pondérée par la pression globale du système.
Le saviez-vous ?
John Dalton, en plus de sa loi sur les pressions partielles, fut l'un des premiers scientifiques à décrire la cécité aux couleurs, une condition dont il était lui-même atteint. On appelle encore aujourd'hui le daltonisme en son honneur.
Résultat Final
Question 5 : Détermination de l'avancement à l'équilibre
Principe
Le concept fondamental est la définition même de l'équilibre : c'est l'état où le quotient réactionnel, calculé avec les pressions actuelles, devient égal à la constante d'équilibre \(K_p\). En posant cette égalité, on "verrouille" le système et on peut en déduire la seule inconnue restante, \(x_{\text{eq}}\).
Mini-Cours
Le quotient réactionnel \(Q_p\) a la même forme mathématique que \(K_p\), mais il peut être calculé à n'importe quel moment de la réaction. Le système évolue spontanément pour que \(Q_p\) tende vers \(K_p\). Si \(Q_p < K_p\), la réaction va vers la droite. Si \(Q_p > K_p\), elle va vers la gauche. Si \(Q_p = K_p\), le système est à l'équilibre et n'évolue plus macroscopiquement.
Remarque Pédagogique
C'est ici que toutes les pièces du puzzle s'assemblent. Vous allez prendre l'expression générale de \(K_p\) et y injecter les expressions spécifiques des pressions. Le but n'est pas forcément de résoudre l'équation à la main, mais de savoir la poser correctly.
Formule(s)
Expression de la constante d'équilibre
Hypothèses
On suppose que le système a effectivement atteint l'état d'équilibre, ce qui nous autorise à égaler le quotient des pressions à la constante \(K_p\).
Donnée(s)
On utilise les expressions des pressions partielles et les valeurs de \(K_p\) et \(P_{\text{tot}}\).
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression |
|---|---|---|
| Pression partielle de N₂ | \(P_{\text{N}_2}\) | \(\left( \frac{1 - x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} \right) P_{\text{tot}}\) |
| Pression partielle de H₂ | \(P_{\text{H}_2}\) | \(\left( \frac{3(1 - x_{\text{eq}})}{4 - 2x_{\text{eq}}} \right) P_{\text{tot}}\) |
| Pression partielle de NH₃ | \(P_{\text{NH}_3}\) | \(\left( \frac{2x_{\text{eq}}}{4 - 2x_{\text{eq}}} \right) P_{\text{tot}}\) |
| Constante d'équilibre | \(K_p\) | \(1.65 \times 10^{-4} \text{ atm}^{-2}\) |
| Pression totale | \(P_{\text{tot}}\) | \(200 \text{ atm}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma de l'énergie libre de Gibbs montre comment un système évolue spontanément depuis un état initial (où \(Q_p \neq K_p\)) vers l'état d'équilibre, qui correspond au minimum d'énergie libre (\(Q_p = K_p\)).
Représentation de l'Équilibre Chimique
Calcul(s)
Substitution des expressions des pressions partielles dans \(K_p\)
Après simplification, on voit que cette équation est un polynôme de degré élevé en \(x_{\text{eq}}\), ce qui la rend difficile à résoudre manuellement.
Réflexions
La complexité de l'équation finale justifie l'utilisation de méthodes numériques (calculatrices graphiques, logiciels) en chimie et en ingénierie. L'important est de savoir modéliser le problème и poser la bonne équation. La résolution est ensuite une tâche technique.
Points de vigilance
La plus grande source d'erreurs est la manipulation des exposants lors de la substitution. Faites particulièrement attention au cube sur la pression de l'hydrogène, qui affecte à la fois le numérateur (3), le dénominateur (\(4-2x_{\text{eq}}\)) et \(P_{\text{tot}}\).
Le saviez-vous ?
Le procédé Haber-Bosch, qui met en œuvre cette réaction, est souvent cité comme l'invention la plus importante du 20ème siècle. En permettant la production massive d'engrais azotés, il a révolutionné l'agriculture et a permis de nourrir une population mondiale en pleine croissance.
Résultat Final
Question 6 : Calcul des pressions partielles finales
Principe
C'est l'aboutissement de notre démarche : maintenant que nous connaissons la composition du mélange à l'équilibre grâce à la valeur de \(x_{\text{eq}}\), nous pouvons calculer les valeurs numériques des pressions partielles de chaque gaz, qui sont des grandeurs physiques concrètes.
Mini-Cours
Cette étape est une application numérique directe. Une fois l'avancement à l'équilibre \(x_{\text{eq}}\) déterminé, il suffit de l'injecter dans les expressions littérales des pressions partielles établies à la question 4. Il n'y a pas de nouveau concept thermodynamique, c'est la concrétisation des calculs précédents.
Remarque Pédagogique
Cette dernière étape ne présente pas de difficulté conceptuelle, mais requiert de la rigueur dans les calculs. C'est le moment de vérité où les expressions littérales se transforment en résultats chiffrés et interprétables. Double-vérifiez chaque calcul.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Avancement à l'équilibre | \(x_{\text{eq}}\) | 0.191 | mol |
| Pression totale | \(P_{\text{tot}}\) | 200 | atm |
Astuces
Une excellente façon de vérifier vos calculs finaux est de sommer les trois pressions partielles que vous obtenez. Le résultat doit être égal (ou très proche, en raison des arrondis) à la pression totale de l'énoncé, soit 200 atm. Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur de calcul.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nombre de moles total à l'équilibre (\(n_{\text{tot}}\))
On utilise la valeur de \(x_{\text{eq}}\) pour trouver le nombre de moles total.
Étape 2 : Calcul des pressions partielles (\(P_i\))
Calcul de la pression partielle de diazote (\(P_{\text{N}_2}\))
Calcul de la pression partielle de dihydrogène (\(P_{\text{H}_2}\))
Calcul de la pression partielle d'ammoniac (\(P_{\text{NH}_3}\))
Schéma (Après les calculs)
Un diagramme en barres permet de visualiser la composition du mélange final à l'équilibre.
Composition du Mélange Gazeux à l'Équilibre
Réflexions
On observe que les pressions partielles des réactifs (\(N_2\) et \(H_2\)) restent très élevées par rapport à celle du produit (\(NH_3\)). Cela signifie que même à 200 atm, le rendement de la réaction n'est pas complet, ce qui est cohérent avec une constante d'équilibre \(K_p\) faible (\(1.65 \times 10^{-4}\)). L'équilibre est majoritairement en faveur des réactifs.
Points à retenir
La valeur de l'avancement à l'équilibre (\(x_{\text{eq}}\)) est la clé qui déverrouille la composition quantitative finale du système. Une fois \(x_{\text{eq}}\) connu, le calcul de n'importe quelle grandeur à l'équilibre (moles, fractions molaires, pressions partielles) devient une simple application numérique.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les pressions partielles que vous venez de calculer, vérifiez que l'on retrouve bien la valeur de \(K_p\) de l'énoncé. Calculez : \(Q_p = \frac{(21.12)^2}{(44.72)(134.16)^3}\).
Outil Interactif : Simulateur de Mélange Gazeux
Cet outil vous permet de visualiser comment les pressions partielles dépendent de la composition d'un mélange et de la pression totale, selon la loi de Dalton. Attention, ce simulateur ne calcule pas l'équilibre, il illustre la relation entre quantités de matière et pressions pour un mélange donné.
Composition du Mélange et Pression
Pressions Partielles Calculées
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon la loi de Dalton, la pression partielle d'un gaz dans un mélange est...
2. Pour la réaction \(N_2(\text{g}) + 3H_2(\text{g}) \rightleftharpoons 2NH_3(\text{g})\), une augmentation de la pression totale va...
3. Quelle est l'unité de la constante \(K_p\) pour la réaction de cet exercice ?
4. Si le quotient réactionnel \(Q_p\) est inférieur à \(K_p\), la réaction...
Glossaire
- Équilibre Chimique
- État d'un système réactionnel dans lequel les concentrations (ou pressions partielles) des réactifs et des produits n'évoluent plus au cours du temps.
- Pression Partielle
- La pression qu'exercerait un gaz d'un mélange s'il occupait seul tout le volume disponible, à la même température.
- Constante d'Équilibre (\(K_p\))
- Quotient des pressions partielles des produits sur celles des réactifs, chacune élevée à la puissance de son coefficient stœchiométrique. Elle caractérise l'état d'équilibre et ne dépend que de la température.
- Loi de Dalton
- La pression totale d'un mélange de gaz parfaits est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz constituant le mélange.
- Principe de Le Chatelier
- Si l'on impose une modification (de concentration, température, ou pression) à un système à l'équilibre, celui-ci réagit de façon à s'opposer, si possible, à cette modification.
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