Calcul de la Vitesse Quadratique Moyenne des Molécules d'un Gaz
Comprendre la Vitesse Quadratique Moyenne (\(v_{rms}\))
La vitesse quadratique moyenne, ou \(v_{rms}\) (de l'anglais "root-mean-square speed"), est une mesure statistiquement significative de la vitesse des particules dans un gaz. Contrairement à la simple vitesse moyenne, la \(v_{rms}\) est directement liée à l'énergie cinétique moyenne des molécules du gaz. Le théorème d'équipartition de l'énergie stipule que l'énergie cinétique moyenne d'une particule est proportionnelle à la température absolue (\(\langle E_c \rangle = \frac{3}{2}k_B T\)). En reliant cette énergie à la définition de l'énergie cinétique (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)), on peut dériver une expression pour la \(v_{rms}\), nous donnant un aperçu de l'agitation thermique typique des molécules.
Données de l'étude
- Gaz : Hélium (He), un gaz parfait monoatomique.
- Température (\(T\)) : \(500 \, \text{K}\) (soit 227 °C)
- Masse molaire de l'hélium (\(M\)) : \(4.003 \, \text{g/mol}\)
- Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{\text{-1}} \cdot \text{K}^{\text{-1}}\)
Agitation Thermique des Atomes d'Hélium
Questions à traiter
- Énoncer la relation entre l'énergie cinétique moyenne \(\langle E_c \rangle\) d'une particule monoatomique et la température \(T\).
- En déduire la formule de la vitesse quadratique moyenne \(v_{rms}\) en fonction de \(R\), \(T\) et de la masse molaire \(M\).
- Convertir la masse molaire de l'hélium en unités SI (kg/mol).
- Calculer la valeur numérique de la vitesse quadratique moyenne (\(v_{rms}\)) des atomes d'hélium.
Correction : Calcul de la Vitesse Quadratique Moyenne d'un Gaz
Question 1 : Énergie Cinétique Moyenne
Principe :
Le théorème d'équipartition de l'énergie, un résultat fondamental de la thermodynamique statistique, stipule que chaque degré de liberté quadratique dans l'énergie contribue pour \(\frac{1}{2}k_B T\) à l'énergie moyenne. Une particule monoatomique a trois degrés de liberté de translation (selon les axes x, y, z).
Formule :
Question 2 : Formule de la Vitesse Quadratique Moyenne (\(v_{rms}\))
Principe :
L'énergie cinétique moyenne est par définition \(\langle E_c \rangle = \langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{1}{2}m \langle v^2 \rangle\). La vitesse quadratique moyenne est \(v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}\). En égalant les deux expressions de l'énergie cinétique moyenne, on peut isoler \(v_{rms}\).
Dérivation :
Pour passer à une formule utilisant la masse molaire \(M\), on utilise les relations \(R = N_A k_B\) et \(M = N_A m\), où \(N_A\) est le nombre d'Avogadro. Cela donne \(\frac{k_B}{m} = \frac{R}{M}\).
Question 3 : Conversion de la Masse Molaire
Calcul :
Question 4 : Calcul Numérique de \(v_{rms}\)
Principe :
On applique la formule dérivée à la question 2 avec les données numériques de l'énoncé, en veillant à utiliser les unités du Système International.
Calcul :
Cette vitesse est très élevée, équivalente à plus de 6300 km/h. C'est pourquoi les gaz légers comme l'hélium peuvent s'échapper de l'attraction terrestre.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. L'énergie cinétique moyenne d'un gaz diatomique (comme O₂) à la même température serait :
Attention : La question porte sur l'énergie cinétique de translation, qui ne dépend que de T, pas sur l'énergie interne totale.
2. Si la température du gaz double, la vitesse quadratique moyenne est :
Glossaire
- Vitesse Quadratique Moyenne (\(v_{rms}\))
- Mesure statistique de la vitesse des particules d'un gaz. C'est la racine carrée de la moyenne des carrés des vitesses (\(v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}\)). Elle est directement proportionnelle à la racine carrée de la température absolue.
- Théorème d'Équipartition de l'Énergie
- Théorème de la thermodynamique statistique qui énonce qu'à l'équilibre thermique, l'énergie totale d'un système se répartit équitablement entre ses divers degrés de liberté. Chaque degré de liberté quadratique contribue pour \(\frac{1}{2}k_B T\) à l'énergie moyenne.
- Degré de Liberté
- Nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire l'état d'un système. Pour une particule ponctuelle dans l'espace, il y a 3 degrés de liberté de translation.
D’autres exercices de Thermodynamique Statistique:
0 commentaires