Bilan Énergétique d’un Compresseur Adiabatique
Contexte : La thermodynamique des systèmes ouverts.
Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un compresseur, un appareil essentiel dans de nombreuses applications industrielles (réfrigération, moteurs à réaction, etc.). Nous allons appliquer le premier principe de la thermodynamiqueAussi connu comme le principe de conservation de l'énergie, il stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, seulement transformée. à un système ouvert fonctionnant en régime permanent. L'objectif est de quantifier l'énergie nécessaire pour comprimer un gaz (ici, de l'air) dans des conditions idéales, dites isentropiquesUn processus qui est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur) et réversible (sans création d'entropie). C'est le cas de compression le plus efficace théoriquement., puis de comparer ces résultats à un cas réel plus réaliste.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un processus de compression, à appliquer les lois des gaz parfaits, et à distinguer le cas idéal (isentropique) du cas réel en utilisant la notion de rendement.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
- Utiliser la loi de Laplace pour une transformation isentropique d'un gaz parfait.
- Calculer la température de sortie et le travail technique pour une compression idéale.
- Introduire et utiliser le concept de rendement isentropique pour calculer le travail et la température réels.
Données de l'étude
Schéma du Compresseur
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression d'entrée | \(P_1\) | 1 | bar |
| Température d'entrée | \(T_1\) | 298.15 | K |
| Pression de sortie | \(P_2\) | 8 | bar |
| Indice isentropique (air) | \(\gamma\) | 1.4 | - |
| Capacité thermique massique (air) | \(C_p\) | 1005 | J/(kg·K) |
| Rendement isentropique | \(\eta_{\text{is}}\) | 0.85 | - |
Questions à traiter
Partie 1 : Compression Idéale (Isentropique)
- Déterminer la température de l'air \(T_{\text{2,is}}\) à la sortie du compresseur si la compression était isentropique.
- Calculer le travail technique massique isentropique \(w_{\text{c,is}}\) requis par le compresseur.
Partie 2 : Compression Réelle
- En utilisant le rendement isentropique, calculer le travail technique massique réel \(w_{\text{c,réel}}\) consommé.
- En déduire la température réelle de l'air \(T_{\text{2,réel}}\) à la sortie du compresseur.
Les bases de la Thermodynamique Appliquée
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois outils : le premier principe, la loi de Laplace et la définition du rendement isentropique.
1. Premier Principe (Système Ouvert en Régime Permanent)
Pour un volume de contrôle, en négligeant les énergies cinétique et potentielle, le bilan énergétique massique (par kg de fluide) s'écrit :
\[ q + w_c = h_2 - h_1 \]
Où \(q\) est la chaleur échangée, \(w_c\) le travail technique et \(h\) l'enthalpieGrandeur thermodynamique qui représente l'énergie totale d'un système. Pour un gaz parfait, sa variation ne dépend que de la température : Δh = Cp·ΔT. massique. Pour un processus adiabatique, \(q=0\).
2. Loi de Laplace (Transformation Isentropique)
Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique (adiabatique et réversible), les états sont liés par :
\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \]
3. Rendement Isentropique d'un Compresseur
Le rendement isentropique \(\eta_{\text{is}}\) compare le travail minimum théorique (isentropique) au travail réel nécessaire pour atteindre la même pression de sortie. Comme le travail réel est toujours plus élevé à cause des irréversibilités (frottements), le rendement est toujours inférieur à 1.
\[ \eta_{\text{is}} = \frac{\text{Travail isentropique}}{\text{Travail réel}} = \frac{w_{\text{c,is}}}{w_{\text{c,réel}}} = \frac{h_{\text{2,is}} - h_1}{h_{\text{2,réel}} - h_1} \]
Correction : Bilan Énergétique d’un Compresseur Adiabatique
Question 1 : Calcul de la température de sortie isentropique \(T_{\text{2,is}}\)
Principe
Le concept physique ici est celui de la compression adiabatique réversible. Lorsqu'on comprime un gaz sans échange de chaleur (adiabatique) et sans pertes internes (réversible), l'énergie fournie se transforme intégralement en une augmentation de l'énergie interne du gaz, ce qui se manifeste par une hausse de sa température et de sa pression selon une loi bien précise.
Mini-Cours
Une transformation isentropique est une idéalisation. Elle implique une entropie constante (\(s_2 = s_1\)). Pour un gaz parfait, cela conduit aux lois de Laplace, qui relient les variables d'état (P, V, T) entre le début et la fin de la transformation. La relation liant P et T est particulièrement utile pour les compresseurs et turbines.
Remarque Pédagogique
Pensez au cas isentropique comme la "meilleure performance possible". C'est une référence théorique, un benchmark. En calculant d'abord ce cas idéal, on établit une base à laquelle on pourra comparer les performances du compresseur réel. C'est une démarche standard en ingénierie.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul, mais il s'appuie sur les principes fondamentaux de la thermodynamique classique, universellement reconnus et enseignés.
Formule(s)
L'outil mathématique est la loi de Laplace pour une transformation isentropique d'un gaz parfait, reliant les températures et les pressions.
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par les hypothèses suivantes, qui permettent d'utiliser la formule ci-dessus.
- L'air est assimilé à un gaz parfait.
- La transformation est adiabatique et réversible (isentropique).
- Le régime est permanent.
- Les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligeables.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour cette question sont extraits de l'énoncé.
- \(T_1 = 298.15 \text{ K}\)
- \(P_1 = 1 \text{ bar}\)
- \(P_2 = 8 \text{ bar}\)
- \(\gamma = 1.4\)
Astuces
Le rapport \(P_2/P_1\) est appelé taux de compression. Comme c'est un rapport, les unités de pression s'annulent. Vous pouvez donc laisser les pressions en bar sans les convertir en Pascal, ce qui simplifie le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé représente bien le système : un fluide entre à l'état 1, reçoit du travail \(W_c\), et sort à l'état 2. Pour cette question, on cherche la température \(T_2\) dans le cas idéal.
Modélisation du système
Calcul(s)
L'application numérique consiste à insérer les données dans la formule. L'exposant est d'abord calculé séparément pour plus de clarté.
Étape 1 : Calcul de l'exposant
Étape 2 : Calcul de la température
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter cette transformation dans un diagramme Température-entropie (T-s). Une transformation isentropique est une ligne verticale (entropie constante).
Diagramme T-s de la compression isentropique
Réflexions
L'interprétation du résultat est que même dans un cas parfait, comprimer un gaz l'échauffe considérablement. La température passe de 25°C (298.15 K) à environ 267°C (540 K). C'est une conséquence directe de la conversion de l'énergie de travail en énergie interne.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier d'utiliser les températures en Kelvin. Toutes les formules de thermodynamique utilisant des rapports ou des produits de températures (comme la loi de Laplace) nécessitent des températures absolues.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez que : Isentropique = Adiabatique + Réversible. Pour un gaz parfait, cela implique directement l'utilisation des lois de Laplace. La relation T-P est la plus directe pour les compresseurs.
Le saviez-vous ?
Le concept d'entropie et de processus isentropique a été développé par des scientifiques comme Rudolf Clausius au 19ème siècle. Ces concepts ont permis de formuler le Second Principe de la thermodynamique et de définir les limites théoriques de l'efficacité des machines thermiques, comme le fameux cycle de Carnot.
FAQ
Résultat Final
La conclusion chiffrée est la température de sortie dans le cas d'une compression idéale.
A vous de jouer
Si le taux de compression était de 10 au lieu de 8, quelle serait la nouvelle température de sortie isentropique ?
Question 2 : Calcul du travail technique isentropique \(w_{\text{c,is}}\)
Principe
Le concept physique est le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système ouvert (le compresseur). Pour un processus adiabatique, l'énergie fournie sous forme de travail sert exclusivement à augmenter l'enthalpie du fluide qui le traverse.
Mini-Cours
L'enthalpie (\(h\)) est une propriété très utile pour les systèmes ouverts car elle combine l'énergie interne (\(u\)) et l'énergie de pression (\(Pv\)) : \(h = u + Pv\). La variation d'enthalpie représente ainsi l'énergie totale échangée par le fluide. Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie ne dépend que de la variation de température : \(\Delta h = C_p \Delta T\).
Remarque Pédagogique
Le conseil ici est de toujours commencer par écrire le premier principe dans sa forme générale, puis de le simplifier en fonction des hypothèses (régime permanent, adiabatique, etc.). Cette méthode structurée évite les erreurs et montre que vous maîtrisez le raisonnement.
Normes
La convention de signe en thermodynamique est importante. Le travail reçu par un système (comme un compresseur) est positif. Le travail fourni par un système (comme une turbine) est négatif. Le calcul \(h_2 - h_1\) donnera naturellement un résultat positif, cohérent avec un travail reçu.
Formule(s)
L'outil mathématique est le premier principe simplifié pour un compresseur adiabatique, combiné à la définition de l'enthalpie pour un gaz parfait.
Hypothèses
On reprend les mêmes hypothèses que pour la question 1, notamment le fait que l'air est un gaz parfait et que \(C_p\) est constant.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont la capacité thermique et les températures d'entrée et de sortie isentropique.
- \(T_1 = 298.15 \text{ K}\)
- \(T_{\text{2,is}} = 540.0 \text{ K}\) (calculé à la Q1)
- \(C_p = 1005 \text{ J/(kg·K)}\)
Astuces
Le résultat sera en J/kg. Pensez à le convertir en kJ/kg, une unité plus courante pour le travail massique en ingénierie, en divisant par 1000. Cela rend les nombres plus faciles à manipuler et à comparer.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre le bilan d'énergie sur le compresseur, où le travail fourni (\(w_c\)) augmente l'enthalpie du fluide de \(h_1\) à \(h_2\).
Bilan d'énergie sur le volume de contrôle
Calcul(s)
L'application numérique est directe.
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme à barres visualise l'augmentation de l'enthalpie. Le travail isentropique est la différence de hauteur entre l'enthalpie finale et initiale.
Visualisation de la variation d'enthalpie
Réflexions
Ce résultat quantifie l'énergie minimale nécessaire. Il faut fournir 243.1 kJ pour comprimer chaque kilogramme d'air de 1 à 8 bars dans des conditions parfaites. C'est une quantité d'énergie considérable, ce qui explique pourquoi les compresseurs sont de grands consommateurs d'énergie dans l'industrie.
Points de vigilance
Assurez-vous que la variation de température \(\Delta T\) est bien en Kelvin (ou en Celsius, car une différence est identique dans les deux échelles), et que les unités de \(C_p\) et de \(\Delta T\) sont cohérentes pour donner un travail en J/kg.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez la formule clé pour un système adiabatique : \(w_c = \Delta h\). Pour un gaz parfait, cela devient \(w_c = C_p \Delta T\). C'est l'une des relations les plus importantes pour l'étude des turbomachines.
Le saviez-vous ?
James Prescott Joule, dont le nom a été donné à l'unité d'énergie, a mené des expériences célèbres au 19ème siècle montrant l'équivalence entre le travail mécanique et la chaleur, jetant les bases du premier principe de la thermodynamique.
FAQ
Résultat Final
La conclusion chiffrée est le travail minimal théorique requis.
A vous de jouer
Si on utilisait de l'hélium (\(\gamma=1.66\), \(C_p=5193\) J/kg.K) au lieu de l'air, quel serait le travail isentropique requis (en kJ/kg) ? (Utilisez \(T_{\text{2,is,He}} = 298.15 \times 8^{(1.66-1)/1.66} \approx 749.6\) K).
Question 3 : Calcul du travail technique réel \(w_{\text{c,réel}}\)
Principe
Le concept physique est celui de l'irréversibilité. Dans un compresseur réel, des phénomènes comme les frottements du gaz sur les parois, la turbulence et le brassage interne dissipent de l'énergie. Cette énergie "perdue" doit être compensée par un apport de travail supplémentaire pour atteindre la même pression finale. Le rendement isentropique quantifie cette inefficacité.
Mini-Cours
Le rendement isentropique est une mesure de performance. Pour un compresseur, on veut minimiser le travail consommé. Le rendement est donc défini comme le rapport du travail idéal (le plus petit possible) sur le travail réel (plus grand) : \(\eta_{\text{is}} = w_{\text{is}} / w_{\text{réel}}\). Cette définition assure que \(\eta_{\text{is}}\) est toujours inférieur à 1, ce qui est physiquement cohérent.
Remarque Pédagogique
Le conseil est de toujours se demander, pour un rendement, quelle est la grandeur "désirée" et quelle est la grandeur "réellement payée". Pour un compresseur, on désire le moins de travail possible (\(w_{\text{is}}\)) mais on paye plus (\(w_{\text{réel}}\)). Le rendement est donc "désiré / payé". Pour une turbine, ce serait l'inverse !
Normes
Les fabricants de compresseurs fournissent des courbes de performance et des rendements (isentropique ou polytropique) basés sur des normes de test internationales (ex: ISO 5389, ASME PTC 10) pour garantir que les données sont comparables et fiables.
Formule(s)
L'outil mathématique est la définition du rendement isentropique, réarrangée pour trouver le travail réel.
Hypothèses
La seule nouvelle hypothèse est que le rendement isentropique donné (0.85) est constant sur toute la plage de fonctionnement considérée.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont le travail idéal calculé et le rendement fourni.
- \(w_{\text{c,is}} = 243.1 \text{ kJ/kg}\) (calculé à la Q2)
- \(\eta_{\text{is}} = 0.85\)
Astuces
Puisque le rendement est un nombre sans dimension, il n'y a pas de conversion d'unité à faire. Le travail réel aura la même unité que le travail isentropique (kJ/kg).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre la répartition du travail réel. Une partie devient du travail utile (isentropique), l'autre est perdue à cause des irréversibilités.
Concept du rendement isentropique
Calcul(s)
L'application numérique est une simple division.
Schéma (Après les calculs)
Dans le diagramme T-s, le processus réel part du même point 1 mais se termine à une entropie plus élevée (\(s_{\text{2,réel}} > s_{\text{2,is}}\)) car les irréversibilités génèrent de l'entropie.
Diagramme T-s : Compression réelle vs isentropique
Réflexions
Le travail réel est supérieur de \((286.0 - 243.1) = 42.9\) kJ/kg. Cela signifie que pour chaque kg d'air, 42.9 kJ d'énergie de travail supplémentaire sont consommés et transformés en chaleur à cause des imperfections du compresseur. C'est une perte nette d'efficacité.
Points de vigilance
Ne jamais diviser par le rendement pour une machine qui produit du travail (turbine) et ne jamais multiplier pour une machine qui en consomme (compresseur, pompe). Le travail réel d'un compresseur est TOUJOURS supérieur à son équivalent isentropique.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez la définition du rendement d'un compresseur : \(\eta_{\text{is}} = w_{\text{is}} / w_{\text{réel}}\). C'est le pont qui permet de passer du monde idéal des calculs simples au monde réel de l'ingénierie.
Le saviez-vous ?
Les compresseurs centrifuges modernes utilisés dans les moteurs d'avion ou les grands procédés industriels peuvent atteindre des rendements isentropiques supérieurs à 90%. Chaque point de pourcentage de rendement gagné représente des économies d'énergie et des réductions d'émissions de CO2 considérables à grande échelle.
FAQ
Résultat Final
La conclusion chiffrée est le travail réellement consommé par la machine.
A vous de jouer
Si le compresseur était moins performant, avec un rendement de 75% seulement, quel serait le travail réel requis ?
Question 4 : Calcul de la température de sortie réelle \(T_{\text{2,réel}}\)
Principe
Le concept physique est à nouveau le premier principe. Le travail réel, plus élevé, est entièrement converti en une augmentation d'enthalpie (puisque le compresseur reste adiabatique). Une augmentation d'enthalpie plus importante pour un gaz parfait se traduit directement par une augmentation de température plus importante.
Mini-Cours
La relation \(w_c = C_p (T_2 - T_1)\) est générale pour un compresseur adiabatique fonctionnant avec un gaz parfait. Elle est valable que le processus soit réversible (isentropique) ou irréversible (réel). C'est l'application du premier principe. La seule chose qui change est la valeur de \(w_c\) et, par conséquent, la valeur de \(T_2\).
Remarque Pédagogique
C'est une étape de vérification importante. La température de sortie réelle doit être supérieure à la température isentropique. Si vous trouvez une valeur inférieure, il y a certainement une erreur dans votre raisonnement ou vos calculs (probablement dans l'application du rendement).
Normes
Dans l'industrie, la température de refoulement (sortie) d'un compresseur est un paramètre de sécurité crucial. Des températures trop élevées peuvent endommager le matériel, dégrader les lubrifiants ou même provoquer l'auto-inflammation de certains gaz. Elle est donc constamment surveillée.
Formule(s)
On part du premier principe pour le cas réel et on isole la température de sortie \(T_{\text{2,réel}}\).
Hypothèses
Les hypothèses restent les mêmes : gaz parfait, \(C_p\) constant, processus adiabatique.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont le travail réel, la température d'entrée et la capacité thermique.
- \(w_{\text{c,réel}} = 286.0 \text{ kJ/kg} = 286000 \text{ J/kg}\) (calculé à la Q3)
- \(T_1 = 298.15 \text{ K}\)
- \(C_p = 1005 \text{ J/(kg·K)}\)
Astuces
Une autre façon de calculer \(T_{\text{2,réel}}\) est d'utiliser directement la définition du rendement : \(\eta_{\text{is}} = (T_{\text{2,is}} - T_1) / (T_{\text{2,réel}} - T_1)\). En isolant \(T_{\text{2,réel}}\), on obtient le même résultat. C'est un bon moyen de vérifier votre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le bilan d'énergie est le même que pour la question 2, mais cette fois avec les grandeurs réelles, ce qui mènera à une température de sortie plus élevée.
Bilan d'énergie pour le cas réel
Calcul(s)
L'application numérique nécessite une attention aux unités.
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma compare les niveaux de température atteints. L'inefficacité du compresseur se traduit par un échauffement supplémentaire du gaz.
Comparaison des températures de sortie
Réflexions
La température réelle est de 582.7 K (~310°C), soit plus de 42 degrés plus chaude que la température idéale de 540 K (~267°C). Cet "extra" échauffement est la manifestation thermique directe de l'inefficacité de la compression. C'est une énergie qui aurait pu être économisée avec un compresseur parfait.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est l'incohérence des unités entre le travail (souvent en kJ/kg) et le \(C_p\) (souvent en J/kg.K). Toujours convertir l'un ou l'autre pour utiliser des unités de base (Joules) avant la division.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez que les irréversibilités (quantifiées par \(\eta_{\text{is}} < 1\)) ont deux conséquences : un travail réel plus élevé et une température de sortie réelle plus élevée. Ces deux aspects sont indissociables.
Le saviez-vous ?
Pour limiter cette hausse de température, les compresseurs industriels sont souvent multi-étagés. Entre chaque étage de compression, l'air passe dans un refroidisseur (intercooler) pour abaisser sa température. Cela permet de réduire le travail total nécessaire pour la compression et de maintenir les températures à des niveaux acceptables.
FAQ
Résultat Final
La conclusion chiffrée est la température de sortie réelle du compresseur.
A vous de jouer
Avec le rendement de 75% de la question précédente, quelle serait la température de sortie réelle ? (Utilisez \(w_{\text{c,réel}} = 324.1\) kJ/kg).
Outil Interactif : Simulateur de Compression
Utilisez les curseurs pour faire varier le taux de compression et la température d'entrée. Observez l'impact sur la température de sortie et le travail requis. Le graphique montre comment le travail massique évolue en fonction du taux de compression pour la température d'entrée sélectionnée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (Isentropiques)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un processus isentropique est par définition :
2. Un rendement isentropique de 0.85 signifie que le travail réel est...
3. Si le taux de compression (\(P_2/P_1\)) augmente, le travail requis pour la compression :
4. Dans un compresseur réel (non-idéal), la température de sortie est :
5. Pourquoi est-il essentiel d'utiliser les températures en Kelvin dans la loi de Laplace ?
Glossaire
- Processus Adiabatique
- Une transformation thermodynamique qui se produit sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
- Processus Isentropique
- Une transformation qui est à la fois adiabatique et réversible. L'entropie du système reste constante. C'est le processus de compression le plus efficace possible.
- Enthalpie (h)
- Une fonction d'état qui représente l'énergie totale d'un système thermodynamique. Elle inclut l'énergie interne plus le produit de la pression et du volume. Pour un gaz parfait, \(\Delta h = C_p \Delta T\).
- Rendement Isentropique (\(\eta_{\text{is}}\))
- Pour un compresseur, c'est le rapport entre le travail théorique minimum (isentropique) et le travail réel nécessaire pour obtenir la même augmentation de pression. Il mesure l'efficacité de la compression par rapport au cas idéal.
- Travail Technique (w)
- Dans un système ouvert, c'est le travail utile échangé, par exemple, via l'arbre rotatif d'un compresseur ou d'une turbine. Il est directement lié à la variation d'enthalpie du fluide.
D’autres exercices de thermodynamique classique:
0 commentaires