ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Bilan d’entropie local pour un fluide en écoulement

Bilan d'entropie local pour un fluide en écoulement

Bilan d'entropie local pour un fluide en écoulement

Comprendre le Bilan d'Entropie Local

Le second principe de la thermodynamique, appliqué à un volume infinitésimal d'un fluide, conduit à une équation de bilan local pour l'entropie. Cette équation stipule que la variation temporelle de la densité d'entropie est la somme de deux termes : un terme de flux (divergence du flux d'entropie) et un terme de source, appelé taux de production d'entropie (\(\sigma\)). Ce taux de production est toujours positif ou nul et quantifie l'irréversibilité des processus locaux, tels que la conduction thermique (due à un gradient de température) et la dissipation visqueuse (due à un gradient de vitesse).

Données de l'étude

On étudie l'écoulement laminaire et stationnaire d'un fluide visqueux (huile) dans un conduit cylindrique. Le fluide est chauffé par les parois du conduit.

Schéma : Écoulement dans un Conduit
Paroi du conduit (Tw) v(r) Flux de chaleur

L'écoulement cisaillé (gradient de vitesse) et le transfert de chaleur (gradient de température) créent de l'entropie.

Conditions et constantes :

  • On se place à un point dans le fluide où les gradients locaux sont connus.
  • Gradient de vitesse (cisaillement) : \(\frac{dv}{dr} = -50 \, \text{s}^{-1}\)
  • Gradient de température : \(\frac{dT}{dr} = -200 \, \text{K/m}\)
  • Température locale : \(T = 320 \, \text{K}\) (47 °C)
  • Viscosité dynamique de l'huile : \(\eta = 0.8 \, \text{Pa}\cdot\text{s}\)
  • Conductivité thermique de l'huile : \(\lambda = 0.15 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Écrire l'expression générale du taux de production d'entropie volumique (\(\sigma\)) pour un fluide avec conduction et dissipation visqueuse.
  2. Calculer le terme de production d'entropie dû à la conduction thermique (\(\sigma_{\text{cond}}\)).
  3. Calculer le terme de production d'entropie dû à la dissipation visqueuse (\(\sigma_{\text{visc}}\)).
  4. Calculer le taux de production d'entropie total (\(\sigma\)) au point considéré.
  5. Comparer les deux contributions. Quelle est la source d'irréversibilité dominante à ce point ?

Correction : Bilan d'entropie local pour un fluide en écoulement

Question 1 : Expression du taux de production d'entropie (\(\sigma\))

Principe :

Le taux de production d'entropie volumique est la somme des produits de chaque flux par sa force thermodynamique conjuguée. Pour le transfert de chaleur, le flux est \(J_q\) et la force est \(\nabla(1/T)\). Pour la dissipation visqueuse, le flux est le tenseur des contraintes et la force est le gradient de vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :

Dans notre cas unidimensionnel (radial), l'expression se simplifie :

\[ \sigma = \underbrace{\frac{\lambda}{T^2} \left(\frac{dT}{dr}\right)^2}_{\sigma_{\text{cond}}} + \underbrace{\frac{\eta}{T} \left(\frac{dv}{dr}\right)^2}_{\sigma_{\text{visc}}} \]
Résultat Question 1 : \(\sigma = \frac{\lambda}{T^2} \left(\frac{dT}{dr}\right)^2 + \frac{\eta}{T} \left(\frac{dv}{dr}\right)^2\).

Question 2 : Production d'entropie par conduction (\(\sigma_{\text{cond}}\))

Principe :

On calcule le premier terme de l'expression de \(\sigma\) en utilisant les données de l'énoncé. Ce terme représente l'irréversibilité due au fait que la chaleur se propage à travers une différence de température.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{cond}} &= \frac{0.15}{(320)^2} \cdot (-200)^2 \\ &= \frac{0.15}{102400} \cdot 40000 \\ &= (1.465 \times 10^{-6}) \cdot (40000) \\ &\approx 0.0586 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La production d'entropie par conduction thermique est \(\sigma_{\text{cond}} \approx 0.0586 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 3 : Production d'entropie par dissipation visqueuse (\(\sigma_{\text{visc}}\))

Principe :

On calcule le second terme de l'expression de \(\sigma\). Ce terme représente l'irréversibilité due au frottement interne du fluide (viscosité) lorsqu'il y a un cisaillement (gradient de vitesse).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{visc}} &= \frac{0.8}{320} \cdot (-50)^2 \\ &= (0.0025) \cdot 2500 \\ &= 6.25 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La production d'entropie par dissipation visqueuse est \(\sigma_{\text{visc}} = 6.25 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 4 : Taux de production d'entropie total (\(\sigma\))

Principe :

Le taux de production total est simplement la somme des deux contributions calculées précédemment.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \sigma_{\text{cond}} + \sigma_{\text{visc}} \\ &= 0.0586 + 6.25 \\ &= 6.3086 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le taux de production d'entropie total est \(\sigma \approx 6.31 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 5 : Comparaison des contributions

Principe :

On compare les valeurs numériques de \(\sigma_{\text{cond}}\) et \(\sigma_{\text{visc}}\) pour déterminer quel processus irréversible est dominant.

Analyse :
\[ \frac{\sigma_{\text{visc}}}{\sigma_{\text{cond}}} = \frac{6.25}{0.0586} \approx 106.6 \]

La production d'entropie due à la dissipation visqueuse est plus de 100 fois supérieure à celle due à la conduction thermique.

Résultat Question 5 : Dans ces conditions, la dissipation visqueuse est la source d'irréversibilité largement dominante.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le taux de production d'entropie \(\sigma\) dans un processus réel est...

2. La dissipation visqueuse est une création d'entropie due...

3. Si la viscosité \(\eta\) de l'huile était plus faible, la production d'entropie totale...

Glossaire

Bilan d'Entropie Local
Équation de conservation appliquée à l'entropie pour un volume infinitésimal. Elle exprime la variation locale d'entropie comme la somme d'un flux d'entropie et d'un terme de production d'entropie.
Production d'Entropie Volumique (\(\sigma\))
Taux de création d'entropie par unité de volume, dû aux processus irréversibles se produisant localement. Unité : W·m⁻³·K⁻¹.
Dissipation Visqueuse
Conversion irréversible d'énergie mécanique en chaleur due aux forces de frottement interne dans un fluide en écoulement cisaillé. C'est une source de production d'entropie.
Flux et Forces Thermodynamiques
Un flux (J) représente un transport (de chaleur, de matière, etc.). Une force (X) est la cause qui génère ce flux (un gradient). La production d'entropie est la somme des produits de chaque flux par sa force conjuguée.
Écoulement de Poiseuille
Écoulement laminaire d'un fluide visqueux dans un conduit cylindrique, caractérisé par un profil de vitesse parabolique.
Bilan d'Entropie Local - Exercice d'Application

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