ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Application du théorème du viriel à un gaz réel

Thermodynamique : Application du Théorème du Viriel à un Gaz Réel

Application du théorème du viriel à un gaz réel

Contexte : Au-delà du Gaz Parfait

La loi des gaz parfaits (\(PV = nRT\)) est une excellente approximation dans de nombreuses situations, mais elle repose sur deux hypothèses fortes : les molécules de gaz sont des points sans volume et elles n'interagissent pas entre elles. En réalité, les molécules ont une taille finie et s'attirent ou se repoussent. Le théorème du virielThéorème de mécanique statistique qui relie la moyenne temporelle de l'énergie cinétique totale d'un système à celle du viriel des forces, qui dépend des forces agissant sur les particules. est un outil puissant de la physique statistique qui permet de lier l'énergie cinétique moyenne des particules (liée à la température) aux forces qui s'exercent sur elles, qu'elles soient externes (pression) ou internes (interactions moléculaires). Cet exercice a pour but d'utiliser ce théorème pour comprendre et quantifier l'écart entre un gaz réel et un gaz parfait, en se basant sur le célèbre modèle de van der WaalsÉquation d'état qui corrige la loi des gaz parfaits pour tenir compte du volume propre des molécules et des forces d'attraction intermoléculaires..

Remarque Pédagogique : Comprendre les gaz réels est crucial en ingénierie (liquéfaction des gaz, chimie industrielle) et en physique fondamentale. Le théorème du viriel offre une perspective microscopique élégante sur la signification des termes correctifs de l'équation de van der Waals, reliant la pression macroscopique aux forces moléculaires.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la signification physique du théorème du viriel.
  • Relier la pression d'un gaz aux forces intermoléculaires.
  • Appliquer l'équation de van der Waals comme modèle de gaz réel.
  • Calculer la pression d'un gaz réel et la comparer à celle du gaz parfait équivalent.
  • Analyser l'influence des paramètres de van der Waals (`a` et `b`) sur le comportement du gaz.

Données de l'étude

On considère une mole (\(n = 1 \, \text{mol}\)) de dioxyde de carbone (\(CO_2\)) confinée dans un volume \(V = 0.5 \, \text{L}\) à une température \(T = 350 \, \text{K}\). On cherche à déterminer la pression de ce gaz en utilisant le modèle de van der Waals.

Schéma : Gaz Parfait vs. Gaz Réel
Gaz Parfait Volume ponctuel, pas d'interaction Gaz Réel (van der Waals) Volume propre, forces d'attraction

Données :

  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Pour le \(CO_2\), constantes de van der Waals :
    • \(a = 0.364 \, \text{J} \cdot \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-2}\)
    • \(b = 4.27 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Convertir le volume \(V\) en unités du Système International (\(\text{m}^3\)).
  2. Calculer la pression \(P_{\text{idéal}}\) que le gaz exercerait s'il était parfait.
  3. Calculer le terme de "pression interne" (\(a(n/V)^2\)) qui corrige la pression en raison des attractions intermoléculaires.
  4. Calculer la pression réelle \(P_{\text{réel}}\) du gaz en utilisant l'équation de van der Waals.

Correction : Application du théorème du viriel à un gaz réel

Question 1 : Conversion du Volume

Principe :
0.5 L 5 × 10⁻⁴ m³

L'homogénéité des unités est fondamentale en physique. Toutes les grandeurs doivent être exprimées dans le Système International (SI) avant d'effectuer les calculs pour garantir un résultat correct. Le volume doit être en mètres cubes (\(\text{m}^3\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une erreur d'unité sur le volume est l'une des fautes les plus communes. Comme le volume apparaît au carré dans l'équation de van der Waals, une erreur de conversion a un impact encore plus grand sur le résultat final.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ 1 \, \text{L} = 1 \, \text{dm}^3 = 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
Donnée(s) :
  • Volume \(V = 0.5 \, \text{L}\)
Calcul(s) :
\[ V = 0.5 \, \text{L} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]
Points de vigilance :

Unités des constantes : Toujours vérifier que les unités des constantes fournies (comme R, a, et b) sont cohérentes avec les unités SI. Ici, elles le sont, ce qui simplifie le calcul.

Le saviez-vous ?

Le litre a été défini à l'origine comme le volume d'un kilogramme d'eau pure. Bien que sa définition ait légèrement changé, il reste une unité de volume très pratique et courante en chimie.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le mètre cube est-il l'unité SI ?

Le Système International est basé sur sept unités fondamentales, dont le mètre pour la longueur. Le volume étant une longueur au cube (\(L^3\)), son unité SI dérivée est logiquement le mètre cube (\(\text{m}^3\)). Utiliser les unités SI garantit la cohérence des calculs sans avoir besoin de facteurs de conversion intermédiaires.

Résultat : Le volume est \(V = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Question 2 : Calcul de la Pression Idéale

Principe :
Pidéal

On calcule d'abord la pression de référence en utilisant la loi des gaz parfaits. C'est la pression qu'exercerait le gaz si ses molécules, considérées comme des points, se déplaçaient sans interagir les unes avec les autres, ne subissant que des chocs élastiques sur les parois.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul de \(P_{\text{idéal}}\) sert de "point zéro". C'est en comparant la pression réelle à cette valeur que l'on pourra quantifier l'effet des interactions moléculaires et du volume propre des particules, c'est-à-dire l'écart par rapport à l'idéalité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{idéal}} V = nRT \Rightarrow P_{\text{idéal}} = \frac{nRT}{V} \]
Donnée(s) :
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(T = 350 \, \text{K}\)
  • \(V = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P_{\text{idéal}} &= \frac{1 \times 8.314 \times 350}{5 \times 10^{-4}} \\ &= \frac{2909.9}{5 \times 10^{-4}} \\ &= 5819800 \, \text{Pa} \\ &\approx 5.82 \times 10^6 \, \text{Pa} \quad (\text{ou } 58.2 \, \text{bar}) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de Pression : Le calcul donne un résultat en Pascals (Pa), l'unité SI de la pression. Il est souvent utile de convertir ce résultat en bars pour une meilleure intuition (\(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)).

Le saviez-vous ?

La constante des gaz parfaits R n'est pas une constante fondamentale au même titre que la vitesse de la lumière. C'est en fait le produit de deux constantes plus fondamentales : la constante de Boltzmann \(k_B\) (qui relie température et énergie à l'échelle microscopique) et le nombre d'Avogadro \(N_A\) (qui relie mole et nombre de particules) : \(R = k_B \times N_A\).

FAQ en rapport avec la question :
Le gaz parfait existe-t-il vraiment ?

Non, le gaz parfait est un modèle théorique. Aucun gaz réel ne suit parfaitement cette loi dans toutes les conditions. Cependant, les gaz légers (comme l'hélium ou l'hydrogène) à basse pression et haute température se comportent de manière très proche de ce modèle.

Résultat : La pression idéale serait d'environ \(5.82 \times 10^6 \, \text{Pa}\).

Question 3 : Calcul de la Pression Interne

Principe :
a(n/V)² Attraction mutuelle

Le terme \(a(n/V)^2\) dans l'équation de van der Waals représente la "pression interne". Il quantifie la réduction de la pression exercée sur les parois due aux forces d'attraction mutuelles entre les molécules. Ces forces "retiennent" les molécules qui s'approchent des parois, diminuant ainsi la force de leur impact.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce terme est une conséquence directe du viriel des forces internes. Le théorème du viriel montre que les forces d'attraction (\(F < 0\)) contribuent négativement à la pression. Le paramètre \(a\) est une mesure macroscopique de l'intensité de ces forces d'attraction. Il est d'autant plus grand que les molécules sont polarisables.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{interne}} = a \left(\frac{n}{V}\right)^2 \]
Donnée(s) :
  • \(a = 0.364 \, \text{J} \cdot \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-2}\)
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(V = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P_{\text{interne}} &= 0.364 \times \left(\frac{1}{5 \times 10^{-4}}\right)^2 \\ &= 0.364 \times (2000)^2 \\ &= 0.364 \times 4 \times 10^6 \\ &= 1456000 \, \text{Pa} \\ &\approx 1.46 \times 10^6 \, \text{Pa} \quad (\text{ou } 14.6 \, \text{bar}) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le carré de la densité : La correction dépend du carré de la densité molaire (\(n/V\)). Cela signifie que l'effet des attractions devient très rapidement important lorsque le volume diminue ou que la quantité de gaz augmente.

Le saviez-vous ?

Le paramètre \(a\) est directement lié à la facilité de liquéfaction d'un gaz. Un gaz avec un grand \(a\) (fortes attractions), comme la vapeur d'eau, est beaucoup plus facile à liquéfier qu'un gaz avec un petit \(a\), comme l'hélium.

FAQ en rapport avec la question :
Cette "pression interne" est-elle une vraie pression ?

Pas au sens d'une pression que l'on pourrait mesurer avec un manomètre. C'est un terme qui a les dimensions d'une pression et qui représente l'effet des forces internes sur la pression externe mesurable. Il est ajouté à la pression externe \(P\) dans l'équation pour former une "pression efficace" que le gaz ressentirait s'il était idéal.

Résultat : La pression interne est d'environ \(1.46 \times 10^6 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Calcul de la Pression Réelle

Principe :
Préel Effets de a et b combinés

On utilise l'équation d'état de van der Waals complète. Elle corrige la pression idéale en soustrayant la pression interne (effet des attractions, terme \(a\)) et en augmentant la pression due à la réduction du volume disponible pour le mouvement (effet du covolume, terme \(b\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les deux corrections agissent en sens opposé sur la pression. Le terme \(a\) (attraction) tend à diminuer la pression par rapport au gaz parfait, tandis que le terme \(b\) (répulsion/volume) tend à l'augmenter. Le résultat final dépend de la compétition entre ces deux effets dans les conditions données.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \left(P_{\text{réel}} + a\frac{n^2}{V^2}\right) (V - nb) = nRT \Rightarrow P_{\text{réel}} = \frac{nRT}{V - nb} - a\frac{n^2}{V^2} \]
Donnée(s) :
  • Toutes les données précédentes
  • \(b = 4.27 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V - nb &= (5 \times 10^{-4}) - (1 \times 4.27 \times 10^{-5}) \\ &= 50 \times 10^{-5} - 4.27 \times 10^{-5} \\ &= 45.73 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{\text{réel}} &= \frac{1 \times 8.314 \times 350}{45.73 \times 10^{-5}} - 1.456 \times 10^6 \\ &= \frac{2909.9}{4.573 \times 10^{-4}} - 1.456 \times 10^6 \\ &\approx (6.363 \times 10^6) - (1.456 \times 10^6) \\ &= 4.907 \times 10^6 \, \text{Pa} \quad (\text{ou } 49.07 \, \text{bar}) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ordre des opérations : Il est crucial de calculer d'abord le terme \(\frac{nRT}{V - nb}\) puis de soustraire le terme \(a\frac{n^2}{V^2}\). Ne pas mélanger les dénominateurs et respecter la priorité des opérations est essentiel.

Le saviez-vous ?

L'équation de van der Waals, publiée en 1873, a été la première à décrire de manière semi-quantitative la transition de phase liquide-gaz. Elle a valu à Johannes Diderik van der Waals le prix Nobel de physique en 1910 pour ses travaux sur "l'équation d'état des gaz et des liquides".

FAQ en rapport avec la question :
Dans ce cas, quel effet domine ? Attraction ou répulsion ?

La pression réelle (\(49.1\) bar) est inférieure à la pression idéale (\(58.2\) bar). Cela signifie que dans ces conditions de température et de volume, l'effet des forces d'attraction (qui diminuent la pression) est plus important que l'effet du volume exclu (qui augmente la pression).

Résultat : La pression réelle du \(CO_2\) dans ces conditions est d'environ \(4.91 \times 10^6 \, \text{Pa}\). C'est environ 16% de moins que la pression prédite par le modèle du gaz parfait.

Simulation : Pression Réelle vs. Pression Idéale

Choisissez un gaz et faites varier la température et le volume. Observez comment l'écart entre le comportement réel et idéal change.

Paramètres du Gaz
Pression Idéale
Pression Réelle (vdW)
Écart
Comparaison des Pressions

Pour Aller Plus Loin : Le Développement du Viriel

Une correction plus fine : L'équation de van der Waals est un premier pas. Des modèles plus sophistiqués existent, comme l'équation du viriel, qui exprime le rapport \(PV/nRT\) comme une série de puissances de la densité (\(1/V\)) : \( \frac{PV}{nRT} = 1 + \frac{B(T)}{V_m} + \frac{C(T)}{V_m^2} + \dots \). Les coefficients \(B(T), C(T), \dots\), appelés coefficients du viriel, dépendent de la température et peuvent être calculés directement à partir du potentiel d'interaction entre les molécules. L'équation de van der Waals peut être vue comme une approximation de cette série.

Le Saviez-Vous ?

Le théorème du viriel a des applications bien au-delà des gaz. En astrophysique, il est utilisé pour estimer la masse d'amas de galaxies. En mesurant la dispersion des vitesses des galaxies (liée à l'énergie cinétique), on peut déduire la masse totale de l'amas (liée à l'énergie potentielle gravitationnelle) nécessaire pour que l'amas soit stable. C'est l'une des méthodes qui a mis en évidence la présence de matière noire.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quand est-ce que le modèle du gaz parfait est suffisant ?

Le modèle du gaz parfait fonctionne très bien à haute température et à basse pression (ou grand volume). Dans ces conditions, l'énergie cinétique des molécules est si grande que les forces d'attraction deviennent négligeables, et la distance entre les molécules est si importante que leur volume propre est insignifiant par rapport au volume total.

Le terme 'b' de van der Waals est-il égal au volume des molécules ?

Pas exactement. Le terme \(b\), appelé covolume, représente le volume "exclu" par les molécules. À cause des répulsions à très courte distance, le centre d'une molécule ne peut pas s'approcher du centre d'une autre à moins d'une certaine distance. On peut montrer que pour des sphères dures, ce volume exclu \(b\) est en fait égal à quatre fois le volume propre total des molécules.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le paramètre `a` de van der Waals est associé...

2. Pour un gaz réel, si on augmente fortement la pression à température constante, l'effet du covolume (terme `b`) devient...

Glossaire

Théorème du Viriel
Théorème général de la mécanique qui relie l'énergie cinétique moyenne d'un système stable à son énergie potentielle moyenne. Pour un gaz, il connecte la température à la pression et aux forces intermoléculaires.
Équation de van der Waals
Équation d'état pour un fluide composé de particules ayant un volume non nul et des forces interparticulaires. Elle corrige la loi des gaz parfaits : \((P + a(n/V)^2)(V - nb) = nRT\).
Pression Interne
Terme correctif (\(a(n/V)^2\)) dans l'équation de van der Waals qui représente la diminution de la pression due aux forces d'attraction entre les molécules du gaz.
Covolume
Terme correctif (\(b\)) dans l'équation de van der Waals qui représente le volume exclu par la présence des molécules. Il est proportionnel au volume propre des molécules.
Application du théorème du viriel à un gaz réel

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