Application de l'Équation d'État de Van der Waals

Comprendre le Gaz de Van der Waals

L'équation des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) est un modèle simple et utile, mais il néglige deux aspects importants des gaz réels : le volume propre des molécules et les forces d'attraction intermoléculaires. L'équation de Van der Waals est une amélioration qui tient compte de ces deux facteurs. Elle ajuste la pression pour inclure les forces d'attraction (terme \(a\)) et le volume pour soustraire le volume inaccessible occupé par les molécules elles-mêmes (terme \(b\)). Cette équation permet de décrire plus précisément le comportement des gaz réels, notamment à haute pression et basse température.

Données de l'étude

On cherche à calculer la pression exercée par une mole de dioxyde de carbone (CO₂) dans des conditions données, en utilisant l'équation de Van der Waals et en la comparant au modèle du gaz parfait.

Conditions et propriétés du CO₂ :

Quantité de matière (\(n\)) : \(1.0 \, \text{mol}\)
Volume du conteneur (\(V\)) : \(0.5 \, \text{L}\)
Température (\(T\)) : \(350 \, \text{K}\)
Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(0.08314 \, \text{L}\cdot\text{bar}\cdot\text{mol}^{\text{-1}}\cdot\text{K}^{\text{-1}}\)
Coefficients de Van der Waals pour le CO₂ :
- \(a = 3.640 \, \text{L}^2\cdot\text{bar}\cdot\text{mol}^{\text{-2}}\)
- \(b = 0.04267 \, \text{L}\cdot\text{mol}^{\text{-1}}\)

Modèle de Van der Waals vs Gaz Parfait

Questions à traiter

Écrire l'équation d'état de Van der Waals pour \(n\) moles de gaz.
Calculer la pression \(P_{\text{vdw}}\) du CO₂ en utilisant l'équation de Van der Waals.
Calculer la pression \(P_{\text{gp}}\) que le CO₂ exercerait s'il était un gaz parfait dans les mêmes conditions.
Comparer les deux pressions et commenter l'importance relative des termes correctifs (\(a\) et \(b\)) dans ces conditions.

Correction : Application de l'Équation d'État de Van der Waals

Question 1 : Équation de Van der Waals

Principe :

L'équation modifie l'équation des gaz parfaits de deux manières. Le terme de pression est augmenté de \(a(n/V)^2\) pour tenir compte des forces d'attraction qui réduisent la pression mesurée. Le volume disponible pour le mouvement des molécules est réduit du "covolume" \(nb\), qui représente le volume propre des molécules.

Formule :

\left( P + a\frac{n^2}{V^2} \right) (V - nb) = nRT

Question 2 : Calcul de la Pression de Van der Waals (\(P_{\text{vdw}}\))

Principe :

On isole le terme de pression \(P\) dans l'équation de Van der Waals et on remplace les variables par leurs valeurs numériques.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{vdw}} = \frac{nRT}{V - nb} - a\frac{n^2}{V^2}

Calcul :

\begin{aligned} P_{\text{vdw}} &= \frac{(1.0)(0.08314)(350)}{0.5 - (1.0)(0.04267)} - (3.640)\frac{(1.0)^2}{(0.5)^2} \\ &= \frac{29.099}{0.45733} - \frac{3.640}{0.25} \\ &= 63.63 \, \text{bar} - 14.56 \, \text{bar} \\ &\approx 49.07 \, \text{bar} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La pression calculée avec l'équation de Van der Waals est \(P_{\text{vdw}} \approx 49.1 \, \text{bar}\).

Question 3 : Calcul de la Pression du Gaz Parfait (\(P_{\text{gp}}\))

Principe :

On utilise simplement l'équation d'état des gaz parfaits \(PV=nRT\) avec les mêmes conditions de volume, température et quantité de matière.

Calcul :

\begin{aligned} P_{\text{gp}} &= \frac{nRT}{V} \\ &= \frac{(1.0)(0.08314)(350)}{0.5} \\ &= \frac{29.099}{0.5} \\ &\approx 58.2 \, \text{bar} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La pression calculée avec le modèle du gaz parfait est \(P_{\text{gp}} \approx 58.2 \, \text{bar}\).

Question 4 : Comparaison et Interprétation

Analyse :

On compare les pressions :

\(P_{\text{vdw}} \approx 49.1 \, \text{bar}\)
\(P_{\text{gp}} \approx 58.2 \, \text{bar}\)

La pression réelle prédite par le modèle de Van der Waals est significativement plus faible que celle prédite par le modèle du gaz parfait (environ 16% de moins).

Interprétation des termes correctifs :

Regardons les deux corrections de Van der Waals :

Le terme \(\frac{nRT}{V-nb} \approx 63.6 \, \text{bar}\) représente la pression qu'exercerait un gaz de particules non ponctuelles mais sans attractions. C'est plus élevé que la pression du gaz parfait car le volume disponible est plus faible. C'est l'effet du covolume (b).
Le terme \(a\frac{n^2}{V^2} \approx 14.6 \, \text{bar}\) représente la réduction de pression due aux forces d'attraction (a) entre les molécules.

Dans ces conditions (volume assez faible), les deux effets sont importants. Cependant, l'effet des forces d'attraction (qui diminue la pression) l'emporte sur l'effet du volume propre des molécules (qui augmente la pression), conduisant à une pression finale inférieure à celle du gaz parfait.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Le terme correctif 'a' de Van der Waals est lié :

Aux forces d'attraction intermoléculaires.
Au volume propre des molécules.
À l'énergie cinétique des molécules.
À la température du gaz.

2. Dans quelles conditions l'équation de Van der Waals se rapproche-t-elle le plus de celle du gaz parfait ?

Haute pression et basse température.
Haute pression et haute température.
Basse pression et haute température.
Basse pression et basse température.

Note: À basse pression (grand volume), les termes correctifs deviennent négligeables.

Glossaire

Équation de Van der Waals: Équation d'état pour un fluide composé de particules ayant un volume non nul et sujettes à des forces d'attraction intermoléculaires. Elle approxime mieux le comportement des gaz réels que l'équation des gaz parfaits.
Gaz Réel: Gaz qui ne suit pas parfaitement l'équation des gaz parfaits car ses molécules ont un volume et interagissent entre elles. Tous les gaz sont réels, mais peuvent être approximés comme parfaits dans certaines conditions.
Terme de Covolume (b): Correction de Van der Waals qui représente le volume molaire exclu par les molécules elles-mêmes. Ce terme réduit le volume "disponible" pour le mouvement.
Terme d'Attraction (a): Correction de Van der Waals qui tient compte des forces d'attraction entre les molécules. Ces forces tendent à réduire la pression que le gaz exerce sur les parois par rapport à un gaz parfait.

Application de l’Équation d’État de Van der Waals