Application de l'équation de Redlich-Kwong
Contexte : Le comportement des gaz réels.
La loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) est un modèle simple et élégant, mais elle ne décrit le comportement des gaz que dans des conditions de basse pression et haute température. Lorsque les molécules se rapprochent, les forces intermoléculaires et le volume propre des molécules deviennent non négligeables. Des équations d'état plus sophistiquées, comme celle de Redlich-Kwong, ont été développées pour modéliser plus précisément ces gaz réelsUn gaz qui ne suit pas la loi des gaz parfaits. Ses molécules ont un volume et interagissent entre elles, ce qui affecte son comportement P-V-T.. Cet exercice vous guidera dans l'application de cette équation pour calculer la pression d'un gaz dans des conditions où le modèle idéal n'est plus valable.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche du thermicien. À partir des propriétés critiques d'un gaz (pression et température critiques), nous allons calculer les paramètres spécifiques de l'équation de Redlich-Kwong, puis l'utiliser pour déterminer la pression du système et la comparer au résultat, erroné, que donnerait la loi des gaz parfaits.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre les limites du modèle du gaz parfait.
- Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) de l'équation de Redlich-Kwong à partir des propriétés critiques.
- Appliquer l'équation de Redlich-Kwong pour trouver la pression d'un système.
- Calculer le facteur de compressibilitéNoté Z, c'est le rapport PV/RT pour une mole de gaz. Pour un gaz parfait, Z=1. Pour un gaz réel, Z dévie de 1 et mesure l'écart par rapport à l'idéalité. pour quantifier l'écart à l'idéalité.
- Comparer les résultats obtenus avec le modèle du gaz parfait et celui de Redlich-Kwong.
Données de l'étude
Schéma du système étudié
Visualisation 3D des molécules de gaz
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 1 | \(\text{mol}\) |
| Volume | \(V\) | 0.5 | \(\text{L}\) |
| Température | \(T\) | 50 | \(\text{°C}\) |
| Pression critique du CO₂ | \(P_c\) | 73.8 | \(\text{bar}\) |
| Température critique du CO₂ | \(T_c\) | 304.1 | \(\text{K}\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\) |
Questions à traiter
- Calculer la pression \(P_{\text{GP}}\) selon le modèle du gaz parfait.
- Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) de l'équation de Redlich-Kwong pour le CO₂.
- Calculer la pression \(P_{\text{RK}}\) selon l'équation de Redlich-Kwong.
- Calculer le facteur de compressibilité \(Z\) et l'écart relatif entre les deux modèles.
Les bases de la thermodynamique des gaz réels
Rappelons les équations fondamentales nécessaires à la résolution.
1. Loi des Gaz Parfaits :
Le modèle le plus simple, qui néglige le volume des molécules et les interactions entre elles.
\[ P = \frac{nRT}{V} \]
2. Équation de Redlich-Kwong :
Une amélioration de l'équation de van der Waals, plus précise, surtout à haute pression.
\[ P = \frac{RT}{\bar{V}-b} - \frac{a}{\sqrt{T}\bar{V}(\bar{V}+b)} \]
Où \(\bar{V} = V/n\) est le volume molaire.
3. Calcul des paramètres \(a\) et \(b\) :
Ces paramètres sont spécifiques à chaque gaz et sont calculés à partir de ses propriétés au point critique (\(T_c, P_c\)).
\[ a = 0.42748 \frac{R^2 T_c^{2.5}}{P_c} \quad \text{et} \quad b = 0.08664 \frac{R T_c}{P_c} \]
Correction : Application de l'équation de Redlich-Kwong
Question 1 : Calculer la pression selon le modèle du gaz parfait
Principe (le concept physique)
Le modèle du gaz parfait est notre point de référence. Il suppose que les molécules sont des points matériels sans volume qui n'interagissent pas. C'est une première approximation, utile pour évaluer l'ordre de grandeur de la pression, mais nous nous attendons à ce qu'elle soit inexacte dans les conditions de l'exercice.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi des gaz parfaits est une loi limite. Tout gaz réel tend vers le comportement d'un gaz parfait lorsque sa pression tend vers zéro (ou son volume molaire vers l'infini). Dans ces conditions, les molécules sont si éloignées les unes des autres que leur volume propre et les forces intermoléculaires deviennent véritablement négligeables.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première étape est toujours la conversion des unités dans un système cohérent. Le Système International (SI) est le plus sûr : pressions en Pascals (Pa), volumes en mètres cubes (m³), températures en Kelvin (K). Une erreur d'unité est l'erreur la plus fréquente en thermodynamique !
Normes (la référence réglementaire)
La loi des gaz parfaits n'est pas une "norme" au sens industriel, mais une loi physique fondamentale enseignée dans tous les cursus de sciences. Les valeurs des constantes comme R sont standardisées par des organismes internationaux comme le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des gaz parfaits :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique les deux hypothèses fondamentales du gaz parfait : 1) Le volume des molécules est nul. 2) Il n'y a aucune force d'interaction (attraction ou répulsion) entre les molécules.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(n = 1 \, \text{mol}\)
- \(V = 0.5 \, \text{L}\)
- \(T = 50 \, \text{°C}\)
- \(R = 8.314 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour obtenir un résultat directement en bars, on peut utiliser R = 0.08314 L·bar·mol⁻¹·K⁻¹. Cela évite les conversions finales de Pascals en bars (1 bar = 10⁵ Pa).
Schéma (Avant les calculs)
Modèle du Gaz Parfait : Molécules ponctuelles
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Conversion des unités en SI :
2. Application de la formule :
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Pression Idéale
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur de 53.7 bar est une première estimation. Comme le volume est petit (0.5 L/mol) et la pression relativement élevée, on s'attend à ce que les hypothèses du gaz parfait ne soient pas respectées et que cette valeur soit significativement différente de la pression réelle.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est d'oublier de convertir la température de degrés Celsius en Kelvin. La loi des gaz parfaits (et toutes les équations d'état) n'est valable qu'avec une température absolue. Une autre erreur fréquente est de se tromper dans la conversion des litres en m³.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Toujours convertir les unités au Système International (ou un autre système cohérent) avant de calculer.
- La température doit toujours être en Kelvin.
- Le modèle du gaz parfait est une approximation qui a ses limites.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi des gaz parfaits est une synthèse des travaux de plusieurs scientifiques. La loi de Boyle-Mariotte (\(P \propto 1/V\)), la loi de Charles (\(V \propto T\)) et la loi d'Avogadro (\(V \propto n\)) ont été combinées par Émile Clapeyron en 1834 pour former l'équation que nous connaissons.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la pression (en bar) si la température était de 100°C ?
Question 2 : Calculer les paramètres a et b de Redlich-Kwong
Principe (le concept physique)
Les paramètres \(a\) et \(b\) corrigent le modèle idéal. Le paramètre \(b\), appelé covolume, représente le volume propre des molécules, qui réduit le volume réellement disponible pour le mouvement. Le paramètre \(a\) représente les forces d'attraction intermoléculaires, qui réduisent la pression exercée sur les parois par rapport à un gaz idéal.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les formules pour \(a\) et \(b\) sont dérivées des conditions mathématiques au point critique. Au point critique, l'isotherme d'un gaz réel présente un point d'inflexion horizontal sur un diagramme P-V. En appliquant les conditions \((\partial P / \partial V)_T = 0\) et \((\partial^2 P / \partial V^2)_T = 0\) à l'équation de Redlich-Kwong, on peut exprimer \(a\) et \(b\) en fonction de \(T_c\) et \(P_c\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est une sorte de "calibrage" du modèle pour un gaz spécifique. On utilise des données expérimentales faciles à trouver (les coordonnées du point critique) pour adapter une équation générale (Redlich-Kwong) à une substance particulière (le CO₂). C'est une démarche très courante en modélisation.
Normes (la référence réglementaire)
Les constantes numériques (0.42748 et 0.08664) sont universelles pour l'équation de Redlich-Kwong. Les valeurs des propriétés critiques (\(T_c, P_c\)) pour des centaines de substances sont tabulées dans des manuels de référence pour ingénieurs et chimistes, comme le "Perry's Chemical Engineers' Handbook".
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les valeurs de \(T_c\) et \(P_c\) fournies sont exactes et fiables. Le modèle de Redlich-Kwong suppose également que ces paramètres \(a\) et \(b\) sont constants et ne dépendent pas eux-mêmes de la température ou de la pression (hormis la dépendance explicite de \(a\) en \(1/\sqrt{T}\) dans l'équation de pression).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(P_c = 73.8 \, \text{bar}\)
- \(T_c = 304.1 \, \text{K}\)
- \(R = 8.314 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Les unités finales de \(a\) et \(b\) doivent être cohérentes avec celles de P, V, T et R. Avec les entrées en SI, \(a\) sera en \(\text{Pa}\cdot\text{m}^6\cdot\text{K}^{0.5}\cdot\text{mol}^{-2}\) et \(b\) en \(\text{m}^3\cdot\text{mol}^{-1}\). Vérifier ces unités complexes est un bon moyen de s'assurer que les formules sont correctes.
Schéma (Avant les calculs)
Calibration du Modèle
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Conversion de \(P_c\) en Pascals :
2. Calcul du paramètre \(a\) :
3. Calcul du paramètre \(b\) :
Schéma (Après les calculs)
Paramètres Spécifiques au CO₂
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant des valeurs numériques pour \(a\) et \(b\) qui représentent, dans le cadre de ce modèle, l'intensité des forces attractives et le volume molaire exclu pour le CO₂. Ces constantes sont maintenant prêtes à être injectées dans l'équation d'état pour le calcul de la pression.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La cohérence des unités est critique ici. Si R est en J·mol⁻¹·K⁻¹, la pression \(P_c\) doit impérativement être convertie en Pascals (Pa) pour que les unités s'annulent correctement. Une erreur courante est d'utiliser \(P_c\) en bars, ce qui fausse les résultats de plusieurs ordres de grandeur.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les paramètres \(a\) et \(b\) sont spécifiques à chaque gaz.
- Ils sont calculés à partir des propriétés critiques (\(T_c, P_c\)), qui sont des données expérimentales.
- Le calcul doit être fait avec un système d'unités cohérent (de préférence le SI).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les équations d'état comme Redlich-Kwong sont dites "cubiques" car, si on les réarrange pour exprimer le volume molaire \(\bar{V}\), on obtient un polynôme du troisième degré. Cela signifie que pour certaines conditions de P et T (sous le point critique), l'équation peut avoir jusqu'à trois solutions réelles pour \(\bar{V}\), correspondant aux volumes des phases liquide, vapeur et à une solution instable.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'ammoniac (NH₃), \(T_c=405.5\) K et \(P_c=113.5\) bar. Calculez son paramètre \(b\) (en m³/mol).
Question 3 : Calculer la pression selon l'équation de Redlich-Kwong
Principe (le concept physique)
Nous allons maintenant utiliser l'équation de Redlich-Kwong avec les paramètres \(a\) et \(b\) spécifiques au CO₂ que nous venons de calculer. Cette équation prend en compte les corrections de volume et de forces attractives, et devrait donc donner une estimation de la pression plus proche de la réalité que le modèle du gaz parfait.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équation \(P = \frac{RT}{\bar{V}-b} - \frac{a}{\sqrt{T}\bar{V}(\bar{V}+b)}\) peut être vue comme une correction de la loi des gaz parfaits. Le premier terme, \(\frac{RT}{\bar{V}-b}\), est un terme "répulsif" : en soustrayant le covolume \(b\), on augmente la pression par rapport au cas idéal. Le second terme, avec le paramètre \(a\), est un terme "attractif" : il est soustrait au premier et représente la diminution de pression due aux forces intermoléculaires.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est ici que l'on voit l'intérêt du calcul précédent. On injecte les constantes du gaz dans l'équation générale pour obtenir un résultat spécifique à notre problème. Faites bien attention à la structure de l'équation, notamment au dénominateur du second terme qui contient \(\bar{V}(\bar{V}+b)\).
Normes (la référence réglementaire)
L'équation de Redlich-Kwong elle-même est le standard que nous appliquons. Il n'y a pas de norme externe, mais plutôt une application rigoureuse de ce modèle thermodynamique bien établi.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise l'équation avec le volume molaire \(\bar{V} = V/n\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le système est à l'équilibre thermodynamique et que la température et le volume sont uniformes dans tout le récipient. On utilise les paramètres \(a\) et \(b\) calculés précédemment comme étant des constantes valides dans ces conditions.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(T = 323.15 \, \text{K}\)
- \(\bar{V} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\cdot\text{mol}^{-1}\)
- \(a = 6.74\) (SI)
- \(b = 2.96 \times 10^{-5}\) (SI)
- \(R = 8.314\) (SI)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de calcul avec une formule aussi longue, il est très judicieux de calculer chaque terme (le terme répulsif et le terme attractif) séparément avant de les soustraire. Cela rend la vérification beaucoup plus simple.
Schéma (Avant les calculs)
Structure de l'Équation RK
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule séparément le terme de répulsion (premier terme) et le terme d'attraction (second terme) :
On soustrait les deux termes :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Pressions Calculées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pression calculée avec le modèle de Redlich-Kwong (43.0 bar) est significativement plus basse que celle prédite par le modèle du gaz parfait (53.7 bar). Cela indique que, dans ces conditions de température et de volume, les forces d'attraction (terme \(a\)) sont prépondérantes et diminuent la pression plus que le covolume (terme \(b\)) ne l'augmente.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune ici est une faute de frappe sur la calculatrice. La complexité de la formule, surtout le second terme avec sa racine carrée et son produit de volumes, est une source d'erreurs. Il faut aussi faire très attention à bien utiliser le volume molaire \(\bar{V}\) et non le volume total \(V\) si \(n \neq 1\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'équation de Redlich-Kwong est une balance entre un terme de répulsion (qui augmente P) et un terme d'attraction (qui diminue P).
- Le résultat final dépend de l'importance relative de ces deux termes.
- Le calcul doit être mené avec méthode pour éviter les erreurs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En génie des procédés, on utilise rarement ces équations "à la main". Des logiciels de simulation (comme Aspen HYSYS ou Pro/II) contiennent des bases de données de propriétés physiques pour des milliers de composés et peuvent appliquer des dizaines de modèles thermodynamiques différents pour calculer avec précision les équilibres de phase et les propriétés des fluides.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant les mêmes données, quelle serait la pression RK (en bar) si le volume était de 0.2 L/mol ?
Question 4 : Calculer le facteur de compressibilité et l'écart relatif
Principe (le concept physique)
Le facteur de compressibilité \(Z\) est un nombre sans dimension qui mesure l'écart du comportement d'un gaz réel par rapport à un gaz parfait. Pour un gaz parfait, \(Z=1\) par définition. Si \(Z < 1\), les forces d'attraction dominent, et le gaz est plus compressible que prévu. Si \(Z > 1\), les forces de répulsion (volume des molécules) dominent. L'écart relatif, quant à lui, nous donne un pourcentage de l'erreur commise en utilisant le modèle idéal.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le concept de facteur de compressibilité est central dans le "principe des états correspondants". Ce principe postule que tous les gaz se comportent de la même manière à la même pression réduite (\(P_r = P/P_c\)) et température réduite (\(T_r = T/T_c\)). On peut ainsi tracer des "abaques de Z" (diagrammes de Nelson-Obert) qui donnent Z en fonction de \(P_r\) et \(T_r\) et sont valables pour de nombreux gaz différents.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette dernière étape est cruciale pour l'ingénieur. Ce n'est pas suffisant de calculer un nombre ; il faut l'interpréter. Que signifie ce résultat ? L'écart est-il important ? Le modèle simple était-il acceptable ? C'est ce qui transforme un simple calcul en une analyse d'ingénierie.
Normes (la référence réglementaire)
Les abaques de facteur de compressibilité (Z-charts) sont des outils standards utilisés en ingénierie et sont publiés dans de nombreux manuels de thermodynamique et de génie chimique. Ils représentent une norme graphique pour l'estimation du comportement des gaz réels.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Facteur de compressibilité (en utilisant la pression réelle, ici \(P_{\text{RK}}\)) :
Écart relatif :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour calculer l'écart relatif, on considère que la pression calculée par l'équation de Redlich-Kwong est la valeur "vraie" ou du moins la plus représentative de la réalité, et on évalue l'erreur du modèle du gaz parfait par rapport à cette référence.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(P_{\text{GP}} = 53.73 \, \text{bar}\)
- \(P_{\text{RK}} = 42.96 \, \text{bar}\)
- \(\bar{V} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\cdot\text{mol}^{-1}\)
- \(T = 323.15 \, \text{K}\)
- \(R = 8.314 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Notez que le terme \(RT/\bar{V}\) du calcul de Z est simplement la pression du gaz parfait \(P_{\text{GP}}\) (en Pa). Donc, on peut aussi calculer \(Z\) très rapidement avec la formule \(Z = P_{\text{RK}} / P_{\text{GP}}\). C'est une excellente façon de vérifier ses calculs !
Schéma (Avant les calculs)
Quantification de l'Écart à l'Idéalité
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de Z :
2. Calcul de l'écart relatif :
Schéma (Après les calculs)
Résultat : Écart Significatif
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un facteur de compressibilité \(Z \approx 0.8\) indique que dans ces conditions, les forces d'attraction entre les molécules de CO₂ sont dominantes, ce qui "aide" à comprimer le gaz. L'écart de 25.1% est très important et montre que l'utilisation de la loi des gaz parfaits dans ce cas conduirait à une erreur de conception majeure (par exemple, une surévaluation de la résistance requise pour le réservoir).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Lors du calcul de l'écart, il est important de choisir la bonne référence au dénominateur. En général, on compare l'erreur du modèle simple par rapport au modèle plus précis, donc on divise par \(P_{\text{RK}}\). Diviser par \(P_{\text{GP}}\) donnerait un résultat légèrement différent.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le facteur de compressibilité \(Z\) quantifie l'écart à l'idéalité.
- \(Z < 1\) : forces d'attraction prédominantes.
- \(Z > 1\) : forces de répulsion (covolume) prédominantes.
- L'écart entre les modèles peut être très important à haute pression et basse température.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le principe des états correspondants, qui est la base des abaques de Z, a une implication profonde : bien que les forces intermoléculaires soient complexes et uniques à chaque molécule, leur effet global sur les propriétés P-V-T peut être approximé de manière universelle en utilisant simplement \(T_c\) et \(P_c\) comme facteurs d'échelle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'ammoniac à T=450 K et \(\bar{V}=0.1\) L/mol, la pression RK est de 290 bar. Quelle est la valeur de Z ?
Outil Interactif : Comportement du CO₂
Modifiez la température et le volume molaire pour observer l'évolution de la pression et l'écart entre les modèles.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le CO₂ supercritique (au-delà de son point critique, 31°C et 73.8 bar) est un solvant "vert" extraordinaire. Il se comporte comme un liquide pour dissoudre des substances, mais a la viscosité d'un gaz, ce qui lui permet de pénétrer des matériaux poreux. Il est utilisé pour décaféiner le café, extraire des huiles essentielles ou même pour le nettoyage à sec écologique !
Foire Aux Questions (FAQ)
Existe-t-il des équations encore plus précises que Redlich-Kwong ?
Oui, absolument. L'équation de Soave-Redlich-Kwong (SRK) et celle de Peng-Robinson sont deux améliorations très populaires, surtout dans l'industrie pétrolière et chimique. Il existe aussi des équations beaucoup plus complexes avec des dizaines de paramètres (comme l'équation de Benedict-Webb-Rubin) pour une précision maximale sur des plages de température et de pression très larges.
Pourquoi le terme 'a' dépend-il de la température dans l'équation ?
C'est la grande innovation de Redlich et Kwong par rapport à van der Waals. Ils ont postulé que l'attraction entre les molécules diminue lorsque la température augmente, car l'agitation thermique devient plus importante. Le terme \(1/\sqrt{T}\) modélise cette dépendance de manière empirique mais efficace, améliorant grandement la précision de l'équation.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le paramètre \(b\) dans l'équation de Redlich-Kwong représente physiquement...
2. Un gaz réel se comporte le plus comme un gaz parfait lorsque...
- Gaz Réel
- Un gaz dont le comportement dévie de la loi des gaz parfaits, principalement à cause du volume non nul de ses molécules et des forces d'attraction ou de répulsion entre elles.
- Point Critique
- Le point de température (\(T_c\)) et de pression (\(P_c\)) au-delà duquel les phases liquide et gazeuse d'une substance ne peuvent plus être distinguées. La substance est alors dans un état dit supercritique.
- Facteur de Compressibilité (Z)
- Rapport \(P\bar{V}/RT\). Il vaut 1 pour un gaz parfait. Sa déviation par rapport à 1 mesure l'écart entre le comportement d'un gaz réel et le comportement idéal.
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