Calcul du travail de séparation d'un mélange de gaz

Contexte : L'Entropie de mélangeL'augmentation du désordre moléculaire qui se produit lorsque deux substances pures sont mélangées. et la séparation des gaz.

La séparation des gaz est un procédé industriel majeur (par exemple, la séparation de l'air pour obtenir de l'oxygène pur médical ou de l'azote inerte). Ce processus n'est pas spontané : mélanger deux gaz augmente le désordre (l'entropie), donc les "démélanger" nécessite de fournir de l'énergie (travail). Cet exercice explore le coût énergétique théorique minimal pour réaliser cette séparation dans le cadre de la thermodynamique classique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les concepts de fraction molaire, d'entropie de mélange et d'énergie libre de Gibbs pour calculer le travail théorique minimum nécessaire à la séparation, une référence cruciale pour l'efficacité énergétique des procédés réels.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre l'origine thermodynamique de la difficulté de séparation des mélanges.
Calculer l'entropie de mélange pour des gaz parfaits.
Déterminer le travail minimum de séparation à température constante.
Analyser l'influence de la composition du mélange sur l'énergie requise.

Données de l'étude

On considère un mélange binaire idéal (Gaz A et Gaz B) à l'état gazeux. Nous allons étudier le cas de la séparation de l'air, modélisé comme un mélange de diazote (\(N_2\)) et de dioxygène (\(O_2\)).

Fiche Technique

Paramètre	Valeur
Température (\(T\))	\(298 \text{ K}\) (25°C)
Pression (\(P\))	\(1 \text{ bar}\) (constante)
Quantité de matière totale (\(n_{\text{tot}}\))	\(1 \text{ mole}\)
Modèle	Gaz Parfaits

Schéma de Principe : Séparation Idéale

Composant	Fraction Molaire (\(x_i\))	Description
Gaz A (Dioxygène \(O_2\))	0.21	Composant minoritaire
Gaz B (Diazote \(N_2\))	0.79	Composant majoritaire

Questions à traiter

Calculer l'entropie de mélange \(\Delta S_{\text{mix}}\) pour une mole d'air.
En déduire le travail minimal de séparation \(W_{\text{min}}\) à \(298 \text{ K}\).
Comparer ce travail avec celui nécessaire pour séparer un mélange équimolaire (50% / 50%).
Étudier l'influence de la température sur le coût énergétique.
Calculer la puissance minimale pour séparer de l'air avec un débit de \(100 \text{ mol/s}\).

Les bases de Thermodynamique des Mélanges

Pour comprendre le travail de séparation, il faut d'abord comprendre pourquoi les gaz se mélangent spontanément.

1. Entropie de Mélange (\(\Delta S_{\text{mix}}\))
Le mélange de gaz parfaits s'accompagne toujours d'une augmentation de l'entropie (création de désordre). Pour \(n\) moles totales : \[ \Delta S_{\text{mix}} = -n R \sum_{i} x_i \ln(x_i) \] Où \(x_i\) est la fraction molaire du gaz \(i\) et \(R = 8.314 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\). Notez que comme \(x_i < 1\), \(\ln(x_i)\) est négatif, donc \(\Delta S_{\text{mix}}\) est positif.

2. Travail Minimum de Séparation (\(W_{\text{min}}\))
Pour séparer le mélange (processus inverse du mélange spontané), il faut fournir un travail au moins égal à l'énergie libre de Gibbs de mélange perdue, mais en signe opposé. À température constante : \[ W_{\text{min}} = - T \Delta S_{\text{séparation}} = T \Delta S_{\text{mix}} \] \[ W_{\text{min}} = -n R T \sum_{i} x_i \ln(x_i) \]

Correction : Travail de Séparation d'un Mélange de Gaz

Question 1 : Calcul de l'entropie de mélange

Principe

Nous cherchons à quantifier le "désordre" créé lorsque nous mélangeons 0.21 mole d'oxygène pur et 0.79 mole d'azote pur pour former de l'air. Plus ce désordre est grand, plus il sera difficile de revenir en arrière.

Mini-Cours

L'entropie (\(S\)) est une mesure du nombre de micro-états possibles pour un système. Lorsque deux gaz se mélangent, chaque molécule a accès à un volume plus grand, ce qui augmente le nombre de configurations possibles. C'est ce qu'on appelle l'entropie de mélange, qui est toujours positive pour des gaz idéaux.

Remarque Pédagogique

Imaginez deux boîtes de billes de couleurs différentes. Si vous versez tout dans une grande boîte et secouez, les billes se mélangent. C'est facile. Essayer de les trier par couleur ensuite demande beaucoup d'effort. L'entropie mesure à quel point elles sont "bien mélangées".

Normes

Nous utilisons ici les conventions IUPAC standards, avec \(P^\circ = 1 \text{ bar}\). Le modèle des gaz parfaits est supposé valide à cette pression.

Formule(s)

Entropie de mélange binaire

\Delta S_{\text{mix}} = -n R [x_A \ln(x_A) + x_B \ln(x_B)]

Hypothèses

On suppose que les gaz n'interagissent pas entre eux (pas d'enthalpie de mélange, \(\Delta H_{\text{mix}} = 0\)) et que le volume final est la somme des volumes initiaux.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Constante des gaz parfaits	R	\(8.314 \text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\)
Quantité totale	n	\(1 \text{ mol}\)
Fraction \(O_2\)	\(x_A\)	0.21
Fraction \(N_2\)	\(x_B\)	0.79

Astuces

Vérifiez toujours que la somme des fractions molaires vaut 1 (\(0.21 + 0.79 = 1\)). De plus, comme le logarithme d'un nombre inférieur à 1 est négatif, le terme entre crochets sera négatif, et avec le signe "-" devant, l'entropie sera bien positive.

Schéma (Avant les calculs)

État Initial (Séparé) vs État Final (Mélangé)

Calcul(s)

Calcul des logarithmes :

\begin{aligned} \ln(0.21) &\approx -1.5606 \\ \ln(0.79) &\approx -0.2357 \end{aligned}

Calcul des termes pondérés :

\begin{aligned} x_A \ln(x_A) &= 0.21 \times (-1.5606) \\ &\approx -0.3277 \\ x_B \ln(x_B) &= 0.79 \times (-0.2357) \\ &\approx -0.1862 \end{aligned}

Somme des termes :

\begin{aligned} \sum x_i \ln(x_i) &= -0.3277 - 0.1862 \\ &= -0.5139 \end{aligned}

Calcul final de l'entropie :

\begin{aligned} \Delta S_{\text{mix}} &= -n R \times (-0.5139) \\ &= -1 \times 8.314 \times (-0.5139) \\ &= 4.273 \text{ J}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

Réflexions

La valeur est positive, ce qui confirme que le mélange est un processus spontané (création d'entropie). C'est cette entropie créée qu'il faudra "combattre" pour séparer les gaz.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(\text{J/K}\) et \(\text{kJ/K}\). L'entropie est souvent donnée en Joules car c'est une grandeur "petite" par rapport à l'enthalpie.

Points à retenir

Le mélange de gaz parfaits crée toujours de l'entropie.
La formule dépend uniquement des proportions, pas de la nature des gaz (paradoxe de Gibbs).

Le saviez-vous ?

Si les deux gaz étaient identiques (ex: azote mélangé avec azote), l'entropie de mélange serait nulle. C'est le fameux Paradoxe de Gibbs qui a aidé à fonder la mécanique statistique.

FAQ

Pourquoi \(n\) est important ? L'entropie est une grandeur extensive : si on double la quantité de matière, on double le désordre total créé.

Résultat Final

L'entropie de mélange est de 4.27 \(\text{J/K}\).

A vous de jouer

Calculez l'entropie de mélange pour un mélange 10% A / 90% B.

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(\Delta S_{\text{mix}} > 0\) mesure l'irréversibilité du mélange.

Question 2 : Calcul du travail minimal de séparation (\(W_{\text{min}}\))

Principe

Le travail minimum correspond au cas idéal d'une machine thermodynamique réversible fonctionnant sans frottement ni perte. C'est la limite théorique absolue imposée par la seconde loi de la thermodynamique.

Mini-Cours

L'énergie libre de Gibbs (\(G = H - TS\)) est le potentiel qui dicte le sens des réactions à \(P\) et \(T\) constantes. Pour inverser une réaction spontanée (mélange), il faut fournir un travail \(W = \Delta G_{\text{séparation}} = - \Delta G_{\text{mix}}\). Comme \(\Delta H_{\text{mix}}=0\) pour un gaz parfait, \(W = -(-T\Delta S_{\text{mix}}) = T\Delta S_{\text{mix}}\).

Remarque Pédagogique

C'est comme remonter une pierre en haut d'une colline. Elle est descendue toute seule (mélange spontané), mais pour la remonter (séparation), il faut payer de l'énergie potentielle.

Normes

On considère ici un travail reçu par le système, donc compté positivement selon la convention thermodynamique habituelle.

Formule(s)

Relation Travail-Entropie

W_{\text{min}} = T \Delta S_{\text{mix}}

Hypothèses

Processus isotherme (T constante) et réversible (infiniment lent, sans perte).

Donnée(s)

\(T = 298 \text{ K}\) et \(\Delta S_{\text{mix}} = 4.273 \text{ J/K}\).

Astuces

N'oubliez jamais de convertir la température en Kelvin si elle est donnée en Celsius ! Ici c'est déjà fait (\(25^\circ\text{C} + 273.15 \approx 298 \text{ K}\)).

Calcul(s)

La première étape indispensable est la conversion de la température en Kelvin.

\begin{aligned} T &= 25^\circ\text{C} + 273.15 \\ &= 298.15 \text{ K} \\ &\approx 298 \text{ K} \end{aligned}

On utilisera cette valeur absolue pour tous les calculs thermodynamiques. On applique maintenant la formule \(W = T \Delta S_{\text{mix}}\) avec les valeurs trouvées.

\begin{aligned} W_{\text{min}} &= T \times \Delta S_{\text{mix}} \\ &= 298 \text{ K} \times 4.273 \text{ J}\cdot\text{K}^{-1} \\ &= 1273.35 \text{ J} \end{aligned}

Il faut donc fournir 1273 Joules pour séparer une mole d'air à 25°C.

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique de la Séparation

Réflexions

1.27 \(\text{kJ}\) peut sembler peu, mais c'est pour une seule mole (22.4 Litres environ). À l'échelle industrielle, cela représente des mégawatts d'électricité.

Points de vigilance

Ce calcul donne le minimum théorique. Une vraie usine consommera toujours plus (souvent 3 à 5 fois plus) à cause des irréversibilités.

Points à retenir

Le travail de séparation est purement "entropique" (pas de barrière énergétique de liaison à casser).
Il est proportionnel à la température.

Le saviez-vous ?

Dans l'industrie, la séparation de l'air se fait souvent par distillation cryogénique (à très basse température). L'efficacité réelle de ces usines est bien inférieure à 100% par rapport à ce travail théorique, souvent de l'ordre de 15 à 25% seulement !

FAQ

Résultat Final

Le travail minimal est de 1273 \(\text{J}\) (ou 1.27 \(\text{kJ}\)) par mole de mélange.

A vous de jouer

Quel serait ce travail si la température était plus basse, par exemple 200 K ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(W_{\text{min}} = T \Delta S_{\text{mix}}\). Plus il fait chaud, plus c'est cher.

Question 3 : Comparaison avec un mélange équimolaire (50/50)

Principe

On se demande ici si un mélange 50/50 est plus "désordonné" (donc plus dur à séparer) qu'un mélange asymétrique comme l'air (21/79).

Mini-Cours

La fonction \(x \ln(x)\) passe par un extremum. Pour un mélange binaire, le désordre est maximal quand on ne peut pas deviner quelle molécule on va piocher, c'est-à-dire quand les probabilités sont égales (\(x_A = x_B = 0.5\)).

Remarque Pédagogique

Un jeu de cartes bien battu est plus difficile à trier qu'un jeu où toutes les cartes rouges sont déjà grossièrement en haut.

Donnée(s)

\(x_A = 0.5\) et \(x_B = 0.5\).

Astuces

Pour 50/50, la formule se simplifie : \(\Delta S = -R \ln(0.5) = R \ln(2)\).

Schéma (Avant les calculs)

Courbe de l'Entropie de Mélange

Calcul(s)

Calculons d'abord l'entropie spécifique pour ce mélange 50/50. Les termes sont symétriques.

\begin{aligned} \Delta S_{\text{mix},50} &= -n R \times (0.5 \ln(0.5) + 0.5 \ln(0.5)) \\ &= -1 \times 8.314 \times (1 \times \ln(0.5)) \\ &= -8.314 \times (-0.6931) \\ &= 5.763 \text{ J}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

Notez que 5.76 > 4.27 : le désordre est bien plus grand ici. On en déduit le nouveau travail nécessaire en multipliant par la température ambiante.

\begin{aligned} W_{\text{min},50} &= T \times \Delta S_{\text{mix},50} \\ &= 298 \times 5.763 \\ &= 1717 \text{ J} \end{aligned}

Le coût énergétique augmente donc avec le désordre du mélange initial.

Réflexions

Le travail passe de 1273 \(\text{J}\) à 1717 \(\text{J}\). Il est plus difficile de séparer un mélange 50/50 car c'est l'état de désordre maximal (entropie maximale) pour un mélange binaire.

Points à retenir

Le coût de séparation est maximal pour un mélange équimolaire.
Il est moins coûteux de purifier un mélange déjà très pur (ou très impur).

Résultat Final

Le travail pour un mélange 50/50 est de 1717 \(\text{J}\), soit environ 35% de plus que pour l'air.

A vous de jouer

Calculez le rapport \(W_{50/50} / W_{\text{air}}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse : Pic d'entropie à \(x=0.5\).

Question 4 : Influence de la Température

Principe

Nous étudions comment le coût énergétique de la séparation varie si l'on change la température de l'opération, tout en gardant la pression et la composition constantes. L'intuition physique suggère que l'agitation thermique rend la séparation plus difficile.

Mini-Cours

La thermodynamique nous enseigne que \(W_{\text{min}} = T \Delta S_{\text{mix}}\). La température \(T\) agit comme un "facteur d'échelle" pour l'énergie. À basse température, l'agitation thermique diminue, ce qui réduit l'énergie nécessaire pour contrecarrer le mélange entropique.

Remarque Pédagogique

C'est la raison pour laquelle la cryogénie est utilisée industriellement. Bien que refroidir coûte cher, la séparation elle-même demande moins d'énergie thermodynamique à froid.

Normes

Les comparaisons thermodynamiques se font toujours à pression constante, sauf mention contraire.

Hypothèses

On suppose que l'entropie de mélange \(\Delta S_{\text{mix}}\) ne varie pas avec la température (approximation valide pour des gaz parfaits).

Donnée(s)

Comparons le travail à \(T_1 = 298 \text{ K}\) et à une température cryogénique \(T_2 = 100 \text{ K}\).

Astuces

Pas besoin de tout recalculer ! Utilisez la règle de trois : \(W_2 = W_1 \times (T_2/T_1)\).

Formule(s)

Proportionnalité

\frac{W(T_2)}{W(T_1)} = \frac{T_2}{T_1}

Schéma (Conceptuel)

Coût Énergétique vs Température

Calcul(s)

Appliquons la formule du travail avec la nouvelle température \(T = 100 \text{ K}\).

\begin{aligned} W_{100} &= 100 \times 4.273 \\ &= 427.3 \text{ J} \end{aligned}

Le travail chute drastiquement. Comparons maintenant ce coût avec celui à température ambiante (calculé en Q2).

\begin{aligned} \frac{W_{298}}{W_{100}} &= \frac{1273}{427.3} \\ &\approx 2.98 \end{aligned}

On constate un facteur de réduction presque égal à 3.

Réflexions

Séparer les gaz à 100 K coûte théoriquement 3 fois moins d'énergie qu'à température ambiante. Cela justifie les procédés cryogéniques.

Points de vigilance

Attention, ce gain thermodynamique est en partie compensé par l'énergie qu'il faut dépenser pour maintenir le système à très basse température (isolation, réfrigération).

Points à retenir

Le travail de séparation est directement proportionnel à la température absolue (\(T\)).
Travailler à froid est thermodynamiquement avantageux pour la séparation.

Le saviez-vous ?

La liquéfaction de l'air a été réalisée pour la première fois en 1877 par Cailletet et Pictet, ouvrant la voie à la séparation moderne des gaz de l'air.

FAQ

Résultat Final

À 100 \(\text{K}\), le travail chute à 427 \(\text{J/mol}\).

A vous de jouer

Si on double T, par combien est multiplié W ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(W \propto T\). L'entropie de mélange est indépendante de T (gaz parfaits).

Question 5 : Puissance pour un débit industriel

Principe

Jusqu'ici, nous avons calculé une énergie en Joules pour une quantité fixe (1 mole). Dans l'industrie, on travaille en continu avec des débits. Il faut donc passer du Travail (Joules) à la Puissance (Watts).

Mini-Cours

La puissance \(\mathcal{P}\) est le produit du travail par mole \(W_{\text{min}}\) et du débit molaire \(\dot{n}\) (moles par seconde).
\(\mathcal{P} \text{ [W]} = W \text{ [J/mol]} \times \dot{n} \text{ [mol/s]} \)

Remarque Pédagogique

C'est le moment de passer de la théorie à la réalité industrielle. Une "mole" c'est abstrait, mais des "moles par seconde", c'est un tuyau avec du gaz qui coule dedans !

Normes

La puissance s'exprime toujours en Watts (W) ou kilowatts (kW) dans le système international.

Formule(s)

Puissance Thermodynamique

\mathcal{P} = W_{\text{min}} \times \dot{n}

Hypothèses

Régime permanent (le débit est constant dans le temps).

Donnée(s)

Travail minimum \(W_{\text{min}} = 1273 \text{ J/mol}\) (calculé en Q2).
Débit molaire \(\dot{n} = 100 \text{ mol/s}\).

Astuces

Rappel : 1 \(\text{J/s}\) = 1 \(\text{W}\). Donc si vous multipliez des \(\text{J/mol}\) par des \(\text{mol/s}\), vous obtenez directement des Watts.

Schéma (Avant les calculs)

Passage du Discontinu au Continu

Calcul(s)

La puissance s'obtient en multipliant l'énergie par mole par le débit de matière :

\begin{aligned} \mathcal{P} &= W_{\text{min}} \times \dot{n} \\ &= 1273.35 \text{ J/mol} \times 100 \text{ mol/s} \\ &= 127335 \text{ J/s} \\ &= 127335 \text{ W} \\ &= 127.3 \text{ kW} \end{aligned}

Le résultat en Watts est converti en kilowatts pour être plus lisible.

Réflexions

Une puissance de 127 \(\text{kW}\) correspond à celle d'un gros moteur de voiture puissant, ou à la consommation électrique d'environ 50 à 100 foyers. Et ceci est le minimum théorique !

Points de vigilance

Ne pas confondre énergie (Joules, kWh) et puissance (Watts, kW). L'énergie est une quantité, la puissance est un débit d'énergie.

Points à retenir

Passer de l'échelle labo à l'échelle industrielle demande de multiplier par le débit.
Les puissances en jeu dans la séparation des gaz sont considérables.

Le saviez-vous ?

Les grandes unités de séparation d'air consomment tellement d'électricité qu'elles sont souvent construites directement à côté des centrales électriques ou des aciéries pour limiter les pertes de transport.

FAQ

Résultat Final

La puissance minimale théorique est de 127.3 \(\text{kW}\).

A vous de jouer

Quelle serait la puissance pour un débit double (200 mol/s) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(\mathcal{P} = W_{\text{molaire}} \times \dot{n}\). Indispensable pour le dimensionnement industriel.

Outil Interactif : Simulateur de Séparation

Explorez comment la température et la composition du mélange influencent le travail nécessaire pour séparer 1 mole de mélange.

Paramètres d'Entrée

Température (K) 298 K

Fraction Molaire Gaz A (\(x_A\)) (%) 21 %

Résultats Clés

Entropie de Mélange (\(\Delta S_{\text{mix}}\)) -

Travail Minimum (\(W_{\text{min}}\)) -

Glossaire

Entropie (\(S\)): Grandeur thermodynamique associant à un système un degré de désordre. Elle ne peut qu'augmenter pour un système isolé (Second Principe).
Fraction molaire (\(x_i\)): Rapport de la quantité de matière d'un constituant (en moles) sur la quantité de matière totale du mélange.
Gaz Parfait: Modèle théorique de gaz où les molécules n'interagissent pas entre elles. C'est une bonne approximation pour l'air à pression ambiante.
Réversible: Qualifie une transformation idéale qui s'effectue infiniment lentement, sans perte d'énergie (frottements, etc.), et qui peut être inversée.

Calcul du travail de séparation d’un mélange de gaz

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de Principe : Séparation Idéale

Questions à traiter

Les bases de Thermodynamique des Mélanges

Correction : Travail de Séparation d'un Mélange de Gaz

Question 1 : Calcul de l'entropie de mélange

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

État Initial (Séparé) vs État Final (Mélangé)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calcul du travail minimal de séparation (\(W_{\text{min}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique de la Séparation

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Comparaison avec un mélange équimolaire (50/50)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Courbe de l'Entropie de Mélange

Calcul(s)

Réflexions

Points à retenir

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Influence de la Température

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Formule(s)

Schéma (Conceptuel)

Coût Énergétique vs Température

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final