ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Calcul du travail de séparation d’un mélange de gaz

Thermodynamique : Calcul du travail de séparation d'un mélange de gaz

Calcul du travail de séparation d'un mélange de gaz

Contexte : Le Coût Thermodynamique de la Pureté

Dans de nombreux procédés industriels et de laboratoire, il est essentiel d'obtenir des gaz purs. L'air que nous respirons, par exemple, est un mélange, et pour obtenir de l'oxygène médical ou de l'azote industriel, il faut les séparer. La thermodynamique nous enseigne que le mélange de gaz est un processus spontané qui augmente l'entropie (le désordre) du système. Par conséquent, pour inverser ce processus et séparer les gaz, il faut fournir de l'énergie sous forme de travail pour "remettre de l'ordre". Cet exercice vise à calculer le travail minimal de séparationL'énergie minimale théorique requise pour séparer un mélange de gaz en ses constituants purs, dans des conditions réversibles et isothermes., une valeur fondamentale dictée par le second principe de la thermodynamique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du second principe de la thermodynamique. Il illustre que la diminution de l'entropieMesure du désordre ou de la dispersion de l'énergie dans un système. Le second principe stipule que l'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter ou rester constante. d'un système (la séparation) doit être compensée par un apport de travail, qui augmentera l'entropie de l'environnement d'une quantité au moins égale.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer la pression partiellePression qu'exercerait un constituant d'un mélange gazeux s'il occupait seul le volume total du mélange à la même température. d'un gaz dans un mélange.
  • Calculer la variation d'entropie lors du mélange de gaz parfaits.
  • Relier la variation d'entropie au travail minimal de séparation à l'aide du second principe.
  • Quantifier l'énergie nécessaire pour obtenir des gaz purs à partir d'un mélange.
  • Comprendre l'influence de la composition du mélange sur le travail de séparation.

Données de l'étude

On considère un système qui sépare un flux continu d'air en ses constituants principaux, le diazote (\(N_2\)) et le dioxygène (\(O_2\)). Le processus est supposé isotherme (à température constante \(T\)) et réversible. L'air et ses constituants sont assimilés à des gaz parfaits.

Schéma du Processus de Séparation
Séparateur W > 0 Air (Mélange) P, T, y_N2, y_O2 N₂ pur P, T O₂ pur P, T
Conditions Initiales
  • Pression totale, \(P\) \(1 \, \text{bar}\)
  • Température, \(T\) \(298 \, \text{K}\)
  • Constante des gaz parfaits, R \(8.314 \, \text{J/(mol·K)}\)
Composition de l'Air (simplifiée)
  • Fraction molaire N₂, \(y_{N_2}\) 0.79
  • Fraction molaire O₂, \(y_{O_2}\) 0.21

Questions à traiter

  1. Calculer les pressions partielles du diazote (\(P_{N_2}\)) et du dioxygène (\(P_{O_2}\)) dans le mélange initial.
  2. Calculer la variation d'entropie molaire de mélange (\(\Delta s_{\text{mélange}}\)) pour former 1 mole d'air à partir de ses constituants purs.
  3. En déduire le travail molaire minimal (\(w_{\text{min}}\)) requis pour réaliser la séparation isotherme et réversible d'une mole d'air.

Correction : Calcul du travail de séparation d'un mélange de gaz

Question 1 : Pressions partielles

Principe :
Mélange P_totale Gaz 1 seul P_1 = y_1 * P_totale

Selon la loi de DaltonDans un mélange de gaz parfaits, la pression totale est la somme des pressions partielles de chaque constituant., la pression partielle d'un constituant dans un mélange de gaz parfaits est égale au produit de sa fraction molaire par la pression totale du mélange. C'est la pression que ce gaz exercerait s'il était seul dans le même volume.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La notion de pression partielle est fondamentale car elle détermine le potentiel chimique de chaque gaz dans le mélange. C'est la "poussée" effective de chaque gaz qui est à l'origine de nombreux phénomènes, de la diffusion à l'équilibre des réactions chimiques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_i = y_i \times P_{\text{totale}} \]
Donnée(s) :
  • Pression totale \(P_{\text{totale}} = 1 \, \text{bar}\)
  • Fraction molaire \(y_{N_2} = 0.79\)
  • Fraction molaire \(y_{O_2} = 0.21\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P_{N_2} &= y_{N_2} \times P_{\text{totale}} \\ &= 0.79 \times 1 \, \text{bar} \\ &= 0.79 \, \text{bar} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{O_2} &= y_{O_2} \times P_{\text{totale}} \\ &= 0.21 \times 1 \, \text{bar} \\ &= 0.21 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Fractions molaires vs massiques : Il est crucial de ne pas confondre la fraction molaire (basée sur le nombre de moles) et la fraction massique (basée sur la masse). Toutes les formules de gaz parfaits et d'entropie de mélange utilisent les fractions molaires.

Le saviez-vous ?

En plongée sous-marine, c'est la pression partielle d'azote qui est responsable de la "narcose des profondeurs" (ivresse des profondeurs). Bien que sa fraction dans l'air soit constante, sa pression partielle augmente avec la profondeur, affectant le système nerveux.

FAQ en rapport avec la question :
La somme des pressions partielles est-elle toujours égale à la pression totale ?

Oui, c'est la définition même de la loi de Dalton pour les mélanges de gaz idéaux. Dans notre cas, \(0.79 \, \text{bar} + 0.21 \, \text{bar} = 1.00 \, \text{bar}\), ce qui correspond bien à la pression totale de l'air.

Résultat : Les pressions partielles sont \(P_{N_2} = 0.79 \, \text{bar}\) et \(P_{O_2} = 0.21 \, \text{bar}\).

Question 2 : Entropie de mélange

Principe :
Mélange Spontané (ΔS > 0)

Le mélange de gaz parfaits est un processus irréversible qui augmente l'entropie. La variation d'entropie de mélange est toujours positive et se calcule à partir des fractions molaires de chaque constituant. Elle représente l'augmentation du "désordre" lorsque les molécules de différents gaz peuvent occuper un volume commun.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'entropie de mélange est une conséquence directe du caractère statistique de la thermodynamique. Il y a beaucoup plus de façons (micro-états) de disposer les molécules dans un état mélangé que dans un état séparé, ce qui rend l'état mélangé beaucoup plus probable et donc d'entropie plus élevée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta S_{\text{mélange}} = -n R \sum_{i} y_i \ln(y_i) \]

Pour une mole de mélange (\(n=1\)), la formule devient :

\[ \Delta s_{\text{mélange}} = -R (y_{N_2} \ln(y_{N_2}) + y_{O_2} \ln(y_{O_2})) \]
Donnée(s) :
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol·K)}\)
  • \(y_{N_2} = 0.79\)
  • \(y_{O_2} = 0.21\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta s_{\text{mélange}} &= -8.314 \times [0.79 \ln(0.79) + 0.21 \ln(0.21)] \\ &= -8.314 \times [0.79 \times (-0.2357) + 0.21 \times (-1.5606)] \\ &= -8.314 \times [-0.1862 - 0.3277] \\ &= -8.314 \times [-0.5139] \\ &\approx +4.273 \, \text{J/(mol·K)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le signe de l'entropie : L'entropie de mélange est TOUJOURS positive, car le mélange est un processus naturel qui augmente le désordre. Le signe négatif dans la formule est là pour compenser le fait que le logarithme d'une fraction (y_i < 1) est toujours négatif.

Le saviez-vous ?

Le "paradoxe de Gibbs" se demande pourquoi l'entropie de mélange est non nulle même si on mélange deux gaz identiques. La solution vient de la mécanique quantique : les particules identiques sont indiscernables, il n'y a donc pas d'augmentation du désordre et l'entropie de mélange est bien nulle dans ce cas !

FAQ en rapport avec la question :
L'entropie de mélange dépend-elle de la température ?

Non, pour des gaz parfaits, la formule de l'entropie de mélange ne dépend que des fractions molaires. La température n'intervient que plus tard, lorsqu'on calcule le travail de séparation à partir de cette entropie.

Résultat : L'entropie de mélange pour une mole d'air est \(\Delta s_{\text{mélange}} \approx +4.27 \, \text{J/(mol·K)}\).

Question 3 : Travail minimal de séparation

Principe :
Séparation (W > 0) W_min

Le second principe de la thermodynamique, appliqué à un système ouvert fonctionnant de manière réversible et isotherme, relie le travail fourni au système à la variation d'entropie. La séparation est l'inverse du mélange, donc la variation d'entropie du système est \(\Delta S_{\text{séparation}} = -\Delta S_{\text{mélange}}\). Le travail minimal est alors \(W_{\text{min}} = -T \Delta S_{\text{séparation}}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le travail ne sert pas à "casser" des liaisons (il n'y en a pas dans un mélange de gaz parfaits), mais à "lutter contre la tendance naturelle au désordre". C'est un coût purement entropique. On fournit de l'énergie pour diminuer le désordre du système (le gaz), ce qui augmente inévitablement le désordre de l'environnement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{\text{min}} = -T \Delta S_{\text{séparation}} = T \Delta S_{\text{mélange}} \]

Pour une mole, le travail molaire minimal est :

\[ w_{\text{min}} = T \Delta s_{\text{mélange}} \]
Donnée(s) :
  • Température \(T = 298 \, \text{K}\)
  • Entropie de mélange \(\Delta s_{\text{mélange}} \approx 4.273 \, \text{J/(mol·K)}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} w_{\text{min}} &= T \times \Delta s_{\text{mélange}} \\ &= 298 \, \text{K} \times 4.273 \, \text{J/(mol·K)} \\ &\approx 1273.4 \, \text{J/mol} \\ &\approx 1.27 \, \text{kJ/mol} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités d'énergie : L'entropie est souvent en Joules, tandis que les résultats finaux sont plus lisibles en kiloJoules (kJ). Il faut être vigilant lors de la conversion finale (diviser par 1000) et ne pas l'oublier.

Le saviez-vous ?

Le dessalement de l'eau de mer est aussi un processus de séparation (séparer l'eau pure du sel). Le travail minimal de dessalement par osmose inverse est calculé avec une formule très similaire, basée sur le potentiel chimique de l'eau dans la solution saline.

FAQ en rapport avec la question :
Ce travail est-il reçu ou fourni par le système ?

Le travail est positif (\(w_{\text{min}} > 0\)), ce qui signifie, par convention thermodynamique, qu'il doit être fourni AU système par l'extérieur. Il faut "dépenser" de l'énergie pour forcer la séparation.

Résultat : Le travail minimal pour séparer une mole d'air est \(w_{\text{min}} \approx 1.27 \, \text{kJ/mol}\).

Simulation Interactive de la Séparation

Explorez comment la composition du mélange et la température influencent l'énergie requise pour la séparation.

Paramètres du Mélange Binaire
Entropie de mélange
Travail minimal de séparation
Travail de séparation en fonction de la composition

Pour Aller Plus Loin : Les Méthodes de Séparation Réelles

De la théorie à la pratique : Le travail minimal calculé est une référence idéale. Dans l'industrie, plusieurs technologies sont utilisées pour séparer les gaz, chacune avec ses propres irréversibilités et son propre coût énergétique. Les principales sont :
• La distillation cryogénique : Le mélange est refroidi jusqu'à liquéfaction, puis distillé en exploitant les différences de points d'ébullition (comme pour l'air). Très efficace pour de grandes productions.
• L'adsorption par inversion de pression (PSA) : Utilise des matériaux (adsorbants) qui retiennent préférentiellement un gaz à haute pression. En abaissant la pression, le gaz est libéré.
• La séparation par membranes : Utilise des membranes polymères semi-perméables qui laissent passer un gaz plus rapidement qu'un autre.

Le Saviez-Vous ?

Le concept de travail de séparation est lié à l'expérience de pensée du "démon de Maxwell". Ce petit être imaginaire pourrait séparer les molécules rapides des molécules lentes d'un gaz sans travail, violant ainsi le second principe de la thermodynamique. L'analyse de ce paradoxe a montré que l'acquisition d'information par le démon a elle-même un coût entropique, sauvant ainsi le second principe !

Foire Aux Questions (FAQ)

Ce travail dépend-il de la pression initiale ?

Non, pour des gaz parfaits, le travail minimal de séparation ne dépend que de la température et de la composition (fractions molaires), mais pas de la pression totale initiale. Cela vient du fait que les termes de pression s'annulent dans le calcul de la variation d'entropie de mélange.

Pourquoi ce travail est-il "minimal" ?

Il est minimal car notre calcul suppose un processus parfaitement réversible. Toute irréversibilité (frictions, transferts de chaleur à travers une différence de température finie, etc.) dans un processus réel générerait de l'entropie supplémentaire, ce qui exigerait un apport de travail encore plus grand pour parvenir au même résultat final (la séparation).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la température du processus de séparation, le travail minimal requis :

2. Pour quel mélange binaire le travail de séparation est-il maximal ?

Glossaire

Pression Partielle
Dans un mélange de gaz parfaits, c'est la pression qu'un constituant exercerait s'il occupait seul tout le volume du mélange, à la même température. \(P_i = y_i P_{\text{totale}}\).
Entropie de Mélange
Augmentation de l'entropie qui se produit lorsque deux ou plusieurs gaz initialement séparés sont mélangés de manière isotherme et isobare. Elle est toujours positive, reflétant l'augmentation du désordre.
Loi de Dalton
La pression totale exercée par un mélange de gaz parfaits est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz constituant.
Travail de Séparation
L'énergie (sous forme de travail) qu'il faut fournir à un système pour séparer un mélange en ses constituants purs. Le travail est minimal lorsque le processus est mené de manière réversible.
Calcul du travail de séparation d'un mélange de gaz

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