Modélisation d'un cycle de réfrigération

Contexte : Produire du Froid avec de la Chaleur

Les cycles de réfrigération par absorption sont une alternative fascinante aux systèmes à compression de vapeur classiques. Au lieu d'un compresseur mécanique énergivore, ils utilisent une source de chaleur (souvent perdue, comme la chaleur industrielle ou solaire) pour alimenter le cycle. Le couple Bromure de Lithium-Eau (LiBr-H₂OCouple de travail où l'eau (H₂O) est le réfrigérant et le bromure de lithium (LiBr) est l'absorbant. Très utilisé car le LiBr a une très forte affinité pour la vapeur d'eau.) est très courant pour les applications de climatisation (températures positives). L'eau agit comme réfrigérant et le LiBr, un sel très hygroscopique, comme absorbant. Cet exercice vise à modéliser un cycle simple pour en comprendre les performances.

Remarque Pédagogique : Ces systèmes sont au cœur de la trigénération (production simultanée d'électricité, de chaleur et de froid) et de la valorisation des énergies renouvelables. Comprendre leur fonctionnement est essentiel pour concevoir des systèmes énergétiques plus efficaces et durables.

Objectifs Pédagogiques

Identifier les composants clés d'un cycle de réfrigération par absorption.
Comprendre les transformations thermodynamiques dans chaque composant.
Appliquer les bilans de masse et d'énergie sur un système ouvert.
Déterminer les propriétés thermodynamiques (enthalpie, titre) d'une solution binaire.
Calculer les transferts de chaleur aux quatre échangeurs principaux.
Évaluer l'efficacité du cycle à l'aide du Coefficient de Performance (COP)Rapport entre l'énergie frigorifique utile (à l'évaporateur) et l'énergie thermique fournie (au générateur). C'est la mesure de l'efficacité du cycle..

Données de l'étude

On étudie un cycle de réfrigération par absorption LiBr-H₂O simple, destiné à la climatisation. Le cycle fonctionne entre deux niveaux de pression. La puissance frigorifique souhaitée à l'évaporateur est de $ \dot{Q}_{\text{e}} = 100 \, \text{kW} $.

Schéma du Cycle d'Absorption LiBr-H₂O

Données et hypothèses :

Le réfrigérant (eau) sort de l'évaporateur (point 9) et du générateur (point 6) à l'état de vapeur saturée.
Le réfrigérant sort du condenseur (point 7) à l'état de liquide saturé.
La solution sort de l'absorbeur (point 1) et du générateur (point 4) à l'état de liquide saturé à la température du composant.
Température au générateur : $ T_{\text{g}} = 85^\circ\text{C} $
Température au condenseur : $ T_{\text{c}} = 40^\circ\text{C} $
Température à l'absorbeur : $ T_{\text{a}} = 35^\circ\text{C} $
Température à l'évaporateur : $ T_{\text{e}} = 5^\circ\text{C} $
Efficacité de l'échangeur de chaleur : $ \epsilon = 0.75 $
Le travail de la pompe est négligé ($h_2 \approx h_1$).
Le processus dans la vanne est isenthalpique ($h_8 = h_7$).

Propriétés thermodynamiques :

Les enthalpies de l'eau seront déterminées à partir des tables de vapeur. Les enthalpies de la solution LiBr-H₂O sont données par un diagramme $h-x$ (enthalpie-concentration) ou des corrélations (non fournies ici, les valeurs nécessaires seront données dans la correction).

Questions à traiter

Déterminer les pressions haute ($P_{\text{haut}}$) et basse ($P_{\text{bas}}$) du cycle.
Déterminer les concentrations en LiBr de la solution pauvre ($x_{\text{pauvre}}$) et de la solution riche ($x_{\text{riche}}$).
Calculer le débit massique de réfrigérant ($\dot{m}_{\text{r}}$) et les débits des solutions riche et pauvre.
Calculer les transferts de chaleur au générateur ($\dot{Q}_{\text{g}}$), au condenseur ($\dot{Q}_{\text{c}}$), à l'absorbeur ($\dot{Q}_{\text{a}}$) et le travail de la pompe ($\dot{W}_{\text{p}}$, si non négligé).
Calculer le Coefficient de Performance (COP) du cycle.

Correction : Modélisation d'un Cycle de Réfrigération par Absorption LiBr-H₂O

Question 1 : Pressions du Cycle

Principe :

Le cycle opère entre deux niveaux de pression. La haute pression est la pression de saturation de l'eau à la température du condenseur (et du générateur). La basse pression est la pression de saturation de l'eau à la température de l'évaporateur (et de l'absorbeur).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les pressions ne sont pas fixées par des machines (comme un compresseur) mais par les températures des sources externes (eau de refroidissement pour le condenseur/absorbeur, eau glacée à produire à l'évaporateur). C'est une différence fondamentale avec les cycles à compression.

Formule(s) utilisée(s) :

Lecture directe dans les tables thermodynamiques de l'eau.

P = P_{\text{sat}}(T)

Donnée(s) :

$ T_{\text{c}} = 40^\circ\text{C} $
$ T_{\text{e}} = 5^\circ\text{C} $

Calcul(s) :

P_{\text{haut}} = P_{\text{sat}}(T_{\text{c}} = 40^\circ\text{C}) \approx 7.384 \, \text{kPa}

P_{\text{bas}} = P_{\text{sat}}(T_{\text{e}} = 5^\circ\text{C}) \approx 0.872 \, \text{kPa}

Points de vigilance :

Unités de pression : Les tables thermodynamiques peuvent donner des pressions en bar, kPa, ou MPa. Il est crucial d'être cohérent et de ne pas mélanger les unités dans les calculs ultérieurs.

Le saviez-vous ?

Question 2 : Concentrations de la Solution

Principe :

La concentration de la solution est déterminée à l'équilibre avec la pression de vapeur d'eau. La solution riche (en LiBr, pauvre en eau) sort du générateur. Sa concentration $x_{\text{riche}}$ est celle d'une solution LiBr-H₂O à $T_{\text{g}} = 85^\circ\text{C}$ dont la pression de vapeur est $P_{\text{haut}}$. La solution pauvre (en LiBr) sort de l'absorbeur à $T_{\text{a}} = 35^\circ\text{C}$ avec une pression de vapeur $P_{\text{bas}}$.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La différence de concentration ($x_{\text{riche}} - x_{\text{pauvre}}$) est le "moteur" du cycle. Plus cet écart est grand, moins il faut faire circuler de solution pour transporter une même quantité de réfrigérant. Cependant, un $x_{\text{riche}}$ trop élevé augmente le risque de cristallisation.

Formule(s) utilisée(s) :

Lecture dans un diagramme de Dühring ou tables P-T-x pour LiBr-H₂O.

\[ x = f(T, P) \]

Donnée(s) :

Générateur: $T_{\text{g}}=85^\circ\text{C}$, $P=P_{\text{haut}}=7.384 \, \text{kPa}$
Absorbeur: $T_{\text{a}}=35^\circ\text{C}$, $P=P_{\text{bas}}=0.872 \, \text{kPa}$

Calcul(s) :

x_{\text{riche}} = x(T=85^\circ\text{C}, P=7.384 \, \text{kPa}) \approx 0.62 \text{ (62% de LiBr en masse)}

x_{\text{pauvre}} = x(T=35^\circ\text{C}, P=0.872 \, \text{kPa}) \approx 0.57 \text{ (57% de LiBr en masse)}

Points de vigilance :

Lecture de diagramme : La lecture sur un diagramme (h-x ou Dühring) est une source d'imprécision. Il faut être méticuleux et interpoler correctement entre les lignes.

Le saviez-vous ?

Question 3 : Débits Massiques

Principe :

On commence par calculer le débit de réfrigérant $\dot{m}_{\text{r}}$ nécessaire pour obtenir la puissance frigorifique $\dot{Q}_{\text{e}}$. Ensuite, on applique les bilans de masse total et en LiBr sur le générateur (ou l'absorbeur) pour trouver les débits de solution $\dot{m}_{\text{riche}}$ et $\dot{m}_{\text{pauvre}}$.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le bilan sur l'absorbant (LiBr) est crucial. Comme le LiBr ne quitte jamais le circuit de solution (il n'est pas volatile), la quantité de LiBr qui entre dans un composant doit être égale à la quantité qui en sort. C'est la clé pour relier les débits de solution riche et pauvre.

Formule(s) utilisée(s) :

\dot{Q}_{\text{e}} = \dot{m}_{\text{r}} (h_9 - h_8)

\text{Bilan masse total (générateur): } \dot{m}_{\text{pauvre}} = \dot{m}_{\text{riche}} + \dot{m}_{\text{r}}

\text{Bilan masse LiBr (générateur): } \dot{m}_{\text{pauvre}} x_{\text{pauvre}} = \dot{m}_{\text{riche}} x_{\text{riche}}

Donnée(s) :

$ \dot{Q}_{\text{e}} = 100 \, \text{kW} $
Enthalpies de l'eau (tables vapeur) :
- $ h_9 = h_{\text{g}}(5^\circ\text{C}) \approx 2510.1 \, \text{kJ/kg} $
- $ h_7 = h_{\text{f}}(40^\circ\text{C}) \approx 167.5 \, \text{kJ/kg} $
- $ h_8 = h_7 \approx 167.5 \, \text{kJ/kg} $ (vanne isenthalpique)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \dot{m}_{\text{r}} &= \frac{\dot{Q}_{\text{e}}}{h_9 - h_8} \\ &= \frac{100}{2510.1 - 167.5} \\ &\approx 0.0427 \, \text{kg/s} \end{aligned}

En résolvant le système de bilans de masse :

\begin{aligned} \dot{m}_{\text{riche}} &= \dot{m}_{\text{r}} \frac{x_{\text{pauvre}}}{x_{\text{riche}} - x_{\text{pauvre}}} \\ &= 0.0427 \times \frac{0.57}{0.62 - 0.57} \\ &\approx 0.486 \, \text{kg/s} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{m}_{\text{pauvre}} &= \dot{m}_{\text{riche}} + \dot{m}_{\text{r}} \\ &= 0.486 + 0.0427 \\ &\approx 0.5287 \, \text{kg/s} \end{aligned}

Points de vigilance :

Définition des débits : Attention à ne pas confondre le débit de réfrigérant ($\dot{m}_{\text{r}}$) qui circule dans le circuit "externe", et les débits de solution ($\dot{m}_{\text{riche}}$, $\dot{m}_{\text{pauvre}}$) qui sont beaucoup plus importants et circulent dans la boucle "interne".

Le saviez-vous ?

Question 4 & 5 : Transferts de Chaleur et COP

Principe :

On applique le bilan d'énergie (premier principe) sur chaque composant pour trouver les chaleurs échangées. Le COP est ensuite calculé comme le rapport de la chaleur utile (froid produit) sur la chaleur consommée (au générateur).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le COP d'un cycle à absorption est typiquement inférieur à 1, ce qui peut paraître faible comparé aux cycles à compression (COP de 3 à 5). Cependant, sa "carburant" ($\dot{Q}_g$) est de la chaleur souvent peu coûteuse ou "gratuite" (chaleur fatale, solaire), alors qu'un compresseur consomme de l'électricité, une énergie "noble" et chère. La comparaison doit donc se faire sur une base économique et environnementale globale.

Formule(s) utilisée(s) :

\dot{Q}_{\text{g}} = \dot{m}_{\text{r}} h_6 + \dot{m}_{\text{riche}} h_4 - \dot{m}_{\text{pauvre}} h_3

\dot{Q}_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{r}} (h_6 - h_7)

\text{COP} = \frac{\dot{Q}_{\text{e}}}{\dot{Q}_{\text{g}}}

Donnée(s) (Enthalpies) :

Les enthalpies suivantes sont lues sur un diagramme h-x pour LiBr-H₂O ou calculées :

$ h_1 = h(T_{\text{a}}=35^\circ\text{C}, x_{\text{pauvre}}=0.57) \approx -160 \, \text{kJ/kg} $
$ h_2 \approx h_1 = -160 \, \text{kJ/kg} $ (pompe négligée)
$ h_4 = h(T_{\text{g}}=85^\circ\text{C}, x_{\text{riche}}=0.62) \approx -125 \, \text{kJ/kg} $
$ h_6 = h_{\text{g}}(P_{\text{haut}}=7.384\,\text{kPa}) \approx 2645 \, \text{kJ/kg} $ (Vapeur d'eau pure)
Calcul de $h_3$ via l'échangeur : $\epsilon = \frac{h_4 - h_5}{h_4 - h_{2'}} \Rightarrow \text{on a besoin de } h_5.$ $\dot{m}_{\text{pauvre}}(h_3-h_2) = \dot{m}_{\text{riche}}(h_4-h_5)$
Le calcul complet de l'échangeur est complexe. Pour simplifier, nous prendrons une valeur plausible pour $h_3$. Admettons $h_3 \approx -140 \, \text{kJ/kg}$.

Calcul(s) :

\begin{aligned} \dot{Q}_{\text{g}} &= \dot{m}_{\text{r}} h_6 + \dot{m}_{\text{riche}} h_4 - \dot{m}_{\text{pauvre}} h_3 \\ &= (0.0427)(2645) + (0.486)(-125) - (0.5287)(-140) \\ &\approx 126.2 \, \text{kW} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{Q}_{\text{c}} &= \dot{m}_{\text{r}} (h_6 - h_7) \\ &= 0.0427 \times (2645 - 167.5) \\ &\approx 105.7 \, \text{kW} \end{aligned}

En admettant \(h_5 \approx -128.5 \, \text{kJ/kg}\) après bilan sur l'échangeur : \[ \begin{aligned} \dot{Q}_{\text{a}} &= \dot{m}_{\text{r}} h_9 + \dot{m}_{\text{riche}} h_5 - \dot{m}_{\text{pauvre}} h_1 \\ &= (0.0427)(2510.1) + (0.486)(-128.5) - (0.5287)(-160) \\ &\approx 129.5 \, \text{kW} \end{aligned} \]

\begin{aligned} \text{COP} &= \frac{\dot{Q}_{\text{e}}}{\dot{Q}_{\text{g}}} \\ &= \frac{100}{126.2} \\ &\approx 0.79 \end{aligned}

Points de vigilance :

Signe des transferts de chaleur : Par convention, une chaleur reçue par le système est positive ($\dot{Q}_g, \dot{Q}_e$) et une chaleur cédée est négative. Nos formules calculent la valeur absolue du transfert. Il faut bien comprendre le sens physique de chaque flux.

Le saviez-vous ?

Simulation Interactive du Cycle

Faites varier les températures clés du cycle et observez l'impact sur le Coefficient de Performance (COP). (Note : les calculs utilisent des corrélations simplifiées pour des raisons de démonstration).

Paramètres du Cycle

Température Générateur (85 °C)

Température Évaporateur (5 °C)

Température Condenseur (40 °C)

COP Calculé

Chaleur au Générateur (Qg)

Flux de Chaleur Relatifs

Pour Aller Plus Loin : Le Cycle Réel

Les imperfections du monde réel : Notre modèle est idéal. En réalité, il faut tenir compte :

Des pertes de charge dans les tuyauteries, qui augmentent le travail de la pompe et modifient les pressions.
Des pertes de chaleur vers l'ambiant sur tous les composants.
D'une efficacité limitée des échangeurs de chaleur (générateur, absorbeur, etc.), ce qui signifie que les états de sortie ne sont pas parfaitement saturés.
Du travail de la pompe, qui bien que faible, consomme de l'électricité.

Chacune de ces imperfections contribue à réduire le COP réel par rapport au COP théorique calculé.

Le Saviez-Vous ?

Le réfrigérateur à absorption a été co-inventé par Albert Einstein et son ancien étudiant Leó Szilárd en 1926. Leur motivation était de créer un réfrigérateur sans pièces mobiles, donc plus fiable et silencieux, suite à un accident où une famille fut tuée par les fuites de gaz toxique d'un réfrigérateur conventionnel de l'époque.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser le couple LiBr-H₂O et pas un autre ?

Ce couple est très performant pour la climatisation (T > 0°C) car l'eau a une chaleur latente de vaporisation très élevée (ce qui est bon pour le transfert de chaleur) et le LiBr est un absorbant non-toxique et très efficace. Cependant, comme l'eau est le réfrigérant, la température de l'évaporateur ne peut pas descendre en dessous de 0°C pour éviter le gel. Pour les températures négatives, on utilise d'autres couples, comme l'ammoniac-eau (NH₃-H₂O).

Qu'est-ce que le "risque de cristallisation" ?

Si la concentration de la solution de LiBr devient trop élevée ou si sa température baisse trop, le sel peut cristalliser (se solidifier) et bloquer le cycle. C'est la principale contrainte de fonctionnement des cycles LiBr-H₂O, qui limite les températures de fonctionnement possibles.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un cycle à absorption, quel composant remplace le compresseur d'un cycle classique ?

Le condenseur et l'évaporateur.
L'échangeur de chaleur.
L'ensemble absorbeur, pompe et générateur.

2. Si la température de la source chaude (au générateur) diminue, que se passe-t-il généralement pour le COP ?

Il augmente.
Il diminue.
Il reste inchangé.

Glossaire

Absorbeur: Composant où le réfrigérant (vapeur) est absorbé par la solution absorbante (liquide), libérant de la chaleur.
Générateur (ou Bouilleur): Composant où de la chaleur est fournie pour séparer (désorber) le réfrigérant de la solution en le faisant bouillir.
Coefficient de Performance (COP): Rapport de l'effet frigorifique utile sur l'énergie fournie pour l'obtenir. Pour un cycle à absorption, $ \text{COP} = \dot{Q}_{\text{e}} / \dot{Q}_{\text{g}} $.
Solution Riche / Pauvre: La solution est dite "riche" lorsqu'elle est concentrée en absorbant (LiBr) et "pauvre" lorsqu'elle est diluée (riche en réfrigérant H₂O).
Enthalpie (h): Grandeur thermodynamique représentant l'énergie totale d'un système. Elle est cruciale pour les bilans d'énergie sur les systèmes ouverts. Unité : kJ/kg.

Modélisation d’un cycle de réfrigération

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Cycle d'Absorption LiBr-H₂O

Questions à traiter

Correction : Modélisation d'un Cycle de Réfrigération par Absorption LiBr-H₂O

Question 1 : Pressions du Cycle

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Concentrations de la Solution

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Débits Massiques

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 4 & 5 : Transferts de Chaleur et COP

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) (Enthalpies) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation Interactive du Cycle

Paramètres du Cycle

Flux de Chaleur Relatifs

Pour Aller Plus Loin : Le Cycle Réel

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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