Utilisation du diagramme de Mollier (h-s)

Contexte : Le Diagramme de Mollier (h-s)Un diagramme thermodynamique représentant l'enthalpie (h) en fonction de l'entropie (s)..

Cet exercice porte sur l'étude d'une détente de vapeur d'eau dans une turbine. Nous utiliserons le diagramme de Mollier (h-s) pour déterminer les propriétés thermodynamiques de la vapeur à l'entrée et à la sortie, et pour calculer le travail produit. C'est une application fondamentale en ingénierie énergétique et dans l'étude des centrales thermiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à lire et à utiliser le diagramme h-s pour analyser un cycle de turbine à vapeur, une compétence essentielle pour comprendre les centrales électriques.

Objectifs Pédagogiques

Se repérer sur un diagramme de Mollier (h-s) pour la vapeur d'eau.
Déterminer les propriétés (enthalpie, entropie, titre) à partir de deux états indépendants.
Tracer une transformation isentropiqueUne transformation qui se produit à entropie constante (s = cste). C'est le cas idéal pour les turbines et compresseurs. (détente idéale).
Calculer le travail d'une turbine et appliquer la notion de rendement isentropique.

Données de l'étude

Une turbine à vapeur fonctionne en régime permanent. La vapeur d'eau entre dans la turbine et se détend pour produire du travail. On négligera les variations d'énergie cinétique et potentielle.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
État d'entrée (Point 1)	Pression P1 = 30 bar
État d'entrée (Point 1)	Température T1 = 400 °C
État de sortie (Point 2)	Pression P2 = 1 bar

Schéma de principe de la turbine

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Pression P1	Pression d'entrée	30	bar
Température T1	Température d'entrée	400	°C
Pression P2	Pression de sortie	1	bar

Questions à traiter

Déterminer l'enthalpieUne mesure de l'énergie totale d'un système thermodynamique. Elle inclut l'énergie interne plus le produit de la pression et du volume (H = U + PV). (h1) et l'entropieUne mesure du 'désordre' ou de l'irréversibilité d'un système. (s1) de la vapeur à l'entrée (Point 1).
Tracer la détente isentropique (idéale) de P1 à P2 sur un diagramme h-s (schématiquement).
Déterminer l'enthalpie (h2s) et le titre de vapeurDans un mélange saturé, c'est la fraction massique de vapeur. x=0 pour liquide saturé, x=1 pour vapeur saturée. (x2s) à la sortie pour cette détente idéale (s2s = s1).
Calculer le travail isentropique (w_s) fourni par la turbine par kg de vapeur.
En réalité, le rendement isentropique de la turbine est de 85%. Calculer le travail réel (w_reel) et l'enthalpie réelle de sortie (h2_reel).

Les bases sur le Diagramme de Mollier (h-s)

Le diagramme de Mollier (h-s) est un outil essentiel pour les ingénieurs thermiciens. Il trace l'enthalpie (h, énergie) en fonction de l'entropie (s, désordre). Il permet de lire rapidement les propriétés d'un fluide, comme la vapeur d'eau, et de visualiser les transformations thermodynamiques.

1. Lecture du diagramme
Il est composé de plusieurs réseaux de lignes :

Isobares : Lignes de pression constante (P = cste).
Isothermes : Lignes de température constante (T = cste).
Courbes de titre : Lignes de qualité de vapeur constante (x = cste), situées sous la "cloche" (courbe de saturation).
Courbe de saturation : Sépare le liquide, le mélange liquide-vapeur, et la vapeur surchauffée.

2. Premier Principe (Turbine)
Pour une turbine en régime permanent, adiabatique (pas d'échange de chaleur) et sans variation d'énergie cinétique ou potentielle, le travail (w) est la variation d'enthalpie : \[ w = h_{\text{entrée}} - h_{\text{sortie}} = h_1 - h_2 \]

3. Rendement Isentropique
Le rendement compare le travail réel au travail idéal (isentropique). Pour une turbine : \[ \eta_s = \frac{w_{\text{reel}}}{w_{\text{ideal}}} = \frac{h_1 - h_{2,reel}}{h_1 - h_{2s}} \] Où 'h2s' est l'enthalpie de sortie idéale (à s=cste) et 'h2,reel' est l'enthalpie de sortie réelle.

Extrait des Tables Thermodynamiques (Eau/Vapeur)

Voici les valeurs de référence (arrondies) utilisées pour les calculs de cet exercice.

Propriétés de Saturation

Pression (bar)	T_sat (°C)	h_f (kJ/kg)	h_g (kJ/kg)	s_f (kJ/kg·K)	s_g (kJ/kg·K)
1 bar	99.6	417.5	2675.4	1.3028	7.3589
30 bar	233.9	1008.4	2803.0	2.6459	6.1856

Propriétés de Surchauffe

P (bar)	T (°C)	h (kJ/kg)	s (kJ/kg·K)
30 bar	400 °C	3231.7	6.925

Correction : Utilisation du diagramme de Mollier (h-s)

Question 1 : Propriétés à l'entrée (Point 1)

Principe

Nous devons localiser le Point 1 sur le diagramme de Mollier. Nous avons deux propriétés indépendantes : la pression P1 = 30 bar et la température T1 = 400 °C. L'intersection de la ligne isobare (30 bar) et de la ligne isotherme (400 °C) nous donne le point 1.

Remarque Pédagogique

Pour P = 30 bar, la température de saturation est T_sat ≈ 233.9°C. Comme notre température T1 (400°C) est supérieure à T_sat, nous sommes bien dans la zone de vapeur surchauffée.

Note sur l'utilisation du diagramme

Où est le diagramme ? Cet exercice suppose que vous avez accès à un diagramme de Mollier (h-s) complet pour l'eau, ou à des tables thermodynamiques. Dans un contexte réel (examen ou bureau d'études), le diagramme [Image of a Mollier (h-s) diagram for water] est un document de référence fourni séparément.

L'objectif ici n'est pas de mémoriser ce diagramme, mais d'apprendre la méthode pour y trouver des informations et tracer des transformations.

Formule(s)

Il ne s'agit pas d'une formule mais d'une lecture directe sur le diagramme h-s (ou utilisation de tables thermodynamiques).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression d'entrée	P1	30	bar
Température d'entrée	T1	400	°C

Schéma (Avant les calculs)

On cherche l'intersection de l'isobare 30 bar et de l'isotherme 400°C sur le diagramme.

Localisation du Point 1 sur le diagramme h-s

Calcul(s)

Cette étape est une lecture de diagramme ou de table. Voici la démarche :

Localiser l'isobare : Trouvez la ligne courbe correspondant à P1 = 30 bar.
Localiser l'isotherme : Trouvez la ligne (souvent plus fine) correspondant à T1 = 400 °C.
Trouver l'intersection : Le Point 1 est à l'intersection de ces deux lignes.
Lire les coordonnées :
- Projetez ce point horizontalement vers l'axe des 'h' (axe Y) pour lire h1.
- Projetez ce point verticalement vers l'axe des 's' (axe X) pour lire s1.

En utilisant des tables thermodynamiques (plus précises qu'une lecture graphique), on obtient les deux valeurs clés pour le Point 1 :

Pour l'enthalpie :

h_1 \approx 3231.7 \text{ kJ/kg}

Pour l'entropie :

s_1 \approx 6.925 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}

Nous utiliserons ces deux valeurs comme point de départ pour la suite de l'exercice.

Points à retenir

Deux propriétés indépendantes (comme P et T en vapeur surchauffée) définissent entièrement l'état d'un fluide.

Résultat Final

L'enthalpie d'entrée est h1 ≈ 3231.7 kJ/kg et l'entropie d'entrée est s1 ≈ 6.925 kJ/kg·K.

A vous de jouer

Si l'enthalpie d'entrée h1 est 3000 kJ/kg et l'enthalpie de sortie idéale h2s est 2500 kJ/kg, quel est le travail isentropique (w_s) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Objectif : Trouver h1 et s1.
Méthode : Intersection de P1 = 30 bar et T1 = 400 °C.
Résultat : h1 ≈ 3231.7 kJ/kg, s1 ≈ 6.925 kJ/kg·K.

Question 2 : Tracer la détente isentropique

Principe

Une détente isentropique est une transformation "idéale" (adiabatique et réversible) qui se produit à entropie constante. Sur le diagramme h-s, dont l'axe des abscisses est l'entropie (s), une transformation à entropie constante est simplement une ligne droite verticale.

Mini-Cours

Représentation graphique :
Le diagramme h-s est conçu pour que les transformations isentropiques ( \(s = \text{cste}\) ) soient des lignes verticales. Cela rend l'analyse des cycles idéaux (comme ceux de Rankine pour les turbines) très visuelle. Le travail idéal ( \(h_1 - h_{2s}\) ) peut être lu directement comme la longueur de ce segment vertical.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus "visuelle" de l'exercice. Vous partez du Point 1 (que vous avez trouvé à la Q1) et vous "descendez" tout droit, parallèlement à l'axe h, jusqu'à ce que vous "heurtiez" la ligne de pression P2 = 1 bar. Ce point d'intersection est votre Point 2s ("s" pour isentropique).

Normes

Ce tracé suit la définition thermodynamique d'un processus isentropique, qui est le modèle de référence (l'idéal) pour évaluer l'efficacité des turbines et des compresseurs.

Formule(s)

La condition mathématique d'une transformation isentropique (par définition) est que l'entropie ne change pas :

s_{\text{sortie}} = s_{\text{entrée}} \Rightarrow s_{2s} = s_1 = \text{constante}

Cela signifie que l'entropie au point de sortie idéal (2s) est exactement la même que celle du point d'entrée (1).

Hypothèses

On suppose une transformation "idéale" :

Processus adiabatique (pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).
Processus réversible (pas de frictions internes ou autres pertes).

Donnée(s)

Nous partons du Point 1 (P1=30 bar, T1=400°C) et nous descendons verticalement jusqu'à croiser la ligne de pression P2 = 1 bar.

Point de départ (de Q1) : s1 ≈ 6.925 kJ/kg·K
Pression d'arrivée : P2 = 1 bar

Astuces

Utilisez une règle ou le bord d'une feuille pour garantir que votre ligne est bien verticale sur le diagramme papier. Sur un logiciel, il suffit de fixer la coordonnée 's'.

Schéma (Avant les calculs)

Le principe est de trouver l'intersection d'une verticale (s1) et d'une courbe (P2).

Calcul(s)

Cette étape est un tracé graphique, il n'y a pas de calcul à proprement parler, mais une identification de point. Le calcul (lecture des propriétés de ce point) est l'objet de la question 3.

Schéma (Après les calculs)

Le tracé sur le diagramme h-s est une droite verticale.

Tracé de la détente isentropique (h1 -> h2s)

Réflexions

Visuellement, on voit que le Point 2s est sous la cloche (courbe de saturation), ce qui signifie que la vapeur s'est partiellement condensée pendant la détente. On voit aussi que l'enthalpie h2s est bien inférieure à h1.

Points de vigilance

Ne confondez pas la ligne isobare (P=cste) et l'isotherme (T=cste) lors de la recherche du point d'arrivée. Le Point 2s est sur l'isobare P2=1 bar.

Points à retenir

Isentropique = Entropie constante = Verticale sur diagramme h-s.

Le saviez-vous ?

Le diagramme h-s a été proposé par Richard Mollier en 1904. Il a rapidement compris que tracer l'enthalpie (liée au travail et à la chaleur) en fonction de l'entropie (liée à l'irréversibilité) simplifiait énormément les calculs des ingénieurs.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La détente est représentée par une droite verticale (s = 6.925 kJ/kg·K) partant du Point 1 (sur l'isobare 30 bar) et s'arrêtant au Point 2s (sur l'isobare 1 bar).

A vous de jouer

Si s1 = 7.2 kJ/kg·K (vapeur plus surchauffée), et qu'à 1 bar on a sf = 1.3 et sg = 7.36, quel serait le titre x2s ? (Formule : \(x = (s - s_f) / (s_g - s_f)\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept : Transformation isentropique.
Tracé : Droite verticale sur le diagramme h-s.
Condition : \(s_1 = s_{2s}\).

Question 3 : Propriétés à la sortie idéale (Point 2s)

Principe

Le Point 2s est à l'intersection de s2s = s1 = 6.925 kJ/kg·K et P2 = 1 bar. Nous devons d'abord déterminer si ce point est sous la cloche (mélange) ou en vapeur surchauffée. Pour cela, on compare s2s aux valeurs de l'entropie du liquide saturé (sf) et de la vapeur saturée (sg) à 1 bar.

Mini-Cours

Calcul des propriétés d'un mélange :
Pour tout mélange liquide-vapeur, une propriété (comme h, s, v) est la moyenne pondérée des propriétés du liquide saturé (f) et de la vapeur saturée (g). Le poids est le titre de vapeur (x)Fraction massique de vapeur. x=0 pour liquide saturé, x=1 pour vapeur saturée..
\(s = (1-x) \cdot s_f + x \cdot s_g = s_f + x \cdot (s_g - s_f)\)
\(h = (1-x) \cdot h_f + x \cdot h_g = h_f + x \cdot (h_g - h_f)\)
Où \((h_g - h_f)\) est la chaleur latente de vaporisation, notée \(h_{fg}\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est cruciale. On ne peut pas "lire" directement l'enthalpie h2s sans connaître le titre. On utilise donc la propriété que l'on connaît (s2s) pour trouver le titre (x2s) en premier. Une fois le titre connu, on peut "remonter" à l'enthalpie h2s.

Normes

Les valeurs de hf, hg, sf, et sg pour P = 1 bar sont standardisées et proviennent des tables internationales de propriétés de l'eau et de la vapeur (par ex. IAPWS-IF97).

Formule(s)

Calcul du titre de vapeur (x2s)

Cette formule permet de trouver la proportion de vapeur (x) en utilisant l'entropie (s), qui est une valeur connue.

x_{2s} = \frac{s_{2s} - s_f}{s_g - s_f}

Où \(s_{2s}\) est notre entropie cible (venue de Q1), et \(s_f\) / \(s_g\) sont les entropies du liquide et de la vapeur saturée à P2=1 bar.

Calcul de l'enthalpie (h2s)

Une fois le titre \(x_{2s}\) connu, nous utilisons la même proportion pour trouver l'enthalpie du mélange.

h_{2s} = h_f + x_{2s} \cdot (h_g - h_f)

Où \(h_f\) / \(h_g\) sont les enthalpies du liquide et de la vapeur saturée à P2=1 bar.

Hypothèses

On utilise les valeurs de saturation tabulées pour la pression P2 = 1 bar (qui correspond à T_sat = 99.6°C).

Donnée(s)

Tables thermodynamiques pour l'eau à P2 = 1 bar :

Propriété	Liquide Saturé (f)	Vapeur Saturée (g)	Unité
Enthalpie (h)	hf ≈ 417.5	hg ≈ 2675.4	kJ/kg
Entropie (s)	sf ≈ 1.3028	sg ≈ 7.3589	kJ/kg·K

Astuces

Les termes \((s_g - s_f)\) et \((h_g - h_f)\) sont souvent notés \(s_{fg}\) et \(h_{fg}\) (chaleur latente) dans les tables, ce qui simplifie l'écriture des formules.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du titre de vapeur 'x' sous la cloche de saturation.

Signification du titre de vapeur (x)

Calcul(s)

Étape 1 : Vérification de l'état

On compare notre entropie \(s_{2s}\) (qui est \(s_1\)) aux valeurs de saturation à P2 = 1 bar :
Entropie liquide saturé : \(s_f = 1.3028 \text{ kJ/kg·K}\)
Entropie vapeur saturée : \(s_g = 7.3589 \text{ kJ/kg·K}\)
On observe que : \(1.3028 \text{ (sf)} < 6.925 \text{ (s2s)} < 7.3589 \text{ (sg)}\).
Puisque notre entropie est entre les bornes liquide et vapeur, le Point 2s est un mélange saturé (sous la cloche).

Étape 2 : Calcul du titre de vapeur (x2s)

On utilise la formule du titre pour l'entropie :

s_{2s} = s_f + x_{2s} \cdot (s_g - s_f)

On isole \(x_{2s}\) :

x_{2s} = \frac{s_{2s} - s_f}{s_g - s_f}

On remplace par les valeurs (s2s de Q1, sf et sg de la table P=1bar) :

\begin{aligned} x_{2s} &= \frac{6.925 \text{ (s2s)} - 1.3028 \text{ (sf)}}{7.3589 \text{ (sg)} - 1.3028 \text{ (sf)}} \\ &= \frac{5.6222}{6.0561} \\ &\approx 0.928 \end{aligned}

Le titre est donc d'environ 92.8%.

Étape 3 : Calcul de l'enthalpie (h2s)

Maintenant qu'on a le titre \(x_{2s}\), on utilise la même logique pour l'enthalpie :

h_{2s} = h_f + x_{2s} \cdot (h_g - h_f)

On remplace par les valeurs (hf et hg de la table P=1bar, x2s de l'étape 2) :

h_{2s} = 417.5 \text{ (hf)} + 0.928 \text{ (x2s)} \times (2675.4 \text{ (hg)} - 417.5 \text{ (hf)})

Ce qui donne le calcul final :

\begin{aligned} h_{2s} &= 417.5 + 0.928 \times (2257.9) \\ &= 417.5 + 2095.1 \\ &\approx 2512.6 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

C'est l'enthalpie finale de notre détente idéale.

Réflexions

Un titre de 0.928 signifie que le mélange à la sortie idéale est composé de 92.8% de vapeur et 7.2% de gouttelettes de liquide (en masse). Ces gouttelettes peuvent être érosives pour les dernières ailettes de la turbine.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les bonnes valeurs (f et g) correspondant à la bonne pression (P2 = 1 bar). Ne mélangez pas les propriétés du liquide (f) et de la vapeur (g).

Points à retenir

Vérifier l'état (mélange ou surchauffe) est la première étape.
Si \(s_f < s < s_g\), c'est un mélange.
On utilise 's' pour trouver 'x', puis 'x' pour trouver 'h'.

Le saviez-vous ?

Si notre entropie s2s avait été supérieure à sg (7.3589), le point 2s aurait été en zone de vapeur surchauffée. Nous aurions alors dû lire h2s à l'intersection de P2=1 bar et s2s=... sur les lignes de surchauffe.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le titre de vapeur idéal est x2s ≈ 92.8% et l'enthalpie idéale de sortie est h2s ≈ 2512.6 kJ/kg.

A vous de jouer

Recalculez h2s si le titre isentropique n'était que de 0.90. (Utilisez hf=417.5 et hg=2675.4).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Trouver x2s et h2s.
Formule 1 : \(x_{2s} = (s_{2s} - s_f) / (s_g - s_f)\).
Formule 2 : \(h_{2s} = h_f + x_{2s} \cdot (h_g - h_f)\).

Question 4 : Travail isentropique (w_s)

Principe

Le travail isentropique (idéal) fourni par la turbine est, d'après le premier principe de la thermodynamique (négligeant E_cin et E_pot), égal à la "chute" d'enthalpie entre l'entrée (h1) et la sortie idéale (h2s).

Mini-Cours

Premier principe pour un système ouvert :
Pour un volume de contrôle (comme une turbine) en régime permanent, le premier principe s'écrit :
\(\dot{Q} - \dot{W} = \dot{m} \cdot [ (h_2 - h_1) + \Delta E_c + \Delta E_p ] \)
En divisant par le débit massique \(\dot{m}\) et en posant \(q = \dot{Q}/\dot{m}\) et \(w = \dot{W}/\dot{m}\), on a :
\(q - w = h_2 - h_1 + \Delta E_c + \Delta E_p\)
Pour notre turbine idéale (adiabatique q=0) et avec \(\Delta E_c = 0, \Delta E_p = 0\), il reste :
\(-w_s = h_{2s} - h_1 \Rightarrow w_s = h_1 - h_{2s}\)

Remarque Pédagogique

Le travail est une différence d'enthalpie. C'est la conversion de l'énergie "stockée" dans la vapeur (haute pression, haute température) en énergie mécanique (rotation de l'arbre). C'est pour cela que l'enthalpie 'h' est si utile en thermodynamique.

Normes

Cette application du premier principe de la thermodynamique pour les systèmes ouverts est un fondement de l'ingénierie des fluides et de l'énergie.

Formule(s)

Travail isentropique (spécifique)

La formule du travail est dérivée du premier principe de la thermodynamique (voir Mini-Cours). Elle stipule que le travail idéal (isentropique) \(w_s\) est la différence entre l'enthalpie d'entrée et l'enthalpie de sortie idéale.

\begin{aligned} w_s &= w_{\text{ideal}} \\ &= h_1 - h_{2s} \end{aligned}

Le résultat sera en kJ/kg.

Hypothèses

On maintient les hypothèses de la turbine idéale :

Régime permanent.
Processus adiabatique (q=0).
Variations d'énergie cinétique et potentielle négligeables.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Enthalpie d'entrée	h1	3231.7	kJ/kg
Enthalpie de sortie idéale	h2s	2512.6	kJ/kg

Astuces

Pour une détente (turbine), on fait toujours (enthalpie d'entrée - enthalpie de sortie) pour obtenir un travail positif. Pour une compression (pompe, compresseur), on fait (enthalpie de sortie - enthalpie d'entrée) pour obtenir le travail reçu (positif).

Schéma (Avant les calculs)

Le travail \(w_s\) est la "hauteur" du segment vertical que nous avons tracé à la question 2 sur le diagramme h-s.

Visualisation du travail \(w_s\)

Calcul(s)

On applique la formule du travail isentropique (définie ci-dessus) :

w_s = h_1 - h_{2s}

On remplace par les valeurs trouvées aux questions 1 et 3 :

\begin{aligned} w_s &= 3231.7 \text{ (h1)} - 2512.6 \text{ (h2s)} \\ &= 719.1 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

C'est le travail maximal théorique que la turbine peut fournir.

Réflexions

C'est le travail maximal que cette turbine peut théoriquement produire dans ces conditions. Dans la réalité, le travail sera moindre, comme nous le verrons à la question 5.

Points de vigilance

Pour une turbine (détente), le travail \(w\) est positif (le système produit du travail). L'enthalpie diminue (\(h_1 > h_2\)).
Pour un compresseur (compression), le travail \(w\) est négatif (le système reçoit du travail). L'enthalpie augmente (\(h_2 > h_1\)).

Points à retenir

Le travail d'une turbine (détente) est positif (h1 > h2).
Le travail d'un compresseur (compression) serait négatif (h1 < h2), signifiant qu'il faut fournir du travail au système.
\(w_s = h_1 - h_{2s}\) pour une turbine adiabatique idéale.

Le saviez-vous ?

L'unité "Cheval-vapeur" (ch), inventée par James Watt, servait à comparer la puissance de ses machines à vapeur à celle d'un cheval de trait. 1 cheval-vapeur équivaut à environ 735.5 Watts. Le Watt (W), unité SI de puissance, est un J/s. Notre travail \(w_s\) est en kJ/kg. Pour obtenir la puissance, on multiplierait par le débit massique \(\dot{m}\) (en kg/s).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le travail isentropique (idéal) fourni par la turbine est w_s = 719.1 kJ/kg.

A vous de jouer

Recalculez le travail isentropique \(w_s\) si l'enthalpie d'entrée \(h_1\) était de 3300 kJ/kg et l'enthalpie de sortie idéale \(h_{2s}\) de 2600 kJ/kg.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : 1er Principe (Système Ouvert).
Formule : \(w_s = h_1 - h_{2s}\).
Résultat : 719.1 kJ/kg.

Question 5 : Travail et sortie réels (η_s = 85%)

Principe

Aucune turbine n'est parfaite. Les irréversibilités (frictions, etc.) font que le travail réel est inférieur au travail idéal. Le rendement isentropique (η_s) quantifie cette perte. On l'utilise pour trouver le travail réel, puis on utilise le travail réel pour trouver l'état de sortie réel.

Mini-Cours

Irréversibilités et Entropie :
Dans un processus réel adiabatique, des irréversibilités (comme les frottements du fluide sur les ailettes) se produisent. Ces irréversibilités "créent" de l'entropie (\(S_{créée} > 0\)).
Selon le 2nd principe, \(\Delta S = S_{échangée} + S_{créée}\). Comme le processus est adiabatique (\(S_{échangée} = Q/T = 0\)), on a \(\Delta S = S_{créée} > 0\).
Cela signifie que \(s_{2,reel} > s_1\). Sur le diagramme h-s, le point 2 réel est donc "décalé" vers la droite par rapport au point 2s idéal.

Remarque Pédagogique

La "perte" de travail (la différence \(w_s - w_{reel}\)) n'est pas "détruite". Elle est convertie en chaleur à cause des frottements et reste dans le fluide, augmentant son enthalpie et son entropie à la sortie. C'est pour cela que \(h_{2,reel} > h_{2s}\) et \(s_{2,reel} > s_1\).

Normes

Le rendement isentropique (ou "efficacité isentropique") est la métrique standard de l'industrie pour caractériser la performance des turbines, compresseurs et pompes.

Formule(s)

Calcul du travail réel

Le travail réel est le travail idéal (calculé en Q4) multiplié par le rendement isentropique.

w_{\text{reel}} = \eta_s \times w_s

Cette formule quantifie la "perte" de travail due aux irréversibilités.

Calcul de l'enthalpie réelle de sortie

On réutilise la formule du premier principe (comme en Q4), mais cette fois avec le travail réel pour trouver l'enthalpie de sortie réelle.

\begin{aligned} w_{\text{reel}} &= h_1 - h_{2,reel} \\ \Rightarrow h_{2,reel} &= h_1 - w_{\text{reel}} \end{aligned}

On remarque que \(h_{2,reel}\) sera différent de \(h_{2s}\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rendement isentropique	η_s	0.85 (ou 85%)	-
Travail isentropique	w_s	719.1	kJ/kg
Enthalpie d'entrée	h1	3231.7	kJ/kg

Astuces

Pour une turbine, l'enthalpie réelle de sortie \(h_{2,reel}\) est toujours supérieure à l'enthalpie idéale de sortie \(h_{2s}\). C'est une bonne façon de vérifier votre calcul.

Schéma (Après les calculs)

La détente réelle (1 -> 2,reel) est tracée en pointillés, se terminant à droite de la détente idéale (1 -> 2s).

Détente idéale (1-2s) vs. Détente réelle (1-2reel)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du travail réel (\(w_{\text{reel}}\))

On utilise la définition du rendement isentropique pour une turbine :

w_{\text{reel}} = \eta_s \times w_s

On remplace par les valeurs (ηs de l'énoncé, ws de la Q4) :

\begin{aligned} w_{\text{reel}} &= 0.85 \text{ (ηs)} \times 719.1 \text{ (ws)} \\ &\approx 611.2 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

C'est le travail net réel que la turbine transmet à l'arbre.

Étape 2 : Calcul de l'enthalpie réelle de sortie (\(h_{2,reel}\))

On utilise la formule du premier principe, mais cette fois avec le travail réel :

w_{\text{reel}} = h_1 - h_{2,reel}

On isole \(h_{2,reel}\) :

h_{2,reel} = h_1 - w_{\text{reel}}

On remplace par les valeurs (h1 de la Q1, w_reel de l'étape 1) :

\begin{aligned} h_{2,reel} &= 3231.7 \text{ (h1)} - 611.2 \text{ (w_reel)} \\ &= 2620.5 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

C'est l'état énergétique réel de la vapeur à la sortie de la turbine.

Réflexions

On remarque que h2,reel (2620.5) > h2s (2512.6). C'est normal : l'énergie "perdue" à cause des irréversibilités (la différence entre w_s et w_reel) est restée dans le fluide, augmentant son enthalpie finale. Cela signifie aussi que s2,reel > s1 (la transformation réelle n'est pas isentropique).

Points de vigilance

Pour une turbine, η_s est toujours < 1, et w_reel < w_s.
Pour un compresseur, c'est l'inverse : η_s = w_ideal / w_reel, et w_reel > w_s (il faut plus de travail réel pour compenser les pertes).

Points à retenir

Le travail réel est toujours inférieur au travail idéal pour une turbine.
\(w_{\text{reel}} = \eta_s \times w_s\) (pour une turbine).
La sortie réelle a une enthalpie et une entropie plus élevées que la sortie idéale.

Le saviez-vous ?

Les rendements isentropiques des grandes turbines à vapeur modernes dans les centrales électriques sont très élevés, dépassant souvent 90-94%, grâce à des décennies d'optimisation aérodynamique des ailettes.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le travail réel fourni est w_reel ≈ 611.2 kJ/kg et l'enthalpie réelle de sortie est h2,reel = 2620.5 kJ/kg.

A vous de jouer

Que devient le travail réel si le travail idéal est w_s = 719.1 kJ/kg et le rendement n'est que de 80% ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Rendement isentropique (η_s).
Formule (Turbine) : \(w_{\text{reel}} = \eta_s \times w_s\).
Formule (h réelle) : \(h_{2,reel} = h_1 - w_{\text{reel}}\).

Outil Interactif : Simulateur de Diagramme h-s

Utilisez les sliders pour voir comment les conditions d'entrée (P1, T1) et le rendement (η_s) affectent la détente de la vapeur (vers P2 = 1 bar) sur le diagramme h-s.

Paramètres d'Entrée

Pression P1 (bar) 30 bar

Température T1 (°C) 400 °C

Rendement Isentropique (η_s) 85 %

Résultats Clés (Calculés)

Travail Idéal (w_s) - kJ/kg

Travail Réel (w_reel) - kJ/kg

h1 (Entrée) - kJ/kg

h2s (Sortie Idéale) - kJ/kg

h2_reel (Sortie Réelle) - kJ/kg

s1 = s2s (Entropie) - kJ/kg·K

s2_reel (Entropie Réelle) - kJ/kg·K

Titre Idéal (x2s) - %

Titre Réel (x2_reel) - %

Glossaire

Enthalpie (h): Une mesure de l'énergie totale d'un système thermodynamique. Elle inclut l'énergie interne plus le produit de la pression et du volume (H = U + PV). Dans cet exercice, c'est l'énergie "transportée" par la vapeur.
Entropie (s): Une mesure du "désordre" ou de l'irréversibilité d'un système. Dans un processus idéal (réversible et adiabatique), l'entropie reste constante.
Isentropique: Une transformation qui se produit à entropie constante (s = cste). C'est le cas idéal et théorique pour les turbines et compresseurs.
Titre de vapeur (x): Dans un mélange saturé (sous la cloche), c'est la fraction massique de vapeur. x=0 pour liquide saturé, x=1 pour vapeur saturée.