ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Utilisation du diagramme de Mollier (h-s)

Thermodynamique : Utilisation du Diagramme de Mollier pour une Turbine à Vapeur Multi-étages

Utilisation du diagramme de Mollier (h-s) pour une turbine à vapeur multi-étages

Contexte : L'Outil Indispensable de l'Ingénieur Thermicien

Le diagramme de MollierDiagramme thermodynamique représentant l'enthalpie (h) en fonction de l'entropie (s). Il est extrêmement utile pour analyser les cycles à vapeur, car les travaux et chaleurs y sont directement liés aux variations d'enthalpie. (diagramme h-s) est un outil graphique essentiel pour l'étude des cycles thermodynamiques à vapeur, comme le cycle de Rankine. Il permet de visualiser les transformations subies par le fluide et de déterminer rapidement les propriétés thermodynamiques (enthalpie, température, pression, titre de vapeur) en chaque point. Pour améliorer le rendement et éviter une condensation excessive en fin de détente, les turbines à vapeur industrielles sont souvent constituées de plusieurs corps (ou étages) avec un réchauffage de la vapeur entre les étages. Cet exercice a pour but d'utiliser le diagramme de Mollier pour analyser une telle turbine et calculer son travail spécifique.

Remarque Pédagogique : Maîtriser la lecture du diagramme de Mollier est une compétence fondamentale. Elle permet de s'affranchir de l'utilisation fastidieuse des tables de vapeur et offre une compréhension visuelle et intuitive des processus. On peut y "voir" directement le travail idéal (chute d'enthalpie isentropique) et le comparer au travail réel.

Objectifs Pédagogiques

  • Se familiariser avec la structure d'un diagramme de Mollier (h-s).
  • Représenter une détente isentropique (idéale) et une détente réelle sur le diagramme.
  • Déterminer graphiquement l'enthalpie à différents points d'un cycle.
  • Comprendre le rôle du réchauffage intermédiaire dans une turbine multi-étages.
  • Calculer le travail spécifique total produit par la turbine.

Données de l'étude

On considère une turbine à vapeur à deux étages (Haute Pression - HP, et Basse Pression - BP) avec réchauffe intermédiaire. De la vapeur d'eau entre dans le corps HP (état 1) à \(P_1 = 100 \, \text{bar}\) et \(T_1 = 520^\circ\text{C}\). Elle se détend jusqu'à une pression intermédiaire \(P_2 = 20 \, \text{bar}\) (état 2). La vapeur est ensuite entièrement réchauffée à pression constante jusqu'à \(T_3 = 520^\circ\text{C}\) (état 3) avant d'entrer dans le corps BP. Elle se détend finalement jusqu'à la pression du condenseur, \(P_4 = 0.1 \, \text{bar}\) (état 4). Les détentes ne sont pas idéales.

Schéma de la Turbine et Représentation sur le Diagramme h-s
Schéma Physique HP BP Q Réchauffeur 1 2 3 4 Diagramme h-s (Mollier) s h Courbe de saturation P₁ P₂ P₄ 1 2s 2 3 4s 4

Données :

  • Rendement isentropique du corps HP : \(\eta_{\text{is, HP}} = 0.90\) (90%)
  • Rendement isentropique du corps BP : \(\eta_{\text{is, BP}} = 0.88\) (88%)
  • Les valeurs d'enthalpie seront lues sur le diagramme de Mollier fourni (ou tirées des tables de vapeur pour le calcul).

Questions à traiter

  1. Déterminer l'enthalpie massique \(h_1\) et l'entropie massique \(s_1\) à l'entrée de la turbine HP.
  2. Déterminer l'enthalpie \(h_{2s}\) pour une détente isentropique, puis l'enthalpie réelle \(h_2\) à la sortie de la turbine HP.
  3. Déterminer l'enthalpie \(h_3\) à l'entrée de la turbine BP après réchauffe.
  4. Déterminer l'enthalpie \(h_{4s}\) pour une détente isentropique, puis l'enthalpie réelle \(h_4\) à la sortie de la turbine BP.
  5. Calculer le travail massique total \(w_T\) produit par la turbine.

Correction : Utilisation du diagramme de Mollier (h-s) pour une turbine à vapeur multi-étages

Question 1 : État d'Entrée de la Turbine HP (Point 1)

Principe :

Le diagramme de Mollier représente l'enthalpie (h) en ordonnée et l'entropie (s) en abscisse. Il contient plusieurs familles de courbes : les isobares (pression constante), les isothermes (température constante) et les courbes d'égal titre de vapeur. Le point 1 est à l'intersection de l'isobare \(P_1 = 100 \, \text{bar}\) et de l'isotherme \(T_1 = 520^\circ\text{C}\). On lit directement sur les axes les valeurs de \(h_1\) et \(s_1\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Dans la zone de surchauffe (en haut à droite du diagramme), la pression et la température sont des variables indépendantes. Connaître les deux suffit à définir l'état du fluide et donc toutes ses autres propriétés.

Formule(s) utilisée(s) :

Lecture graphique sur le diagramme de Mollier ou consultation des tables de vapeur surchauffée.

Donnée(s) :
  • \(P_1 = 100 \, \text{bar}\)
  • \(T_1 = 520^\circ\text{C}\)
Localisation du Point 1 sur le diagramme
Entropie (s) Enthalpie (h) P₁ = 100 bar T₁ = 520°C h₁ s₁
Calcul(s) :

Par lecture sur un diagramme de Mollier précis (ou via des tables/calculateurs), on trouve :

\[ h_1 \approx 3425 \, \text{kJ/kg} \]
\[ s_1 \approx 6.66 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \]
Points de vigilance :

Qualité du diagramme : La précision des valeurs lues dépend entièrement de la qualité et de l'échelle du diagramme utilisé. Pour des calculs de conception, les ingénieurs utilisent des logiciels ou des tables thermodynamiques précises.

Le saviez-vous ?

La vapeur à 520°C et 100 bar est dite "surchauffée". Elle se comporte presque comme un gaz parfait. La faire passer dans une turbine la détend et la refroidit, ce qui la rapproche de l'état de vapeur saturée (la "cloche" sur le diagramme).

FAQ en rapport avec la question :
Qu'est-ce que le titre de vapeur au point 1 ?

Comme le point 1 est dans la zone de surchauffe (à droite de la courbe de saturation), le fluide est 100% sous forme de vapeur. Le concept de "titre" n'a de sens que sous la cloche de saturation, où les phases liquide et vapeur coexistent. On peut dire que le titre est de 1 (ou 100%).

Résultat : L'enthalpie et l'entropie à l'entrée sont \(h_1 \approx 3425 \, \text{kJ/kg}\) et \(s_1 \approx 6.66 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 2 : État de Sortie de la Turbine HP (Point 2)

Principe :

On modélise d'abord la détente idéale (isentropique, \(s = \text{cte}\)), qui correspond à une ligne verticale sur le diagramme. On part du point 1 et on descend verticalement jusqu'à croiser l'isobare \(P_2 = 20 \, \text{bar}\). Ce point d'intersection est l'état isentropique \(2s\), et on lit son enthalpie \(h_{2s}\). Ensuite, on utilise le rendement isentropique pour trouver l'enthalpie réelle \(h_2\), qui sera plus élevée car la détente réelle est moins efficace.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le rendement isentropique compare le travail réel au travail maximal possible. Comme \(w = h_{\text{entrée}} - h_{\text{sortie}}\), une enthalpie de sortie réelle \(h_2\) plus élevée que l'idéale \(h_{2s}\) signifie une chute d'enthalpie plus faible, et donc un travail réel inférieur au travail idéal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Détente isentropique : } s_{2s} = s_1 \]
\[ \eta_{\text{is, HP}} = \frac{\text{Travail réel}}{\text{Travail isentropique}} = \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}} \]
\[ \Rightarrow h_2 = h_1 - \eta_{\text{is, HP}} (h_1 - h_{2s}) \]
Donnée(s) :
  • État 1 : \(h_1 = 3425 \, \text{kJ/kg}\), \(s_1 = 6.66 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(P_2 = 20 \, \text{bar}\)
  • \(\eta_{\text{is, HP}} = 0.90\)
Diagramme de la détente HP
Détente 1 → 2 s h P₁=100bar P₂=20bar s₁ h₁=3425 h₂s=2950 h₂=2997.5 1 2s 2
Calcul(s) :

Par lecture sur le diagramme au point (\(P=20\,\text{bar}, s=6.66\)) :

\[ h_{2s} \approx 2950 \, \text{kJ/kg} \]
\[ \begin{aligned} h_2 &= h_1 - \eta_{\text{is, HP}} (h_1 - h_{2s}) \\ &= 3425 - 0.90 \times (3425 - 2950) \\ &= 3425 - 0.90 \times 475 \\ &= 3425 - 427.5 \\ &= 2997.5 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat : L'enthalpie réelle en sortie du corps HP est \(h_2 \approx 2997.5 \, \text{kJ/kg}\).

Question 3 : État d'Entrée de la Turbine BP (Point 3)

Principe :

La réchauffe se fait à pression constante (\(P_3 = P_2 = 20 \, \text{bar}\)). Le point 3 est donc sur la même isobare que le point 2, à l'intersection avec l'isotherme \(T_3 = 520^\circ\text{C}\). On lit directement son enthalpie \(h_3\) sur le diagramme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La réchauffe permet de redonner de l'"énergie de qualité" (haute température et haute enthalpie) à la vapeur avant qu'elle n'entre dans le second étage de la turbine. Cela permet de produire plus de travail et d'éviter d'avoir trop de liquide en fin de détente.

Formule(s) utilisée(s) :

Lecture graphique sur le diagramme de Mollier.

Donnée(s) :
  • \(P_3 = 20 \, \text{bar}\)
  • \(T_3 = 520^\circ\text{C}\)
Diagramme de la réchauffe 2 → 3
Réchauffe 2 → 3 s h P₂=P₃=20bar T₃=520°C 2 3 h₃=3510
Calcul(s) :

Par lecture sur le diagramme au point (\(P=20\,\text{bar}, T=520^\circ\text{C}\)) :

\[ h_3 \approx 3510 \, \text{kJ/kg} \]
Résultat : L'enthalpie à l'entrée du corps BP est \(h_3 \approx 3510 \, \text{kJ/kg}\).

Question 4 : État de Sortie de la Turbine BP (Point 4)

Principe :

Le processus est identique à celui de la question 2. On effectue une détente isentropique depuis le point 3 (\(s_{4s} = s_3\)) jusqu'à la pression finale \(P_4 = 0.1 \, \text{bar}\) pour trouver le point \(4s\) et lire \(h_{4s}\). Puis, on utilise le rendement isentropique du corps BP pour calculer l'enthalpie réelle \(h_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_4 = h_3 - \eta_{\text{is, BP}} (h_3 - h_{4s}) \]
Calcul(s) :

D'abord, on lit \(s_3\) au point 3 (\(20\,\text{bar}, 520^\circ\text{C}\)), on trouve \(s_3 \approx 7.5 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Ensuite, on suit la verticale \(s=7.5\) jusqu'à l'isobare \(P_4 = 0.1 \, \text{bar}\) pour lire \(h_{4s}\).

\[ h_{4s} \approx 2380 \, \text{kJ/kg} \]
\[ \begin{aligned} h_4 &= 3510 - 0.88 \times (3510 - 2380) \\ &= 3510 - 0.88 \times 1130 \\ &= 3510 - 994.4 \\ &= 2515.6 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat : L'enthalpie réelle en sortie du corps BP est \(h_4 \approx 2515.6 \, \text{kJ/kg}\).

Question 5 : Travail Massique Total (\(w_T\))

Principe :
wHP + wLP wTotal

Le travail total produit par la turbine est simplement la somme des travaux produits par chaque étage. Le travail d'un étage est égal à la chute d'enthalpie réelle à travers cet étage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ w_T = w_{HP} + w_{LP} \]
\[ w_T = (h_1 - h_2) + (h_3 - h_4) \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} w_T &= (3425 - 2997.5) + (3510 - 2515.6) \\ &= 427.5 + 994.4 \\ &= 1421.9 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat : Le travail spécifique total produit par la turbine est d'environ \(1422 \, \text{kJ/kg}\).

Simulation : Performance de la Turbine

Faites varier les rendements isentropiques des deux étages de la turbine et observez l'impact direct sur le travail total produit.

Paramètres de la Turbine
Travail Total Produit
Production de Travail

Pour Aller Plus Loin : Le Titre de Vapeur

Éviter l'érosion : Un des objectifs principaux de la réchauffe est d'éviter un titre de vapeur trop faible en fin de détente. Le titre de vapeur \(x\) est la fraction massique de vapeur dans un mélange liquide-vapeur. Des gouttelettes de liquide dans la vapeur à haute vitesse peuvent éroder les dernières ailettes de la turbine. En lisant sur le diagramme, on voit que le point 4 (\(h_4 \approx 2516\)) se trouve sous la courbe de saturation, avec un titre \(x_4 \approx 0.96\) (96% vapeur, 4% liquide). Sans réchauffe, la détente depuis le point 1 aurait abouti à un titre bien plus faible, potentiellement dommageable pour la machine.

Le Saviez-Vous ?

Le diagramme de Mollier a été créé en 1904 par Richard Mollier, un professeur de physique et de mécanique allemand. Son idée de représenter l'enthalpie en fonction de l'entropie a tellement simplifié les calculs des ingénieurs que lors d'une conférence en 1923, il a été décidé que tout diagramme thermodynamique utilisant l'enthalpie comme l'un de ses axes serait nommé "diagramme de Mollier" en son honneur.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la détente réelle n'est-elle pas isentropique ?

Une détente isentropique est un processus idéalement réversible et adiabatique. Dans une turbine réelle, il y a toujours des irréversibilités, principalement dues aux frottements du fluide sur les parois et les ailettes, ainsi qu'à la turbulence de l'écoulement. Ces frottements "dégradent" une partie de l'énergie et créent de l'entropie, ce qui fait que l'entropie en sortie est toujours supérieure à l'entropie en entrée.

Comment lit-on le titre de vapeur sur le diagramme ?

La zone sous la courbe de saturation (la "cloche") contient des courbes d'égal titre de vapeur, généralement notées x=0.9, x=0.8, etc. Le titre au point 4 est trouvé par interpolation entre les deux courbes de titre qui encadrent ce point sur l'isobare \(P_4\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur un diagramme de Mollier (h-s), une détente isentropique est représentée par :

2. Si le rendement isentropique d'une turbine diminue, l'enthalpie à la sortie de cette turbine :

Diagramme de Mollier
Diagramme thermodynamique représentant l'enthalpie (h) en fonction de l'entropie (s). Il est particulièrement adapté à l'étude des cycles à vapeur.
Détente Isentropique
Transformation adiabatique et réversible, donc à entropie constante. Elle représente le processus idéal dans une turbine.
Rendement Isentropique (ηis)
Rapport du travail réel produit par une turbine au travail qui serait produit par une turbine idéale (isentropique) fonctionnant entre les mêmes pressions d'entrée et de sortie.
Réchauffe
Processus consistant à réchauffer la vapeur entre deux étages de turbine pour augmenter le travail total produit et améliorer la qualité de la vapeur en fin de détente.
Utilisation du diagramme de Mollier (h-s) pour une turbine à vapeur multi-étages

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