Calcul de l’exergie détruite dans un échangeur de chaleur

Thermodynamique : Calcul de l'Exergie Détruite dans un Échangeur de Chaleur

Calcul de l'exergie détruite dans un échangeur de chaleur

Contexte : Au-delà de la Conservation de l'Énergie

Le premier principe de la thermodynamique nous dit que l'énergie se conserve dans un échangeur de chaleur : la chaleur cédée par le fluide chaud est égale à la chaleur absorbée par le fluide froid (en négligeant les pertes). Cependant, cette analyse ne dit rien sur la qualité de la transformation. Le second principe, à travers les concepts d'entropieMesure du désordre ou de la dispersion de l'énergie dans un système. L'entropie de l'univers augmente toujours lors d'un processus réel. et d'exergieÉnergie "utile" ou travail maximal théorique qui peut être extrait d'un système lorsqu'il est amené à l'équilibre avec son environnement., permet d'aller plus loin. Tout transfert de chaleur à travers une différence de température finie est un processus irréversible qui crée de l'entropie et détruit de l'exergie, c'est-à-dire du potentiel de travail utile. Cet exercice vise à quantifier cette destruction d'exergie, qui est une mesure directe de l'inefficacité thermodynamique de l'échangeur.

Remarque Pédagogique : L'analyse exergétique est un outil puissant pour optimiser les systèmes énergétiques. En identifiant où et comment l'exergie est détruite, les ingénieurs peuvent cibler les plus grandes sources d'inefficacité et proposer des améliorations pour réduire la consommation d'énergie et l'impact environnemental.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le premier principe à un échangeur de chaleur pour un bilan thermique.
Calculer la variation d'entropie pour un fluide subissant un changement de température.
Calculer l'entropie totale créée dans un système.
Comprendre et appliquer le théorème de Gouy-Stodola.
Quantifier l'exergie détruite comme mesure de l'irréversibilité.

Données de l'étude

On étudie un échangeur de chaleur à contre-courant, parfaitement isolé, dans lequel de l'huile chaude est refroidie par de l'eau froide. L'huile entre à \(T_{h,e} = 120^\circ\text{C}\) et sort à \(T_{h,s} = 40^\circ\text{C}\) avec un débit massique \(\dot{m}_h = 0.5 \, \text{kg/s}\). L'eau entre à \(T_{f,e} = 20^\circ\text{C}\) avec un débit massique \(\dot{m}_f = 0.4 \, \text{kg/s}\). La température de l'environnement est \(T_0 = 20^\circ\text{C}\).

Schéma de l'Échangeur à Contre-Courant

Données :

Capacité calorifique massique de l'huile : \(c_{p,h} = 2100 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Capacité calorifique massique de l'eau : \(c_{p,f} = 4185 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

Calculer la puissance thermique \(\dot{Q}\) transférée de l'huile à l'eau.
Calculer la température de sortie de l'eau, \(T_{f,s}\).
Calculer le flux d'entropie créé \(\dot{S}_{\text{créé}}\) dans l'échangeur.
Calculer la puissance exergétique détruite \(\dot{E}x_{\text{détruite}}\) correspondante.

Correction : Calcul de l'exergie détruite dans un échangeur de chaleur

Question 1 : Puissance Thermique Transférée (\(\dot{Q}\))

Principe :

La puissance thermique est la quantité de chaleur échangée par unité de temps. Comme l'échangeur est adiabatique, cette puissance est égale à la chaleur cédée par le fluide chaud. On la calcule en utilisant le débit massique, la capacité calorifique et la variation de température du fluide chaud.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On utilise les données du fluide chaud car on connaît ses deux températures (entrée et sortie), ce qui rend le calcul direct. La puissance calculée sera négative du point de vue du fluide chaud (chaleur cédée), mais on s'intéresse à sa valeur absolue pour la suite.

Formule(s) utilisée(s) :

\dot{Q} = \dot{m}_h c_{p,h} (T_{h,s} - T_{h,e})

Donnée(s) :

\(\dot{m}_h = 0.5 \, \text{kg/s}\)
\(c_{p,h} = 2100 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_{h,e} = 120^\circ\text{C}\)
\(T_{h,s} = 40^\circ\text{C}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \dot{Q} &= 0.5 \times 2100 \times (40 - 120) \\ &= 1050 \times (-80) \\ &= -84000 \, \text{W} \quad (\text{ou } -84 \, \text{kW}) \end{aligned}

Points de vigilance :

Puissance vs. Chaleur : On manipule ici des flux (en Watts ou J/s) car les fluides s'écoulent en continu. Il ne faut pas oublier de multiplier par le débit massique (\(\dot{m}\)) et non par une masse statique.

Le saviez-vous ?

Résultat : La puissance thermique transférée est de \(84 \, \text{kW}\).

Question 2 : Température de Sortie de l'Eau (T_f,s)

Principe :

Le premier principe appliqué au système global (l'échangeur adiabatique) stipule que la chaleur cédée par le fluide chaud est intégralement absorbée par le fluide froid. On peut donc poser \(\dot{Q}_{\text{reçu, froid}} = - \dot{Q}_{\text{cédé, chaud}}\). Cette équation permet d'isoler la seule inconnue, la température de sortie de l'eau \(T_{f,s}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape de base de la conception d'un échangeur. En connaissant les débits et trois des quatre températures, on peut toujours déterminer la quatrième par un simple bilan d'énergie.

Formule(s) utilisée(s) :

\dot{Q}_{\text{reçu, froid}} + \dot{Q}_{\text{cédé, chaud}} = 0

\dot{m}_f c_{p,f} (T_{f,s} - T_{f,e}) + \dot{m}_h c_{p,h} (T_{h,s} - T_{h,e}) = 0

T_{f,s} = T_{f,e} - \frac{\dot{m}_h c_{p,h} (T_{h,s} - T_{h,e})}{\dot{m}_f c_{p,f}}

Donnée(s) :

\(\dot{m}_f = 0.4 \, \text{kg/s}\)
\(c_{p,f} = 4185 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_{f,e} = 20^\circ\text{C}\)
Puissance cédée par l'huile : \(\dot{Q}_{\text{chaud}} = -84000 \, \text{W}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} T_{f,s} &= 20 + \frac{84000}{0.4 \times 4185} \\ &= 20 + \frac{84000}{1674} \\ &= 20 + 50.18 \\ &\approx 70.18^\circ\text{C} \end{aligned}

Points de vigilance :

Contre-courant vs. Co-courant : Le bilan énergétique est le même pour un échangeur à co-courant. Cependant, la température de sortie du fluide froid ne pourrait jamais dépasser la température de sortie du fluide chaud dans un échangeur à co-courant. Ici \(70.2^\circ\text{C} > 40^\circ\text{C}\), ce qui confirme que seul un montage à contre-courant est possible pour atteindre ces températures.

Le saviez-vous ?

Résultat : La température de sortie de l'eau est \(T_{f,s} \approx 70.2^\circ\text{C}\).

Question 3 : Flux d'Entropie Créé (\(\dot{S}_{\text{créé}}\))

Principe :

Le deuxième principe de la thermodynamique stipule que pour un système isolé (notre échangeur), l'entropie ne peut qu'augmenter. Cette augmentation est l'entropie créée due à l'irréversibilité du transfert de chaleur. Elle est égale à la somme des variations d'entropie de chaque partie du système (le fluide chaud et le fluide froid).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La variation d'entropie du fluide chaud sera négative (il se refroidit et devient plus "ordonné"), tandis que celle du fluide froid sera positive. L'irréversibilité du processus garantit que la somme des deux sera positive : le gain d'entropie du fluide froid est supérieur à la perte d'entropie du fluide chaud.

Formule(s) utilisée(s) :

\dot{S}_{\text{créé}} = \Delta \dot{S}_{\text{chaud}} + \Delta \dot{S}_{\text{froid}}

\Delta \dot{S} = \dot{m} c_p \ln\left(\frac{T_s}{T_e}\right)

Donnée(s) :

Fluide chaud : \(\dot{m}_h=0.5\), \(c_{p,h}=2100\), \(T_{h,e}=393.15\,\text{K}\), \(T_{h,s}=313.15\,\text{K}\)
Fluide froid : \(\dot{m}_f=0.4\), \(c_{p,f}=4185\), \(T_{f,e}=293.15\,\text{K}\), \(T_{f,s}=343.33\,\text{K}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \Delta \dot{S}_{\text{chaud}} &= 0.5 \times 2100 \times \ln\left(\frac{313.15}{393.15}\right) \\ &= 1050 \times \ln(0.7965) \\ &= 1050 \times (-0.2275) \\ &\approx -238.9 \, \text{W/K} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta \dot{S}_{\text{froid}} &= 0.4 \times 4185 \times \ln\left(\frac{343.33}{293.15}\right) \\ &= 1674 \times \ln(1.1712) \\ &= 1674 \times 0.158 \\ &\approx 264.5 \, \text{W/K} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{S}_{\text{créé}} &= -238.9 + 264.5 \\ &= 25.6 \, \text{W/K} \end{aligned}

Résultat : Le flux d'entropie créé est \(\dot{S}_{\text{créé}} \approx 25.6 \, \text{W/K}\).

Question 4 : Puissance Exergétique Détruite (\(\dot{E}x_{\text{détruite}}\))

Principe :

Le théorème de Gouy-Stodola établit une relation directe et fondamentale entre l'entropie créée et l'exergie détruite dans un système. L'exergie détruite, qui représente une perte irréversible de potentiel de travail, est simplement le produit de l'entropie créée par la température de l'environnement \(T_0\), qui sert de référence "morte" pour l'exergie.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'exergie détruite a la dimension d'une énergie (ou d'une puissance ici) et une signification économique directe. Elle représente la quantité de travail (ou d'électricité, par exemple) qui a été "gaspillée" par rapport à un processus idéalement réversible. Minimiser l'exergie détruite, c'est maximiser l'efficacité énergétique.

Formule(s) utilisée(s) :

\dot{E}x_{\text{détruite}} = T_0 \times \dot{S}_{\text{créé}}

Donnée(s) :

\(\dot{S}_{\text{créé}} = 25.6 \, \text{W/K}\)
\(T_0 = 20^\circ\text{C} = 293.15 \, \text{K}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \dot{E}x_{\text{détruite}} &= 293.15 \times 25.6 \\ &\approx 7504.6 \, \text{W} \quad (\text{ou } 7.5 \, \text{kW}) \end{aligned}

Points de vigilance :

Température de l'environnement T₀ : Il est crucial d'utiliser la température absolue (en Kelvin) de la source de référence, \(T_0\), pour ce calcul. C'est la température du "réservoir" avec lequel le système interagit pour définir son potentiel de travail.

Le saviez-vous ?

Résultat : La puissance exergétique détruite est d'environ \(7.5 \, \text{kW}\).

Simulation : Impact des Paramètres sur l'Irréversibilité

Faites varier la température d'entrée de l'huile ou le débit d'eau et observez comment la puissance transférée, l'entropie créée et l'exergie détruite sont affectées.

Paramètres de l'Échangeur

T° Entrée Huile (120 °C)

Débit d'Eau (0.4 kg/s)

Puissance Transférée

Entropie Créée

Exergie Détruite

Analyse de Performance

Pour Aller Plus Loin : L'Efficacité Exergétique

Une meilleure mesure de la performance : Plutôt que de simplement regarder l'efficacité thermique, on peut définir une efficacité exergétique. Pour un échangeur, elle peut être définie comme le rapport entre l'augmentation d'exergie du fluide froid et la diminution d'exergie du fluide chaud : \(\eta_{ex} = \frac{\Delta \dot{E}x_f}{|\Delta \dot{E}x_h|}\). Cette efficacité est toujours inférieure à 1 et quantifie à quel point le potentiel de travail du fluide chaud est bien transféré au fluide froid, en tenant compte des pertes par irréversibilité.

Le Saviez-Vous ?

Le théorème de Gouy-Stodola a été formulé indépendamment par le physicien français Louis Georges Gouy en 1889 et l'ingénieur et scientifique slovène Aurel Stodola au début du 20ème siècle. Stodola est considéré comme un pionnier de la thermodynamique appliquée et un père de la technologie des turbines à vapeur.

Foire Aux Questions (FAQ)

L'exergie peut-elle être négative ?

Non, l'exergie d'un système est son potentiel de travail maximal et est par définition une quantité positive ou nulle (elle est nulle lorsque le système est à l'équilibre avec l'environnement). Cependant, une variation d'exergie (\(\Delta Ex\)) peut être négative, ce qui signifie que le potentiel de travail du système a diminué.

Quelle est la différence entre énergie et exergie ?

L'énergie se conserve toujours (premier principe), mais sa "qualité" ou son "utilité" se dégrade. L'exergie est la partie de l'énergie qui est "utile", c'est-à-dire convertible en travail. La chaleur à haute température a une grande exergie, tandis que la même quantité de chaleur à la température ambiante a une exergie nulle. L'irréversibilité transforme l'exergie en "anergie", une énergie "inutile" qui ne peut plus être convertie en travail.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'exergie est détruite dans un échangeur de chaleur principalement à cause :

Des pertes de chaleur vers l'extérieur.
Des frottements des fluides dans les tuyaux.
Du transfert de chaleur à travers une différence de température finie.

2. Pour minimiser l'exergie détruite, il faudrait idéalement que les deux fluides aient :

Un écart de température le plus faible possible en tout point.
Un écart de température le plus grand possible en tout point.
Des débits massiques identiques.

Exergie (Ex): Le travail utile maximal qui peut être obtenu d'un système lorsqu'il évolue jusqu'à se mettre en équilibre avec un environnement de référence (thermostat à T₀).
Anergie: Partie de l'énergie d'un système qui ne peut pas être convertie en travail utile. C'est de l'énergie "dégradée".
Théorème de Gouy-Stodola: Théorème fondamental qui relie l'exergie détruite (\(Ex_d\)) à l'entropie créée (\(S_c\)) par la relation \(Ex_d = T_0 S_c\), où T₀ est la température de l'environnement.
Irréversibilité: Caractéristique de tous les processus réels qui conduit à une création d'entropie et à une destruction d'exergie.

D’autres exercices de Thermodynamique Classique:

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de l'Échangeur à Contre-Courant

Questions à traiter

Correction : Calcul de l'exergie détruite dans un échangeur de chaleur

Question 1 : Puissance Thermique Transférée (\(\dot{Q}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Température de Sortie de l'Eau (Tf,s)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Flux d'Entropie Créé (\(\dot{S}_{\text{créé}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Puissance Exergétique Détruite (\(\dot{E}x_{\text{détruite}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation : Impact des Paramètres sur l'Irréversibilité

Paramètres de l'Échangeur

Analyse de Performance

Pour Aller Plus Loin : L'Efficacité Exergétique

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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