Calcul de l'exergie détruite dans un échangeur de chaleur

Contexte : La Thermodynamique Classique et l'Exergie.

Les échangeurs de chaleur sont des composants essentiels dans d'innombrables applications industrielles (centrales électriques, raffinage, CVC...). Si le premier principe (conservation de l'énergie) nous permet de dimensionner les transferts de chaleur, il ne dit rien sur la *qualité* de cette énergie. L'analyse exergétique, basée sur le second principe, permet de quantifier les irréversibilités (pertes de potentiel de travail) dues, par exemple, au transfert de chaleur à travers une différence de température finie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les premier et second principes de la thermodynamique pour quantifier les irréversibilités (exprimées en "exergie détruite") dans un composant industriel courant, afin de mieux comprendre son efficacité réelle.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le premier principe (bilan d'énergie) à un échangeur de chaleur en régime permanent.
Calculer les variations de débit d'entropie pour des fluides incompressibles.
Appliquer le second principe (bilan d'entropie) pour déterminer la génération d'entropie totale.
Calculer l'exergie détruite à l'aide du théorème de Gouy-Stodola.
Comprendre la signification physique de l'exergie détruite.

Données de l'étude

Un échangeur de chaleur à contre-courant, fonctionnant en régime permanent et supposé adiabatique, est utilisé pour chauffer de l'eau (fluide froid) à l'aide d'huile chaude (fluide chaud). Les propriétés des fluides sont considérées comme constantes. L'environnement est à une température \(T_0 = 20^\circ\text{C}\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide Chaud	Huile
Fluide Froid	Eau
Type d'échangeur	Contre-courant, Adiabatique
Température ambiante (\(T_0\))	20 \(^\circ\text{C}\) (293.15 \(\text{K}\))

Schéma de l'échangeur à contre-courant

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(\dot{m}_{\text{h}}\)	Débit massique de l'huile	2.0	\(\text{kg/s}\)
\(C_{p,\text{h}}\)	Chaleur spécifique de l'huile	2.2	\(\text{kJ/kg·K}\)
\(T_{\text{h,in}}\)	Température d'entrée de l'huile	150	\(^\circ\text{C}\)
\(T_{\text{h,out}}\)	Température de sortie de l'huile	70	\(^\circ\text{C}\)
\(\dot{m}_{\text{c}}\)	Débit massique de l'eau	1.5	\(\text{kg/s}\)
\(C_{p,\text{c}}\)	Chaleur spécifique de l'eau	4.18	\(\text{kJ/kg·K}\)
\(T_{\text{c,in}}\)	Température d'entrée de l'eau	25	\(^\circ\text{C}\)

Questions à traiter

Calculer la température de sortie de l'eau (\(T_{\text{c,out}}\)).
Calculer la variation de débit d'entropie pour l'huile (\(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\)).
Calculer la variation de débit d'entropie pour l'eau (\(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\)).
Calculer le débit de génération d'entropie total (\(\dot{S}_{\text{gen}}\)).
Déterminer le débit d'exergie détruite (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\)).

Les bases sur l'Analyse Exergétique

L'analyse exergétique repose sur une application combinée des premier et second principes de la thermodynamique. Elle vise à identifier l'emplacement, la magnitude et les causes des pertes de potentiel de travail dans un système.

1. Bilan d'Entropie (Régime permanent)
Pour un volume de contrôle en régime permanent, le bilan d'entropie s'écrit : \[ \frac{d\mathcal{S}_{\text{VC}}}{dt} = \sum \dot{m}_e s_e - \sum \dot{m}_s s_s + \sum_{k} \frac{\dot{Q}_k}{T_k} + \dot{S}_{\text{gen}} = 0 \] Où \(\dot{S}_{\text{gen}}\) est le taux de génération d'entropie. Pour un échangeur adiabatique (\(\dot{Q}=0\)) à deux fluides, cela se simplifie en : \[ \dot{S}_{\text{gen}} = (\dot{m}_s s_s - \dot{m}_e s_e)_{\text{chaud}} + (\dot{m}_s s_s - \dot{m}_e s_e)_{\text{froid}} \] \[ \dot{S}_{\text{gen}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}} \]

2. Exergie Détruite (Théorème de Gouy-Stodola)
L'exergie détruite (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\)) est directement proportionnelle à l'entropie générée (\(\dot{S}_{\text{gen}}\)) à travers la température de l'environnement \(T_0\) (en Kelvin). C'est la mesure quantitative de l'irréversibilité. \[ \dot{Ex}_{\text{dest}} = T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}} \] Cette exergie détruite représente une perte irréversible de potentiel de travail.

Correction : Calcul de l’exergie détruite dans un échangeur de chaleur

Question 1 : Calculer la température de sortie de l'eau (\(T_{\text{c,out}}\))

Principe

Le point de départ est le Premier Principe de la Thermodynamique, ou principe de conservation de l'énergie. Pour un système en régime permanent (où les propriétés ne changent pas avec le temps) et adiabatique (parfaitement isolé, pas de pertes de chaleur vers l'extérieur), l'énergie ne peut pas être créée ou détruite. Par conséquent, toute l'énergie (chaleur) cédée par le fluide chaud doit être intégralement absorbée par le fluide froid.

Mini-Cours

Pour un volume de contrôle, le premier principe s'écrit : \(\dot{Q} - \dot{W} = \sum \dot{m}_s (h_s + e_{c,s} + e_{p,s}) - \sum \dot{m}_e (h_e + e_{c,e} + e_{p,e})\).
Pour notre échangeur, il n'y a pas de travail (\(\dot{W}=0\)), pas de pertes de chaleur (\(\dot{Q}=0\)), et on néglige les énergies cinétiques (\(e_c\)) et potentielles (\(e_p\)). Le bilan devient : \(\sum \dot{m}_s h_s = \sum \dot{m}_e h_e\).
Cela se réécrit : \((\dot{m}h)_{\text{h,in}} + (\dot{m}h)_{\text{c,in}} = (\dot{m}h)_{\text{h,out}} + (\dot{m}h)_{\text{c,out}}\), ou encore \(\dot{m}_{\text{h}}(h_{\text{h,in}} - h_{\text{h,out}}) = \dot{m}_{\text{c}}(h_{\text{c,out}} - h_{\text{c,in}})\).
Pour un liquide incompressible avec \(C_p\) constant, la variation d'enthalpie \(\Delta h\) est \(C_p \Delta T\). Donc, \(\dot{Q} = \Delta \dot{H} = \dot{m} C_p \Delta T\).

Remarque Pédagogique

Le bilan d'énergie est l'étape la plus fondamentale de tout problème d'échangeur. Il permet de "connecter" les deux fluides. Sans ce bilan, nous avons deux problèmes indépendants. En posant \(\dot{Q}_{\text{cédé}} = \dot{Q}_{\text{reçu}}\), nous créons une équation qui nous permet de trouver la quatrième température manquante (ici, \(T_{\text{c,out}}\)).

Normes

Cette étape est une application directe du Premier Principe de la Thermodynamique pour un Volume de Contrôle en Régime Permanent (VC-RP).

Formule(s)

L'égalité fondamentale découle du bilan d'énergie :

\dot{Q}_{\text{h}} = \dot{Q}_{\text{c}}

En remplaçant par les expressions de la chaleur sensible pour un fluide incompressible :

\dot{m}_{\text{h}} C_{p,\text{h}} (T_{\text{h,in}} - T_{\text{h,out}}) = \dot{m}_{\text{c}} C_{p,\text{c}} (T_{\text{c,out}} - T_{\text{c,in}})

Hypothèses

En plus des données de l'énoncé (régime permanent, adiabatique) :

Les fluides sont incompressibles : c'est une excellente approximation pour les liquides (huile, eau) loin de leur point d'ébullition. Cela nous permet d'utiliser \(C_p\) au lieu de \(C_v\) et de simplifier \(\Delta h = C_p \Delta T\).
Les chaleurs spécifiques \(C_p\) sont constantes : en réalité, \(C_p\) varie avec la température. Mais pour des plages de température modérées, le considérer constant simplifie énormément les calculs (évite une intégrale) avec une précision suffisante.
Pas de pertes de charge, \(\Delta E_c = 0\), \(\Delta E_p = 0\) : On suppose que les variations d'énergie cinétique (vitesse) et potentielle (altitude) entre l'entrée et la sortie sont négligeables par rapport à la variation d'enthalpie (chaleur).

Donnée(s)

Nous extrayons les données pertinentes pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit huile	\(\dot{m}_{\text{h}}\)	2.0	\(\text{kg/s}\)
\(C_p\) huile	\(C_{p,\text{h}}\)	2.2	\(\text{kJ/kg·K}\)
\(\Delta T\) huile	\((T_{\text{h,in}} - T_{\text{h,out}})\)	150 - 70 = 80	\(^\circ\text{C (ou K)}\)
Débit eau	\(\dot{m}_{\text{c}}\)	1.5	\(\text{kg/s}\)
\(C_p\) eau	\(C_{p,\text{c}}\)	4.18	\(\text{kJ/kg·K}\)
\(T\) entrée eau	\(T_{\text{c,in}}\)	25	\(^\circ\text{C}\)

Astuces

Pour une *différence* de température (\(\Delta T\)), un intervalle en degrés Celsius est égal à un intervalle en Kelvin. Pourquoi ? Parce que \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\). Donc \(\Delta T(\text{K}) = T_2(\text{K}) - T_1(\text{K}) = (T_2(^\circ\text{C}) + 273.15) - (T_1(^\circ\text{C}) + 273.15) = T_2(^\circ\text{C}) - T_1(^\circ\text{C}) = \Delta T(^\circ\text{C})\). Ainsi, \(\Delta T = 80^\circ\text{C} = 80 \text{ K}\). Il n'est pas nécessaire de convertir pour ce bilan d'énergie.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien les flux et les températures connues et inconnues.

Schéma fonctionnel

Calcul(s)

Nous calculons d'abord la chaleur cédée par l'huile, puis nous l'utilisons pour trouver la température de sortie de l'eau.

Étape 1 : Calcul du débit de chaleur cédé par l'huile (\(\dot{Q}_{\text{h}}\))

La formule, la substitution et les calculs intermédiaires sont alignés :

\begin{aligned} \dot{Q}_{\text{h}} &= \dot{m}_{\text{h}} C_{p,\text{h}} (T_{\text{h,in}} - T_{\text{h,out}}) \\ &= (2.0 \text{ kg/s}) \times (2.2 \text{ kJ/kg·K}) \times (150 - 70 \text{ K}) \\ &= (4.4 \text{ kW/K}) \times (80 \text{ K}) \\ &= 352 \text{ kW} \end{aligned}

Le débit de chaleur total cédé par l'huile est donc de 352 kW.

Étape 2 : Calcul de la température de sortie de l'eau (\(T_{\text{c,out}}\))

On pose la formule pour le fluide froid, en substituant \(\dot{Q}_{\text{c}} = 352 \text{ kW}\) :

\begin{aligned} 352 &= \dot{m}_{\text{c}} C_{p,\text{c}} (T_{\text{c,out}} - T_{\text{c,in}}) \\ &= (1.5 \text{ kg/s} \times 4.18 \text{ kJ/kg·K}) \times (T_{\text{c,out}} - 25) \\ &= 6.27 \times (T_{\text{c,out}} - 25) \end{aligned}

Nous avons maintenant une équation simple avec \(T_{\text{c,out}}\) comme seule inconnue.

On isole la variation de température \(\Delta T_{\text{c}}\) :

\begin{aligned} (T_{\text{c,out}} - 25) &= \frac{352}{6.27} \\ &\approx 56.14^\circ\text{C} \end{aligned}

L'eau va donc gagner environ 56.14 degrés.

On isole \(T_{\text{c,out}}\) :

\begin{aligned} T_{\text{c,out}} &= 56.14 + 25 \\ &= 81.14^\circ\text{C} \end{aligned}

La température de sortie finale de l'eau est de 81.14°C.

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser l'évolution des températures. Notez que pour un contre-courant, la sortie froide (\(81.14^\circ\text{C}\)) peut être plus chaude que la sortie chaude (\(70^\circ\text{C}\)).

Diagramme Température-Position

Réflexions

La température de l'eau augmente de 25\(^\circ\text{C}\) à 81.14\(^\circ\text{C}\), ce qui est physiquement cohérent. L'eau sort plus chaude que l'huile ne sort (81.14\(^\circ\text{C}\) > 70\(^\circ\text{C}\)). C'est une caractéristique clé et un avantage majeur de la configuration à *contre-courant*, qui permet une récupération de chaleur plus efficace que le co-courant (où la sortie froide ne peut jamais dépasser la sortie chaude).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est de mal poser le bilan d'énergie, par exemple en inversant \(T_{\text{in}}\) et \(T_{\text{out}}\) pour l'un des fluides, ou en se trompant de \(C_p\) (\(C_{p,\text{h}}\) pour l'huile, \(C_{p,\text{c}}\) pour l'eau). Vérifiez toujours que le fluide qui se refroidit est à gauche de l'égalité (\(T_{\text{in}} - T_{\text{out}}\) > 0) et celui qui se réchauffe à droite (\(T_{\text{out}} - T_{\text{in}}\) > 0).

Points à retenir

Pour un échangeur adiabatique en régime permanent, le bilan d'énergie (1er Principe) est l'outil de base qui lie les deux fluides : \(\dot{Q}_{\text{cédé par chaud}} = \dot{Q}_{\text{reçu par froid}}\).

Le saviez-vous ?

L'efficacité d'un échangeur est souvent définie par la méthode \(\epsilon\)-NUT (Efficacité - Nombre d'Unités de Transfert). L'efficacité \(\epsilon\) est le rapport entre la chaleur *réellement* transférée et la chaleur *maximalement transférable* que l'on pourrait avoir avec un échangeur infini à contre-courant. L'analyse exergétique, elle, fournit une mesure d'efficacité de 2nd principe, qui pénalise les grandes différences de température.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La température de sortie de l'eau est \(T_{\text{c,out}} \approx 81.14^\circ\text{C}\).

A vous de jouer

Que vaudrait \(T_{\text{c,out}}\) si le débit d'eau (\(\dot{m}_{\text{c}}\)) était de 2.0 \(\text{kg/s}\) au lieu de 1.5 \(\text{kg/s}\) (toutes autres données inchangées) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Bilan d'énergie (1er Principe).
Formule Essentielle : \(\dot{Q}_{\text{h}} = \dot{Q}_{\text{c}}\).
Résultat : \(T_{\text{c,out}} = 81.14^\circ\text{C}\).

Question 2 : Calculer la variation de débit d'entropie pour l'huile (\(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\))

Principe

Nous appliquons le second principe de la thermodynamique, mais uniquement au *sous-système* "fluide chaud". L'entropie est une mesure du désordre. En se refroidissant, les molécules d'huile perdent de l'agitation thermique, leur état devient plus "ordonné". Par conséquent, l'entropie du fluide chaud doit diminuer.

Mini-Cours

La relation de Gibbs pour un fluide incompressible (\(dv=0\)) est \(Tds = du\). Comme \(du = C_p dT\) (approximation pour un liquide), on a \(ds = C_p \frac{dT}{T}\).
En intégrant entre l'entrée et la sortie : \(\Delta s = s_{\text{out}} - s_{\text{in}} = \int_{T_{\text{in}}}^{T_{\text{out}}} C_p \frac{dT}{T}\).
Si \(C_p\) est constant, il sort de l'intégrale : \(\Delta s = C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).
Pour obtenir le *débit* de variation d'entropie, on multiplie par le débit massique : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} \Delta s = \dot{m} C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).

Remarque Pédagogique

Pour tout calcul impliquant le second principe, l'entropie, ou l'exergie (formules avec \(\ln(T)\) ou \(T_0\)), les températures doivent impérativement être exprimées en unités absolues (Kelvin). Pourquoi ? La formule dérive d'un ratio (\(dT/T\)) qui n'a de sens que par rapport au zéro absolu. Un ratio de \(\text{T}_{\text{out}}/\text{T}_{\text{in}}\) en Celsius (ex: 70/150) n'a aucune signification physique, alors qu'en Kelvin (343.15/423.15) il représente le ratio réel d'agitation thermique.

Normes

Application du Second Principe de la Thermodynamique et de la définition de la variation d'entropie pour un liquide incompressible à \(C_p\) constant.

Formule(s)

\Delta \dot{S}_{\text{h}} = \dot{m}_{\text{h}} C_{p,\text{h}} \ln\left(\frac{T_{\text{h,out}}}{T_{\text{h,in}}}\right)

Hypothèses

Mêmes hypothèses que Q1 (fluide incompressible, \(C_p\) constant) qui nous permettent d'utiliser cette formule simplifiée.

Donnée(s)

Conversion des températures de l'huile en Kelvin :

Paramètre	Symbole	Valeur (\(^\circ\text{C}\))	Valeur (\(\text{K}\))
\(T\) entrée huile	\(T_{\text{h,in}}\)	150	150 + 273.15 = 423.15 \(\text{K}\)
\(T\) sortie huile	\(T_{\text{h,out}}\)	70	70 + 273.15 = 343.15 \(\text{K}\)
Capacité cal. débit	\(\dot{m}_{\text{h}} C_{p,\text{h}}\)	-	\(2.0 \times 2.2 = 4.4\) \(\text{kW/K}\)

Astuces

Le fluide chaud cède de la chaleur et se refroidit (\(T_{\text{h,out}} < T_{\text{h,in}}\)). Son désordre (entropie) doit diminuer. Le ratio \(T_{\text{h,out}}/T_{\text{h,in}}\) sera donc \(< 1\), et son logarithme népérien sera négatif. Le résultat de \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\) doit donc être négatif. C'est un excellent moyen de vérifier que vous n'avez pas inversé les températures.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique autre que celui montrant le refroidissement de l'huile de 423.15 \(\text{K}\) à 343.15 \(\text{K}\).

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

La formule, la substitution et les calculs intermédiaires :

\begin{aligned} \Delta \dot{S}_{\text{h}} &= \dot{m}_{\text{h}} C_{p,\text{h}} \times \ln\left(\frac{T_{\text{h,out}}}{T_{\text{h,in}}}\right) \\ &= (2.0 \times 2.2) \times \ln\left(\frac{343.15}{423.15}\right) \\ &= (4.4 \text{ kW/K}) \times \ln(0.81094) \\ &= 4.4 \times (-0.2096) \\ &\approx -0.922 \text{ kW/K} \end{aligned}

Comme prévu, la variation d'entropie du fluide chaud est négative, car il se refroidit.

Réflexions

Le débit d'entropie du fluide chaud diminue de 0.922 \(\text{kW/K}\). Cela ne viole pas le second principe. Cela signifie simplement que le fluide chaud évacue \(0.922 \text{ kW/K}\) d'entropie (associée à la chaleur qu'il cède) vers le fluide froid. C'est un flux d'entropie *sortant* du sous-système "huile".

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les températures en Kelvin. Si vous calculez \(\ln(70/150) = \ln(0.467) = -0.761\), le résultat sera complètement faux (comparé à -0.2096). Une autre erreur est d'inverser \(T_{\text{out}}\) et \(T_{\text{in}}\) dans le logarithme, ce qui donnerait un résultat positif, illogique pour un refroidissement.

Points à retenir

La variation d'entropie pour un liquide est \(\Delta \dot{S} = \dot{m} C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).
Les températures DOIVENT être en Kelvin.
Refroidissement \(\implies T_{\text{out}} < T_{\text{in}} \implies \ln(...) < 0 \implies \Delta S < 0\).

Le saviez-vous ?

Pour un gaz parfait, la formule de la variation d'entropie est plus complexe car elle inclut aussi la variation de pression : \(\Delta s = C_p \ln(T_{\text{out}}/T_{\text{in}}) - R \ln(P_{\text{out}}/P_{\text{in}})\). On la simplifie ici car les liquides sont considérés incompressibles, ce qui annule l'effet de la pression sur l'entropie (sauf si la pression est extrême).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La variation de débit d'entropie de l'huile est \(\Delta \dot{S}_{\text{h}} \approx -0.922 \text{ kW/K}\).

A vous de jouer

Si le débit d'huile (\(\dot{m}_{\text{h}}\)) était de 2.5 \(\text{kg/s}\) (et \(T_{\text{out}}/T_{\text{in}}\) inchangés), que vaudrait \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Variation d'entropie (liquide).
Formule Essentielle : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).
Point de Vigilance : T en Kelvin !

Question 3 : Calculer la variation de débit d'entropie pour l'eau (\(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\))

Principe

Identique à la Question 2, mais appliquée au fluide froid (eau). L'eau reçoit de la chaleur, son agitation thermique augmente, son désordre augmente. Par conséquent, l'entropie du fluide froid doit augmenter.

Mini-Cours

La formule est la même que pour le fluide chaud, car l'eau est également traitée comme un liquide incompressible à \(C_p\) constant : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).

Remarque Pédagogique

Ici, le fluide froid est chauffé (\(T_{\text{c,out}} > T_{\text{c,in}}\)). Le ratio \(T_{\text{c,out}}/T_{\text{c,in}}\) sera donc \(> 1\), et son logarithme népérien sera positif. Le résultat de \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\) doit être positif. C'est la contrepartie du calcul précédent.

Normes

Application du Second Principe de la Thermodynamique.

Formule(s)

\Delta \dot{S}_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{c}} C_{p,\text{c}} \ln\left(\frac{T_{\text{c,out}}}{T_{\text{c,in}}}\right)

Hypothèses

Mêmes hypothèses que Q1 (fluide incompressible, \(C_p\) constant).

Donnée(s)

Conversion des températures de l'eau en Kelvin (en utilisant \(T_{\text{c,out}}\) de Q1) :

Paramètre	Symbole	Valeur (\(^\circ\text{C}\))	Valeur (\(\text{K}\))
\(T\) entrée eau	\(T_{\text{c,in}}\)	25	25 + 273.15 = 298.15 \(\text{K}\)
\(T\) sortie eau	\(T_{\text{c,out}}\)	81.14	81.14 + 273.15 = 354.29 \(\text{K}\)
Capacité cal. débit	\(\dot{m}_{\text{c}} C_{p,\text{c}}\)	-	\(1.5 \times 4.18 = 6.27\) \(\text{kW/K}\)

Astuces

Assurez-vous d'utiliser la température de sortie calculée à la Q1 (\(T_{\text{c,out}} \approx 81.14^\circ\text{C}\)) et non une autre valeur. La précision de cette première question se propage à toutes les suivantes. Encore une fois, T en Kelvin !

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique autre que celui montrant le chauffage de l'eau de 298.15 \(\text{K}\) à 354.29 \(\text{K}\).

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

La formule, la substitution et les calculs intermédiaires :

\begin{aligned} \Delta \dot{S}_{\text{c}} &= \dot{m}_{\text{c}} C_{p,\text{c}} \times \ln\left(\frac{T_{\text{c,out}}}{T_{\text{c,in}}}\right) \\ &= (1.5 \times 4.18) \times \ln\left(\frac{354.29}{298.15}\right) \\ &= (6.27 \text{ kW/K}) \times \ln(1.18829) \\ &= 6.27 \times (0.1725) \\ &\approx +1.082 \text{ kW/K} \end{aligned}

La variation d'entropie du fluide froid est positive, car il se réchauffe.

Réflexions

Le débit d'entropie du fluide froid augmente de 1.082 \(\text{kW/K}\). C'est la quantité d'entropie qui "entre" dans le fluide froid, associée à la chaleur qu'il reçoit. On constate que \(|\Delta \dot{S}_{\text{c}}| > |\Delta \dot{S}_{\text{h}}|\) (1.082 > 0.922). L'entropie gagnée par l'eau est supérieure à l'entropie perdue par l'huile. La différence n'est pas "perdue", elle est "créée".

Points de vigilance

Encore une fois, l'utilisation des Kelvin est critique. N'oubliez pas d'utiliser la valeur \(T_{\text{c,out}}\) calculée et non une donnée de l'énoncé. Une petite erreur sur \(T_{\text{c,out}}\) entraînera une erreur sur \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\), \(\dot{S}_{\text{gen}}\) et \(\dot{Ex}_{\text{dest}}\).

Points à retenir

La variation d'entropie pour un liquide est \(\Delta \dot{S} = \dot{m} C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).
Chauffage \(\implies T_{\text{out}} > T_{\text{in}} \implies \ln(...) > 0 \implies \Delta S > 0\).

Le saviez-vous ?

Même si \(\dot{Q}_{\text{h}} = \dot{Q}_{\text{c}}\) (l'énergie est conservée), on voit clairement que \(|\Delta \dot{S}_{\text{h}}| \neq |\Delta \dot{S}_{\text{c}}|\). L'entropie n'est pas conservée ! La différence entre les deux, \(1.082 - 0.922 = 0.160\), est l'entropie générée par le processus.

FAQ

...

Résultat Final

La variation de débit d'entropie de l'eau est \(\Delta \dot{S}_{\text{c}} \approx +1.082 \text{ kW/K}\).

A vous de jouer

Si \(T_{\text{c,in}}\) était de 30\(^\circ\text{C}\) (303.15 \(\text{K}\)) et \(T_{\text{c,out}}\) était de 85\(^\circ\text{C}\) (358.15 \(\text{K}\)), que vaudrait \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\) (avec \(\dot{m}_{\text{c}} C_{p,\text{c}} = 6.27\) \(\text{kW/K}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Variation d'entropie (liquide).
Formule Essentielle : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} C_p \ln(T_{\text{out}} / T_{\text{in}})\).
Point de Vigilance : T en Kelvin !

Question 4 : Calculer le débit de génération d'entropie total (\(\dot{S}_{\text{gen}}\))

Principe

On applique le bilan d'entropie au volume de contrôle global (l'échangeur entier). Ce bilan dit que la variation d'entropie à l'intérieur du VC (nulle en régime permanent) est égale à l'entropie qui entre moins l'entropie qui sort, plus l'entropie qui est *générée* à l'intérieur. Comme l'échangeur est adiabatique, il n'y a pas d'échange d'entropie avec l'extérieur via la chaleur (\(\dot{Q}/T\)). L'entropie générée est donc la somme algébrique des variations d'entropie des flux qui le traversent.

Mini-Cours

Le bilan d'entropie pour le volume de contrôle (VC) de l'échangeur adiabatique est : \[ \frac{d\mathcal{S}_{\text{VC}}}{dt} = \sum \dot{S}_{\text{entrées}} - \sum \dot{S}_{\text{sorties}} + \sum \frac{\dot{Q}_k}{T_k} + \dot{S}_{\text{gen}} \] En régime permanent, \(d\mathcal{S}_{\text{VC}}/dt = 0\). L'échangeur est adiabatique, \(\dot{Q}_k=0\). \[ 0 = (\dot{m}_{\text{h}} s_{\text{h,in}} + \dot{m}_{\text{c}} s_{\text{c,in}}) - (\dot{m}_{\text{h}} s_{\text{h,out}} + \dot{m}_{\text{c}} s_{\text{c,out}}) + \dot{S}_{\text{gen}} \] En réarrangeant : \[ \dot{S}_{\text{gen}} = [\dot{m}_{\text{h}} (s_{\text{h,out}} - s_{\text{h,in}})] + [\dot{m}_{\text{c}} (s_{\text{c,out}} - s_{\text{c,in}})] \] \[ \dot{S}_{\text{gen}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}} \] C'est la somme de la variation d'entropie du fluide chaud (négative) et de celle du fluide froid (positive).

Remarque Pédagogique

Le résultat de \(\dot{S}_{\text{gen}}\) doit impérativement être positif (ou nul pour un processus réversible idéal, ce qui n'existe pas en pratique). C'est la manifestation du Second Principe. Si vous trouvez une valeur négative, cela signifie que vous avez inventé un processus physiquement impossible (ou que vous avez fait une erreur de calcul, plus probablement). C'est un point de contrôle crucial.

Normes

Application directe du Second Principe de la Thermodynamique (ou Inégalité de Clausius pour un cycle), qui stipule que pour tout processus réel : \(\dot{S}_{\text{gen}} \ge 0\).

Formule(s)

\dot{S}_{\text{gen}} = \Delta \dot{S}_{\text{total}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}}

Hypothèses

La seule hypothèse majeure ici est que l'échangeur est adiabatique. S'il y avait des pertes de chaleur \(\dot{Q}_{\text{pertes}}\) vers l'environnement à \(T_0\), le bilan deviendrait \(\dot{S}_{\text{gen}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}} + \dot{Q}_{\text{pertes}}/T_0\), ce qui compliquerait le calcul.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Variation Entropie Huile	\(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\)	-0.922	\(\text{kW/K}\)
Variation Entropie Eau	\(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\)	+1.082	\(\text{kW/K}\)

Astuces

Gardez les signes ! Le calcul est une simple addition algébrique. La variation positive (eau) doit être plus grande en magnitude que la variation négative (huile) pour que le total soit positif. C'est le cas ici : \(1.082 > 0.922\).

Calcul(s)

Étape 1 : Sommation des variations d'entropie

La formule et la substitution :

\begin{aligned} \dot{S}_{\text{gen}} &= \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}} \\ &= (-0.922 \text{ kW/K}) + (1.082 \text{ kW/K}) \\ &= 0.160 \text{ kW/K} \end{aligned}

Le débit de génération d'entropie total est de 0.160 kW/K. La valeur est positive, ce qui est cohérent avec le second principe.

Réflexions

La génération d'entropie est de +0.160 \(\text{kW/K}\). Cette valeur positive confirme que le processus est irréversible et physiquement possible. Cette entropie est "créée" à l'intérieur de l'échangeur à cause du transfert de chaleur entre deux fluides à des températures différentes (le \(\Delta T \text{ fini}\)). Plus cet écart de température est grand, plus \(\dot{S}_{\text{gen}}\) sera élevée.

Points de vigilance

Ne pas faire la somme des valeurs absolues. Le signe de \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\) est crucial. Si l'échangeur n'était pas adiabatique, il faudrait aussi inclure le terme \(\dot{Q}_{\text{pertes}} / T_0\) dans le bilan (ou plutôt \(\dot{Q}_{\text{pertes}} / T_{\text{surface}}\) où \(T_{\text{surface}}\) est la température de la paroi, ce qui complique les choses).

Points à retenir

Pour un système adiabatique, \(\dot{S}_{\text{gen}} = \sum \Delta \dot{S}_{\text{flux}}\).
\(\dot{S}_{\text{gen}}\) est la mesure de l'irréversibilité du processus.
\(\dot{S}_{\text{gen}}\) doit toujours être \(\ge 0\).

Le saviez-vous ?

Un échangeur de chaleur "parfait" (réversible) nécessiterait une surface d'échange infinie pour permettre un transfert de chaleur avec une différence de température infinitésimale (\(\Delta T \to 0\)) sur toute la longueur. Dans ce cas idéal, \(|\Delta \dot{S}_{\text{c}}| = |\Delta \dot{S}_{\text{h}}|\) et \(\dot{S}_{\text{gen}} = 0\). C'est un idéal théorique inaccessible.

FAQ

...

Résultat Final

Le débit de génération d'entropie est \(\dot{S}_{\text{gen}} = 0.160 \text{ kW/K}\).

A vous de jouer

Si un autre calcul donnait \(\Delta \dot{S}_{\text{h}} = -1.2 \text{ kW/K}\) et \(\Delta \dot{S}_{\text{c}} = +1.35 \text{ kW/K}\), que vaudrait \(\dot{S}_{\text{gen}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Bilan d'entropie global (2nd Principe).
Formule Essentielle : \(\dot{S}_{\text{gen}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}}\).
Résultat : \(\dot{S}_{\text{gen}} = 0.160 \text{ kW/K}\) (\(> 0\)).

Question 5 : Déterminer le débit d'exergie détruite (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\))

Principe

C'est l'étape finale de l'analyse. Nous utilisons le Théorème de Gouy-Stodola. Ce théorème fondamental "traduit" la génération d'entropie (une mesure du désordre, \(\text{kW/K}\)) en une "monnaie" tangible pour l'ingénieur : une perte de potentiel de travail, ou "exergie détruite" (mesurée en \(\text{kW}\)). L'irréversibilité (\(\dot{S}_{\text{gen}}\)) a un "coût" (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\)), et ce coût est proportionnel à la température de l'environnement \(T_0\).

Mini-Cours

Le bilan exergétique d'un système est \(\dot{Ex}_{\text{détruite}} = \sum \dot{Ex}_{\text{entrantes}} - \sum \dot{Ex}_{\text{sortantes}} - \Delta\dot{Ex}_{\text{système}}\). En régime permanent, \(\Delta\dot{Ex}_{\text{système}}=0\). Un bilan exergétique complet sur l'échangeur montrerait que : \[ \dot{Ex}_{\text{dest}} = (\dot{Ex}_{\text{h,in}} + \dot{Ex}_{\text{c,in}}) - (\dot{Ex}_{\text{h,out}} + \dot{Ex}_{\text{c,out}}) \] \[ \dot{Ex}_{\text{dest}} = \dot{m}_{\text{h}}(ex_{\text{h,in}} - ex_{\text{h,out}}) + \dot{m}_{\text{c}}(ex_{\text{c,in}} - ex_{\text{c,out}}) \] Où \(ex = (h - h_0) - T_0(s - s_0)\). Après calcul, on trouverait exactement la même valeur que par la méthode simple de Gouy-Stodola, qui établit que pour *toute* irréversibilité interne : \[ \dot{Ex}_{\text{dest}} = T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}} \]

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante pour l'ingénieur. \(\dot{S}_{\text{gen}} = 0.160 \text{ kW/K}\) est un concept abstrait. Mais \(\dot{Ex}_{\text{dest}} = 46.9 \text{ kW}\) est concret : cela signifie que 46.9 \(\text{kW}\) de puissance, qui auraient pu théoriquement être utilisés pour produire du travail (électricité, mouvement), sont irrémédiablement perdus à cause du design de cet échangeur. C'est une perte d'efficacité de 2nd principe.

Normes

Théorème de Gouy-Stodola (parfois appelé équation de Gouy-Stodola).

Formule(s)

\dot{Ex}_{\text{dest}} = T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}}

Hypothèses

L'environnement (la "source morte" ou "état de référence") est à une température uniforme et constante \(T_0\). C'est le réservoir avec lequel on compare tout potentiel de travail.

Donnée(s)

Nous utilisons \(T_0\) de l'énoncé et \(\dot{S}_{\text{gen}}\) de Q4. \(T_0\) doit être en Kelvin.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temp. Environnement	\(T_0\)	20 + 273.15 = 293.15	\(\text{K}\)
Génération d'Entropie	\(\dot{S}_{\text{gen}}\)	0.160	\(\text{kW/K}\)

Astuces

\(T_0\) doit être en Kelvin. C'est la source d'erreur la plus commune ici. Si \(T_0\) est en Celsius (20), le résultat n'a aucun sens. La température ambiante \(T_0\) est le "prix" de l'entropie : plus l'environnement est froid ( \(T_0\) basse), moins la génération d'entropie "coûte cher" en termes d'exergie détruite.

Calcul(s)

Étape 1 : Application du théorème

La formule de Gouy-Stodola et la substitution :

\begin{aligned} \dot{Ex}_{\text{dest}} &= T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}} \\ &= (293.15 \text{ K}) \times (0.160 \text{ kW/K}) \\ &\approx 46.90 \text{ kW} \end{aligned}

Le processus détruit donc 46.90 kW de potentiel de travail utile.

Réflexions

Nous avons transféré 352 \(\text{kW}\) de chaleur (Q1). Dans ce processus, nous avons irrémédiablement perdu 46.90 \(\text{kW}\) de potentiel de travail. Cela signifie que 13.3% de la chaleur transférée (\(\approx 47/352\)) est "perdue" en termes de qualité d'énergie. C'est cette valeur (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\)) que l'on chercherait à réduire pour améliorer l'efficacité exergétique de l'installation, par exemple en réduisant l'écart de température moyen entre les fluides (ce qui nécessiterait une plus grande surface d'échange).

Points de vigilance

Ne confondez pas \(T_0\) (température de l'environnement, 20\(^\circ\text{C}\)) avec les températures des fluides (ex: \(T_{\text{c,in}}\) = 25\(^\circ\text{C}\)). \(T_0\) est la référence thermodynamique "morte", le point zéro du potentiel de travail. C'est une donnée de l'environnement, pas de l'échangeur lui-même.

Points à retenir

L'exergie détruite quantifie le coût (en \(\text{kW}\) de travail perdu) des irréversibilités.
\(\dot{Ex}_{\text{dest}} = T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\) (Théorème de Gouy-Stodola).
L'unité de \(\dot{Ex}_{\text{dest}}\) est une puissance (\(\text{kW}\)), pas une température ou un \(\text{kW/K}\).

Le saviez-vous ?

L'efficacité exergétique (ou rendement de 2nd principe) de l'échangeur peut être définie comme \(\eta_{\text{ex}} = \frac{\text{Exergie récupérée par l'eau}}{\text{Exergie fournie par l'huile}}\).
\(\dot{Ex}_{\text{fournie}} = |\Delta \dot{Ex}_{\text{h}}| = |\dot{m}_{\text{h}} [(h_{\text{h,out}} - h_{\text{h,in}}) - T_0(s_{\text{h,out}} - s_{\text{h,in}})]| = |-\dot{Q}_{\text{h}} - T_0 \Delta \dot{S}_{\text{h}}| = |-352 - 293.15(-0.922)| = 81.9 \text{ kW}\).
\(\dot{Ex}_{\text{récupérée}} = \Delta \dot{Ex}_{\text{c}} = \dot{Q}_{\text{c}} - T_0 \Delta \dot{S}_{\text{c}} = 352 - 293.15(1.082) = 35.0 \text{ kW}\).
\(\eta_{\text{ex}} = 35.0 / 81.9 \approx 42.7\%\). La différence est l'exergie détruite : \(81.9 - 35.0 = 46.9 \text{ kW}\).

FAQ

...

Résultat Final

Le débit d'exergie détruite est \(\dot{Ex}_{\text{dest}} \approx 46.90 \text{ kW}\).

A vous de jouer

Si l'environnement était plus froid, à \(T_0 = 0^\circ\text{C}\) (273.15 \(\text{K}\)), que vaudrait \(\dot{Ex}_{\text{dest}}\) (avec \(\dot{S}_{\text{gen}} = 0.160 \text{ kW/K}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Exergie Détruite (Gouy-Stodola).
Formule Essentielle : \(\dot{Ex}_{\text{dest}} = T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\).
Point de Vigilance : \(T_0\) en Kelvin !

Outil Interactif : Simulateur d'Exergie

Variez les températures d'entrée des fluides pour observer leur impact sur la génération d'entropie et l'exergie détruite. (Les autres paramètres, \(\dot{m}\), \(C_p\), \(T_{\text{h,out}}\), \(T_0\) sont fixés aux valeurs de l'exercice).

Paramètres d'Entrée

Temp. Entrée Huile (\(T_{\text{h,in}}\)) 150 \(^\circ\text{C}\)

Temp. Entrée Eau (\(T_{\text{c,in}}\)) 25 \(^\circ\text{C}\)

Résultats Clés

Génération d'Entropie (\(\dot{S}_{\text{gen}}\)) - \(\text{kW/K}\)

Exergie Détruite (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\)) - \(\text{kW}\)

Glossaire

Exergie (\(\dot{Ex}\)): Le potentiel de travail utile maximal d'un système, d'un flux de matière ou d'un transfert de chaleur, par rapport à un environnement de référence (l'état mort).
Exergie Détruite (\(\dot{Ex}_{\text{dest}}\)): La quantité de potentiel de travail perdue de manière irréversible au cours d'un processus. Elle est toujours positive et proportionnelle à l'entropie générée.
Entropie (\(\dot{S}\)): Une propriété thermodynamique qui mesure le degré de désordre ou d'incertitude d'un système. Le second principe stipule que l'entropie de l'univers (ou d'un système isolé) ne peut qu'augmenter.
Génération d'Entropie (\(\dot{S}_{\text{gen}}\)): Le taux auquel l'entropie est créée à l'intérieur d'un système en raison de processus irréversibles (friction, transfert de chaleur avec \(\Delta T \text{ fini}\), etc.).
Irréversibilité: Tout processus qui, une fois terminé, ne peut pas être inversé pour ramener à la fois le système et l'environnement à leur état initial exact.
Régime permanent: Un état de fonctionnement où les propriétés en tout point du système (température, pression, débit...) ne varient pas avec le temps (\(d/dt = 0\)).
Théorème de Gouy-Stodola: Le théorème fondamental qui relie l'exergie détruite à l'entropie générée : \(\dot{Ex}_{\text{dest}} = T_0 \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\).