Bilan énergétique d'un calorimètre

Contexte : Le CalorimètreUn récipient conçu pour être thermiquement isolé de son environnement, permettant de mesurer les échanges de chaleur qui s'y produisent..

Cet exercice porte sur un concept fondamental de la thermodynamique classique : la conservation de l'énergie lors d'un mélange. Nous allons étudier le mélange de plusieurs corps à différentes températures dans un calorimètre, que nous supposerons être un système isoléUn système qui n'échange ni matière ni énergie (chaleur ou travail) avec l'extérieur.. L'objectif est de déterminer la température d'équilibre finale du système.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) à un système isolé pour établir un bilan énergétique et calculer une température d'équilibre.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de système thermodynamique isolé.
Appliquer le principe de la calorimétrie : \(\sum Q_i = 0\).
Calculer une température d'équilibre finale.
Distinguer capacité thermique massique (\(c\)) et capacité thermique (\(C\)).

Données de l'étude

On plonge un bloc de cuivre chaud dans un calorimètre contenant de l'eau froide. Le système (Calorimètre + Eau + Cuivre) évolue ensuite vers un état d'équilibre thermiqueÉtat atteint lorsque tous les composants d'un système ont atteint la même température et qu'il n'y a plus de transfert de chaleur net. à une température finale \(T_f\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Système	Calorimètre + Eau + Bloc de Cuivre
État initial	Composants à des températures différentes.
État final	Équilibre thermique à la température \(T_f\).

Schéma du système calorimétrique

Composant	Symbole	Description	Valeur	Unité
Eau	\(m_e\)	Masse de l'eau	200	g
Eau	\(c_e\)	Capacité thermique massique de l'eau	4.18	J/g/°C
Eau	\(T_e\)	Température initiale de l'eau	20	°C
Cuivre	\(m_{\text{cu}}\)	Masse du bloc de cuivre	50	g
Cuivre	\(c_{\text{cu}}\)	Capacité thermique massique du cuivre	0.385	J/g/°C
Cuivre	\(T_{\text{cu}}\)	Température initiale du cuivre	100	°C
Calorimètre	\(C_{\text{cal}}\)	Capacité thermique du calorimètre	80	J/°C
Calorimètre	\(T_{\text{cal}}\)	Température initiale du calorimètre	20	°C

Questions à traiter

Écrire le bilan énergétique du système, en supposant le calorimètre parfaitement isolé.
Exprimer la quantité de chaleur \(Q\) gagnée ou perdue par chaque composant (eau, cuivre, calorimètre) en fonction de la température finale \(T_f\).
À partir du bilan, isoler l'expression littérale de la température finale \(T_f\).
Calculer la valeur numérique de \(T_f\).
Calculer les valeurs numériques de \(Q_{\text{eau}}\), \(Q_{\text{cuivre}}\) et \(Q_{\text{cal}}\) et vérifier le bilan.

Les bases sur la Calorimétrie

La calorimétrie est la branche de la thermodynamique qui étudie les transferts d'énergie sous forme de chaleur. Elle repose sur le premier principe (conservation de l'énergie) appliqué à des systèmes.

1. Principe du Bilan Énergétique
Pour un système isoléUn système qui n'échange ni matière ni énergie (chaleur ou travail) avec l'extérieur. (comme un calorimètre parfait), l'énergie totale se conserve. Si plusieurs corps à l'intérieur de ce système échangent de la chaleur, la somme des quantités de chaleur échangées est nulle. Les corps chauds cèdent de la chaleur (\(Q < 0\)) et les corps froids en reçoivent (\(Q > 0\)). \[ \sum_{i} Q_i = 0 \]

2. Quantité de Chaleur (sans changement d'état)
La chaleur \(Q\) échangée par un corps de masse \(m\) et de capacité thermique massiqueÉnergie nécessaire pour élever la température de 1 gramme (ou 1 kg) d'une substance de 1°C (ou 1K). \(c\), dont la température varie de \(\Delta T\), est : \[ Q = m \cdot c \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}) = m \cdot c \cdot \Delta T \] Pour un objet dont on connaît la capacité thermiqueÉnergie nécessaire pour élever la température de l'objet entier de 1°C (ou 1K). C = m * c. \(C\) (comme un calorimètre), la formule devient : \[ Q = C \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}) = C \cdot \Delta T \]

Correction : Bilan énergétique d’un calorimètre

Question 1 : Écrire le bilan énergétique du système

Principe

Le calorimètre est supposé parfaitement isolé. Cela signifie qu'il n'y a aucun échange de chaleur entre le système (Eau + Cuivre + Calorimètre) et l'extérieur. L'énergie totale du système se conserve. La chaleur perdue par les corps chauds est entièrement gagnée par les corps froids.

Visuellement, on peut imaginer une frontière "adiabatique" (isolante) autour de nos trois composants. L'énergie ne peut pas s'échapper. Elle ne peut que se transférer d'un composant à l'autre, comme le montre le schéma :

Flux d'énergie dans le système isolé

Mini-Cours

Cette étape est l'application directe du Premier Principe de la Thermodynamique (la loi de conservation de l'énergie). Pour un système fermé (\(\Delta U = W + Q\)), si on le suppose en plus isolé (adiabatique), alors \(Q_{\text{ext}}=0\). Si on suppose qu'aucun travail n'est effectué (\(W=0\)), alors la variation d'énergie interne totale du système \(\Delta U_{\text{système}}\) est nulle. Cette variation est la somme des chaleurs échangées *à l'intérieur* du système.

\(\Delta U_{\text{système}} = Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cuivre}} + Q_{\text{cal}} = 0\)

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante. Écrire \(\sum Q_i = 0\) est le point de départ de tout problème de calorimétrie. On identifie tous les composants du système et on postule que la somme des chaleurs qu'ils échangent entre eux est nulle.

Formule(s)

Le bilan énergétique s'écrit comme la somme des quantités de chaleur échangées par chaque composant du système.

Bilan énergétique

\sum Q_i = 0

Application au système

Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cuivre}} + Q_{\text{cal}} = 0

Hypothèses

Les hypothèses sont cruciales pour justifier cette équation :

Le calorimètre est un système parfaitement isolé (adiabatique).
Il n'y a pas de travail mécanique échangé (\(W=0\)).
L'énergie est uniquement échangée sous forme de chaleur entre les composants.
Il n'y a pas de changement d'état (l'eau ne gèle pas et ne bout pas).

Astuces

Listez toujours tous les participants à l'échange de chaleur. Ici : l'eau, le bloc de cuivre, et le calorimètre lui-même (qui est un objet physique et va donc aussi changer de température).

Réflexions

Cette équation simple est la pierre angulaire de tout le problème. Elle exprime que le système ne crée ni ne détruit d'énergie ; il ne fait que la transférer d'un composant à un autre jusqu'à l'équilibre.

Points de vigilance

N'oubliez aucun composant ! Une erreur fréquente est d'oublier la capacité thermique du calorimètre lui-même (\(Q_{\text{cal}}\)).

Points à retenir

Dans un système calorimétrique (isolé), la somme de toutes les quantités de chaleur échangées est nulle : \(\sum Q_i = 0\).

Le saviez-vous ?

Le mot "Calorimètre" a été inventé par le chimiste Antoine Lavoisier et le physicien Pierre-Simon de Laplace vers 1780. Leur calorimètre à glace mesurait la chaleur dégagée par une réaction par la quantité de glace qu'elle faisait fondre.

FAQ

Ici, nous répondons aux questions courantes sur cette étape.

Résultat Final

\[ Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cuivre}} + Q_{\text{cal}} = 0 \]

A vous de jouer

Si on ajoutait un bloc d'Aluminium (\(Q_{\text{alu}}\)) et un bloc de Fer (\(Q_{\text{fer}}\)), quelle serait la nouvelle équation de bilan ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Conservation de l'énergie.
Formule Essentielle : \(\sum Q_i = 0\) pour un système isolé.
Application : \(Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cuivre}} + Q_{\text{cal}} = 0\).

Question 2 : Expression des quantités de chaleur

Principe

Chaque quantité de chaleur \(Q\) est exprimée en fonction de la variation de température \(\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}\) du composant. La température finale \(T_f\) est la même pour tous, car c'est la définition de l'équilibre thermique.

Mini-Cours

On applique les formules vues dans la section "Bases sur la Calorimétrie" :

Pour l'eau et le cuivre (dont on connaît la masse \(m\) et la capacité massique \(c\)) : \(Q = m \cdot c \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{initial}})\)
Pour le calorimètre (dont on connaît la capacité totale \(C\)) : \(Q = C \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{initial}})\)

Remarque Pédagogique

Faites très attention aux indices. \(T_f\) est l'inconnue universelle, mais chaque composant a sa propre température initiale (\(T_e\), \(T_{\text{cu}}\), \(T_{\text{cal}}\)). Heureusement, dans cet exercice, l'eau et le calorimètre sont déjà en équilibre au début, donc \(T_e = T_{\text{cal}}\).

Normes

Pas de norme spécifique, mais application directe des définitions de la capacité massique (pour l'eau, le cuivre) et de la capacité thermique (pour le calorimètre).

Formule(s)

Pour une masse

Q = m \cdot c \cdot (T_f - T_{\text{initial}})

Pour un objet

Q = C \cdot (T_f - T_{\text{initial}})

Hypothèses

On suppose que \(c\) et \(C\) sont constants sur la plage de température étudiée, ce qui est une très bonne approximation pour de faibles variations.

Donnée(s)

Nous utilisons les symboles de l'énoncé : \(m_e, c_e, T_e\), \(m_{\text{cu}}, c_{\text{cu}}, T_{\text{cu}}\), \(C_{\text{cal}}, T_{\text{cal}}\). On sait que \(T_{\text{cal}} = T_e = 20 \text{ °C}\).

Astuces

Pour ne pas se tromper : \(\Delta T\) est *toujours* \(T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}\). Si le corps se refroidit, \(T_f < T_{\text{initial}}\), donc \(\Delta T < 0\) et \(Q < 0\) (chaleur perdue), ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Il n'y a pas de nouveau schéma pour cette étape, nous ne faisons qu'établir les équations littérales.

Calcul(s)

Étape 1 : Chaleur gagnée par l'eau

On applique la formule \(Q = m c \Delta T\). L'inconnue est \(T_f\).

Q_{\text{eau}} = m_e \cdot c_e \cdot (T_f - T_e)

Étape 2 : Chaleur gagnée par le calorimètre

On applique la formule \(Q = C \Delta T\). L'inconnue est \(T_f\).

Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} \cdot (T_f - T_{\text{cal}})

Étape 3 : Chaleur perdue par le cuivre

On applique la formule \(Q = m c \Delta T\). L'inconnue est \(T_f\).

Q_{\text{cuivre}} = m_{\text{cu}} \cdot c_{\text{cu}} \cdot (T_f - T_{\text{cu}})

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma n'est nécessaire pour cette étape purement algébrique.

Réflexions

Nous avons maintenant trois équations. Celles-ci, combinées à l'équation de bilan de la Q1, vont nous permettre de trouver notre seule inconnue : \(T_f\).

Points de vigilance

Ne mélangez pas \(c\) (massique, en J/g/°C) et \(C\) (capacité totale, en J/°C). Le calorimètre a une capacité \(C_{\text{cal}}\) car c'est un objet composite (agitateur, thermomètre, vase...). Il est plus simple de mesurer sa capacité globale.

Points à retenir

\(Q_{\text{eau}}\) et \(Q_{\text{cal}}\) seront positifs (ils se réchauffent).
\(Q_{\text{cuivre}}\) sera négatif (il se refroidit).

Le saviez-vous ?

La capacité thermique massique de l'eau (4.18 J/g/°C) est l'une des plus élevées pour un liquide courant. C'est pourquoi elle est utilisée comme fluide caloporteur (transport de chaleur) et pourquoi les climats océaniques sont plus tempérés.

FAQ

Réponses aux questions courantes sur cette étape.

Résultat Final

\( Q_{\text{eau}} = m_e \cdot c_e \cdot (T_f - T_e) \)

\( Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} \cdot (T_f - T_{\text{cal}}) \)

\( Q_{\text{cuivre}} = m_{\text{cu}} \cdot c_{\text{cu}} \cdot (T_f - T_{\text{cu}}) \)

A vous de jouer

Si \(T_f = 25 \text{ °C}\) et \(T_e = 20 \text{ °C}\), \(m_e = 100 \text{ g}\) et \(c_e = 4 \text{ J/g/°C}\), que vaut \(Q_{\text{eau}}\) (en J) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Formules : \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) ou \(Q = C \cdot \Delta T\).
Clé : \(\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}\) pour *chaque* composant.

Question 3 : Expression littérale de \(T_f\)

Principe

C'est une étape purement mathématique. On prend l'équation de bilan (Q1) et on y insère les expressions de chaleur (Q2). On obtient une équation du premier degré avec une seule inconnue, \(T_f\), qu'il suffit d'isoler.

Mini-Cours

Cette étape est une application de l'algèbre de base. Une équation de la forme \(A(x-a) + B(x-b) + C(x-c) = 0\) est une équation du premier degré en \(x\). On la résout en développant (\(Ax - Aa + Bx - Bb + Cx - Cc = 0\)), en regroupant les termes en \(x\) (\(x(A+B+C) = Aa + Bb + Cc\)), puis en isolant \(x = \frac{Aa + Bb + Cc}{A+B+C}\). C'est exactement ce que nous faisons avec \(T_f\).

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs, faites-le méthodiquement : 1. Substituer, 2. Développer tous les termes, 3. Regrouper tous les termes en \(T_f\) d'un côté, 4. Regrouper tous les autres termes de l'autre côté, 5. Factoriser et diviser.

Normes

Aucune norme, il s'agit de la résolution d'une équation algébrique.

Formule(s)

On part de :

Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cuivre}} + Q_{\text{cal}} = 0

Hypothèses

On utilise l'hypothèse simplificatrice de l'énoncé : \(T_{\text{cal}} = T_e\).

\(Q_{\text{eau}} = m_e c_e (T_f - T_e)\)
\(Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} (T_f - T_e)\)
\(Q_{\text{cuivre}} = m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} (T_f - T_{\text{cu}})\)

Donnée(s)

Cette étape est purement littérale, aucune donnée numérique n'est utilisée.

Astuces

On peut regrouper l'eau et le calorimètre dès le début, car ils ont le même \(\Delta T\). On les traite comme un seul "corps froid" de capacité thermique \((m_e c_e + C_{\text{cal}})\).

Schéma (Avant les calculs)

Aucun schéma n'est nécessaire pour cette étape de calcul algébrique.

Calcul(s)

Nous partons de l'équation de bilan (Q1) et nous y insérons les expressions de Q2. C'est une résolution algébrique pour isoler l'inconnue \(T_f\).

Étape 1 : Substitution

On remplace \(Q_{\text{eau}}\), \(Q_{\text{cuivre}}\) et \(Q_{\text{cal}}\) dans l'équation \(Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cuivre}} + Q_{\text{cal}} = 0\). On utilise aussi l'hypothèse \(T_{\text{cal}} = T_e\).

m_e c_e (T_f - T_e) + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} (T_f - T_{\text{cu}}) + C_{\text{cal}} (T_f - T_e) = 0

Nous avons maintenant une seule équation avec une seule inconnue, \(T_f\).

Étape 2 : Développement

On distribue chaque terme en développant les parenthèses (règle : \(a(b-c) = ab - ac\)).

(m_e c_e T_f - m_e c_e T_e) + (m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_f - m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}}) + (C_{\text{cal}} T_f - C_{\text{cal}} T_e) = 0

L'équation est développée. L'étape suivante consiste à trier les termes : ceux avec \(T_f\) et ceux sans \(T_f\).

Étape 3 : Regroupement

On garde tous les termes contenant notre inconnue \(T_f\) à gauche, et on déplace tous les autres termes (ceux avec les températures initiales) vers le côté droit de l'équation. Quand un terme change de côté, son signe s'inverse.

m_e c_e T_f + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_f + C_{\text{cal}} T_f = m_e c_e T_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}} + C_{\text{cal}} T_e

Tous les termes en \(T_f\) sont à gauche, et tous les termes constants sont à droite. On peut maintenant factoriser.

Étape 4 : Factorisation

À gauche, on met l'inconnue \(T_f\) en facteur commun. À droite, on peut aussi regrouper les termes en \(T_e\) pour simplifier l'expression.

T_f (m_e c_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} + C_{\text{cal}}) = (m_e c_e + C_{\text{cal}}) T_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}}

L'équation est presque résolue. \(T_f\) est multiplié par un grand bloc. Il ne reste plus qu'à diviser.

Étape 5 : Isoler \(T_f\)

Pour isoler \(T_f\), on divise le côté droit par le grand facteur de gauche (tout ce qui est entre parenthèses).

T_f = \frac{(m_e c_e + C_{\text{cal}}) T_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}}}{m_e c_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} + C_{\text{cal}}}

C'est l'expression littérale finale pour \(T_f\). Elle exprime \(T_f\) en fonction de toutes les données connues de l'énoncé.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une formule, pas un schéma.

Réflexions

On obtient une formule qui est une moyenne pondérée. La température finale est la somme des "poids" thermiques (\(m \cdot c \cdot T\)) divisée par la somme des "capacités" thermiques (\(m \cdot c\)). C'est tout à fait logique.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe lors du passage des termes de l'autre côté de l'équation. Prenez votre temps pour développer et regrouper.

Points à retenir

La température finale est toujours une moyenne des températures initiales, pondérée par les capacités thermiques (\(m \cdot c\) ou \(C\)) de chaque composant. Un composant avec une grande capacité thermique aura plus d'"influence" sur le résultat final.

Le saviez-vous ?

Cette même formule de 'moyenne pondérée' se retrouve dans de nombreux domaines de la physique, comme le calcul du centre de masse d'un objet (moyenne des positions pondérée par les masses).

FAQ

Réponses aux questions courantes sur cette étape.

Résultat Final

\[ T_f = \frac{(m_e c_e + C_{\text{cal}}) T_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}}}{m_e c_e + C_{\text{cal}} + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}}} \]

A vous de jouer

Si on mélange un corps 1 (\(m_1, c_1, T_1\)) et un corps 2 (\(m_2, c_2, T_2\)) dans un calorimètre (\(C_{\text{cal}}\)) qui est initialement à la température \(T_1\), que vaut \(T_f\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Méthode : Substituer, développer, regrouper, factoriser, isoler.
Résultat : \(T_f\) est une moyenne pondérée des températures initiales par les capacités thermiques.

Question 4 : Calcul numérique de \(T_f\)

Principe

On remplace les symboles de l'expression littérale de \(T_f\) (trouvée en Q3) par leurs valeurs numériques données dans l'énoncé.

Mini-Cours

Il n'y a pas de nouveau concept ici, c'est l'application numérique directe de la formule Q3. L'enjeu est la rigueur : bien identifier les bonnes valeurs, les bonnes unités, et ne pas faire d'erreur de calcul.

Remarque Pédagogique

Il est plus sûr de calculer le numérateur et le dénominateur séparément avant de faire la division finale. Cela réduit les risques d'erreurs de saisie sur la calculatrice.

Normes

Aucune norme, c'est une application numérique.

Formule(s)

T_f = \frac{(m_e c_e + C_{\text{cal}}) T_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}}}{m_e c_e + C_{\text{cal}} + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}}}

Hypothèses

Nous utilisons les hypothèses de la Q1 (système isolé) et Q2 (\(c, C\) constants) pour que cette formule soit valide.

Donnée(s)

On reprend les données de l'énoncé :

Paramètre	Valeur	Unité
\(m_e\)	200	g
\(c_e\)	4.18	J/g/°C
\(T_e\)	20	°C
\(m_{\text{cu}}\)	50	g
\(c_{\text{cu}}\)	0.385	J/g/°C
\(T_{\text{cu}}\)	100	°C
\(C_{\text{cal}}\)	80	J/°C
\(T_{\text{cal}}\)	20	°C

Astuces

Vérification des unités : Les capacités thermiques (\(m \cdot c\) ou \(C\)) sont en J/°C. Le numérateur est en (J/°C) * °C = J. Le dénominateur est en J/°C. Le rapport J / (J/°C) donne bien des °C. Le calcul est homogène !

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma. Nous passons à l'application numérique.

Calcul(s)

On utilise la formule littérale de Q3 et on remplace chaque variable par sa valeur numérique. Pour plus de clarté, nous allons calculer les "capacités thermiques" (\(C_i = m_i \cdot c_i\)) de chaque composant en premier.

Étape 1 : Capacité thermique de l'eau (\(C_{\text{eau}} = m_e c_e\))

On prend la masse de l'eau (\(m_e = 200 \text{ g}\)) et sa capacité massique (\(c_e = 4.18 \text{ J/g/°C}\)).

C_{\text{eau}} = 200 \text{ g} \times 4.18 \text{ J/g/°C} \] \[ = 836 \text{ J/°C}

Cette valeur représente 'l'inertie thermique' de l'eau. C'est la quantité d'énergie (en Joules) qu'il faut pour chauffer ces 200g d'eau de 1°C.

Étape 2 : Capacité thermique du cuivre (\(C_{\text{cu}} = m_{\text{cu}} c_{\text{cu}}\))

On prend la masse du cuivre (\(m_{\text{cu}} = 50 \text{ g}\)) et sa capacité massique (\(c_{\text{cu}} = 0.385 \text{ J/g/°C}\)).

C_{\text{cu}} = m_{\text{cu}} \cdot c_{\text{cu}} \] \[ = 50 \text{ g} \times 0.385 \text{ J/g/°C} \] \[ = 19.25 \text{ J/°C}

De même, c'est 'l'inertie thermique' du bloc de cuivre. On remarque qu'elle est beaucoup plus faible que celle de l'eau.

Étape 3 : Capacité thermique du calorimètre

Cette valeur est directement donnée dans l'énoncé.

C_{\text{cal}} = 80 \text{ J/°C}

Cette valeur était donnée. Nous avons maintenant les trois capacités thermiques dont nous avons besoin.

Étape 4 : Calcul du numérateur

On applique la formule du numérateur : \((m_e c_e + C_{\text{cal}}) T_e + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} T_{\text{cu}}\). On utilise les valeurs des étapes 1, 2 et 3.

\begin{aligned} \text{Num.} &= (C_{\text{eau}} + C_{\text{cal}}) T_e + C_{\text{cu}} T_{\text{cu}} \\ &= (836 \text{ J/°C} + 80 \text{ J/°C}) \times 20 \text{ °C} + (19.25 \text{ J/°C}) \times 100 \text{ °C} \\ &= (916 \text{ J/°C}) \times 20 \text{ °C} + 1925 \text{ J} \\ &= 18320 \text{ J} + 1925 \text{ J} \\ &= 20245 \text{ J} \end{aligned}

Cette valeur (20245 J) représente la somme pondérée des 'énergies thermiques initiales' de chaque composant.

Étape 5 : Calcul du dénominateur

On applique la formule du dénominateur : \(m_e c_e + C_{\text{cal}} + m_{\text{cu}} c_{\text{cu}}\).

\begin{aligned} \text{Dén.} &= C_{\text{eau}} + C_{\text{cal}} + C_{\text{cu}} \\ &= 836 \text{ J/°C} + 80 \text{ J/°C} + 19.25 \text{ J/°C} \\ &= 935.25 \text{ J/°C} \end{aligned}

Cette valeur (935.25 J/°C) représente la 'capacité thermique totale' de l'ensemble du système.

Étape 6 : Calcul final de \(T_f\)

On divise le numérateur (en Joules) par le dénominateur (en Joules/°C).

T_f = \frac{\text{Num.}}{\text{Dén.}} = \frac{20245 \text{ J}}{935.25 \text{ J/°C}} \approx 21.647... \text{ °C}

Le résultat final est obtenu en divisant l'énergie totale pondérée par la capacité totale. On l'arrondira à deux décimales, soit 21.65 °C.

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter le résultat sur un axe de température pour visualiser la position de l'équilibre :

Position de la Température d'Équilibre

Réflexions

La température finale est \(T_f \approx 21.65 \text{ °C}\). Ce résultat est logique : il est bien compris entre la température la plus basse (20°C) et la plus haute (100°C). Il est très proche de 20°C car la "capacité thermique" totale du système froid (\(916 \text{ J/°C}\)) est bien plus grande que celle du système chaud (\(19.25 \text{ J/°C}\)). L'eau a une grande "inertie thermique".

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes. Ici, nous avons gardé g et °C partout, ce qui fonctionne car \(c\) était donné en J/g/°C. Si \(c\) avait été en J/kg/K, il aurait fallu tout convertir en kg et K (même si pour un \(\Delta T\), une variation de 1°C = une variation de 1K).

Points à retenir

Le résultat numérique \(\approx 21.65 \text{ °C}\) est physiquement cohérent, car il est bien positionné entre 20°C et 100°C. Sa proximité avec 20°C est due à la grande capacité thermique de l'eau et du calorimètre par rapport au bloc de cuivre.

Le saviez-vous ?

L'eau a une capacité thermique massique si élevée (4180 J/kg/K) qu'elle sert d'étalon. La 'calorie' (cal) a été historiquement définie comme l'énergie nécessaire pour élever 1g d'eau de 1°C. (1 cal ≈ 4.18 J).

FAQ

Réponses aux questions courantes sur cette étape.

Résultat Final

La température d'équilibre finale est \(T_f \approx 21.65 \text{ °C}\).

A vous de jouer

Refaites le calcul, mais avec un bloc de 50g d'Aluminium (\(c_{\text{alu}} \approx 0.900 \text{ J/g/°C}\)) à la place du cuivre. Quelle est la nouvelle \(T_f\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Méthode : Calculer séparément le numérateur (J) et le dénominateur (J/°C).
Résultat : \(T_f = 20245 / 935.25 \approx 21.65 \text{ °C}\).
Logique : \(T_f\) doit être entre \(T_{min}\) et \(T_{max}\).

Question 5 : Vérification du bilan

Principe

Maintenant que nous avons \(T_f\), nous pouvons calculer numériquement \(Q_{\text{eau}}\), \(Q_{\text{cal}}\) et \(Q_{\text{cuivre}}\). Si notre calcul de \(T_f\) est correct, leur somme doit être (proche de) zéro, conformément à l'équation de la Q1.

Mini-Cours

Cette étape est une vérification. On n'apprend pas de nouveau concept, mais on valide la cohérence de nos calculs. On reprend les formules de la Q2, mais cette fois, au lieu de les résoudre, on y injecte la valeur de \(T_f\) trouvée en Q4 pour calculer les valeurs numériques de chaque \(Q_i\).

Remarque Pédagogique

C'est une excellente façon de vérifier votre travail. Si la somme n'est pas proche de zéro (en tenant compte des arrondis), vous avez probablement fait une erreur en isolant \(T_f\) ou dans l'application numérique.

Normes

Confirmation du respect du Premier Principe de la Thermodynamique (conservation de l'énergie).

Formule(s)

On utilise les formules individuelles de la Q2 :

Q_{\text{eau}} = m_e c_e (T_f - T_e)

Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} (T_f - T_e)

Q_{\text{cuivre}} = m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} (T_f - T_{\text{cu}})

Hypothèses

On utilise \(T_f = 21.647 \text{ °C}\) pour plus de précision dans la vérification.

Donnée(s)

On utilise toutes les données de l'énoncé, plus notre résultat calculé : \(T_f \approx 21.647 \text{ °C}\).

Astuces

Pour minimiser les erreurs d'arrondi, gardez la valeur la plus précise possible de \(T_f\) (par ex: 21.647) pour cette vérification. N'utilisez pas la valeur arrondie à 21.65.

Schéma (Avant les calculs)

Aucun schéma n'est requis.

Calcul(s)

Nous calculons chaque \(Q_i\) en utilisant la valeur de \(T_f \approx 21.647 \text{ °C}\) que nous avons trouvée.

Étape 1 : Chaleur gagnée par l'eau

On utilise \(Q_{\text{eau}} = m_e c_e (T_f - T_e)\). Les valeurs sont \(m_e c_e = 836 \text{ J/°C}\), \(T_f \approx 21.647 \text{ °C}\) et \(T_e = 20 \text{ °C}\).

\begin{aligned} Q_{\text{eau}} &= (836 \text{ J/°C}) \times (21.647 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) \\ &= 836 \times 1.647 \\ &\approx +1376.9 \text{ J (gagnée)} \end{aligned}

Le signe est positif (+), ce qui confirme que l'eau a bien *gagné* (reçu) de l'énergie, comme attendu.

Étape 2 : Chaleur gagnée par le calorimètre

On utilise \(Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} (T_f - T_{\text{cal}})\). Les valeurs sont \(C_{\text{cal}} = 80 \text{ J/°C}\), \(T_f \approx 21.647 \text{ °C}\) et \(T_{\text{cal}} = 20 \text{ °C}\).

\begin{aligned} Q_{\text{cal}} &= (80 \text{ J/°C}) \times (21.647 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) \\ &= 80 \times 1.647 \\ &\approx +131.8 \text{ J (gagnée)} \end{aligned}

Le signe est positif (+), ce qui confirme que le calorimètre a aussi *gagné* (reçu) de l'énergie.

Étape 3 : Chaleur perdue par le cuivre

On utilise \(Q_{\text{cuivre}} = m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} (T_f - T_{\text{cu}})\). Les valeurs sont \(m_{\text{cu}} c_{\text{cu}} = 19.25 \text{ J/°C}\), \(T_f \approx 21.647 \text{ °C}\) et \(T_{\text{cu}} = 100 \text{ °C}\).

\begin{aligned} Q_{\text{cuivre}} &= (19.25 \text{ J/°C}) \times (21.647 \text{ °C} - 100 \text{ °C}) \\ &= 19.25 \times (-78.353) \\ &\approx -1508.7 \text{ J (perdue)} \end{aligned}

Le signe est négatif (-), ce qui confirme que le bloc de cuivre a bien *perdu* (cédé) de l'énergie.

Étape 4 : Bilan final

On additionne toutes les chaleurs échangées.

\begin{aligned} \sum Q_i &= Q_{\text{eau}} + Q_{\text{cal}} + Q_{\text{cuivre}} \\ &\approx 1376.9 + 131.8 + (-1508.7) \\ &\approx 1508.7 - 1508.7 = 0 \text{ J} \end{aligned}

La somme de l'énergie gagnée (+1508.7 J) et de l'énergie perdue (-1508.7 J) est bien égale à zéro. Notre bilan est vérifié et les calculs sont corrects.

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser ce bilan des transferts d'énergie :

Bilan Énergétique ( ΣQ ≈ 0 )

Réflexions

Le bilan est parfaitement nul (aux arrondis près). Cela confirme que notre calcul de \(T_f\) était correct. L'eau et le calorimètre ont gagné 1508.7 J, et le cuivre a perdu exactement cette même quantité d'énergie.

Points de vigilance

Attention aux signes. \(Q_{\text{gagné}}\) doit être positif (car \(T_f > T_{\text{initial}}\)) et \(Q_{\text{perdu}}\) doit être négatif (car \(T_f < T_{\text{initial}}\)). Si ce n'est pas le cas, vous avez inversé \(T_f\) et \(T_{\text{initial}}\).

Points à retenir

La vérification du bilan \(\sum Q_i = 0\) est une étape cruciale pour valider la justesse de la température finale calculée.

Le saviez-vous ?

Dans une expérience réelle, \(\sum Q_i\) n'est jamais *exactement* zéro. Il est légèrement négatif (\(\sum Q_i = Q_{\text{pertes}} < 0\)), ce qui représente la petite quantité de chaleur qui s'est inévitablement échappée du calorimètre vers la pièce. Mesurer ces pertes est un objectif en soi dans les TPs de calorimétrie.

FAQ

Réponses aux questions courantes sur cette étape.

Résultat Final

\(Q_{\text{gagné}} \approx +1508.7 \text{ J}\) (par l'eau + cal).
\(Q_{\text{perdu}} \approx -1508.7 \text{ J}\) (par le cuivre).
Le bilan \(\sum Q_i = 0\) est vérifié.

A vous de jouer

Si \(Q_{\text{eau}} = 1000 \text{ J}\) et \(Q_{\text{cal}} = 200 \text{ J}\), que doit valoir \(Q_{\text{cuivre}}\) pour que le bilan soit nul (en J) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Vérifier que \(\sum Q_i = 0\).
Méthode : Calculer chaque \(Q_i\) avec \(T_f\) et les additionner.
Résultat : \(Q_{\text{gagné}} = -Q_{\text{perdu}}\).

Outil Interactif : Simulateur de Calorimétrie

Utilisez les curseurs pour varier la masse du bloc de cuivre et sa température initiale. Observez en temps réel l'impact sur la température d'équilibre finale et la quantité de chaleur que le cuivre doit céder. (Données de base : Eau 200g à 20°C, Calo 80 J/°C à 20°C)

Paramètres d'Entrée

Masse de Cuivre (\(m_{\text{cu}}\)) (g) 50 g

Temp. Initiale Cuivre (\(T_{\text{cu}}\)) (°C) 100 °C

Résultats Clés

Temp. Finale (\(T_f\)) (°C) -

Chaleur Cédée (\(Q_{\text{cu}}\)) (J) -

Glossaire

Calorimètre: Un récipient conçu pour être thermiquement isolé de son environnement (adiabatique), permettant de mesurer les échanges de chaleur qui s'y produisent.
Capacité thermique (\(C\)): Énergie nécessaire pour élever la température de l'objet entier de 1°C (ou 1K). Unité : J/°C ou J/K. \(C = m \cdot c\)
Capacité thermique massique (\(c\)): Propriété d'un matériau. C'est l'énergie nécessaire pour élever la température de 1 gramme (ou 1 kg) de ce matériau de 1°C (ou 1K). Unité : J/g/°C ou J/kg/K.
Système isolé (ou adiabatique): Un système qui n'échange ni matière ni énergie (sous forme de chaleur ou de travail) avec l'extérieur. Dans ce cas, \(\sum Q_i = 0\).
Équilibre thermique: État atteint lorsque tous les composants d'un système ont atteint la même température (\(T_f\)) et qu'il n'y a plus de transfert de chaleur net entre eux.