Modélisation du refroidissement par évaporation

Contexte : Le PsychromètreInstrument de mesure de l'humidité de l'air, composé de deux thermomètres (un sec, un humide)..

La thermodynamique de l'air humide, ou psychrométrie, est essentielle pour comprendre des phénomènes comme le confort humain, le séchage, et le refroidissement par évaporation. Cet exercice se concentre sur l'un des instruments de mesure les plus fondamentaux : le psychromètre à fronde. En utilisant la différence de température entre un thermomètre sec et un thermomètre humide, nous pouvons déduire l'état complet de l'air.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les principes du bilan d'énergie et de masse sur une surface d'eau pour calculer l'humidité relative et absolue de l'air, une compétence clé en génie climatique et en thermodynamique appliquée.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe du refroidissement par évaporation sur un bulbe humide.
Appliquer les bilans d'énergie et de masse pour déterminer l'humidité de l'air.
Calculer l'humidité absolue (\(\omega\)) et l'humidité relative (\(\phi\)) à partir des températures \(T_{\text{sec}}\) et \(T_{\text{humide}}\).

Données de l'étude

Un psychromètre à fronde est utilisé pour mesurer les propriétés de l'air dans une pièce. L'instrument est agité jusqu'à ce que les températures se stabilisent. La pression atmosphérique locale est supposée être la pression standard.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Pression Atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\))	101 325 Pa (Standard)
Constante des gaz (Air sec, \(R_{\text{a}}\))	287.05 J/(kg·K)
Constante des gaz (Vapeur d'eau, \(R_{\text{v}}\))	461.5 J/(kg·K)
Chaleur spécifique de l'air sec (\(c_{\text{pa}}\))	1005 J/(kg·K) (\(\approx 1.005\) kJ/(kg·K))

Schéma d'un Psychromètre

Paramètre	Description	Valeur	Unité
Température de bulbe sec	\(T_{\text{sec}}\)	25	°C
Température de bulbe humide	\(T_{\text{hum}}\)	18	°C

Questions à traiter

Calculer la pression de vapeur saturante \(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\) à la température de bulbe humide (\(18^\circ\text{C}\)).
Calculer l'humidité absolue (rapport de mélange) \(\omega_{\text{s}}(T_{\text{hum}})\) de l'air saturé à \(18^\circ\text{C}\).
En utilisant l'équation psychrométrique (formule de Carrier ou bilan d'énergie simplifié), déterminer la pression partielle de vapeur d'eau \(P_{\text{v}}\) dans l'air ambiant.
Calculer l'humidité absolue \(\omega\) et l'humidité relative \(\phi\) de l'air ambiant (à \(25^\circ\text{C}\)).
Estimer l'enthalpie spécifique \(h\) de l'air ambiant.

Les bases de la Psychrométrie

La psychrométrie étudie les mélanges d'air sec et de vapeur d'eau. Les concepts clés sont la pression de vapeur, les différentes mesures d'humidité (absolue, relative) et les températures caractéristiques (sec, humide, point de rosée).

1. Pression de Vapeur et Saturation
L'air ne peut contenir qu'une quantité maximale de vapeur d'eau à une température donnée. Cette limite est la pression de vapeur saturantePression partielle maximale que la vapeur d'eau peut exercer à une température donnée avant que la condensation ne se produise., \(P_{\text{sat}}(T)\). L'humidité relative (\(\phi\)) est le rapport entre la pression de vapeur actuelle (\(P_{\text{v}}\)) et la pression de saturation à la même température (\(T_{\text{sec}}\)). \[ \phi = \frac{P_{\text{v}}}{P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})} \]

2. Température de Bulbe Humide (\(T_{\text{hum}}\))
C'est la température la plus basse qu'une surface d'eau peut atteindre par évaporation pure dans un flux d'air. À \(T_{\text{hum}}\), l'énergie perdue par l'eau (chaleur latente \(L_{\text{v}}\)) pour s'évaporer est exactement équilibrée par l'énergie gagnée de l'air (chaleur sensible). C'est un état d'équilibre énergétique.

2. Température de Bulbe Humide (\(T_{hum}\))
C'est la température la plus basse qu'une surface d'eau peut atteindre par évaporation pure dans un flux d'air. À \(T_{hum}\), l'énergie perdue par l'eau (chaleur latente \(L_v\)) pour s'évaporer est exactement équilibrée par l'énergie gagnée de l'air (chaleur sensible). C'est un état d'équilibre énergétique.

Correction : Modélisation du refroidissement par évaporation

Question 1 : Calculer la pression de vapeur saturante \(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\) à \(18^\circ\text{C}\).

Principe

Pour trouver l'état de l'air, nous devons d'abord connaître les propriétés de l'air s'il était saturé à la température du bulbe humide. La première étape est de calculer la pression maximale que la vapeur d'eau peut exercer à \(18^\circ\text{C}\).

Mini-Cours

La pression de vapeur saturante \(P_{\text{sat}}\) est une fonction directe de la température. Elle ne dépend pas de la pression de l'air. On l'obtient via des tables thermodynamiques ou des formules d'approximation, comme celle d'Antoine ou de Magnus-Tetens (ou Tetens), très utilisée en météorologie.

Remarque Pédagogique

Cette valeur \(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\) est cruciale car elle représente le "point d'ancrage" de nos calculs. L'air en contact direct avec la mèche humide est (théoriquement) saturé à \(18^\circ\text{C}\).

Normes

Les calculs sont basés sur les relations thermodynamiques standards pour les gaz parfaits et les propriétés de l'eau (par ex. tables de vapeur IAPWS), ici simplifiées par des formules empiriques reconnues.

Formule(s)

Nous utiliserons la formule de Tetens, une approximation courante de l'équation de Clausius-Clapeyron :

Formule de Tetens (simplifiée)

P_{\text{sat}}(T) \approx 0.61078 \cdot \exp \left( \frac{17.27 \cdot T}{T + 237.3} \right) \quad [\text{avec } T \text{ en } ^\circ\text{C}, P_{\text{sat}} \text{ en kPa}]

Hypothèses

On suppose que la formule de Tetens est suffisamment précise pour cette application. On travaille au-dessus du point de congélation (\(0^\circ\text{C}\)).

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour cette étape est la température du bulbe humide.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température de bulbe humide	\(T_{\text{hum}}\)	18	°C

Astuces

Attention aux unités ! La formule donne le résultat en kilopascals (kPa). 1 kPa = 1000 Pa. Pour la plupart des calculs suivants, il est plus simple de tout convertir en Pascals (Pa) ou de rester cohérent en kPa.

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur le micro-climat autour de la mèche humide, où l'air est localement saturé en vapeur d'eau à \(18^\circ\text{C}\).

Zoom sur le Bulbe Humide

Calcul(s)

Appliquons la formule de Tetens pour \(T = 18^\circ\text{C}\). On décompose le calcul :

Étape 1 : Calcul de l'exposant

On calcule d'abord la partie dans l'exponentielle : \((17.27 \cdot T) / (T + 237.3)\)

\begin{aligned} \text{Numérateur} &= 17.27 \times 18 = 310.86 \\ \text{Dénominateur} &= 18 + 237.3 = 255.3 \\ \text{Exposant} &= \frac{310.86}{255.3} \approx 1.2176 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la pression

On insère cet exposant dans la formule : \(P_{\text{sat}} = 0.61078 \cdot \exp(\text{Exposant})\)

\begin{aligned} P_{\text{sat}}(18^\circ\text{C}) &\approx 0.61078 \cdot \exp(1.2176) \\ &\approx 0.61078 \times 3.379 \\ &\approx 2.063 \text{ kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat pertinent pour cette étape, le résultat est une valeur numérique.

Réflexions

Le résultat est \(2.063 \text{ kPa}\), soit \(2063 \text{ Pa}\). Cela signifie que dans 1 m³ d'air à \(18^\circ\text{C}\), la vapeur d'eau ne peut pas exercer une pression partielle supérieure à \(2063 \text{ Pa}\) sans se condenser. C'est une pression faible par rapport à la pression atmosphérique totale (\(101 325 \text{ Pa}\)).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(T\) en Celsius et \(T\) en Kelvin. Les formules empiriques comme celle-ci sont spécifiquement conçues pour des unités d'entrée, ici le Celsius. Utiliser des Kelvin (\(291.15 \text{ K}\)) fausserait totalement le calcul.

Points à retenir

La pression de vapeur saturante \(P_{\text{sat}}\) ne dépend que de la température. C'est une propriété fondamentale de l'eau.

\(P_{\text{sat}}\) augmente très rapidement avec \(T\).

Le saviez-vous ?

La raison pour laquelle l'eau bout à \(100^\circ\text{C}\) (à pression standard) est que c'est la température à laquelle sa \(P_{\text{sat}}\) devient égale à la pression atmosphérique (approx. \(101.3 \text{ kPa}\)). À \(18^\circ\text{C}\), elle ne vaut que \(2.063 \text{ kPa}\).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La pression de vapeur saturante à \(18^\circ\text{C}\) est \(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}}) \approx 2.063 \text{ kPa}\) (ou \(2063 \text{ Pa}\)).

A vous de jouer

En utilisant la même formule, calculez la pression de vapeur saturante à la température de bulbe sec, \(P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})\), pour \(T_{\text{sec}} = 25^\circ\text{C}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Pression de vapeur saturante \(P_{\text{sat}}(T)\).
Formule Essentielle : \(P_{\text{sat}}(T) \approx 0.61078 \cdot \exp(17.27 \cdot T / (T + 237.3))\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser \(T\) en \(^\circ\text{C}\) pour cette formule.

Question 2 : Calculer l'humidité absolue \(\omega_{\text{s}}(T_{\text{hum}})\) de l'air saturé à \(18^\circ\text{C}\).

Principe

L'humidité absolueRapport de la masse de vapeur d'eau sur la masse d'air sec (en kg/kg ou g/kg). (\(\omega\), aussi appelée rapport de mélange) est le rapport de la masse de vapeur d'eau (\(m_{\text{v}}\)) à la masse d'air sec (\(m_{\text{a}}\)) dans un volume donné. Nous allons calculer cette valeur pour l'air saturé (\(\omega_{\text{s}}\)) à \(18^\circ\text{C}\).

Mini-Cours

En utilisant la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\) ou \(PV=mRT\)), on peut montrer que le rapport des masses \(m_{\text{v}}/m_{\text{a}}\) est lié au rapport des pressions partielles. Le rapport des constantes de gaz \(R_{\text{a}}/R_{\text{v}} = 287.05 / 461.5 \approx 0.622\).

Remarque Pédagogique

Cette valeur \(\omega_{\text{s}}\) est le 'point d'arrivée' du processus de saturation. L'air ambiant, en se refroidissant et en s'humidifiant au contact de la mèche, suit une ligne d'enthalpie constante (ou presque) sur le diagramme psychrométrique. Il atteint la saturation à \(T_{\text{hum}}\) avec cette humidité absolue \(\omega_{\text{s}}\).

Normes

Les relations de masse et de pression pour les mélanges de gaz sont basées sur le modèle du gaz parfait de Dalton. Le rapport 0.622 est une constante dérivée (\(R_{\text{a}}/R_{\text{v}}\)) et est une norme de facto en CVC (Chauffage, Ventilation, Climatisation).

Formule(s)

La formule de l'humidité absolue est :

\omega = \frac{m_{\text{v}}}{m_{\text{a}}} = \frac{R_{\text{a}}}{R_{\text{v}}} \cdot \frac{P_{\text{v}}}{P_{\text{a}}} = 0.622 \cdot \frac{P_{\text{v}}}{P_{\text{atm}} - P_{\text{v}}}

Pour l'air saturé (\(\omega_{\text{s}}\)) à \(T_{\text{hum}}\), on utilise \(P_{\text{v}} = P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\).

Hypothèses

On suppose que l'air sec et la vapeur d'eau se comportent comme des gaz parfaits. On suppose que la pression totale est la somme des pressions partielles (Loi de Dalton : \(P_{\text{atm}} = P_{\text{a}} + P_{\text{v}}\)).

Donnée(s)

Nous réutilisons le résultat de la Q1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de saturation (Q1)	\(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\)	2.063	kPa
Pression atmosphérique	\(P_{\text{atm}}\)	101.325	kPa

Astuces

Assurez-vous que \(P_{\text{v}}\) et \(P_{\text{atm}}\) sont dans la même unité (kPa ou Pa). Le rapport \(P_{\text{v}} / (P_{\text{atm}} - P_{\text{v}})\) sera sans dimension. Le résultat \(\omega\) est en kg de vapeur / kg d'air sec. On le convertit souvent en grammes (g/kg) en multipliant par 1000.

Schéma (Avant les calculs)

Ce calcul est une conversion de pression en rapport de masse. Il n'y a pas de schéma géométrique, mais on peut visualiser le concept :

Concept du Rapport de Mélange

Calcul(s)

On applique la formule pour \(\omega_{\text{s}}\) à \(18^\circ\text{C}\). On utilise les valeurs en kPa pour la cohérence.

Étape 1 : Calcul du rapport de pression

On calcule \(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}}) / (P_{\text{atm}} - P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}}))\)

\begin{aligned} \text{Numérateur} &= 2.063 \text{ kPa} \\ \text{Dénominateur} &= 101.325 \text{ kPa} - 2.063 \text{ kPa} \\ &= 99.262 \text{ kPa} \\ \text{Rapport} &= \frac{2.063}{99.262} \approx 0.02078 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(\omega_s\)

On multiplie le rapport par la constante 0.622.

\begin{aligned} \omega_{\text{s}}(18^\circ\text{C}) &= 0.622 \times \text{Rapport} \\ &= 0.622 \times 0.02078 \\ &\approx 0.01293 \text{ kg}_{\text{eau}} / \text{kg}_{\text{air sec}} \end{aligned}

Pour une meilleure lisibilité, on convertit en g/kg : \(0.01293 \times 1000 = 12.93 \text{ g/kg}\).

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique (\(12.93 \text{ g/kg}\)), pas un schéma.

Réflexions

Ce résultat signifie que 1 kilogramme d'air sec à 101.325 kPa et 18°C peut contenir au maximum environ 12.93 grammes de vapeur d'eau. C'est l'humidité absolue de la "bulle" d'air en contact avec la mèche humide.

Points de vigilance

Ne pas oublier que \(P_{\text{a}} = P_{\text{atm}} - P_{\text{v}}\). Une erreur fréquente est de diviser \(P_{\text{v}}\) par \(P_{\text{atm}}\), ce qui est incorrect et mène à une erreur significative.

Points à retenir

L'humidité absolue \(\omega_{\text{s}}\) est une propriété de l'air saturé à une température donnée. C'est le 'plafond' d'humidité que l'air peut contenir à cette température.

Le saviez-vous ?

Sur un diagramme psychrométrique, la valeur de \(\omega_{\text{s}}(T_{\text{hum}})\) se lit sur l'axe Y (humidité absolue) en face du point d'intersection de la courbe de saturation (100% HR) et de la ligne de température \(T=18^\circ\text{C}\).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'humidité absolue de saturation à \(18^\circ\text{C}\) est \(\omega_{\text{s}} \approx 0.01293 \text{ kg/kg}\) (soit \(12.93 \text{ g/kg}_{\text{air sec}}\)).

A vous de jouer

En utilisant votre résultat de \(P_{\text{sat}}(25^\circ\text{C}) \approx 3.167 \text{ kPa}\) (de la Q1 'A vous de jouer'), calculez l'humidité absolue de saturation \(\omega_{\text{s}}\) à \(25^\circ\text{C}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Humidité absolue \(\omega\) (ou rapport de mélange).
Formule Essentielle : \(\omega = 0.622 \cdot P_{\text{v}} / (P_{\text{atm}} - P_{\text{v}})\).
Point de Vigilance : \(\omega_{\text{s}}\) (saturé) utilise \(P_{\text{sat}}\). \(\omega\) (ambiant) utilise \(P_{\text{v}}\).

Question 3 : Déterminer la pression partielle de vapeur d'eau \(P_{\text{v}}\) dans l'air ambiant.

Principe

Nous lions enfin les deux mesures (\(T_{\text{sec}}\) et \(T_{\text{hum}}\)). On utilise le bilan d'énergie sur le bulbe humide : la chaleur sensible que l'air cède au bulbe (car \(T_{\text{sec}} > T_{\text{hum}}\)) doit équilibrer l'énergie emportée par l'évaporation (chaleur latente). Ce bilan permet de trouver la \(P_{\text{v}}\) inconnue de l'air ambiant.

Mini-Cours

L'équation complète est complexe. En pratique, on utilise une formule psychrométrique semi-empirique (comme celle de Carrier ou d'Apjohn) qui simplifie ce bilan. La plus simple et la plus courante pour un psychromètre à fronde (bonne ventilation) est celle de Carrier, qui utilise un "coefficient psychrométrique" \(A\).

Remarque Pédagogique

Cette équation est le cœur de la mesure psychrométrique. Elle relie l'inconnu (l'humidité de l'air ambiant, via \(P_{\text{v}}\)) à deux mesures faciles à prendre (\(T_{\text{sec}}\) et \(T_{\text{hum}}\)). C'est un exemple parfait de bilan d'énergie et de transfert de masse combinés.

Normes

L'ASABE (American Society of Agricultural and Biological Engineers) standard D271.2 définit des coefficients psychrométriques précis en fonction de la ventilation (thermomètres ventilés vs. non ventilés) et de la température.

Formule(s)

Formule de Carrier (ou équation psychrométrique) :

P_{\text{v}} = P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}}) - A \cdot P_{\text{atm}} \cdot (T_{\text{sec}} - T_{\text{hum}})

Où \(A\) est le coefficient psychrométrique. Pour un psychromètre à fronde (en \(^\circ\text{C}\) et \(P\) en Pa), \(A \approx 6.66 \times 10^{-4} \text{ }^\circ\text{C}^{-1}\).

Hypothèses

On suppose que le coefficient \(A = 6.66 \times 10^{-4} \text{ }^\circ\text{C}^{-1}\) est correct, ce qui implique une vitesse de l'air sur le bulbe suffisante (env. 3-5 m/s), ce qui est le cas d'un appareil "à fronde".

Donnée(s)

On combine toutes les données. On utilisera les pressions en Pascals (Pa) pour la précision avec le coefficient A.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temp. Bulbe Sec	\(T_{\text{sec}}\)	25	°C
Temp. Bulbe Humide	\(T_{\text{hum}}\)	18	°C
Pression Sat. à \(T_{\text{hum}}\) (Q1)	\(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\)	2063	Pa
Pression Atmosphérique	\(P_{\text{atm}}\)	101325	Pa
Coefficient Psychrométrique	\(A\)	\(6.66 \times 10^{-4}\)	\(^\circ\text{C}^{-1}\)

Astuces

C'est l'étape la plus importante. La différence (\(T_{\text{sec}} - T_{\text{hum}}\)) est appelée la "dépression psychrométrique". Plus elle est grande, plus l'air est sec, et plus le terme soustrait sera grand, donnant une \(P_{\text{v}}\) (et donc une humidité) plus faible.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le bilan d'énergie sur le bulbe humide. La chaleur sensible de l'air (en bleu) réchauffe le bulbe, tandis que l'évaporation d'eau (en vert) le refroidit. À l'équilibre, les deux flux se compensent.

Bilan d'Énergie sur le Bulbe Humide

Calcul(s)

Calculons le terme de correction, puis \(P_{\text{v}}\). On utilise les unités de base (Pa, °C).

Étape 1 : Calcul de la dépression psychrométrique

(T_{\text{sec}} - T_{\text{hum}}) = 25^\circ\text{C} - 18^\circ\text{C} = 7^\circ\text{C}

Étape 2 : Calcul du terme de correction

On calcule \(A \cdot P_{\text{atm}} \cdot (T_{\text{sec}} - T_{\text{hum}})\)

\begin{aligned} \text{Correction} &= (6.66 \times 10^{-4}) \times 101325 \times 7 \\ &= (0.000666 \times 101325) \times 7 \\ &\approx 67.48 \times 7 \\ &\approx 472.4 \text{ Pa} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de \(P_v\)

On soustrait la correction à \(P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}})\)

\begin{aligned} P_{\text{v}} &= P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}}) - \text{Correction} \\ &= 2063 \text{ Pa} - 472.4 \text{ Pa} \\ &\approx 1590.6 \text{ Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique (\(1590.6 \text{ Pa}\)), pas un schéma.

Réflexions

La pression de vapeur réelle dans l'air est de \(1590.6 \text{ Pa}\). C'est bien inférieur à la pression de saturation à \(18^\circ\text{C}\) (2063 Pa) et encore plus à celle de \(25^\circ\text{C}\) (3167 Pa), ce qui est logique : l'air n'est pas saturé.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la pression atmosphérique totale (\(P_{\text{atm}}\)) en Pascals (101325) si \(P_{\text{sat}}\) est en Pascals. Si vous utilisez des kPa (101.325), \(P_{\text{sat}}\) doit être en kPa (2.063) et la correction sera aussi en kPa (0.4724 kPa).

Points à retenir

Cette formule est le pont entre ce que l'on peut mesurer (\(T_{\text{sec}}, T_{\text{hum}}\)) et ce que l'on cherche (\(P_{\text{v}}\)).

Le saviez-vous ?

Le coefficient \(A\) dépend de la vitesse de l'air. S'il n'y a pas de ventilation (pas de "fronde"), le coefficient est différent (plus grand), car l'air autour de la mèche s'sature localement et ralentit l'évaporation.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La pression partielle de vapeur d'eau ambiante est \(P_{\text{v}} \approx 1590.6 \text{ Pa}\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(P_{\text{v}}\) si l'air était plus humide, par exemple \(T_{\text{hum}} = 20^\circ\text{C}\) ? (Utilisez \(P_{\text{sat}}(20^\circ\text{C}) \approx 2337 \text{ Pa}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Bilan d'énergie du bulbe humide.
Formule Essentielle : \(P_{\text{v}} = P_{\text{sat}}(T_{\text{hum}}) - A \cdot P_{\text{atm}} \cdot (T_{\text{sec}} - T_{\text{hum}})\).
Point de Vigilance : Utiliser des unités cohérentes (Pa, °C).

Question 4 : Calculer l'humidité absolue \(\omega\) et l'humidité relative \(\phi\) de l'air ambiant.

Principe

Maintenant que nous avons la pression de vapeur réelle \(P_{\text{v}}\) de l'air ambiant (à \(T_{\text{sec}}\)), nous pouvons calculer ses humidités absolue et relative. L'humidité absolue \(\omega\) dépend de \(P_{\text{v}}\) et \(P_{\text{atm}}\). L'humidité relative \(\phi\) dépend de \(P_{\text{v}}\) et \(P_{\text{sat}}\) (à \(T_{\text{sec}}\)).

Mini-Cours

L'humidité absolue (\(\omega\)) est une mesure de masse (kg/kg) et ne change pas si on chauffe ou refroidit l'air (tant qu'il n'y a ni condensation ni ajout d'eau). L'humidité relative (\(\phi\)) est une mesure de saturation (%) et change radicalement avec la température, car \(P_{\text{sat}}(T)\) change.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de 'traduction'. Nous avons trouvé \(P_{\text{v}}\), qui est la propriété physique fondamentale. Maintenant, nous la convertissons en deux mesures pratiques (\(\omega\) et \(\phi\)) que les ingénieurs et les météorologues utilisent au quotidien.

Normes

Les définitions de \(\omega\) et \(\phi\) sont des standards internationaux (par ex. ASHRAE pour le CVC).

Formule(s)

Humidité Absolue (Ambiante)

\omega = 0.622 \cdot \frac{P_{\text{v}}}{P_{\text{atm}} - P_{\text{v}}}

Humidité Relative (Ambiante)

\phi = \frac{P_{\text{v}}}{P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})}

Hypothèses

On suppose que le calcul de \(P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})\) (fait dans le 'A vous de jouer' de la Q1) est correct. On réutilise l'hypothèse des gaz parfaits.

Donnée(s)

Nous avons besoin de \(P_{\text{v}}\) (Q3) et \(P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})\) (que nous calculons ici, ou réutilisons de Q1 'A vous de jouer').

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de vapeur (Q3)	\(P_{\text{v}}\)	1590.6	Pa
Pression Sat. à \(25^\circ\text{C}\)	\(P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})\)	3167	Pa
Pression atmosphérique	\(P_{\text{atm}}\)	101325	Pa

Note : La valeur \(P_{\text{sat}}(25^\circ\text{C}) \approx 3167 \text{ Pa}\) (ou \(3.167 \text{ kPa}\)) provient du calcul 'A vous de jouer' de la Q1. Si vous ne l'avez pas fait, le voici : \(P_{\text{sat}}(25^\circ\text{C}) \approx 0.61078 \cdot \exp(17.27 \cdot 25 / (25 + 237.3)) \approx 3.167 \text{ kPa}\).

Astuces

Pour l'humidité relative, assurez-vous de diviser \(P_{\text{v}}\) par \(P_{\text{sat}}\) à la température de bulbe sec (\(T_{\text{sec}}\)), et non celle de bulbe humide ! C'est l'erreur la plus commune.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre la différence entre \(\phi\) et \(\omega\).

Humidité Relative vs. Absolue

Calcul(s)

Calculons les deux valeurs en utilisant \(P_{\text{v}} = 1590.6 \text{ Pa}\) et \(P_{\text{atm}} = 101325 \text{ Pa}\).

Partie 1 : Humidité Absolue (\(\omega\))

On applique \(\omega = 0.622 \cdot P_{\text{v}} / (P_{\text{atm}} - P_{\text{v}})\).

\begin{aligned} \text{Dénominateur} &= 101325 - 1590.6 \\ &= 99734.4 \text{ Pa} \\ \omega &= 0.622 \times \left( \frac{1590.6}{99734.4} \right) \\ &= 0.622 \times 0.01595 \\ &\approx 0.00992 \text{ kg/kg}_{\text{air sec}} \quad (\text{soit } 9.92 \text{ g/kg}) \end{aligned}

Partie 2 : Humidité Relative (\(\phi\))

On applique \(\phi = P_{\text{v}} / P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})\). On utilise \(P_{\text{sat}}(25^\circ\text{C}) \approx 3167 \text{ Pa}\).

\begin{aligned} \phi &= \frac{1590.6 \text{ Pa}}{3167 \text{ Pa}} \\ &\approx 0.5022 \\ &\approx 50.2\% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Les résultats sont des valeurs numériques (\(9.92 \text{ g/kg}\) et \(50.2\%\)).

Réflexions

L'air de la pièce contient \(9.92 \text{ g}\) d'eau par kg d'air sec. Il est à \(50.2\%\) de sa capacité maximale de rétention d'eau à \(25^\circ\text{C}\). Ces deux valeurs décrivent le même état de l'air.

Points de vigilance

La plus grande confusion en psychrométrie ! \(\omega_{\text{s}}\) (Q2) est l'humidité absolue de saturation à \(T_{\text{hum}}\). \(\omega\) (Q4) est l'humidité absolue réelle de l'air à \(T_{\text{sec}}\). Ne pas les mélanger !

Points à retenir

\(\omega\) est le "combien" absolu (masse).
\(\phi\) est le "combien" relatif (saturation).

Le saviez-vous ?

L'air du désert du Sahara peut avoir une humidité relative très basse (\(< 20\%\)) mais une humidité absolue \(\omega\) plus élevée que l'air polaire à \(100\%\) d'humidité relative. L'air froid ne peut tout simplement pas contenir beaucoup d'eau.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'humidité absolue est \(\omega \approx 9.92 \text{ g/kg}_{\text{air sec}}\). L'humidité relative est \(\phi \approx 50.2\%\).

A vous de jouer

Que deviendrait l'humidité relative \(\phi\) si on chauffait cet air à \(30^\circ\text{C}\) sans ajouter d'eau ? (La \(P_{\text{v}}\) reste \(1590.6 \text{ Pa}\), mais \(P_{\text{sat}}(30^\circ\text{C}) \approx 4243 \text{ Pa}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Humidité absolue (\(\omega\)) vs. relative (\(\phi\)).
Formule \(\omega\) : \(\omega = 0.622 \cdot P_{\text{v}} / (P_{\text{atm}} - P_{\text{v}})\).
Formule \(\phi\) : \(\phi = P_{\text{v}} / P_{\text{sat}}(T_{\text{sec}})\).

Question 5 : Estimer l'enthalpie spécifique \(h\) de l'air ambiant.

Principe

L'enthalpieMesure de l'énergie totale d'un système thermodynamique. Pour l'air humide, elle inclut l'énergie de l'air sec et l'énergie de la vapeur d'eau (sensible + latente). (\(h\)) de l'air humide est une mesure de son contenu énergétique total (chaleur sensible de l'air sec + chaleur sensible ET latente de la vapeur). Elle est cruciale pour les bilans énergétiques (ex: calcul de la puissance d'un climatiseur).

Mini-Cours

L'enthalpie spécifique (\(h\), en kJ/kg d'air sec) est la somme de l'enthalpie de l'air sec (\(h_{\text{a}}\)) et de l'enthalpie de la vapeur (\(h_{\text{v}}\)) pondérée par l'humidité absolue \(\omega\). \(h = h_{\text{a}} + \omega \cdot h_{\text{v}}\).

Remarque Pédagogique

L'enthalpie est la propriété la plus importante pour les ingénieurs CVC. Pour refroidir et déshumidifier l'air (climatisation), la puissance frigorifique nécessaire est directement proportionnelle à la différence d'enthalpie entre l'air entrant et l'air sortant (\(P = \dot{m}_{\text{air}} \cdot (h_{\text{in}} - h_{\text{out}})\)).

Normes

Cette formule d'approximation est une norme industrielle. Elle fixe l'état de référence (zéro enthalpie) à \(0^\circ\text{C}\) pour l'air sec et l'eau liquide.

Formule(s)

Une formule d'approximation très courante (avec \(T\) en \(^\circ\text{C}\) et \(\omega\) en kg/kg) est :

h \approx 1.006 \cdot T_{\text{sec}} + \omega \cdot (2501 + 1.86 \cdot T_{\text{sec}}) \quad [\text{en kJ/kg}_{\text{air sec}}]

Où \(1.006 \cdot T_{\text{sec}}\) est l'enthalpie de l'air sec et \((2501 + 1.86 \cdot T_{\text{sec}})\) est l'enthalpie de la vapeur d'eau (incluant la chaleur latente à \(0^\circ\text{C}\)).

Hypothèses

On suppose que :

Les chaleurs spécifiques (\(c_{\text{pa}}\) et \(c_{\text{pv}}\)) sont considérées comme constantes sur la plage de température.
L'état de référence est \(h=0\) à \(0^\circ\text{C}\).
La chaleur latente de vaporisation à \(0^\circ\text{C}\) est \(L_{\text{v}0} \approx 2501 \text{ kJ/kg}\).

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la Q4.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temp. Bulbe Sec	\(T_{\text{sec}}\)	25	°C
Humidité Absolue (Q4)	\(\omega\)	0.00992	kg/kg

Astuces

Sur un diagramme psychrométrique, les lignes d'enthalpie constante sont presque parallèles aux lignes de \(T_{\text{hum}}\) constante. En première approximation, l'enthalpie de l'air ambiant est très proche de l'enthalpie de l'air saturé à \(T_{\text{hum}}\).

Schéma (Avant les calculs)

L'enthalpie totale est la somme de l'énergie de l'air sec et de l'énergie de la vapeur (sensible + latente).

Composition de l'Enthalpie

Calcul(s)

On insère les valeurs \(\omega = 0.00992 \text{ kg/kg}\) et \(T_{\text{sec}} = 25^\circ\text{C}\) dans la formule.

Étape 1 : Enthalpie de l'air sec (\(h_{\text{a}}\))

Partie gauche de la formule : \(1.006 \cdot T_{\text{sec}}\)

h_{\text{a}} = 1.006 \times 25 = 25.15 \text{ kJ/kg}

Étape 2 : Enthalpie de la vapeur (\(h_{\text{v}}\))

On calcule le terme entre parenthèses : \((2501 + 1.86 \cdot T_{\text{sec}})\)

h_{\text{v}} = (2501 + 1.86 \times 25) \] \[ = 2501 + 46.5 \] \[ = 2547.5 \text{ kJ/kg}

Étape 3 : Enthalpie totale (\(h\))

On combine le tout : \(h = h_{\text{a}} + \omega \cdot h_{\text{v}}\)

\begin{aligned} h &= 25.15 + (0.00992 \times 2547.5) \\ &= 25.15 + 25.27 \\ &\approx 50.42 \text{ kJ/kg}_{\text{air sec}} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique (\(50.42 \text{ kJ/kg}\)).

Réflexions

Notez que l'énergie contenue dans la vapeur d'eau (25.27 kJ/kg) est aussi importante que celle contenue dans l'air sec (25.15 kJ/kg), même si la masse de vapeur est très faible (environ 1%). C'est à cause de la très haute chaleur latente de l'eau.

Points de vigilance

Attention aux unités ! La formule est en kJ/kg, \(c_{\text{pa}}\) est pris à \(1.006 \text{ kJ/kg}^\circ\text{C}\). Si vos données de base sont en Joules (comme 1005 J/kg·K), n'oubliez pas de diviser par 1000 à la fin.

Points à retenir

L'enthalpie combine l'énergie sensible (liée à \(T\)) et l'énergie latente (liée à \(\omega\)).
C'est la propriété clé pour les calculs de puissance de chauffage ou de refroidissement.

Le saviez-vous ?

Le "refroidissement par évaporation" (tour de refroidissement, rafraîchisseur d'air) fonctionne sur le principe d'un processus à enthalpie constante : l'air se refroidit (\(T_{\text{sec}}\) baisse) mais s'humidifie (\(\omega\) augmente), de sorte que l'enthalpie totale \(h\) reste quasiment la même.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'enthalpie spécifique de l'air ambiant est \(h \approx 50.42 \text{ kJ/kg}_{\text{air sec}}\).

A vous de jouer

Recalculez l'enthalpie \(h\) pour de l'air à \(T_{\text{sec}}=30^\circ\text{C}\) et \(\omega=0.015 \text{ kg/kg}\) (15 g/kg).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Enthalpie de l'air humide (\(h\)).
Formule Essentielle : \(h \approx 1.006 \cdot T_{\text{sec}} + \omega \cdot (2501 + 1.86 \cdot T_{\text{sec}})\).
Point de Vigilance : \(h\) est en kJ/kg d'air sec, \(\omega\) est en kg/kg.

Outil Interactif : Simulateur Psychrométrique

Variez la température de bulbe sec et l'humidité relative pour voir comment la température de bulbe humide et le point de rosée réagissent. Les calculs sont des approximations.

Paramètres d'Entrée

Température Bulbe Sec (\(T_{\text{sec}}\)) (°C) 25 °C

Humidité Relative (\(\phi\)) (%) 50 %

Résultats Clés

Temp. Bulbe Humide (\(T_{\text{hum}}\)) (°C) -

Point de Rosée (\(T_{\text{r}}\)) (°C) -

Glossaire

Psychrométrie: L'étude des propriétés thermodynamiques des mélanges air-vapeur d'eau.
Humidité Relative (\(\phi\)): Rapport (en %) de la pression partielle de vapeur d'eau \(P_{\text{v}}\) à la pression de vapeur saturante \(P_{\text{sat}}\) à la même température.
Humidité Absolue (\(\omega\)): Rapport de la masse de vapeur d'eau à la masse d'air sec dans un volume donné (ex: g/kg).
Température de Point de Rosée (\(T_{\text{r}}\)): Température à laquelle l'air doit être refroidi, à pression constante, pour devenir saturé en vapeur d'eau.
Pression de Vapeur Saturante (\(P_{\text{sat}}\)): Pression partielle maximale que la vapeur d'eau peut exercer à une température donnée.